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巧用函數(shù)模型解決最值問題
江蘇省江陰長涇中學 劉云彬
函數(shù)最值是函數(shù)概念的一個重要組成部分，在研究函數(shù)圖象、性質及實際問題中非常有用。求函數(shù)最值問題的方法有很多，如觀察法、配方法、圖象法、判別式法、換元法等等。但廣大師生仍普遍感到非常困難，本文將巧用數(shù)學模型，將問題化歸到某一模型上去討論，可以收到出奇制勝的效果。
若實數(shù)x ，y滿足3x-2y-5=0 （1≤x≤3），求的最值。
方法1.構造函數(shù)模型
方法2.構造斜率模型
是分式函數(shù)，其結構與斜率公式相似，由此可視此式為定點（0，0）與線段3x-2y-5=0 （1≤x≤3）上動點P（x，y）連線的斜率，易知
歸納：對一類化歸為的函數(shù)最值問題，運用斜率模型求解不失為一種行之有效的方法。
例2.若點P（a，b）在直線x+y+1=0上，
求的最小值。
方法一.構造函數(shù)模型
中a，b均為變量，化為單參數(shù)問題即可。
方法二：構造距離模型

可考慮兩點間距離模型，上式可看成求動點（a，b）到（1，1）的距離的最小值。根據(jù)數(shù)形結合知
引申：求函數(shù)
解：
=
可考慮兩點間距離模型。
上式可以看成求動點P（x，0）到點A（5，1）、點B（1，2）兩點的距離之和的最小值。
如圖，又點B（1，2）關于x軸的對稱點 B，（1，-2）到點A（5，1）的距離即為所求的最小距離，故。
例3.設a<0，b≤0，c>0,函數(shù)F（x）= -4a(ax2-bx+c)，已知F（c）=0，求函數(shù)F（x）的最大值之最小值。
常規(guī)方法：由F（c）=0得-4ac（ac-b+1）=0
∵a<0，b≤0，c>0，∴ac-b+1=0，∴b= ac+1≤0，ac≤-1
根據(jù)二次函數(shù)性質，由F（x）的表達式知函數(shù)F（x）的最大值為
M=
當且僅當ac=-1時等號成立，故F（x）的最大值之最小值為4。
方法2.利用該題的幾何意義
將此題化為：已知拋物線V：y= -4a(ax2-bx+c)，（a<0，b≤0，c>0），經(jīng)過點P（c，0），其頂點為M，求點M到x軸距離的最小值。
解：在題設下，拋物線V開口向下，如圖對稱軸l：位于左半平面或與y軸重合，拋物線V與x軸有兩個交點，
P（c，0），Q（），分別位于右半平面與左半片面頂點M始終在上半片面，而且當對稱軸逐漸移近y軸時，點M隨之向x軸靠近，因此當l與y軸重合時，（即b=0，時）點M到x軸的距離最小，其值為點M的縱坐標。
例4．如圖，一工兵在河岸A處發(fā)現(xiàn)水中S處有一水雷，水雷離岸的距離SB=10m，而工兵距B點的距離為20m，工兵在岸上的跑動速度為5m/s，而在水中的速度為1m/s，工兵為盡快到達S處排雷，他應在何處下水？
分析：這是一個簡單的應用問題。實際上就是要求我們在線段AB上選擇一點P，使得經(jīng)過點A、P、S時所花的時間最短。因此線段BP的長度或角θ的大小就是與問題有關的變量。于是就有下面的兩種方法。
方法1：如圖，設工兵從P處下水，BP=x （0≤x≤20），則AP=20-x，，經(jīng)過點A→P→S所需時間為。
這樣我們就得到目標函數(shù)，
即
化簡得
∵x∈R，方程有實根，∴
又y＞0，∴。
而當
∴當
方法2：建立三角函數(shù)模型
設∠PSB=θ，(0≤θ≤arctan2),則AP=20-10tanθ.
經(jīng)過點A→P→S所需時間,
若將看成經(jīng)過M(cosθ,sinθ)、N(0,5)兩點的直線l的斜率k，則求y的最小值，即求直線l斜率的最大值。由于
0≤θ≤arctan2,所以當l：y=kx+5與圓x2+y2=1上對應的一段圓弧相切時，k取最大值k0。
由
∴。
綜上所述，要提高學生解題能力，不但要有扎實的數(shù)學知識和技能，而且能根據(jù)式子的結構特征，巧用數(shù)學模型，以便運用數(shù)學模型解決數(shù)學問題和實際問題。

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