資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
多邊形知識點(diǎn)歸納
1、多邊形
定義 在同一平面內(nèi)，由一些線段首尾順次連結(jié)所組成的封閉圖形叫做多邊形。如果一個多邊形由n條線段組成， 叫做n邊形， 如三角形， 四邊形， 五邊形…， 三角形是最簡單的多邊形。
邊 組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊；
頂點(diǎn) 每相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)；
內(nèi)角 多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角；
外角 多邊形的一邊和它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角
對角線 連接不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線；
說明 ①多邊形的邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)及角的個數(shù)相等；
②把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形求解的常用方法是連接對角線；
①n邊形 (n≥3) 的1個頂點(diǎn), 可引n-3(n>3)條對角線, 將n邊形分成n-2個三角形;
②n邊形(n≥3) 共有n(n -3)條對角線；
內(nèi)角和定理 n邊形(n≥3) 的內(nèi)角和等于(n-2)·180°(每增加1邊, 內(nèi)角和增加180°) ;
推導(dǎo) 多邊形內(nèi)角和公式有多種推導(dǎo)方法(如圖)， 但都是把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形進(jìn)行解決；
說明 四邊形的四個內(nèi)角中最多有三個鈍角或四個直角或三個銳角；
外角和定理 任意多邊形的外角和都等于360°；
推導(dǎo) 多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，所以n邊形內(nèi)角和加外角和等于n·180°，所以外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°。
說明 ①外角和為定值， 與邊數(shù)無關(guān)， 不隨邊數(shù)的變化而變化；
②四邊形的內(nèi)角和、外角和相等；
四邊形的不穩(wěn)定性 ①三角形的三邊如果確定后， 它的形狀、大小就確定了， 這是三角形的穩(wěn)定性；
②四邊形的四邊確定后， 它的形狀不能確定， 這就是四邊形所具有的不穩(wěn)定性。
分類 多邊形分為凸多邊形和凹多邊形；
凸多邊形 把多邊形的任一邊向兩方延長， 整個圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的多邊形就叫做凸多邊形， 初中階段只研究凸多邊形。凸多邊形每個內(nèi)角都大于0°， 小于 180°；
凹多邊形 如圖-2， 不滿足上述凸多邊形的特征， 因?yàn)槲覀儺嫵鯟D所在的直線， 整個多邊形不都在這條直線的同一側(cè)， 我們稱它為凹多邊形；
說明 以下n邊形都有n≥3條件， 不再做標(biāo)注。
2、正多邊形
定義 各個角都相等， 各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形；
條件 ①各邊都相等；
說明 ①各邊都相等的多邊形不一定是正多邊形， 因?yàn)樗膬?nèi)角不一定都相等， 如菱形；
②一個多邊形的內(nèi)角都相等， 它也不一定是正多邊形， 因?yàn)樗倪叢灰欢ǘ枷嗟?，如?長方形的內(nèi)角都是直角， 但它的邊不都相等；
示例
正三角形 正方形 正五邊形 正六邊形
性質(zhì) ①各邊相等， 各內(nèi)角相等， 各外角相等；
②正 n邊形的每一個內(nèi)角為·(n-2)·180°;每一個外角為360°;
③常用： 正五邊形每一內(nèi)角為 108°， 每一外角為72°； 正六邊形每一內(nèi)角為120°， 每一外角為60°。
④正n邊形有一個外接圓， 還有一個內(nèi)切圓， 它們是同心圓；
⑤正n邊形有n條對稱軸；
⑥對于正n邊形
平面鑲嵌
