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三角形常考模型專題歸納匯總
1、8字模型
類型 圖示 模型分析 結論
角的8字模型 如圖所示: AC、BD相交于O, 連接AD、BC。 ∠A+∠D=∠B+∠C
∵ ∠A+∠D+∠AOD=180° ∠B+∠C+∠BOC=180° 又∵∠AOD=∠BOC ∴ ∠A+∠D=∠B+∠C
①因為這個圖形像數字8， 所以我們把這個模型稱為8字模型；
②8字模型往往在幾何綜合題目中推導角度時用到。
邊的 8字 模型 如圖所示: AC、BD 相交于O, 連接AD、BC。 AC+BD>AD+BC
∵ OA+OD>AD ① OB+OC>BC ② 由①+②得 OA+OD+OB+OC>AD+BC 即 AC+BD >AD+BC
拓展模型 已知: EC與BD相交于點O, 點 A在OE上,連接AB、CD、BE; ∠OAB+∠OBA =∠C+∠D =∠E+∠OBE
已知: AC、AD與 BE 分別相交于點 G、F, 連接BC、DE; ∠B+∠C+∠D+∠E=180°+∠A
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2、燕尾模型
類型 圖示 模型分析 結論
角的燕尾模型 已知四邊形ABDC (凹四邊形) ∠D=∠A+∠B+∠C 簡記： 凹角等于凸角之和；
證法1: 如圖, 做射線AD ∵ ∠3 是ΔABD的外角 ∴ ∠3=∠B+∠1 ∵ ∠4是ΔACD 的外角 ∴∠4=∠C+∠2 ∴∠BDC=∠3+∠4 =∠B+∠1+∠C+∠2 ∴ ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
證法2: 如圖, 連接 BC ∵ ∠2+∠4+∠BDC=180° ∴ ∠BDC=180°-(∠2+∠4) ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180° ∴ ∠A+∠1+∠3=180°-(∠2+∠4) ∠BDC=∠A+∠1+∠3
邊的燕尾模型 如圖: 延長BD 交AC 于點E ∵ AB+AC=AB+AE+EC AB+AE>BE ∴ AB+AC>BE+EC ① ∵ BE+EC=BD+DE+EC DE+EC>CD ∴ BE+EC>BD+CD ② 由①②可得 AB+AC>BD+CD AB+AC>BD+CD
類型 圖示 模型分析 結論
燕尾模型 重點： 同底邊時， 三角形面積之比等于高之比， 能想到做高輔助線； 已知: ΔABC中, 點 D、E、F分別在BC、AC、AB上,AD、BE、CF相交于同一點O; ①S△AOB: S△AOC=BD: CD ②S△AOB: S△COB=AE:CE ③S△AOC: S△BOC=AF:BF
證明： 過B點作 BG⊥AD于點G, 過C 點作 CH⊥AD 于點H, ∵ S△AOB: S△AOC=(AO·BG):(AO·CH)=BG: CH (同底邊時， 三角形面積之比等于高之比) 易證ΔBGD~ΔCHD . BG _BD/CD ∴ ①S△AOB: S△AOC=BD: CD 同理可證: ②S△AOB: S△COB=AE: CE ③S△AOC: S△BOC=AF:BF
3、風箏模型
類型 圖示 模型分析 結論
風箏模型 已知: ∠DAE, 點B、C分別為 AD、AE上一點,點F為∠DAE內部一點,連接BF、CF; ∠DBF+∠ECF=∠A+∠F (應用三角形外角和定理)
已知: 四邊形 ABCD中, 連接AC、BD交于點O, 記: ΔAOD 的面積為 S , ΔAOB的面積為 S , ΔBOC 的面積為 S , ΔCOD的面積為 S ; ①S :S =S :S ②S ·S =S ·S ③AO:CO =S :S =S :S =(S +S ):(S : S ) (比例的等比性質) 重點： 高相同時， 三角形面積之比等于邊之比。
4、角平分線四大模型
類型 模型 圖示 模型分析
