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三角形知識點歸納
1、三角形的一般性質
(1)三角形定義及分類
三角形 由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，用“Δ”表示,如:ΔABC;
邊 組成三角形的線段叫做三角形的邊， 如圖： 線段AB、AC、BC；
頂點 相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點， 如圖： 頂點 A、頂點B、頂點C；
角 相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角，∠A、∠B、∠C。
分類 三條邊都不相等的三角形 按邊分 等腰三角形 底邊和腰不相等的 等腰三角形 等邊三角形
銳角三角形： 三個內角都是銳角 按角分 直角三角形： 有一個內角為 90° 鈍角三角形： 有一個內角是鈍角
圖示
銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 等腰三角形 等邊三角形
(2)三角形的邊、角關系
三邊關系 定理 三角形任意兩邊之和大于第三邊; 如圖: a+b>c, a+c>b, b+c>a;
推論 三角形任意兩邊之差小于第三邊; 如圖: a-b依據 兩點之間線段是短；
應用 ①判斷三條已知線段能否構成三角形；
②當已知兩條邊時，可確定第三條邊的范圍；
③證明線段不等關系；
說明 ①三角形三邊關系是判斷三條線段能否組成三角形的依據， 應用時要注意“任意”二字；
②在判斷三條線段能否組成一個三角形時， 并不一定都要列出三個不等式， 只要兩條較短的線段的長度之和大于第三條線段的長度，即可判定這三條線段能構成一個三角形。
邊角關系 一個三角形中， 等邊對等角， 等角對等邊， 大邊對大角， 大角對大邊；ΔABC中, 若AB=AC, 則∠B=∠C, 反之, 若∠B=∠C, 則AB=AC;若AB>BC, 則∠C>∠A, 反之, 若∠C>∠A, 則AB>BC;
內角和定理 定理 三角形的3個內角和等于180°, 如圖: ∠A+∠B+∠C=180°;
推論 ①任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和；
②任意一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；
③直角三角形兩個銳角互余；
說明 ①三角形的3個內角和等于180°， 與三角形的大小和形狀沒有關系；
②由三角形內角和定理可得直角三角形的兩個銳角互余；反之， 有兩個角互余的三角形是直角三角形。
證明 證法①: 延長BC到點 D, 作點C作CE//AB ∵ CE// AB ∴ ∠1=∠4 (兩直線平行, 內錯角相等) ∠2=∠5 (兩直線平行, 同位角相等) ∵ ∠3+∠4+∠5 = 180° (平角的定義) ∴ ∠1+∠2+∠3 = 180° (等量代換) 即: ∠A+∠B+∠ACB = 180°
證法②: 過點A作EF//BC ∵ EF//BC ∴ ∠EAB=∠B (兩直線平行, 內錯角相等) ∠FAC=∠C (兩直線平行, 內錯角相等) ∵ ∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°(平角定義) ∴ ∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換)
證法③: 過BC上任一點 F, 作DF//AC , 交AB于D,作 EF//AB, 交AC于E; ∵ EF//AB ∴ ∠EFC=∠B (兩直線平行, 同位角相等) ∵ DF//AC ∴ ∠BFD=∠C (兩直線平行, 同位角相等) ∵ 四邊形 ADFE是平行四邊形 ∴∠DFE=∠A(平行四邊形性質) ∵ ∠BFD+∠DFE+∠EFC=180°(平角定義) ∴ ∠C+∠A+∠B=180°(等量代換)
三角形外角 定義 三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角，如圖: ∠ABD 是ΔABC 的一個外角;
性質 性質 1： 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；如圖: 因為∠1 是ΔABC的外角; 所以 ∠1=∠ABC+∠C;
性質 2： 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角；如圖: 因為∠2 是ΔABC的外角; 所以 ∠2>∠BAC, ∠2>∠C;
說明 ①一個三角形有6個外角；
②要證明角的不等關系， 常常要用到三角形外角的性質2。