定義 用一種或幾種形狀、大小不同的平面圖形進(jìn)行拼接， 彼此之間既無空隙、又不重疊地鋪成一片，就叫做平面圖形的鑲嵌， 也叫做平面圖形的密鋪。
條件 實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件： 圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個多邊形的角的和等于360°；
原則 鑲嵌的原則： 既不重疊， 也無空隙；
正多邊形鑲嵌 ①用一種或兩種或兩種以上的正多邊形均可實(shí)現(xiàn)鑲嵌；
②正三角形， 正方形， 正六邊形都能單獨(dú)完成平面鑲嵌；
3個條件 ①鑲嵌的正多邊形邊長相等； ②頂點(diǎn)重合； ③一個頂點(diǎn)處各角的和為360°；
用同一種正多邊形鑲嵌 設(shè)由k個正多邊形在同一頂點(diǎn)鑲嵌成平面，則有k (n-2)-180°=360°, k(n-2)=2n ∴kn-2k-2n+4=4, (n-2)(k-2)=4 ∴ k=3 或 k=4 或 k=6 n=6 n=4 n=3 用6個正三角形或4個正方形或3個正六邊形可在同一頂點(diǎn)處鑲嵌成平面，如圖1、2、3；
圖示
圖1 圖2 圖3 圖4 圖5
用兩種 正多邊形 鑲嵌 ①正三角形與正方形： 設(shè)在一個頂點(diǎn)周圍有m個正三角形的角， n個正方形的角，則有: m·60°+n·90°=360°, 即 2m+3n=12, 解得: m=3, n=2 ∴ 用正三角形與正方形鑲嵌平面一個頂點(diǎn)處需3個正三角形，2個正方形， 如圖4、5。
②正三角形和正六邊形： 設(shè)在一個頂點(diǎn)周圍有 m個正三角形的角， n個正六邊形的角，則有: m·60°+n·120°= 360°即 m+2n = 6, 解得: m=4 或 m=2 n =1 n=2 ∴ 用正三角形和正六邊形鑲嵌平面有兩種： 1) 一個頂點(diǎn)處有4個正三角形和1 個正六邊形， 如圖-6； 2) 一個頂點(diǎn)處有2 個正三角形和2 個正六邊形， 如圖-7；
圖示
圖-7
用一般凸多邊形鑲嵌 如圖所示， 一批形狀、大小完全相同， 但不規(guī)則的四邊形地磚也可才按圖拼接， 使地板平整、無空隙,此時α+β+γ+δ=360°, 如圖-8。
說明 同一種組合，可能有多種不同的方案。
3、平行四邊形
定義 兩組對邊分別平行的四邊形， 叫平行四邊形；
符號表示 平行四邊形用符號“ ”表示， 平行四邊形 ABCD 記作“ ABCD”, 讀作“平行四邊形 ABCD”;
鄰邊 如圖: AD和AB, AB和BC, BC和DC, DC和AD;
對邊 如圖: AB和DC, AD和BC;
鄰角 如圖: ∠BAD和∠ADC, ∠BAD和∠ABC, ∠ABC和∠BCD, ∠ADC 和∠BCD;
`對角 如圖: ∠BAD 和∠BCD, ∠ADC 和∠ABC;
對角線 如圖: AC和BD;
說明 ①平行四邊形必須滿足： 1) 是四邊形； 2) 兩組對邊分別平行， 這兩個條件缺一不可；
②平行四邊形的表示一般按一定的方向(順時針或逆時針)依次書寫各頂點(diǎn)；
性質(zhì) 邊 兩組對邊平行且相等,AB≌CD; AD≌BC;
角 兩組對角分別相等, ∠ABC=∠ADC; ∠BAD=∠BCD;
四組鄰角分別互補(bǔ), ∠ABC+∠BCD=180°,∠BCD+∠ADC=180°,∠ADC+∠BAD=180°, ∠BAD+∠ABC=180°;
對角線 對角線互相平分，OA=OC=AC, OB=OD=BD;
面積 S∩ABCD=BC AE=AD AE(邊長×邊上的高); 同底(等底)同高(等高)的平行四邊形的面積相等;
5種判定方法 ①兩組對邊分別平行(定義) ；
②一組對邊平行且相等(定理1) ；
③兩組對邊分別相等(定理2) ；
④對角線互相平分 (定理3) ；
⑤兩組對角分別相等(定理4) ；
說明 ①靈活根據(jù)已知條件是邊、角、還是對角線， 選擇相應(yīng)判定方法， 進(jìn)行平行四邊形的判定；
②一組對邊平行， 另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形， 可能是等腰梯形；
③一組對邊平行， 一組對角相等的四邊形是平行四邊形(利用三角形全等易證)；
對稱性 是中心對稱圖形， 對稱中心是對角線交點(diǎn)O；
