資源簡介

幾何圖形初步與證明知識點歸納
第一章 幾何初步
1、幾何圖形
幾何圖形 從實物中抽象出來的各種圖形， 包括立體圖形和平面圖形；
立體圖形 有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內， 它們是立體圖形；
平面圖形 有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內，它們是平面圖形。
常見平面圖形
直線 線段 角 三角形 長方形
正方形 梯形 平行四邊形 圓 扇形
2、 點、 線、 面、 體
點 線和線相交的地方是點， 點是幾何圖形中最基本的圖形；
線 面和面相交的地方是線， 分為直線和曲線；
面 包圍著體的是面， 分為平面和曲面；
體 長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體也簡稱體。
關系 幾何圖形都是由點、線、面、體組成的， 點動成線， 線動成面， 面動成體。 點、線、面、體經過運動變化，就能組合成各種各樣的幾何圖形， 形成多姿多彩的圖形世界。
3、直線、射線與線段
直線 一根拉得很緊的線， 就給我們以直線的形象， 直線是直的， 并且是向兩方無限延伸的；
射線 直線上一點和它一旁的部分叫做射線， 這個點叫做射線的端點；
線段 直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段， 這兩個點叫做線段的兩個端點；
表示 在幾何里， 我們常用字母表示圖形： ①一個點可以用一個大寫字母表示， 如點 A； ②一條直線可以用一個小寫字母表示， 如直線a， 或用直線AB表示； ③一條射線可以用端點和射線上另一點來表示， 如射線OA， 也可用小寫字母表示， 如射線l； ④一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示， 如線段AB或線段BA；
表示點、直線、射線、線段時， 都要在字母前注明點、直線、射線、線段；
直線性質 ①直線上有無窮多個點；
②過一點的直線有無數條；
③兩條不同的直線至多有一個公共點；
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區別 線段 射線 直線
圖形
表示法 線段 AB (或線段a) 射線 OA (或射線l) 直線 AB (或直線l)
端點個數 2 1 無
可否延伸 不能延伸 只能向一方無限延伸 可向兩方無限延伸
可否度量 可度量， 可比較大小 不可度量， 不能比較大小 不可度量， 不能比較大小
聯系 線段向一方延伸就成為射線，向兩方延伸就成為直線， 線段和射線都是直線的一部分；
共同點 都是直的線， 非曲線；
點和直線位置關系 點和直線的位置關系有兩種： ①點在直線上， 或者說直線經過這個點；
②點在直線外， 或者說直線不經過這個點；
直線 位置關系 在同一平面內不重合的兩條直線的位置關系只有兩種： 相交或平行；
直線公理 經過兩點有且只有一條直線(即兩點確定一條直線) ；
“有”表示“存在性”， “只有”體現“唯一性”；
兩點間距離 連接兩點的線段的長度， 叫做這兩點間的距離， 它是線段的長度， 是數量；
線段公理 連接兩點的所有連線中， 線段最短， 簡述為： 兩點之間線段最短；
線段和差 在線段AC 上取一點B, 則有: AB+BC=AC, AB=AC-BC, BC=AC-AB; AB C
線段中點 線段的中點到兩端點的距離相等, 線段AB中點M, AM=MB=1/2AB; A M B
4、 角
靜態定義 有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角， 這個公共端點叫做角的頂點， 這兩條射線叫做角的邊； 如圖， 射線 OA、OB是這個角的兩條邊， 點O是這個角的頂點；
動態定義 角也可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形。如圖，這個角可以看作由射線OA 繞O點按逆時針方向旋轉α到射線OB的位置形成的； 射線旋轉時經過的平面部分稱為角的內部，平面其余部分稱為角的外部；
角的分類 ①按大小分, 周角(360°)>平角(180°)>鈍角(90°<鈍角<180°)>直角(90°)>銳角(<90°);
周角(360°) 平角(180°) 90°<鈍角<180° 直角(90°) 銳角(<90°)