外角和定理 三角形的外角和是360°； 如圖: ∠1+∠3+∠5=360°, ∠2+∠4+∠6=360°;
穩定性 如果三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了， 三角形的這個特征， 叫做三角形的穩定性；
說明 ①判斷圖形是否具有穩定性， 關鍵在于它的結構是不是三角形結構；
②除三角形外， 其他圖形都不具備穩定性， 因此在生產建設中，三角形的應用非常廣泛， 如圖： 屋頂架。
(3)三角形中的重要線段 (五線：中線、高線、角平分線、垂直平分線、中位線)
五線 定義 與 性質 圖示
中線 連接一個頂點與它對邊中點的線段， 如AD為BC 邊中線，BD=DC=BC;
中線將三角形分成面積相等的兩個三角形；SAABD=S△ADc=SAABC;
高線 從三角形一個頂點到它對邊所在直線的垂線段， 叫三角形的高， 如線段AD；
性質: AD⊥BC, ∠ADB = ∠ADC = 90°;
應用： 由高線可得90°角， 常與三角形面積有關；
圖示 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形
位置 三條高都在三角形內部 有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部 有兩條高在三角形外部，另一條高在三角形內部
交點 三條高交于三角形內部一點 三條高交于三角形的直角頂點 三條高沒有交點， 但三條高所在的直線交于三角形外一點
說明 ①三角形邊上的高是線段， 而該邊的垂線是直線；
②三角形的三條高(或其延長線)交于一點， 交點叫做三角形的垂心；
③畫鈍角三角形兩較短邊上的高時，要先延長邊， 再畫垂線段。
角平分線 一個內角的平分線與這個角的對邊相交， 頂點與交點之間的線段，如圖：線段AD為∠A 的角平分線；.∠BAD=∠CAD=∠BAC;
性質定理 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；
也就是說，一個點只要在角的平分線上， 那么這個點到該角的兩邊的距離就相等。如圖：DE=DF。
判定定理 角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上； 也就是說， 一個點只要到角的兩邊的距離相等， 那么這個點一定在這個角的平分線上； 如圖: DE⊥AB, DF⊥AC, 若DE=DF, 則線段AD為∠A 的平分線;
說明： 此結論是角平分線的判定， 它與角平分線的性質是互逆的；
說明 ①性質中的“距離”是指“點到角兩邊所在直線的距離”，因此在應用時必須含有“垂直”條件， 否則不能得到線段相等；
②三角形的角平分線是一條線段， 而角的平分線是一條射線；
③三角形的角平分線的畫法與角的平分線的畫法相同；
④三角形的三條角平分線都在三角形的內部， 且交于一點， 交點叫做三角形的內心。
垂直 平分線 過任一邊的中點作垂直平分線， 如圖： DE為BC 的垂直平分線， 則：BD=DC, BE=EC, DE⊥BC;
三角形三條邊的垂直平分線相交于一點， 該點叫三角形的外心， 并且這一點到三個頂點的距離相等；
三線共點 如何證明“三線共點”
即證明三條直線相交于一點，如： 外心、內心、垂心； 其中兩條直線必交于一點，只要證明第三條直線經過這個交點， 或這個點在第三條直線上即可。
中位線 定義： 連接三角形兩邊中點的線段， 如圖DE；
①中位線定理： 三角形中位線平行第三邊， 且等于第三邊一半； 如圖：DE//BC(位置關系), 且DE=BC(數量關系), ΔADE∽△ABC(相似)
②已知三角形一邊中點時， 可過中點作另一邊的平行線構造中位線；
③三角形中位線將三角形分成面積比為1：3 的兩部分， 如圖SAADE=SEBDEC=SAABC;
常用結論 ①三條中位線組成一個新的三角形， 其周長為原三角形周長的一半，CADEF=CAABc;
②三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形；如圖: ΔADE≌ΔBDF≌ΔFEC≌ΔFED;
③三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形；如圖: S ADFE= S BDEF =S CEDF(用結論②即可證明);
④三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分， 如圖： AF和DE 互相平分 ( ADFE) ；
⑤三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。 如圖: ∠DFE=∠A, ∠DEF=∠B, ∠EDF=∠C (利用平行四邊形的性質即可證) 。