如圖， ABCD 繞著它的對角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后， 與原圖形能夠完全重合，此時A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C點(diǎn)， B旋轉(zhuǎn)到D點(diǎn)， C 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到A點(diǎn)， D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到B；
圖示
說明 過平行四邊形對角線交點(diǎn)的直線， 對應(yīng)線段被對角線交點(diǎn)平分， 且將平行四邊形分成全等的兩部分圖形， 如圖：OE=OF, SDADEF= SDBCEF。 (原因: 平行四邊形是中心對稱圖形)
兩條平行線間距離 定義： 兩條平行線中， 一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離， 叫做這兩條平行線的距離；
①平行線之間距離處處相等, 如圖: AB=CD=EF;
②夾在兩條平行線之間的平行線段相等， 如果BC∥DE，則BC=DE(BCED為平行四邊形);
常用解題思路 ①利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算， 一般運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角度或線段之間的等量關(guān)系；
②對邊平行可得相等的角， 進(jìn)而可得相似三角形；
③對邊相等、對角線互相平分可得相等的線段；
④當(dāng)有一條線段過對角線的交點(diǎn)和一邊的中點(diǎn)時， 可利用三角形中位線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；
⑤當(dāng)有角平分線的條件時，可利用“平行+角平分線 → 等腰三角形”得到等角、等邊；詳見： 幾何模型-角平分線四大模型；
⑥構(gòu)造和利用平行四邊形性質(zhì)證明線段相等、角相等或線段平行； (三角形構(gòu)造平行四邊形)；
⑦利用等高三角形面積比， 及平行線間距離相同(高相等)， 證明平行四邊形及菱形面積問題。
4、矩形
定義 有一個角是直角的平行四邊形， 叫矩形(通常也叫長方形)；
如圖, 在 ABCD 中, 若∠B=90°, 則四邊形ABCD 為矩形;
圖示
說明 ①對于矩形的定義要注意兩點(diǎn)： 1) 是平行四邊形； 2) 有一個角是直角；
②有一個角是直角的平行四邊形才是矩形， 不要錯誤地理解為有一個角是直角的四邊形是矩形；
性質(zhì) 具有平行四邊形的一切性質(zhì)；
邊 兩組對邊平行且相等, AB≌CD; AD≌BC;
角 四個角都是直角; ∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°;
對角線 對角線相等且互相平分, AC=BD, OA=OC=OB=OD;
對稱性 既是軸對稱又是中心對稱圖形， 對稱中心是對角線交點(diǎn)，對稱軸是各邊垂直平分線(2條) ；
說明 ①利用矩形的性質(zhì)可以推出直角三角形斜邊中線的性質(zhì)， 即在直角三角形中， 斜邊上的中線等于斜邊的一半， 如圖：OD=BD=AC(OD為FRtΔADC 的斜邊中線);
②兩條對角線分矩形為面積相等的四個等腰三角形，SAAOD=S△AOB=S△BOC=SACOD=S煙形ABCD;
面積 s=ab ( a、b分別是長和寬) ;
判定 ①有一個角是直角的平行四邊形是矩形 (定義) ；
②有三個角是直角的四邊形是矩形(定理1) ；
③對角線相等的平行四邊形是矩形； (定理2) 注意： 不能說： 對角線相等的四邊形是矩形， 如： 等腰梯形對角線相等， 但不是矩形；
④對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；
思路 矩形判定的一般思路： 首先判定是否為平行四邊形，然后找角或者對角線的關(guān)系， 若角度容易求，則可找其一角為90°， 便可判定是矩形； 若對角線容易求， 則證明其對角線相等也可證其為矩形；
常用解題思路 運(yùn)用矩形性質(zhì)計(jì)算的一般思路： 根據(jù)矩形的四個角都是直角， 一條對角線將矩形分成兩個直角三角形， 可用勾股定理或三角函數(shù)求線段的長， 又因?yàn)榫匦蔚膶蔷€相等且互相平分， 故可借助對角線的關(guān)系得到全等三角形， 矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形， 注意用這個結(jié)論建立線段或角度的等量關(guān)系。
