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專題5-3 正方形
模塊1：學習目標
1.理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關系。
2.掌握正方形的性質及判定方法。
模塊2：知識梳理
正方形的定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形。
正方形的性質，從邊、角、對角線、對稱性進行討論。如下圖，四邊形ABCD為正方形：
1）邊：①四條邊相等；②對邊平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC。
2）角：四個角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°。
3）對角線：①對角線相互平分；②對角線相等；③對角線相互垂直；④對角線平分對角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO。
4）對稱性：軸對稱圖形；中線對稱圖形。
正方形是特殊的平行四邊形、矩形、正方形，常見的判定思路為 ：
1）判定方法1（定義）：平行四邊形+1個90°角+1組鄰邊相等，或平行四邊形+對角線垂直且相等。
2）判定方法2（從正方形出發）：正方形+1個90°角，或正方形+對角線相等。
3）判定方法3（從矩形出發）：矩形+1組鄰邊相等，或矩形+對角線垂直。
4）判定方法4（從四邊形出發）：對角線垂直平分且相等。
模塊3：核心考點與典例
考點1、正方形的性質
例1．（23-24九年級下·福建莆田·階段練習）下列說法不正確的是（ ）
A．矩形的對角線相等且互相平分 B．菱形的對角線互相垂直平分
C．正方形的對角線相等且互相垂直平分 D．平行四邊形、矩形、菱形都是軸對稱圖形
【答案】D
【分析】本題考查了正方形的性質，菱形的性質，矩形的性質，軸對稱圖形，根據正方形的性質，菱形的性質，矩形的性質，軸對稱圖形，即可逐一判斷．
【詳解】解：A．矩形的對角線相等且互相平分，故A正確，不符合題意；
B．菱形的對角線互相垂直平分，故B正確，不符合題意；
C．正方形的對角線相等且互相平分，故C正確，不符合題意；
D．平行四邊形不是軸對稱圖形，矩形、菱形、正方形都是軸對稱圖形，故D不正確確，符合題意．
故選：D．
變式1.（23-24八年級下·江蘇無錫·階段練習）矩形、菱形、正方形都具有的性質是（ ）
A．四個角都相等 B．對角線互相平分 C．對角線互相垂直 D．對角線相等
【答案】B
【分析】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質內容，據此逐項分析，即可作答．
【詳解】解：A、矩形、正方形四個角都相等，但菱形不具有，故該選項是錯誤的；
B、平行四邊形對角線互相平分，矩形、菱形、正方形是平行四邊形，故該選項是正確的；
C、正方形、菱形對角線互相垂直，但矩形不具有，故該選項是錯誤的；
D、矩形、正方形對角線都相等，但菱形不具有，故該選項是錯誤的；故選：B
變式2.（2024·河南安陽·一模）正方形具有而菱形不一定具有的性質是（ ）
A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．鄰邊相等
【答案】B
【分析】本題考查正方形和菱形的性質，根據對角線相等的菱形是正方形即可得出結果．
【詳解】解：∵對角線相等的菱形是正方形，
∴正方形具有而菱形不一定具有的性質是對角線相等；故選B．
考點2、利用正方形性質求角度
例1．（23-24八年級下·江蘇徐州·階段練習）如圖，四邊形是正方形，延長到點，使，連結，則的度數是（ ）
A． B． C．40 D．
【答案】B
【分析】本題主要考查正方形的性質及等腰三角形，關鍵是根據正方形的性質得到角的大小，然后根據等腰三角形的性質進行求解即可．根據正方形的性質及等腰三角形的性質進行求解即可．
【詳解】解：四邊形是正方形，，
，，．故選B．
變式1.（23-24八年級下·湖南長沙·階段練習）如圖，是正方形內位于對角線下方的一點，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查正方形的性質、三角形的內角和定理，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵；由題意易得，然后可得，進而問題可求解．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，
∵，∴，∴；故選：A．
變式2.（23-24九年級下·重慶·期中）如圖，正方形中，點E、F、G、H分別為邊、、、上的點，連接、、，若，，．當時，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是正方形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理的應用，如圖，過作，證明，可得，再進一步可得答案．
【詳解】解：∵正方形，∴，，
如圖，過作，∴四邊形為平行四邊形，，∴，
∵，∴，∵，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴；故選C
考點3、利用正方形性質求長度
例1．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習）如圖，已知正方形的邊長為1，連接、，平分交于點，則長（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了正方形的性質：對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角，角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等以及勾股定理的運用．
過作于，根據正方形的性質和角平分線的性質以及勾股定理即可求出的長．
【詳解】解：過作于，四邊形是正方形，，
平分交于點，，正方形的邊長為1，，，
∵，，
，，故選：C．
變式1.（23-24八年級下·廣東深圳·階段練習）如圖，四邊形，是正方形，點分別在上，連接，過點作交于點，若，則的長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】本題考查了正方形的性質、平行四邊形的判定與性質，由正方形的性質可得，，，，證明四邊形是平行四邊形，得出，再由計算即可得解．
【詳解】解：四邊形，是正方形，，
，，，，，
，四邊形是平行四邊形，，
，故選：C．