(4)線段垂直平分線和角平分線的區別和聯系
線段垂直平分線 角平分線
區別 定義 垂直于一條線段， 并且平分這條線段的直線； 從一個角的頂點引出的一條分原角為兩個相等角的射線；
性質定理 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等； 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；
判定定理 到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上； 在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；
位置 銳角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形內部；直角三角形三邊垂直平分線的交點恰是斜邊中點；鈍角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形外部，交點為三角形的外心； 三條角平分線交于三角形內部一點，交點為三角形的內心；
作用條件 垂直平分線性質可用于證明線段相等，但線段的公共端點必須在垂直平分線上； 角平分線性質可用于證明線段相等，但線段必須含有“垂直”這個條件且公共端點在角平分線上；
聯系 ①兩個性質都可通過三角形全等推出；
②兩個性質都有逆定理存在；
③兩個性質都可證明線段相等， 都與垂直相關；
④等邊三角形的三條角平分線分別與其對邊的垂直平分線共線(重合)， 故內心、外心重合。
(5)三角形面積問題模型
面積公式 s=×邊長×高
說明 ①等底等高的兩個三角形面積相等, 如圖-3: S△ACD=S△BCD(同底等高) ;
②兩個三角形高相等, 面積之比等于底之比, 如圖-1: S : S =a:b;
③兩個三角形底相等, 面積之比等于高之比, 如圖-2: S : S =a:b;
④在一組平行線之間的等積變形， 如圖-3： 如果AB//CD， 則SS△ACD=S△BCD;反之, 如果S△ACD=S△BCD, 則AB//CD。
圖示
圖-1 圖-2 圖-3
2、等腰三角形
定義 兩邊相等的三角形叫等腰三角形， 相等的兩條邊叫做腰， 剩余的一條邊叫做底邊， 兩腰的夾角叫做頂角， 底邊與腰的夾叫做底角； 圖-1
性質 ①兩腰相等, 即AB=AC;
②兩底角相等, 即∠B=∠C (簡稱: 等邊對等角) ;
③三線合一： 頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上高線互相重合；
④它是軸對稱圖形， 有1條對稱軸(直線AD)；
面積 s=a·h,其中a 是底邊長， h是底邊上的高；
判定定理 ①兩邊相等的三角形是等腰三角形； (定義)
②兩角相等的三角形是等腰三角形(簡稱： 等角對等邊)； (判定定理)
性質擴展 ①兩底角的角平分線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等；如圖-2：BE=CF，BJ=CJ；
②兩腰上的中線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等； 如圖-3： BG=CH， BI=CI；
③底邊兩端點到兩腰距離相等， 并且它們的交點與底邊兩端點距離相等； 如圖-4: BM=CN, BK=CK; (注: 擴展性質通過三角形全等易證)
圖示 圖-2 圖-3 圖-4
其它 判定 (需證明) ①有兩個角的平分線相等的三角形是等腰三角形(易證)， 如圖-2；
②兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形； 如圖-3： 已知BG=CH， 則ΔABC 是等腰三角形；證明: 連接HG, 過G做GD//CH交BC延長線于 D; HG為中位線, 所以, HG//BD, 四邊形 CDGH為平行四邊形, 則有∠2=∠3, BG=CH=DG,所以, ΔBGD為等腰三角形, 有∠1=∠3, 于是∠1=∠2, 可證ΔBCH≌ΔCBG(SAS),則∠ABC=∠ACB, 從而得證ΔABC是等腰三角形。
③有兩條高相等的三角形是等腰三角形， 如圖-4： 已知 BM=CN， 則ΔABC 是等腰三角形；證明: RtΔAMB≌RtΔANC(HL) , 可得AB=AC; 或 RtΔBMC≌RtΔCNB(HL) , 可得∠B=∠C, 從而可證ΔABC是等腰三角形;
④三線合一中的任意兩線合一都可以證明是等腰三角形(兩線合一實際上已經就是三線合一)；
注意： 其它判定在小題時可以直接使用結論， 大題中不能直接使用， 使用時需要證明。
說明 ①一般情況下， 在判定等腰三角形時， 欲證邊相等， 先證角相等； 欲證角相等， 先證邊相等；