②當角的兩邊在一條直線上時， 組成的角叫做平角；
③平角的一半叫做直角； 小于直角的角叫做銳角； 大于直角且小于平角的角叫做鈍角；
余角 定義： 如果兩個角的和是一個直角， 那么這兩個角叫做互為余角， 其中一個角叫做另一個角的余角; 若∠A+∠B=90°, 則∠A與∠B 互為余角;如圖: ∠1+∠2=90°, ∠1 與∠2 互為余角。
性質： 同角(或等角) 的余角相等；
補角 定義： 如果兩個角的和是一個平角， 那么這兩個角叫做互為補角， 其中一個角叫做另一個角的補角；若∠A+∠B=180°，則∠A與∠B互為補角；如圖: ∠1+∠2=180°, ∠1 與∠2 互為補角。
性質： 同角(或等角) 的補角相等；
說明 ①鈍角沒有余角；
②互為補角、互為余角是相對兩個角而言， 由它們的數量關系來定義的， 只與角的度數有關，與角的位置無關；
角的表示 角可以用大寫英文字母、阿拉伯數字或小寫希臘字母表示， 有以下四種表示方法；
①用數字表示單獨的角, 如∠1、∠2、∠3;
②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角， 如∠α、∠β、∠θ；
③用一個大寫英文字母表示一個獨立的角(在一個頂點只有一個角)， 如∠A、∠B、∠C；
④用三個大寫英文字母表示任一個角， 如∠AOC、∠BOC等；
注意： 用三個大寫英文字母表示角時， 一定要把頂點字母寫在中間， 邊上的字母寫在兩側；
單位 1周角=360°, 1平角=180°, 1°=60', 1'(分)=60"(秒), 角的度、分、秒是60 進制;
角的性質 ①角的大小與邊的長短無關， 只與構成角的兩條射線的幅度大小有關；
②角的大小可以度量， 可以比較， 比較方法： 1) 疊合法； 2) 度量法；
角的大小比較 ①疊合法：將兩個角疊放在一起， 使兩個角的頂點和一條邊重合， 并使它們的另一邊都落在重合的那條邊的同旁，根據兩個角的另一邊的位置確定出兩個角的大小。
②度量法：兩個角大小的比較，實際上是兩個角的度數的大小比較， 度量法就是先用量角器 分別量出兩個角的度數， 再比較其度數的大小。
角的和差運算 角可以參與運算：
角的和: ∠AOC 是∠AOB 與∠BOC 的和, 即∠AOC=∠AOB+∠BOC;
角的差: ∠AOB是∠AOC 與∠BOC 的差, 即∠AOB=∠AOC- ∠BOC;
(1)相交線中的角 (三線八角)
對頂角 有一個公共頂點， 且一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個角就叫做對頂角；
性質： 對頂角相等；
兩條直線相交所構成的四個角中， 有兩對對頂角； 如圖: ∠1與∠3, ∠2與∠4, ∠5與∠7, ∠6與∠8;
若兩個角互為對頂角， 則它們一定相等； 反之， 若兩個角相等， 則它們不一定互為對頂角。
鄰補角 兩個角有一條公共邊， 且它們的另一邊互為反向延長線， 具有這種關系的兩個角互為鄰補角；兩條直線相交所成的四個角中， 有4對鄰補角， 如圖： ∠1與∠4, ∠1與∠2, ∠2與∠3, ∠3與∠4, ∠5與∠8, ∠5與∠6, ∠6與∠7, ∠7與∠8;
性質： 鄰補角互補(之和等于 180°)；
鄰補角與補角是兩個不同的概念， 互補的兩個角只有數量關系， 沒有位置關系， 只要這兩個角的和等于 180°即可； 而鄰補角不但有數量上的關系， 還有位置上的關系；
同位角 ∠1 與∠5這兩個角分別在AB， CD的上方， 并且在 EF的同側， 像這樣位置相同的一對角叫做同位角; 如圖: ∠1與∠5, ∠2與∠6, ∠4與∠8, ∠3與∠7;
內錯角 其中∠2 與∠8這兩個角都在 AB、CD 之間， 并且在 EF的異側， 像這樣位置的兩個角叫做內錯角, 如圖: ∠2 與∠8, ∠3 與∠5;
同旁內角 ∠2 與∠5在直線AB、CD 之間，并且在EF的同側， 像這樣位置的兩個角叫做同旁內角，如圖: ∠2與∠5, ∠3與∠8;
三線八角 ①三線八角指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個角， 其中對頂角有4對，同位角有4對，內錯角有 2對， 同旁內角有2對；
②正確認識這八個角要抓住： 同位角位置相同即“同旁和同側”；內錯角要抓住“內部，異側”；同旁內角要抓住“同旁，內部”。
(2)角平分線