變式2.（23-24八年級下·河北滄州·期中）如圖，在正方形中，點E，G分別在，BC邊上，且，，連接、，平分，過點C作于點F，連接GF，若正方形的邊長為8，則的長度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質等知識，先證明得出，，根據三角形中位線定理得出，分別在，中利用勾股定理求出，，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長交于點H．
∵平分，∴．∵，∴．
在和中，∴，∴，．
∵，∴．∵，正方形的邊長為8，∴，，，
在中，，在中，，
∴，∴．故選B．
考點4、利用正方形性質求面積
例1．（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E為上一動點．連接，作交于點F，已知，則四邊形的面積為（　　）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質，證明得到，進而得到即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，，
∴，，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴四邊形的面積為1．故選：A．
變式1.（2024·上海虹口·二模）如圖，在正方形中，點、分別在邊和上，，，如果，那么的面積為（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本題主要考查了正方形的性質，平行四邊形的性質與判定，先根據正方形的性質得到，進而證明四邊形是平行四邊形，得到，則，最后根據三角形面積計算公式求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，
∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，
∴，∴，故選：B．
變式2.（2024·江蘇常州·模擬預測）如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形和正方形，連接，于點M，N．已知，正方形的面積為，則圖中陰影部分的面積之和為（　　）

A．4 B． C． D．5
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理的證明、全等圖形、梯形的面積，首先要正確理解題意，然后會利用勾股定理和梯形的面積解題．根據正方形的面積可得正方形邊長的平方，設，則，根據勾股定理可得的值，再根據題意可得，然后可得陰影部分的面積之和為梯形的面積．
【詳解】解：∵，∴，設，
則，∴，∴，
根據題意可知：，，

∴，∴，∵，∴，
∴陰影部分的面積之和為：
．故選：C．
考點5、正方形的判定定理
例1．（2023·河南周口·統考一模）如圖，在矩形中，對角線與相交O，添加下列條件不能判定矩形是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據正方形的判定方法即可一一判斷．
【詳解】解：A、正確．鄰邊相等的矩形是正方形，不符合題意；
B、錯誤．矩形的對角線相等，但對角線相等的矩形不一定是正方形，故符合題意；
C、正確．∵四邊形是矩形，∴，，
∵，∴，∴矩形為正方形，故不符合題意；
D、正確，∵，，∴，∴，
∴，∴矩形是正方形，故不符合題意．故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的判定定理，解題的關鍵是熟練掌握正方形的判定方法．
變式1.（2023·河南周口·校聯考一模）下列說法錯誤的是（　　）
A．有一個角為直角的菱形是正方形 B．有一組鄰邊相等的矩形是正方形
C．對角線相等的菱形是正方形 D．對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形
【答案】D
【分析】根據正方形的判定定理判斷即可．
【詳解】解：A、有一個角為直角的菱形的特征是：四條邊都相等，四個角都是直角，則該菱形是正方形．故本選項說法正確，不符合題意；
B、有一組鄰邊相等的矩形的特征是：四條邊都相等，四個角都是直角．則該矩形為正方形．故本選項說法正確，不符合題意；
C、對角線相等的菱形的特征是：四條邊都相等，對角線相等的平行四邊形，即該菱形為正方形．故本選項說法正確，不符合題意；
D、對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形．故本選項說法錯誤，符合題意；故選：D
【點睛】本題考查了正方形的判定．正方形集矩形、菱形的性質于一身，是特殊的平行四邊形．
變式2.（2024·上海靜安·二模）如圖，菱形的對角線、相交于點，那么下列條件中，能判斷菱形是正方形的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查正方形的判定．根據菱形到現在和正方形的判定定理即可得到結論．
【詳解】解：A、，，，，
四邊形是菱形，，故不能判斷菱形是正方形；故A不符合題意；
B、四邊形是菱形，，，
故不能判斷菱形是正方形；故B不符合題意；
C、四邊形是菱形，，，，
故不能判斷菱形是正方形；故C不符合題意；
D、四邊形是菱形，平行于，，
，，菱形是正方形，故D符合題意．故選：D．
考點6、正方形的判定（證明）
例1．（22-23八年級下·浙江寧波·期中）如圖1，已知矩形，點E是邊上一點，點F是延長線上一點，且．
(1)求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，點G是邊上一點，連接交于點H，有，求．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）根據矩形的性質得出，進而利用證明，利用全等三角形的性質和正方形的判定即可得證；（2）過點A作交于點M，連接，易證，根據全等三角形的性質可得，設，根據勾股定理列方程，求出的長度，進一步可得的長度，再證明四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
在與中，，∴，
∴，∴矩形是正方形；
（2）過點A作交于點M，連接，如圖所示：
∴，∵，∴，
∵，∴，在和中，，
∴，∴，設，∵，
∴，∴，
∵，根據勾股定理，得，解得，∴，
∵，根據勾股定理，得，
∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．