角平分線上的點向兩邊作垂線 如圖, P是∠MON 的角平 分線上一點， 過點P作 PA⊥OM 于點A, PB⊥ON于點 B; 利用角平分線的性質： 角平分線上的點到角兩邊的距離相等。 構造模型為 邊相等、角相等、三角形全等創造更多的條件。
結論: PA=PB, RtΔAOP≌RtΔBOP
截取構造軸對稱全等 如圖, P是∠MON的平分線上一點，點A是射線OM上任意一點， 在ON 上截取OB=OA, 連接PB。 利用角平分線圖形的對稱性， 在角的兩邊構造對稱全等三角形，可以得到對應邊、對應角相等、利用對稱性把一些線段或角進行轉移，這是經常使用的一種解題技巧。
結論: ΔOPA≌ΔOPB
角分線+ 垂線段構造 等腰三角形 如圖, P是∠MON 的平分線上一點, AP⊥OP于P點,延長AP交ON于點B。 構造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”， 也可以得到兩個全等的直角三角形， 進而得到對應邊、對應角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯系在一起。
結論: OP為ΔAOB的高線、中線, ΔAOB是等腰三角形, RtΔAOP≌RtΔBOP
角平分線+平行線構造等腰三角形 如圖, P是∠MON的平分線上一點， 過P點作PQ//ON,交OM 于點 Q,同樣做 PR//OM。 有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線， 構造等腰三角形， 為證明結論提供更多的條件， 體現了角平分線與等腰三角形之間的密切關系。
結論: ΔOQP、ΔORP是等腰三角形, 四邊形OQPR 是平行四邊形
知二推三: ①點P為∠MON 平分線上一點(角平分線) ; ②PQ∥ON (平行) ;③ΔQOP為等腰三角形， 知道其中任意兩個條件， 均可推出第三條結論。
角平分線定理 (擴展，重點掌握做題思路和方法)
內角 平分 線 定理 定理1： 三角形內角平分線分對邊成兩線段， 兩線段之比等于相應鄰邊的比。
如圖,AD 是ΔABC的∠A 的平分線,則AB C=BDCD
證法1： 利用平行線分線段成比例性質； 過C作CE∥AD交BA的延長線于點E; ∵ CE∥DA ∴ ∠2=∠4, ∠1=3 ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠3=∠4 ∴ AC=AE ∵ CE∥DA ∴AB=BD, AB=BD/AC=CD
證法2： 利用平行線分線段成比例性質及相似三角形性質； 過D作DE∥AC交AB于點E; ∵ DE∥AC ∴ ∠2=∠3 ∵ ∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴ AE=DE ∵ DE∥AC ∴BEBD,BE=BD, 易證: ΔBED~ΔBAC ∴BE=AB. AB= BD=DE
證法3： 利用相似三角形性質； 過C作CE∥AB交AD的延長線于點E; ∵ CE∥AB ∴ ∠1=∠3 ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠2=∠3 ∴ AC=CE 易證: △ABD~ΔECD ∴AB/∠CB, AB/AC=BD/AC=BDD
說明： 定理1 的逆定理也成立， 即已知AB=BD/CD,可推出AD為∠A的平分線。
內角 平分 線 定理 證法4：利用面積法； 過D點作 DE⊥AB于E, 作DF⊥AC于F; ∵ S△ABC=4BC/E=ABCDE=DF,等高時面積比等于邊之比) SAACD =SACD=BD(等高時面積比等于邊之比) ∴ AB=BDD
外角 平分 線 定理 定理2： 若三角形兩邊不相等， 則其相應外角的平分線分對邊的兩線段與相應鄰邊成比例。
△ABC中, AB≠AC, AD 是外角∠CAE的平分線, 則AB=BDD
說明: AB=AC時, AD//BC, AD和BC不能相交。