②等腰三角形是一個軸對稱圖形， 既可作為性質， 又可以作為判定辦法；
③等腰三角形的判定和性質互逆；
④在判定定理的證明中， 如圖-1， 可以作底邊的高線或頂角的角平分線(輔助線AD)， 但不能作底邊的中線(因為SSA無法證明三角形全等，詳見三角形全等)， 然后通過三角形全等證明。
邊角關系 ①頂角=180°- 2 底角, 底角=90°- 頂角；
②0°<頂角<180°(頂角可為直角或鈍角);0°<底角<90°(底角只能為銳角);
③腰長>/底邊長, 0<底邊長<2 腰長;
④一腰上的高與底邊夾角等于頂角的一半；∠BCN=∠CBM=∠A
說明 ①等邊三角形是等腰三角形的特例；
②頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形， 兩底角等于 45°；
③等腰三角形腰上高可以在三角形內部， 也可以在三角形外部(如鈍角三角形)；
④等腰三角形的邊有腰、底邊之分，角有頂角、底角之分， 若題目中的邊沒有明確是底還是腰，角沒有明確是頂角還是底角， 需要分類討論；
分類討論 (1) 已知等腰三角形的兩邊a， b， 求周長c時， 分兩種情況：
①若a為腰, b為底時, 則周長c=2a+b; ②若b為腰, a為底時, 則周長c=2b+a;
(2) 已知等腰三角形的周長c和一邊， 求另一邊時， 分兩種情況：
①若已知邊a為腰: 則底為c-2a; ②若已知邊a為底： 則腰為
注意 ①無論哪種情況， 都要注意三邊長能否構成三角形；
②理論依據是三角形的任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊。
3、等邊三角形
定義 三條邊相等的三角形， 叫等邊三角形， 又稱正三角形；
性質 ①三邊相等, 即 AB=BC=AC;
②三角相等, 都等于60度, 即∠A=∠B=∠C=60°;
③三線合一： 每條邊上高線、中線和對應角平分線互相重合；
④是軸對稱圖形， 有3條對稱軸， 分別為三邊上高線或中線或對應角平分線所在直線；
判定 ①三個邊都相等的三角形(定義) ；
②三個角都相等的三角形(定理) ；
③有一角是60°的等腰三角形(定理) ；
面積公式 s= a h=. a./ a=. a ,a為等邊三角形邊長， h為等邊三角形任意一邊的高。
說明 ①等邊三角形具有等腰三角形的一切性質；
②等邊三角形的內心、外心、重心和垂心重合(等邊三角形三線合一)。
4、直角三角形
定義 有一個角是直角的三角形， 叫直角三角形， 用“RtΔ”表示， 如RtΔACB；
圖示 圖-1
性質 ①兩銳角之和等于90°, 即∠A+∠B=90°(兩銳角互余) ;
②斜邊中線等于斜邊一半， 如圖-2：CE=AB=AE=BE;
③30°角對應直角邊等于斜邊一半， 如圖-3：BC=AB;
④如果一條直角邊等于斜邊的一半， 那么這條直角邊所對的銳角等于30°；
勾股定理 兩直角邊a， b的平方和等于斜邊c的平方， 即a +b =c , a =c -b , b =c -a ;
逆定理 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方， 那么該三角形是直角三角形；即ΔABC的三邊長分別是a、b、c, 若aa +b =c , 則∠ΔABC是直角三角形, ∠C 為直角;
說明 勾股定理的逆定理是判定一個三角形是直角三角形的一種理論依據， 通過數形結合來確定三角形的形狀。運用這一定理時，可用兩短邊邊長的平方和a +b 與長邊邊長的平方 c 進行比較： 若a +b =c ,則此三角形為直角三角形； 若a +b >c ,則此三角形為銳角三角形；若a +b 直角 三角形 判定 ①有一個角為直角的三角形是直角三角形；
②有兩個角互余的三角形是直角三角形；
③如果三角形的三邊長a、b、c， 滿足a +b =c ， 那么三角形是直角三角形；
④一條邊上的中線等于這條邊的一半 的三角形是直角三角形；
注意 ①沒有明確是直角邊還是斜邊時， 做題時需分類討論；
②勾股定理計算線段長度， 列方程時重點找好等量關系。
面積公式 s=ab=\frac{1}{2}ch,a、b為兩條直角邊， c為斜邊， h為斜邊上的高； (面積法)
三邊之比 等腰直角三角形三邊之比： 1： 1： ; 30°直角三角形三邊之比: 1: : 2;
勾股數 能夠構成直角三角形三條邊長的3個正整數， 稱為勾股數；
舉例 常見的勾股數有： 3、4、5 5、12、13 8、15、17 7、24、25 9、40、41
判斷方法 ①確定是3個正整數: a、b、c;
②確定最大數c；
③判斷較小兩數的平方和a +b 是否等于c ；
說明 ①3、4、5是勾股數， 又是3個連續整數， 但并不是所有3個連續整數都是勾股數；
②每組勾股數的相同整數倍也是勾股數；