【點睛】本題考查矩形的性質，正方形的判定，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理．解題的關鍵是掌握相關性質和定理．
變式1.（23-24八年級下·江蘇南京·階段練習）如圖，在平行四邊形中，、為對角線上兩點，，連接、、、．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，求證：四邊形為菱形；(3)在（2）的條件下，連接交于點，若．求證：四邊形為正方形．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析
【分析】（1）連接交于點，根據平行四邊形的對角線互相平分可得，，然后求出，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）根據菱形的對角線互相垂直可得，從而得到，所以需要滿足是菱形，即鄰邊相等；
（3）在（2）的條件下，由勾股定理得，可得，可得，得到，，進一步得到，再根據正方形的判定可得四邊形是正方形．
【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點，
在中，，，，，即，
四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；
（2）證明：在中，，是菱形，，
，平行四邊形是菱形．
（3）證明：在（2）的條件下，，設，則，，
由勾股定理得，，，
，，，，
四邊形是菱形．四邊形是正方形．
【點睛】本題考查了正方形的判定，菱形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理等，主要利用了對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的菱形是正方形，作出輔助線是解題的關鍵．
變式2.（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，已知四邊形為正方形，，點為對角線上一動點，連接，過點作，交于點，以、為鄰邊作矩形，連接．

(1)求證：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)見解析(2)6
【分析】（1）如圖，作于，于，根據正方形的性質可得，進而說明，再證明可得，再結合四邊形是矩形即可證明結論；
（2）同（1）的方法判斷出得到，然后根據線段的和差即可解答．
【詳解】（1）解：如圖，作于，于，則，
點是正方形對角線上的點，，
，， ，
在和中，，，，
四邊形是矩形，矩形是正方形．
（2）解：的值是定值，定值為6，理由如下：
正方形和正方形，，，
，，
在和中，，，，
是定值．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質、矩形的性質、矩形的判定、三角形的全等的性質和判定、勾股定理等知識點，正確作出輔助線、構造全等三角形成為解題的關鍵．
考點7、中點四邊形
例1．（23-24八年級下·山東聊城·階段練習）下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．
瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點，，，分別是邊，，，的中點，順次連接，，，，得到的四邊形是平行四邊形．我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國數學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交，于點，，過點作于點，交于點．，分別為，的中點，．（依據．，．四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，，即．，即，四邊形是平行四邊形．（依據．，．同理，
任務：(1)材料中的依據1是指：　　　　　　　　，依據2是指：　　　　　　　　　　．
(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時畫出四邊形的對角線）；不必說明理由）
(3)在圖1中，分別連接，得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長與對角線，長度的關系，并證明你的結論．
【答案】(1)三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）
平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）；
(2)見解析 (3)瓦里尼翁平行四邊形的周長等于，理由見解析．
【分析】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線．熟練掌握三角形中位線定理是解題的關鍵．（1）根據三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；
（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點即可；（3）根據三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得妯結論．
【詳解】（1）三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）
平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）
（2）答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求
（3）瓦里尼翁平行四邊形的周長等于四邊形的兩條對角線與長度的和，
證明如下：點，，，分別是邊，，，的中點，
．．同理．
四邊形的周長．
即瓦里尼翁平行四邊形的周長等于．
變式1. （23-24八年級下·甘肅武威·期中）如圖，在四邊形中，E，F，G，H分別是的中點，則下列結論一定正確的是（　　）
A．四邊形是矩形
B．四邊形的內角和小于四邊形的內角和
C．四邊形的周長等于四邊形的對角線長度之和
D．四邊形的面積等于四邊形的面積的
【答案】C
【分析】本題考查中點四邊形，連接，根據三角形中位線的性質得到，，，繼而逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：連接，設交于點，
點，，，分別是，，，邊上的中點，
，，
A． 四邊形是平行四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