證法1： 利用平行線分線段成比例性質； 過C作CF∥AD交AB于點F; ∵ CF∥AD ∴ ∠1=∠3, ∠2=∠4 ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠3=∠4 ∴ AC=AF ∵ CF∥AD ∴AB=BD, AB=BD,AB=BD,
證法2： 利用面積法； 在 BA延長線上任取一點E, 過D點作 DF⊥BE于點 F,過D點作 DG⊥AC于點G; ∵①S△ABD=△ECDF=DG,等高時面積比等于邊之比)② △ABD=ABAB等高時面積比等于邊之比) ∴ ①×② 得 六心一一|→45-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-
說明： 定理2的逆定理也成立， 即已知AB=BD/AC=CD可推出AD為∠A 的外角平分線。
5、雙角平分線模型
類型 模型分析/結論 圖示
角平分線 雙 內角 平分 線型 已知: 在ΔABC中, BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的平分線;
結論： ∠A
證明: ∠D=∠1+∠2=(∠3+∠4)+(∠5+∠6)=∠A
一內角 一外角 平分 線型 已知: 在ΔABC中, BD、CD 分別是∠ABC、∠ACE 的平分線;
結論：∠D=∠A
∠ACE =∠D+ ∠A+∠ABO ∠D=∠A
雙外角 平分 線型 已知: 在ΔABC中, BD、CD 分別是∠EBC、∠FCB 的平分線;
結論： ∠A
證明： =180°- ∠A
三等分角線 雙內角三等分型 已知: 在ΔABC中,∠DBC=∠ABC, ∠DCB=∠ACB;
結論：∠D=120°+∠A
一內角一外角三等分型 已知: 在ΔABC中,∠DBC=∠ABC, ∠DCE=∠ACE;
結論：∠D=∠A
雙外角三等分型 已知: 在ΔABC 中,∠DBC=∠EBC, ∠DCB=∠FCB;
結論：∠D=120°-∠A
說明 ①通過三角形的內角和， 內外角關系及角平分線的性質， 建立兩角之間的數量關系， 易證相應結論。
②將角平分線改成三等分角線， 同樣根據三角形的內角和及角度的倍數關系易證相應結論。
6、中點四大模型
類型 圖示 輔助線做法 結論
倍長中線 直接倍長中線 已知: 在△ABC中, AD是BC邊的中線。 ①△ACD≌ΔEBD;②ΔABD≌ΔECD;③BE∥AC, CE∥AB;④四邊形 ABEC是平行四邊形；
①作法一: 延長到AD到E,使 DE = AD, 連接BE、CE。
②作法二: 過點 B作 BE∥AC交AD延長線于點E, 連接CE。
間接倍長中線 已知: 在ΔABC中, AD是BC邊的中線，點M是AB邊上一點。 ①BDM≌ΔCDN;②CN∥AB, BN∥CM;③四邊形BMCN 是平行四邊形；
①作法一: 延長到MD到N,使 ND=MD, 連接CN。
②作法二: 過點C作CN∥AB交MD延長線于點N。
說明 ①通過倍長中線法構造中心對稱型全等三角形， 目的是將已知線段轉移(轉化思想) ；
②通過倍長中線或過相應角頂點做對應邊平行線， 均可以構造中心對稱型全等三角形。
等腰 三角形 三線合一 等腰三角形中有底邊中點時， 常作底邊的中線， 利用等腰三角形“三線合一”性質得到角相等或邊相等， 為解題創造更多的條件，當看見等腰三角形的時候， 就應想到“邊等，角等， 三線合一”。 ①BD=CD; ②AD⊥BC; ③∠BAD=∠CAD;
中位線 在三角形中， 如果有中點， 可構造三角形的中位線， 利用三角形中位線的性質、定理來解題， 中位線定理中既有線段之同的位置關系又有數量關系， 該模型可以解決角相等、線段之間的倍半、相等及平行問題。 ①DE∥BC ②DE=BC ③四邊形ADCF、 DBCF是平行四邊形；
證明: 延長DE至 F, 使 EF=DE, 連接CF易證ΔADE≌ΔCFE , CF=AD=BD, ∠A=∠ECF∴ CF∥BD, CF=BD ∴ 四邊形 BCFD是平行四邊形∴①DE∥BC ②DE=BC