定義 一條射線把一個角分成兩個相等的角， 這條射線叫做這個角的平分線； 如圖: 射線OC 是∠AOB的平分線; ∠AOC=∠BOC=∠AOB,, ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC;
性質 角平分線上的點到角兩邊的距離相等， 如圖 DE=DF；
逆定理 在角的內部， 到角兩邊距離相等的點在角平分線上(判定角平分線)；
5、垂線
定義 若兩條直線相交所成的四個角中， 有一個角是直角時， 則這兩條直線互相垂直， 其中一條直線叫做另一條直線的垂線， 它們的交點叫做垂足。
表示 直線AB、CD 互相垂直, 記作“AB⊥CD”(或CD⊥AB), 讀作“AB垂直于CD”(或“CD 垂直于AB”) ;
說明 ①兩條直線互相垂直是兩條直線相交的一種特殊情形， 垂線是其中一條直線對另一條直線的稱呼, 如AB的垂線是CD,CD 的垂線是AB;
②線段與線段、線段與射線、線段與直線、射線與射線或射線與直線垂直， 是特指它們所在的直線互相垂直；
③根據兩條直線互相垂直的定義可知： 兩條直線互相垂直， 則所成的四個角為直角；若兩條直線的夾角為直角， 則這兩條直線互相垂直；
④經過一點畫射線或線段的垂線，是指畫它們所在直線的垂線， 垂足有時在射線的反向延長線或線段的延長線上， 如圖所示；
圖示
垂線段 從直線外一點P向直線L作垂線， 垂足為O， 則線段PO為點P到直線L的垂線段；
性質 ①在同一平面內， 過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
②直線外一點到直線上各點連接的所有線段中， 垂線段最短(簡稱： 垂線段最短) ， 如圖所示；
說明 ①垂線是指一條直線， 而垂線段是指一條線段；
②“垂線段”是指一個具體的幾何圖形， 而“點到直線的距離”是指垂線段的長度， 是一個數量， 不能說“垂線段是距離”或“作出點到直線的距離”， 這些都是常見的錯誤語句；
③確定點到直線的距離， 首先要作出這點到直線的垂線段， 然后求垂線段的長度；
垂直平分線 垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；
性質定理 線段垂直平分線上的任意一點到線段兩個端點的距離相等， PA=PB；
判定定理 與線段兩個端點距離相等的點， 在這條線段的垂直平分線上；
說明 ①線段的垂直平分線可以看作到線段兩個端點距離相等的所有點的集合；
②線段的垂直平分線含兩種關系: 位置關系--垂直(PO⊥AB), 數量關系--平分(OA=OB)。
6、平行線
定義 在同一個平面內， 不相交的兩條直線叫做平行線， 用符號“//”表示； 如圖: AB//CD, 讀作AB平行于CD;
說明 ①同一平面內， 不重合的兩條直線的位置關系只有兩種： 相交或平行；
②平行線是無限延伸的， 無論怎樣延伸也不相交， 不相交就是說兩條直線沒有交點；
③當遇到線段、射線平行時， 指的是線段、射線所在的直線平行；
平行公理 經過直線外一點， 有且只有一條直線與這條直線平行；
推論 如果兩條直線都與第三條直線平行， 那么這兩條直線也互相平行，若b//a，c//a，則b//c；
說明 ①注意條件“經過直線外一點”， 若經過直線上一點作已知直線的平行線， 則所作的直線與已知直線重合；
②平行公理體現了平行線的存在性和唯一性；
③平行公理的推論體現了平行線的傳遞性；
性質 與 判定 兩條平行線被第三條直線所截：
性質 ①兩直線平行 同位角相等； 判定 ∠1=∠5, ∠2=∠6∠4=∠8, ∠3=∠7
性質 ②兩直線平行 內錯角相等； 判定 ∠2=∠8, ∠3=∠5
性質 ③兩直線平行 同旁內角互補； 判定 ∠2+∠5=180°∠3+∠8=180°
兩條直線平行判定 ①平行線的定義(不常用)；
②平行公理的推論；
③同位角相等， 兩直線平行；
④內錯角相等， 兩直線平行；
⑤同旁內角互補， 兩直線平行；
⑥在同一個平面內垂直于同一條直線的兩直線平行, 如圖AB⊥BF, CD⊥BF, 則 AB//CD;
平行線之間的距離 定義 兩條平行線中， 一條直線上任意一點到另一條直線的距離；
性質 ①平行直線間的距離處處相等, 如圖: AB=CD=EF;
②夾在兩條平行線間的平行線段處處相等, 如圖: BC//DE, 則 BC=DE。

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