B． 四邊形的內角和等于于四邊形的內角和，都為360度，故該選項不正確，不符合題意；C． 四邊形的周長等于四邊形的對角線長度之和，故該選項正確，符合題意；
D． 四邊形的面積等于四邊形面積的，故該選項不正確，不符合題意；故選C
考點8、正方形的性質與判定綜合（選填題）
例1．（23-24八年級下·廣東深圳·階段練習）如圖，正方形中，點為對角線的中點，矩形兩邊分別交、邊于、兩點，連接，下列結論正確的有（ ）個．
（1）；（2）；（3）；（4）若，則以為斜邊的直角三角形面積的最大值為8．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】由正方形的性質和已知條件得出，可得，得出，得出（1）正確；可得四邊形的面積的面積正方形的面積，得出（2）錯誤，進而可得，可得（3）正確，結合完全平方公式可得，得出（4）錯誤．從而可得答案．
【詳解】解：∵正方形，∴，，，，∴，，，
在和中，，；同理：；
，；故（1）符合題意；
∵，∴，故（2）不符合題意；
∵正方形，∴，，∴，
∵，，∴，，
∴，故（3）符合題意；∵，，∴
∵，∴，即，
∴，∴，則以為斜邊的直角三角形面積的最大值為4．故（4）不符合題意；故選B
【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，完全平方公式的應用，以及勾股定理等．解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
變式1. （23-24九年級下·福建福州·期中）在菱形中，，，，分別為邊，，，上的一點（不與端點重合），對于任意的菱形，下面四個結論中：
①存在無數個四邊形是平行四邊形；②存在無數個四邊形是矩形；③存在無數個四邊形是菱形；④至少存在一個四邊形是正方形．
正確的結論的個數是（ ）個.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定．根據菱形的判定和性質，矩形的判定，正方形的判定，平行四邊形的判定定理即可得到結論．
【詳解】解：①如圖，連接，交于，
四邊形是菱形，過點的直線和，分別交，，，于，，，，
則四邊形是平行四邊形，故存在無數個四邊形是平行四邊形；故正確；
②如圖，當時，四邊形是矩形，故存在無數個四邊形是矩形；故正確；
③如圖，當時，存在無數個四邊形是菱形；故正確；
④如圖，當四邊形為正方形時，四邊形是正方形，故至少存在一個四邊形是正方形；故④正確；綜上，①②③④4個均正確，故選：D．
變式2. （2024八年級下·山東·專題練習）如圖，現有邊長為4的正方形紙片，點P為邊上的一點(不與點A點重合）將正方形紙片沿折疊，使點B落在P處，點落在G處，交于，連結、，下列結論：
①；②當P為中點時，三邊之比為；③；④周長等于8．其中正確的是 （寫出所有正確結論的序號）
【答案】①②③④
【分析】過點F作于點M，易得，由折疊可知，于是利用同角的余角相等可得，以此可通過證明，即可判斷①；由折疊可知，設，則，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可判斷②；利用等角的余角相等即可判斷③；過點B作于點N，易通過證明，得到，，以此再通過證明，得到，則，即可判斷④．
【詳解】如圖，過點F作于點M，
四邊形為正方形，，，
，四邊形為矩形，，，
由折疊可知， ，，
，，即，
在和中，，，，故①正確；
由折疊可知，，設，則，為中點，，
在中，，，解得 ，
，，，即三邊之比為，故②正確；
由折疊可知，， ，，，
，，故③正確；
如圖，過點B作于點N，，
在和中，，，，，，
在和中，，，，
，故④正確．
綜上，正確的結論有①②③④．故答案為：①②③④．
【點睛】本題主要考查正方形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，正確作出輔助線，構建合適的全等三角形是解題關鍵．
考點9、正方形的性質與判定綜合（解答題）
例1．（22-23八年級下·浙江·周測）在中，B在C的左邊，，將關于作軸對稱，得四邊形．P是對角線上的動點，E是直線上的動點，且．

(1)四邊形如圖1所示，四邊形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）；(2)四邊形如圖2所示，且，四邊形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中與之間的數量關系還成立嗎？若成立，請說明理由．(3)四邊形如圖3所示，若，，請直接寫出的度數．（用含、的代數式表示）
【答案】(1)菱形；；(2)正方形；成立，理由見解析；(3)E在B右側時，的度數為，E在B左側時，的度數為，當E在上時，的度數為或．
【分析】（1）根據軸對稱的性質，得到，，，又因為，即可證明四邊形是菱形，得到再證明，得到，進而得到，最后利用三角形內角和定理，即可得到與之間的數量關系；
（2）根據一個角是直角的菱形是正方形即可判斷四邊形是正方形，過點P作，先根據平行線的性質，得到，再根據等腰三角形三線合一的性質，得到，然后根據軸對稱的性質得到，推出，最后利用三角形內角和定理和平角的性質，求出，即可得到與之間的數量關系；（3）分情況討論即可得到答案．
【詳解】（1）解：設、相交于點F，
根據軸對稱的性質可知，，，，
，，四邊形是菱形，，，
在和中，，，，
，，，
，，，故答案為：菱形；；
（2）解：同理可證，四邊形是菱形，
，菱形是正方形，故答案為：正方形；
過點P作交于點M，交于點N，，，
，，平分，，，
，，，，
，；
（3）解：由題意可知四邊形是菱形，∴，∴，
當E在C右側時，如圖： ，，，
，，
∵，，，．
當E在B左側時，如圖∶ ，，，
，，
∵，，，
，
當E在上時，第一種情況，如圖∶，，，
，∵，，
，；
當E在上時，第二種情況，如圖∶，，，
，∵，，
，．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質，全等三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，正方形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵．
變式1．（23-24八年級下·廣東珠海·期中）四邊形為正方形，點為線段上一點，連接，過點作，交射線于點，以、為鄰邊作矩形，連接．
(1)求證：矩形是正方形；(2)若，，求的長度；
(3)當線段與正方形的某條邊的夾角是時，直接寫出的度數．
【答案】(1)詳見解析(2)(3)或
【分析】（1）作于，于，證明，得到，根據正方形的判定定理證明即可；（2）通過計算發現是中點，點與重合，是等腰直角三角形，由此即可解決問題；（3）分兩種情形考慮問題即可．