角 三角形 斜邊中線 在直角三角形中， 當遇見斜邊中點時， 經常會作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊中線性質，來證明線段間的數量關系， 而且可以得到兩個等腰三角形： ΔACD 和ΔBCD, 該模型經常會與中位線定理一起綜合應用。 CD=AD=BD=AB
同一邊 垂直+中點 構造等腰三角形 當三角形一邊垂線過這邊中點時， 連接 BE， 利用垂直平分線的性質得到: BE=CE, 從而用來證明線段之間的數量關系。 BE=CE
總結：中點問題常用性質及常見輔助線作法
①中線或與中點有關線段 聯想 倍長線段構造全等
②等腰+底邊中點 聯想 等腰三角形三線合一
③多個中點或平行+中點 聯想 構造中位線
④直角+斜邊中點 聯想 直角三角形斜邊上的中線
⑤同一邊遇垂直+中點 聯想 垂直平分線性質
⑥證明線段之間1/2 關系的幾個途徑 1) 三角形中位線等于對應邊的一半；
2) 直角三角形中， 斜邊中線等于斜邊一半；
3) 直角三角形中，30°角所對直角邊等于斜邊的一半。
7、截長補短
類型 圖示 模型分析 結論
模型分析 如圖, 在ΔABC, 要證AB+BD=AC。
①當題目中出現線段的和差倍分關系時， 考慮用截長補短法。截長法不行則用補短法；
②該類目中常出現等腰三角形、角平分線等關鍵詞句， 可以采用截長補短法構造全等三角形來完成證明過程。
截長法 在AC 上截取AE=AB, 連接 DE,證明CE=BD 即可。 截長： 指在長線段中截一線段等于已知線段；
補短法 延長AB至點F, 使 AF=AC,連接DF, 證明BF=BD即可。 補短： 指將一條短線段延長，延長部分等于已知線段；
構造倍線段 如圖, 在 RtABC, ∠BAC=90°,∠B=45°, AD⊥BC。 BC=AB=AC; AB=AC =AD=BD=CD;
看到線段間含或倍關系時，要考慮到運用等腰直角三角形性質構造輔助線和求解。
構造倍線段 如圖, 在RtΔABC, ∠C=90°,∠A=30°。 AC=BC=VAB;BC=AC=AB;
當線段間含/ ,/ 或等)倍關系時，要考慮到運用含30°直角三角形性質進行求解。
說明 ①先截長補短， 再證30°或者45°直角三角形， 得到相應倍數關系；
②或先構造30°或者45°直角三角形， 再證明線段和差倍分關系。(根據題目， 靈活運用)
專題四：全等三角形
1、常見全等模型
平移模型 模型分析 模型特征： 有一組邊共線或部分重合， 另兩組邊分別平行， 常要在移動方向上加 (減)公共線段， 構造線段相等， 或利用平行線性質找到對應角相等。
圖示
對稱模型 模型分析 模型特征：所給圖形可沿某一直線折疊， 直線兩旁的部分能完全重合， 重合的點就是全等三角形的對應頂點， 解題時要注意其隱含條件， 即公共邊或公共角相等。
圖示 共邊
共頂點
旋轉模型 模型分析 此模型可在看成是將三角形繞著公共頂點旋轉一定角度所構成的， 旋轉后的圖形與原圖圖形之間存在兩種情況：
1) 無重疊： 兩個三角形有公共頂點，無重疊部分。一般有一對相等的角隱含在平行線、對頂角中。
圖示
旋轉模型 模型分析 2) 有重疊： 兩個三角形含有一部分公共角(α)， 運用角的和差可得到的等角。
圖示
半角模型 模型分析 當一個角包含著這個角的半角，常將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并形成新的三角形， 從而進行等量代換， 然后證明與半角形成的三角形全等。
等腰直角三角形含半角 如圖, 在 RtΔABC中, ∠BAC=90°, ∠DAE=45°, 繞點A逆時針旋轉ΔABD 到ΔACF,使AB與AC 重合。
等腰直角三角形含半角 ①ΔAED≌ΔAEF ②EF=DE ③CF=BD ④FC⊥BC
正方形含半角 如圖, 在正方形ABCD 中, ∠EAF=45°, 繞點A 順時針旋轉ΔADF到ΔABG, 使AD與AB 重合。
①ΔAEF≌ΔAEG②EF=EG=BE+DF