③對于 n -1、2n、n +1(n為大于1 的正整數)， 任取一個合適的值， 即可得到一組勾股數。
5、三角形的全等
全等圖形 能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形；
性質 形狀相同， 大小相等；
說明 ①“能夠完全重合”是指在一定的疊放條件下， 可以完全重合， 不是胡亂擺放都能重合；
②全等圖形 大小、形狀都相同， 顯然， 全等圖形的周長、面積也一定相等；
③平移、翻折、旋轉前后的圖形都是全等圖形；
④形狀相同的兩個圖形不一定是全等圖形， 面積相等的兩個圖形也不一定是全等圖形。
全等變換 全等變換是指只改變圖形的位置而不改變圖形的形狀和大小的變換；
變換形式 平移型
翻折型
旋轉型
三角形全等 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形；
對應頂點 兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應頂點；
對應邊 互相重合的邊叫做對應邊；
對應角 互相重合的角叫做對應角；
夾邊 夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊；
表示 全等用符號“≌”表示,讀作“全等于”,如圖:ΔABC≌A'B'C',讀作“ΔABC 全等于ΔA'B'C'”,記兩個全等三角形時， 通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。
性質 ①全等三角形的對應邊相等, 對應角相等, 如圖: AB=A'B', ∠A=∠A';
②全等三角形的周長相等, 面積相等, 如圖: C△ABC= C△ABC, S△ABC= S△A'B'C;
③全等三角形對應邊上的中線、高線、角平分線、中位線都相等；
④傳遞性: 若 ΔABC≌ΔDEF, ΔDEF≌ΔMNP, 則 ΔABC≌ΔMNP;
一般三角形的全等判定方法
sss 邊邊邊定理(SSS)： 三條邊分別相等； 在ΔABC 和ΔA'B'C'中, AB=A'B' BC=B'C' AC=A'C' ΔABC≌ΔA'B'C' (SSS)
SAS 邊角邊定理(SAS)： 兩邊和它們的夾角 對應相等；在ΔABC和ΔA'B'C'中, AB=A'B' ∠B=∠B' BC=B'C' ΔABC≌ΔA'B'C' (SAS)
SAS注意事項 ①用“SAS”判定兩個三角形全等時， 對應相等的三對元素中的角必須是兩條邊的夾角，而不是其中一邊的對角， 書寫時， 要按照邊角邊的順序來寫；
②當角是一組相等邊的對角， 即兩邊和其中一邊的對角分別相等時， 兩個三角形不一定全等。如圖所示, 在ΔABC 和ΔABD 中, AB=AB, AC=AD, ∠B=∠B(∠B分別是AC、AD邊的對角),顯然ΔABC和ΔABD不全等。
ASA 角邊角定理(ASA)： 兩角和它們的夾邊 對應相等；在ΔABC 和ΔA'B'C'中, ∠B=∠B' BC=B'C' ∠C=∠C' ΔABC≌ΔA'B'C' (ASA)
AAS 角角邊定理(AAS)：兩角和其中一個角的對邊對應相等在ΔABC 和ΔA'B'C'中, ∠A=∠A' ∠B=∠B' AC=A'C' ΔABC≌ΔA'B'C '(AAS)
不能判定 ①SSA ： 有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等；
②AAA ： 有三個角對應相等的兩個三角形不一定全等；
說明 ③兩個三角形全等的條件中必須有一邊對應相等， 三個角對應相等的兩個三角形不一定全等, 如圖, 在ΔABC和ΔADE 中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED =∠C ， 即三個角對應相等， 但它們只是形狀相同而大小并不相等，故它們不全等。
直角三角形的全等判定方法
HL 一般三角形的全等判定方法 都可以用于直角三角形的全等判定， HL是直角三角形特有的方法；
斜邊直角邊定理(HL)： 直角三角形斜邊和一條直角邊 對應相等；在 RtΔABC和RtΔA'B'C'中, BC=B'C' |AB=A'B' RtΔABC≌RtΔA'B'C' (HL)
三 角形 全等 判定 思路 找夾角 → SAS ①已知兩邊對應相等 找直角 → HL或SAS 找第三邊 → SSS
邊為角的對邊 → 找任意一角 → AAS ②已知一組邊和一組角對應相等 找角的另一邊 → SAS 邊為角的鄰邊 找邊的另一鄰角 → ASA 找邊的對角 → AAS 找夾邊 → ASA ③已知兩角對應相等 找其中一角的對邊 → AAS

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