【詳解】（1）證明：作于，于，如圖1，，，
，，，
在和中，，，
，矩形是正方形；
（2）解：如圖2中，在中．，
，，點與重合，此時是等腰直角三角形，
∵四邊形為正方形，∴∴∴．
（3）解：①當與的夾角為時，點在邊上，，則，
在四邊形中，由四邊形內角和定理得：，
②當與的夾角為時，點在的延長線上，，如圖3所示：
，，，綜上所述，或．
【點睛】本題考查正方形的性質和判定、矩形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．
變式2．（2023春·浙江·八年級專題練習）問題情境：
如圖1，點為正方形內一點，，將繞點按順時針方向旋轉，得到 （點的對應點為點）．延長交于點，連接，
猜想證明：(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)如圖2，若、請猜想線段與的數最關系并加以證明，解決問題；
(3)如圖1，若的面積為72，，請直接寫出的長．
【答案】(1)四邊形是正方形，理由見解析；(2)，理由見解析；(3)．
【分析】（1）根據旋轉性質得到，再由題意可得，即可得四邊形是正方形；（2）過點作于點， 可證明，則有，根據正方形的性質即可解決；（3）作于，設，由求得AE，在中，由勾股定理得，由即可求出 ．
【詳解】（1）解：四邊形是正方形．
理由如下：∵將繞點按順時針方向旋轉，
．
，∴四邊形是矩形．，∴四邊形是正方形．
（2）解：；理由如下：如圖2，過點作于點，
，．
∵四邊形是正方形，．．．
，．．
∵將繞點按順時針方向旋轉，．
∵四邊形是正方形，．．
（3）解：，理由如下：作于，如圖．
由（2）可知，，
由將繞點按順時針方向旋轉得可知，
,設，則
由得，解得，即∵四邊形是正方形，
在中，
∵四邊形是正方形，∴ ，
【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，旋轉的性質，勾股定理，證明是關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24八年級下·山東淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性質是（　　）
A．對角線平分一組對角 B．對角線相等 C．對角線互相垂直平分 D．四條邊相等
【答案】B
【分析】本題考查菱形與正方形的性質，解題關鍵是熟練的掌握菱形與正方形的性質． 要熟練掌握菱形對角線相互垂直平分與正方形對角線相互垂直平分相等的性質，根據各自性質進行比較即可解答．
【詳解】解：A．正方形和菱形的對角線都平分一組對角，故本選項不符合題意；
B．正方形的對角線相等，菱形的對角線不一定相等，故本選項符合題意；
C．正方形和菱形的對角線都互相垂直，故本選項不符合題意；
D．正方形和菱形都是四條邊相等，故本選項不符合題意；故選B．
2．（23-24八年級下·河北滄州·期中）小琦在復習幾種特殊四邊形的關系時整理出如圖所示的轉換圖，（1）（2）（3）（4）處需要添加條件，則下列條件添加錯誤的是（ ）
A．（1）處可填 B．（2）處可填 C．（3）處可填 D．（4）處可填
【答案】C
【分析】本題主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定條件是解題的關鍵．根據菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，逐項判斷即可．
【詳解】解：A．有一個角是直角的平行四邊形是矩形，則（1）處可填，原說法正確，不符合題意；B．有一組鄰邊相等的矩形是正方形，則（2）處可填，原說法正確，不符合題意；C．菱形的對邊本身相等，（3）處填不能得到四邊形是正方形，原說法錯誤，符合題意；D．有一個角是直角的菱形是矩形，則（4）處可填，原說法正確，不符合題意；
故選：C．
3．（2023春·河北張家口·八年級校考期中）四邊形 是正方形，E為上一點，連接，過B作于E，且，則正方形的周長為（ ）
A． B． C．24 D．6
【答案】C
【分析】先由30度角的性質得出和的關系，再由勾股定理求出的長，進而可求出．
【詳解】∵∴．∵，∴．
∵，∴，∴（負值舍去），
∴正方形的周長為．故選C．
【點睛】本題考查了正方形的性質，含30度角的直角三角形的性質，以及勾股定理，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．
4．（2023·浙江寧波·校考一模）如圖，在正方形中，P為對角線上一動點，，，若要知道陰影部分的面積，則只需要知道下列哪個條件（ ）
A．PB的長 B．PD的長 C．矩形的面積 D．矩形對角線的長
【答案】D
【分析】連接，，推出和都是等腰直角三角形，得到，，陰影部分的面積，據此即可判斷．
【詳解】解：連接，，
∵四邊形是正方形，P為對角線上一動點，∴，
∴和都是等腰直角三角形，∴，，
∴陰影部分的面積，
∴要知道陰影部分的面積，則只需要知道矩形對角線的長，故選：D．
【點睛】本題考查正方形的性質，勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
5．（2022·廣東珠海·校考三模）如圖，E是正方形內一點，于E，，則的面積是（　　）．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】過點B作于G，證明，得出，根據三角形面積公式求出結果即可．
【詳解】解：如圖，過點B作于G，如圖所示：∵，∴，
∵，∴，∴，
∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，
∴，故D正確．故選：D．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，三角形全等的判定和性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形，證明．
6．（2022秋·內蒙古包頭·九年級統考期末）如圖，在正方形中，，點E，F分別在邊和上，，，則的長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先證明，得，在上取一點G，使，設，用x表示，再由正方形的邊長列出x的方程求得x，便可求得結果．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，
在上取一點G，使，如圖所示，
∴，∴，
設，則，，∵，∴，
解得：，∴，∴；故選：A．