等邊 三角形 含半角 如圖, ΔABC 是等邊三角形, ΔBDC是等腰三角形, 且∠BDC=120°, 以D為頂點作角∠EDF=60°,兩邊分別交AB于點E, 交 AC 于點F, 連接EF, 繞點 D順時針旋轉ΔDBE到ΔDCG, 使DB與DC 重合。
等邊三角形含半角(∠BDC=120°) ①ΔDEF≌ΔDGF②EF=FG=BE+CF
角平分線模型 模型分析 遇到角平分線時，常常含有公共邊， 利用角的對稱性， 在角平分線的兩邊構造對稱全等三角形。 (詳見角平分線模型)
圖示 ①作兩邊垂線 ②作角平分線垂線 ③邊截取等線段
④作一邊平行線
2、一線三等角模型
類型 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形
等角 在 同側 圖示
模型分析 條件 模型分析 結論
三個等角在直線的同側， 即點P 在線段AB 上。 ∠A=∠CPD =∠B PC=PD ∵∠A = ∠CPD = ∠B ∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4 ∴∠1=∠3, ∠2=∠4 ∵PC=PD ∴△ACP≌ΔBPD ΔACP≌ΔBPD
等角 在 異側 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形
圖示
模型分析 條件 模型分析 結論
三個等角在直線的兩側，點P在線段AB 延長線上，∠EAC=∠CPD=∠ABDPC=PD ∵ ∠EAC=∠CPD=∠ABD ∴∠1+∠2=∠1+∠4=∠3+∠4 ∴ ∠1=∠3, ∠2=∠4 ∴ △ACP ≌△BPD ΔACP≌ΔBPD
類型 圖示 模型分析 結論
等角 對 等邊 模型分析 如果∠1 和∠3 對應的邊相等，即CE=DE時, △AEC≌△BDE ΔAEC≌ΔBDE
構造一線三等角 模型分析 ①圖形中存在“一線二等角”， 補“一等角”構造模型； ②圖形中直線上只有一個角， 補“二等角”構造模型，如圖；③在定邊對定角問題中，構造一線三等角是基本手段，尤其是直角坐標系中的張角問題，在x軸或y軸(也可以是平行于x軸或y軸的直線)上構造一線三等角是解決問題非常重要的手段。 說明： 在直角坐標系中， 構造一線三垂直是極其重要的一種解題思路和方法。
3、半角模型
1)模型分析
條件 模型圖示 模型分析
模型分析 ①∠2=∠AOB; ②OA=OB; ③連接BF, 將ΔFOB繞點O 旋轉至ΔF'OA 的位置;④連接EF、EF'。 ∵ΔOBF≌ΔOAF' ∴∠3=∠4, OF=OF' ∵∠2=∠AOB ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 ∴∠EOF'=∠2 又∵OE為公共邊 ∴ΔOEF≌ΔOEF'
結論: ΔOEF≌ΔOEF'
說明 ①半角模型的命名： 存在兩個角是一半關系， 并且頂角共頂點；
②通過先旋轉全等再軸對稱全等(角平分線)， 利用全等得邊角關系， 一般結論是證線段和差關系；
③常見半角模型是含90°含45°、120°含60°。
2)常見半角模型
類型 圖示 條件 結論
等腰 三角形 含半角 如圖, ∠BAC=2α,∠DAE=∠BAC=α,AB=AC, △ABD繞點A逆時針旋轉2α到ΔACF, 使AB與AC 重合。 ①ΔABD≌ΔACF②ΔADE≌ΔAFE③∠ECF=180°-2α
等腰直角 三角形 含半角 如圖, 在Rt△ABC中, ∠BAC=90°,∠DAE=45°,△ABD繞點A逆時針旋轉90°到ΔACF, 使AB與AC 重合。 ①ΔAEF≌ΔAED ②EF=DE ③CF=BD ④FC⊥BC
等邊 三角形 含半角 如圖, △ABC是等邊三角形, △BDC是等腰三角形, 且∠BDC=120°, 以D為頂點作∠EDF=60°, 兩邊分別交AB于點E, 交AC 于點F, 連接EF, △BDE繞點 D順時針旋轉120°到ΔCDG,使DB與DC重合。 ①ΔDEF≌ΔDGF②EF=FG=BE+CF
類型 圖示 條件 結論