5、菱形
定義 有一組鄰邊相等的平行四邊形 叫菱形；
如圖, 在 ABCD中, 若AB=BC , 則 ABCD 是菱形;
圖示
性質(zhì) 具有平行四邊形的一切性質(zhì)；
邊 四條邊都相等,AB=BC=CD=DA;
對邊平行,AB∥CD, AD∥BC;
角 兩組對角相等, ∠DAB=∠BCD, ∠ABC=∠ADC ;
對角線 對角線互相垂直且平分, AC⊥BD, AO=OC, DO=OB;
每條對角線平分一組對角, AC平分∠DAB與∠BCD ;BD平分∠ABC與∠ADC ; 注： 對角線交點(diǎn)O 到菱形四條邊的距離相等；
對稱性 既是軸對稱又是中心對稱圖形， 對稱中心為對角線交點(diǎn)， 對稱軸是對角線所在2 條直線。
周長 C=4a, 其中a為菱形的邊長;
面積 s= ah= / mn,其中a是菱形的邊長， h是菱形的高， m、n是菱形的對角線； (兩種求法)
說明 兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形。
判定 ①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(定義) ；
②四條邊都相等的四邊形是菱形(定理1) ；
③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形(定理2) ；
擴(kuò)展 ①對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；
②___對角線平分一組對角的平行四邊形 是菱形；
③每條對角線平分一組對角的___四邊形 _是菱形；(三條拓展判定不能直接使用，使用時需證明)
思路 菱形判定的一般思路： 若一個四邊形是菱形， 則必是平行四邊形， 故在判定一個四邊形是菱形時，首先判斷其是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的鄰邊相等， 來判定其是菱形， 這是判定菱形最基本的思路， 同時也可以考慮其他判定方法， 如四條邊相等或?qū)蔷€互相垂直平分；
常見題型 ①求長度 (線段長或者周長) 時， 應(yīng)注意使用等腰三角形的性質(zhì)： 若菱形中存在一個頂角為60°，則菱形被連接另外兩點(diǎn)的對角線所割的兩個三角形為等邊三角形，故在計(jì)算時， 可借助等邊三角形的性質(zhì)，同時也應(yīng)注意使用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、含特殊角的直角三角形等進(jìn)行計(jì)算；
②求面積時，可利用菱形的兩條對角線互相垂直， 面積等于對角線之積的一半進(jìn)行計(jì)算。
6、正方形
定義 有一組鄰邊相等， 有一個角是直角的平行四邊形， 叫正方形；
性質(zhì) 具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；
邊 四條邊都相等,AB=BC=CD=AD ;
對邊平行,AB∥CD, AD∥BC ;
角 四角都是直角, ∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°;
對角線 對角線互相垂直、平分且相等： AC= BD, AC⊥BD, OA=OB=OC=OD;
每條對角線平分一組對角: ∠DAC=∠CAB=45°, ∠DCA=∠ACB=45°,∠ADB=∠BDC=45°, ∠ABD=∠DBC=45°;
對稱性 ⑤既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形， 對稱中心是對角線交點(diǎn)， 對稱軸是各邊垂直平分線和對角線所在直線(4條) ；
說明 ①兩條對角線把正方形分成多個全等的等腰直角三角形(四大四小)；
②正方形的一條對角線上的一點(diǎn)到另一條對角線兩端點(diǎn)的距離相等， 如AE=CE， BF=DF；
周長 C=4a, 其中a 表示正方形邊長;
面積 s=a =AC·BD=b (a 為邊長, b為對角線長) ;
判定 ①有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形 是正方形 (定義) ；
②有一組鄰邊相等的 矩形 是正方形(矩形+一組鄰邊相等) ；
③對角線互相垂直的 矩形 是正方形(矩形+對角線互相垂直) ；
④有一個角是直角的 菱形 是正方形(菱形+一個角為直角) ；
⑤對角線相等的菱形 是正方形(菱形+對角線相等) ；