【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、直角三角形的性質等知識；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
7．（2022春·山西晉城·八年級統考期末）如圖，在正方形中，點P在邊上，于點E，于點F，若，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由正方形的性質易證明，可得，，然后根據線段關系EF．
【詳解】解：∵為正方形，∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，
在和中，∵，
∴， ∴，，∴，故選：C．
【點睛】本題考查了正方形的性質和全等三角形的判定和性質，利用正方形的性質找到全等條件是解決本題的關鍵．
8．（2023春·山東濟寧·八年級濟寧市第十五中學校考階段練習）如圖，正方形的對角線，交于點，是邊上一點，連接，過點作，交于點．若四邊形的面積是1，則的長為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】通過證明，把四邊形的面積轉化成的面積，利用是等腰直角三角形求出的長，即的長．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，，，，
，，，
在與中，．．．
．．．
在中，．故選：C．
【點睛】本題考查了正方形的性質，通過三角形全等把四邊形的面積轉化成的面積是解題的關鍵．
9．（2023·黑龍江綏化·校考一模）如圖，正方形中，，連接，的平分線交于點，在上截取，連接，分別交，于點，，點是線段上的動點，于點，連接，的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】過點作，垂足為，過點作，垂足為，根據角平分線的性質可得，可知當、、在同一條直線上時，有最小值，即為，證明，繼而證明，再證明，即可得到，再利用勾股定理解出，即可得到的最小值．
【詳解】解：過點作，垂足為，過點作，垂足為，
∵平分，，∴，，∴，
∴當、、在同一條直線上時，有最小值，即為，
∵在正方形中，∴，，
∵在和中，，∴，∴，
又∵，∴，
∴，即，
又∵在和中，，∴，∴，
∵在正方形中，∴，∴為等腰直角三角形，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，解得，∴的最小值為，故選：A．
【點睛】本題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定和性質、正方形的性質及勾股定理，根據題意正確作出輔助線是解答本題的關鍵．
10．（2023春·浙江八年級期中）如圖，已知正方形的邊長為6，點E是邊的中點，將沿折疊得到，點F落在邊上，連接，則下列結論：
①；②；③；④．
其中正確的結論有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】根據證明兩三角形即可判斷①；根據折疊的性質和等腰三角形的性質可得，得，所以，即可判斷②；根據折疊的性質和線段中點的定義可得，設，表示出、，根據點E是的中點求出，從而得到的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可判斷④；先求的面積，根據和等高，可知 ,，即可判斷③．
【詳解】解：由折疊得：，，，
四邊形是正方形，，
，，
，，，故①正確；
點是邊的中點，，，，，
，
，，，故②正確；
設，則，點是邊上的中點，，
在中，根據勾股定理得：，，
解得：，，，，故④正確，
，和等高，，
，故③錯誤．故選：B．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，翻折變換的性質，熟記各性質是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022秋·湖南永州·八年級統考期末）如圖，在正方形中，P，Q分別為的中點，若，則大小為___________．
【答案】##70度
【分析】根據正方形的性質可得，從而得到，可證明，從而得到，進而得到，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，
∵P，Q分別為的中點，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴．故答案為：
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質是解題的關鍵．
12．（2023·山東菏澤·校考一模）如圖，兩個邊長為4的正方形重疊在一起，點是其中一個正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為_____．
【答案】
【分析】連接、，證明，得到，再由，代值求解即可得到答案．
【詳解】解：連接、，如圖所示：
，，
是正方形，為正方形的中心，，，
在和中，，，，
，故答案是：4．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、正方形的性質，構造全等三角形得到陰影部分的面積等于的面積是解決問題的關鍵．
13．（2023春·江蘇南京·八年級南京鐘英中學校考階段練習）如圖，同一平面內的四條平行直線、、、分別過正方形的四個頂點、、、，且每相鄰的兩條平行直線間的距離都為1，則該正方形的面積是_________．
【答案】5
【分析】過作，交于點，交于點，根據平行線的性質，得出，再根據正方形的性質，結合角之間的數量關系，得出，再根據“角邊角”，得出，再根據全等三角形的性質，得出，，再根據勾股定理，得出，再根據正方形的面積公式，結合二次根式的性質計算即可．
【詳解】解：過作，交于點，交于點，
，，，，，
四邊形是正方形，，，，
又，，
在和中，，，，，
在中，，．
【點睛】本題考查了平行線之間距離、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、二次根式的性質，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質定理．
14．（2023·廣東肇慶·統考一模）如圖，正方形中，點E是的中點，將正方形沿翻折，點B落在點F處，延長交于點P，若，則的長為_____．
【答案】2
【分析】連接，由正方形的性質和翻折性質可證明，可得，設，則，，用勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵四邊形是正方形，∴，，
由折疊的性質可知，，，∴，，