正方形含半角 如圖, 在正方形ABCD中, ∠EAF=45°, △ADF繞點 A順時針 旋轉90°到ΔABG, 使AD與AB重合。 ①ΔAEF≌ΔAEG②EF=EG=BE+DF③ΔAMF為等腰RtΔ④MN =BM +DN
證明③ ∵ ∠MAF=∠MDF=45° ∴ MADF 四點共圓(共弦共角) ∴ ∠MFA=∠MDA=45° , ΔAMF為等腰直角三角形 證明④ 將ΔABM逆時針旋轉90°到ΔADM', 則DM'=BM, ∠ADM'=∠ABM =45° 易證ΔAM'N≌ΔAMN, ∴ M'N=MN, 在 RtΔM'DN 中, M'N =DM' +DN ∴ MN =BM +DN
類型 圖示 條件 結論
菱形 含半角 如圖,在菱形ABCD中, ∠BAD=120°,∠EAF=60°, △ABE繞點 A 逆時針旋轉120°到ΔADG, 使AB與AD 重合。 ①ΔABE≌ΔADG ②ΔAEF≌ΔAGF ③ΔAEF為等邊三角形 ④ΔAGF為等邊三角形 ⑤AEFG 為菱形
證明結論： ①ΔABE≌ΔADG ②ΔAEF≌ΔAGF 參考上面證明易證 證明③ 連接AC ∠ADF=∠ACE=60° AC=AD ΔACE≌ΔADF (ASA) ∠DAF=∠EAC AE = AF ∴ ③ΔAEF為等邊三角形 ④△AGF為等邊三角形 ⑤四邊形AEFG 為菱形
含 45° 角 矩形 半角 模型 例 如圖, 在矩形ABCD中, AD=9, AB=6,E、F分別為邊BC、CD上的點,若∠EAF=45°,AE=3,求DF的長度。
方法 解法 圖示
構造 正方 形 半角 模型 (推薦) 延長AB至點G, 使得AG=AD, 延長DC 至點M, 使得DM=AD, 連接GM, 與 AE 的延長線交于點 H, 把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到ΔAGN; 易證△ANH≌△AFH(SAS) ∴ NH=FH ∵ AB=6, AE=3 ∴ BE=3 ∴ tan∠BAE== ∴ GH=9/2, HM=9-9/2=9/2 設DF=x, 則NH=FH=x+9/2, MF=9-x
勾股定理 面積法
在RtΔFMH中,FH =HM +FM ∴(x+)°=( 解得 x=3 , ∴ DF=3 ∵ S 正AGMD==2S△ANH+S△HMF∴9 =(x)×9+(9-x)解得 x=3 , ∴ DF=3
構造 相似 三角 形 (推薦) 在AB 上截取BG=BE, 連接EG, 在AD上截取DH=DF, 連接FH ∵ AB=6, AE=3 ∴ BE=3 ∴ BG=3, EG=3 ∴ AG=3 設DF=x, 則|DH=x, HF=x, AH=9-x易證ΔAGE~ΔFHA ∴ AG = GE AH∴ __x=____ x= 解得: x=3, ∴ DF=3
合 45°角 矩形 半角 模型 構造相似三角形
延長AD 至 G, 使∠DGF=∠BAE,在AD上截取DH=DF, 連接FH∵ AB=6, AE=3 ∴ BE=3 ∴tan∠DGF= br/DG=tan∠BAE= / / 設DF=x, 則IDG=2x, GF= DH=x, HF=x, AH=9-x 易證ΔGFA~ΔFHA . GF /HF/SF/V .=R /S . 解得: x=27(舍), x=3, ∴ DF=3
構造∠AEF=90° 在CD 上截取CG=BE, 連接 EG ∵ AB=6, AE=3 ∴ BE=3, CG=3 ∵ AD=9 ∴ CE=6 ∴ △ABE≌ΔECG(SAS) ∴ AE=EG=3, ∠AEG=90° ∴ ∠EAG=45° ∵ ∠EAF=45° ∴ 點 F和點 G 是重合的點 ∴ DF=3 9
一線三垂直 作EG⊥AF于點G, 過點G作 MN⊥AD交AD于M, 交BC于N ∵ AB=6, AE=3∴ BE=3 ∵ ∠EAG=45°, EG⊥AF ∴ △AGE是等腰直角三角形, AG=GE易證ΔAMG≌ΔGNE(AAS) ∴ MG=NE, AM=GN 設EN=x, 則 AM=3+x ∴ MN=x+3+x=3+2x=6 ∴ x=3/2 ∵tan∠MAG=°M/3// =,∴AD= ∵ AD=9 ∴ DF=3