⑥對角線 互相垂直平分且相等 的四邊形 是正方形；
常用解題思路 與正方形有關(guān)的計(jì)算應(yīng)注意靈活運(yùn)用其性質(zhì)， 還有常見的結(jié)論， 如： 邊長與對角線的長度比為1: ， 另外在幾何題中求線段長， 一般會用列方程的思想， 列方程的主要依據(jù)是：
①勾股定理(需要有直角的條件或構(gòu)造出直角三角形) ；
②相似三角形對應(yīng)邊成比例(適用于等角較多易證相似的題目) ；
注意 對特殊四邊形中的特殊三角形，如等腰三角形、等邊三角形、直角三角形，等腰直角三角形和全等三角形，以及特殊角和三角函數(shù)的應(yīng)用等。
7、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系
區(qū)別 邊 角 對角線 對稱性
平行四邊形 對邊平行且相等 對角相等 兩條對角線互相平分 中心對稱圖形
矩形 對邊平行且相等 四個角都是直角 兩條對角線互相平分且相等 軸對稱圖形中心對稱圖形
菱形 對邊平行， 四條邊都相等 對角相等 兩條對角線互相垂直平分，每條對角線平分一組對角； 軸對稱圖形中心對稱圖形
正方形 對邊平行， 四條邊都相等 四個角都是直角 兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角； 軸對稱圖形中心對稱圖形
關(guān)系 ①正方形不僅是特殊的平行四邊形， 而且是特殊的矩形， 還是特殊的菱形， 平行四邊形、矩形、菱形、正方形關(guān)系如圖；
②正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，正方形又是有一個角是直角的菱形；
③既是矩形又是菱形的四邊形是正方形；
8、梯形
梯形 定義 一組對邊平行， 另一組對邊不平行的四邊形叫梯形， 如圖-1： AD∥BC；
底 梯形中平行的一組對邊叫做梯形的底， 如圖-1： AD、BC為底；
腰 梯形中不平行的一組對邊叫做梯形的腰， 如圖-1： AB、CD為腰；
直角梯形 定義 有一個角是直角的梯形, 叫直角梯形, 如圖-2: AD∥BC, AB⊥BC;
圖示 分類
等腰梯形 定義 兩腰相等的梯形, 叫等腰梯形, 如圖-3: AD∥BC, AB=CD;
性質(zhì) ①同一底邊上的兩個角相等, ∠ABC=∠DCB, ∠BAD=∠CDA;
②兩條對角線相等, AC=BD;
③是軸對稱圖形， 上下底中點(diǎn)連線是對稱軸(1 條)， 兩腰延長線的交點(diǎn)、對角線的交點(diǎn)都在對稱軸上， 如圖-3 所示， 點(diǎn)G、點(diǎn)O在對稱軸EF上；
判定 ①兩腰相等的梯形 是等腰梯形(定義)；
②同一底上兩個角相等的梯形 是等腰梯形；
③對角線相等的梯形是等腰梯形；
中位線 性質(zhì) 梯形的中位線平行于兩底， 并且等于兩底和的一半； 如圖-1: EF∥AD∥BC, EF=(AD+BC)
證明 證明: 連接BD交EF于G ∵ EG是ΔBAD邊AD的中位線 ∴ EG=AD ∵ GF 是ΔBDC 邊BC的中位線 ∴ GF=BC ∴ EF=EG+ GF=(AD+BC)
推論 ①梯形中位線到上、下底的距離相等；
②S梯形=梯形中位線×高=(上底+下底)×高;
常用方法 ①平移腰(如圖①)： 把梯形分成一個平行四邊形(如圖-4： ABHD或 AGCD)和一個三角形；
②作高(如圖②): 使兩腰在兩個直角三角形(如圖-4:△AEB 和△DFC)中)中， 同時中間部分是一個矩形(如圖-4: 矩形AEFD);
③平移對角線(如圖③)： 使兩條對角線在同一個三角形(如圖-5： ΔBDF)， 且ACFD是平行四邊形；
圖-① 圖-② 圖-③
圖-④ 圖-⑤ 圖-⑥
④延腰(如圖④): 構(gòu)造具有公共角的兩個三角形(如圖-5: ΔAED 和ΔBEC) ;
⑤等積變形(如圖⑤)： 連接梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)， 并延長與下底延長線交于一點(diǎn)， 構(gòu)成兩個面積相等三角形，如圖-5：S△AHD=S△BHG S梯形ABCD=S△DGC;
⑥過上底中點(diǎn)平移兩腰(如圖⑥)：過上底中點(diǎn)作兩腰的平行線，構(gòu)造2個平行四邊形和1個三角形；
圖示
圖-4
說明 ①梯形本身可以作為四邊形的形式進(jìn)行出題；
②上述常用方法中， 如果換成等腰梯形或者直角梯形， 還會有更多特殊性質(zhì)。

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