又∵，∴在和中，，∴，∴，
∵E是的中點，∴，設，則，，
在中，由勾股定理得：，∴，解得，
∴，故答案為：2．
【點睛】本題考查了翻折變換、正方形的性質、勾股定理、全等三角形的證明，掌握翻折變換的性質是解題的關鍵．
15．（2023秋·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校校考期末）如圖，正方形的邊長是4，點在上，點在上，，若．則的長為___________．
【答案】##
【分析】過點F作于H，由正方形的性質得到，，，推出四邊形是矩形，得到，，設，則，求出，證明，得到，由此得到，求出，即可得到．
【詳解】解：過點F作于H，
∵四邊形是正方形，∴，，，
∴，∴四邊形是矩形，∴，，
設，則，∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵，
∴，∴，故答案為：．
【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，正確理解正方形的性質作出輔助線是解題的關鍵．
16．（2023·甘肅白銀·統考模擬預測）如圖，正方形的對角線與相交于點O，的平分線分別交于M、N兩點．若，則正方形的邊長為______．
【答案】
【分析】過點M作于點F，根據角平分線的性質可知，再由四邊形為正方形，可得出，在直角三角形中用的正弦值即可求出的長度，結合邊的關系即可得出結論．
【詳解】解∶過點作于點，如圖所示．
平分，四邊形為正方形，．
在中，，
．．故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質以及角平分線的性質，解題的關鍵是在直角三角形中求出FM的長度．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據角平分的性質及正方形的特點找出邊角關系，再利用解直角三角形的方法即可得以解決．
17．（2023·天津南開·南開翔宇學校校考一模）如圖，四邊形為正方形，點E為對角線上一點，連接DE，過點E作，交于點F，以，為鄰邊作矩形，連接．若，則的值為____________．
【答案】
【分析】過點E作于點M，作于N，利用正方形的性質，角平分線的性質以及全等三角形的判定可證得出，再證明，得出，則可證，最后利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：過點E作于點M，作于N，
∵四邊形為正方形，，∴，平分，，，
∴，四邊形是矩形，∴，
又，∴，∴，
又，，∴，∴，∴矩形是正方形，
又四邊形為正方形，∴，，
∴，∴，∴，
∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的判定與性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，添加合適的輔助線，證明矩形是正方形是解題的關鍵．
18．（2023·安徽·校聯考一模）如圖．已知正方形紙片的邊，點P在邊上，將沿折疊，點A的應點為．
（1）若時，的長為______﹔
（2）若點到邊或的距離為1，則線段的長為______．
【答案】 2 或
【分析】（1）由折疊得，根據平行線的性質得到，利用三角形內角和得到，進而推出，即可得到答案；
（2）若，則，根據勾股定理求出，設，直角中，根據勾股定理得，求出；若，根據勾股定理求出，設，在直角中，根據勾股定理得，求出．
【詳解】（1）由折疊得，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，故答案為：2；
（2）如圖1，若，則．
由折疊知．在直角中，．
設，則．在直角中，，解得，
即線段的長為﹔如圖2，若，則．由折疊知．
在直角中，．設，則．
在直角中，，解得，即線段的長為．
綜上，線段的長為或，故答案為：或．
【點睛】此題考查了正方形的性質，勾股定理，折疊的性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，熟記正方形的性質及折疊的性質是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共6小題，共46分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·吉林長春·校考一模）【問題情境】如圖①，在正方形中，E為邊上一點（不與點B、C重合），垂直于的一條直線分別交于點M、P、N．判斷線段之間的數量關系，并說明理由；
【問題探究】在“問題情境”的基礎上，如圖②，若垂足P恰好為的中點，連接，交于點Q，連接，并延長交邊于點F．則的大小為 度．
【答案】問題情境：，理由見解析；問題探究：45
【分析】問題情境：過點B作分別交于點G、F，證出四邊形為平行四邊形，得出，證明得出，即可得出結論；
問題探究：連接，過點Q作，分別交于點H、I，證出是等腰直角三角形，，證明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出結論．
【詳解】問題情境：
線段之間的數量關系為．
理由如下：
∵四邊形是正方形，∴，，AB∥CD，
過點B作分別交于點G、F．
∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴．
∵，∴，∴，∴．
∵，∴；
問題探究：解：連接，過點Q作，分別交于點H、I，如圖所示：
∵四邊形是正方形，∴四邊形為矩形，∴，，
∵是正方形的對角線，∴，
∴是等腰直角三角形，，∵是的垂直平分線，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，即．故答案為：45．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識；熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵．
20．（2023·廣東惠州·九年級統考期中）如圖，在正方形中，Р是對角線上的一個動點（不與點A．C重合），連接，將繞點B順時針旋轉到，連接交于點E，延長線與邊交于點F．(1)連接，求證：；(2)若正方形的邊長為4，且，求線段的長．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）由四邊形是正方形可得，，，由圖形旋轉可得，，，從而可證，故；（2）如圖所示，由四邊形ABCD是正方形可得，，故是等腰直角三角形且，由勾股定理可得，，故．
【詳解】（1）由題意得：，，
四邊形是正方形，，，，
在與中，，，；
（2）由（1）知：，，在中，，
，，.