4、手拉手模型/反向手拉手模型
(1)手拉手模型：大三角形類似大手，小三角形類似小手，頂角相等且共頂點，稱為手拉手模型，如下圖,連接AC、BD,稱為拉手線,左手拉左手 (AC),右手拉右手 (BD)。
類型 圖示 條件 結論
一般 三角形 CD∥AB 將ΔOCD繞點O 旋轉 ΔOAC∽ΔOBD
直角 三角形 CD∥AB 將ΔOCD繞點 O 旋轉 ①ΔOAC∽ΔOBD ②AC⊥BD ③AD +BC =AB +CD ④S四邊形ABCD=AC×BD
等腰 三角形 CD∥AB 將ΔOCD繞點O 旋轉 ①ΔOAC≌ΔOBD②∠AEB = ∠AOB③OE 平分∠AED
等邊 三角形 CD∥AB 將ΔOCD 繞點O旋轉 ①ΔOAC≌ΔOBD ②∠AEB = 60° ③OE 平分∠AED(=120°)
等腰 直角 三角形 CD∥AB 將ΔOCD繞點O 旋轉 ①ΔOAC≌ΔOBD ②∠AEB = 90° ③OE 平分∠AED(=90°)
正方形 已知正方形ABCD、AEFG, 正方形AEFG 繞A 點旋轉,連接BE、DG;
①ΔABE≌ΔADG ②BE = DG ③BE⊥DG
矩形 已知矩形ABCD∽矩形 AEFG, 矩形AEFG 繞A點旋轉, 連接BE、DG;
①ΔABE∽△ADG②AB/AD=AEF=BE|③BE⊥DG
類型 兩等邊三角形(一邊共線)
條件 如圖, B、C、D 三點共線, △ABC 和ΔCDE都是等邊三角形， 連接BE、AD。
結論 ①ΔBCE≌ΔACD; ②BE=AD; ③∠AFB=60°,∠DFE=60°; ④ΔBCM≌ΔACN; ⑤ΔCEM≌ΔCDN; ⑥ΔCMN是等邊三角形; ⑦MN∥BD; ⑧CF 平分∠BFD; ⑨BF=AF+CF, DF=EF+CF; ⑩△AFM~ΔBCM, ΔEFN~ΔDCN; A、B、C、F四點共圓; C、D、E、F四點共圓;
明 BC=AC ∠BCE=∠ACD ①ΔBCE≌ΔACD(SAS) 5 - ②BE=AD CE=CD 由①ΔBCE≌ΔACD >∠1=∠2 , ∠3=∠4 ③∠AFB=∠ACB=60° 同理可推 ③∠DFE=∠DCE=60°, 或者∠DFE=∠AFB=60° ∠1=∠2 ⑩△AFM~△BCM, 同理可證 ΔEFN~ ΔDCN ∠3=∠4 ∠1=∠2 BC=AC ④ΔBCM≌ΔACN(AAS) ∠BCM=∠ACN=60° 同理可證 ⑤ΔCEM≌ΔCDN 由④ΔBCM≌ΔACN CM=CN, ∠MCN=60° ⑥ΔCMN是等邊三角形 ∠NMC=∠MCB=60° = ⑦MN∥BD 由③∠AFB=∠ACB=60° → A、B、C、F四點共圓(共弦共角) ∨∠BFC=∠BAC=60° ∠DFE=∠DCE=60°═ C、D、E、F 四點共圓(共弦共角)═ ∠CFD=∠CED=60°. ∠BFC=∠CFD ⑧CF 平分∠BFD 在 BF上截取BH=AF, 連接CH; (截長補短) BH=AF ∠1=∠2 ΔBCH≌ΔACF(SAS) ∠BHC=∠AFC=120° ∠FHC=60° BC=AC ΔFHC 是等邊三角形 HF=CF ⑨BF=BH+HF=AF+CF 同理可證 ⑨DF=EF+CF
(2)反向手拉手模型
圖示 條件 結論
反向 手 拉手 模型 已知: 在等腰ΔABC和等腰ΔADE中,AB=AC, AD=AE, ∠BAC=∠DAE,連接 BE、CD, 左手拉右手(BE), 右手拉左手(CD)， 稱為“反向手拉手”全等模型。 ΔAB'E≌ΔACD
模型分析： 將“反向手拉手”全等轉化為“正向手拉手”全等， 方法如下： 作出ΔABC關于AC的軸對稱圖形ΔAB'C, 連B'E;
證明： ∵ ∠EAD=∠B'AC ∴ ∠EAB'=∠DAC AE=AD ∠EAB'=∠DAC ΔAB'E≌ΔACD (SAS) AB'=AC
說明 反向手拉手模型難點：在于如何轉化為正向手拉手模型，轉化方法為以三角形的一邊為對稱軸作對稱圖形。

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