【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理以及旋轉的性質，熟練掌握正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理以及旋轉的性質是解題的關鍵．
21．（2023·廣東梅州·校考模擬預測）如圖，已知E，F是正方形的對角線上的兩點，且．
(1)求證：四邊形為菱形．(2)若，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析(2)6
【分析】（1）連接交于O，證與互相垂直平分，即可由菱形的判定定理得出結論；（2）根據正方形的性質，利用勾股定理求得，從而求得 ，根據菱形的面積公式解答即可．
【詳解】（1）證明：連接，交于點，
四邊形是正方形，，，，
∵∴，即，四邊形是平行四邊形，
，四邊形是菱形；
（2）解：由（1）知：四邊形是菱形，，，
，∴，菱形的面積．
【點睛】本題考查正方形的性質，菱形的判定和性質，熟練掌握正方形的性質和菱形的判定定理，菱形的面積公式是解題的關鍵．
22．（2022·廣東珠海·校考三模）如圖，E是正方形的邊上一點（E不與B、C重合），于G，F在的延長線上，且，連接、和．
(1)若連接，求證：；(2)若，求的度數．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）根據正方形的性質證明和，可得結論；
（2）如圖2，過點G作于N，交于M，證明是等腰直角三角形，得，根據證明，可得，可得是等腰直角三角形，再證明，則，最后由三角形的內角和定理可得答案．
【詳解】（1）（1）證明：如圖1，連接，
四邊形是正方形，是對角線，，，
，是等腰直角三角形，，，，
，，，
，，，．
（2）（2）如圖2，過點G作于N，交于M，
，，，
，是等腰直角三角形，，
由（1）知：，，，
，，
是等腰直角三角形，，
，，，，
，，，
，．
【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰三角形性質和判定三角形全等，三角形內角和等知識，正確做出輔助線是解答本題的關鍵．
23．（2024八年級下·浙江·專題練習）小明學行四邊形這一章后，對特殊四邊形的探究產生了興趣，發現另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是 　　
(2)性質探究：通過探究，直接寫出垂直四邊形的面積與兩對角線，之間的數量關系： 　　．
(3)問題解決：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，．
①求證：四邊形為垂美四邊形；②求出四邊形的面積．
【答案】(1)菱形、正方形(2)(3)①證明見解析；②
【分析】（1）由平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質即可得出結論；（2）根據列式求解即可；（3）①連接，，證出，由SAS證明，得出，，再由角的互余關系和三角形內角和定理求出，得出即可；
②根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算即可．
【詳解】（1）解：∵在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形、和正方形，∴菱形和正方形一定是垂美四邊形；
（2）解：；
（3）①證明：連接和，設與相交于點，與相交于點，如圖2所示：
∵四邊形和四邊形是正方形，
∴，，，
∴，即，
在和中，，∴（SAS），∴，，
又∵，，∴，
∴，∴，∴四邊形為垂美四邊形；
②解：∵，，，∴，∴，
在中，，∴，
∵四邊形為垂美四邊形，∴四邊形的面積．
【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查的是垂美四邊形的判定與性質、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、垂直的定義、勾股定理的應用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．
24．（23-24九年級下·甘肅天水·階段練習）問題情境：如圖1，將正方形的一個頂點D放在一塊等腰直角三角板斜邊的中點O處，分別與交于點M，N，連接．求證：；
操作探究：將圖1中正方形繞點D逆時針旋轉一定的角度，得到圖2，連接，若，求的長；
深入拓展：創新小組將正方形繞點D繼續逆時針旋轉，如圖3，當時，連接，若，試判斷此時四邊形的形狀，并說明理由．

【答案】問題情境：見解析；操作探究：5；深入拓展：四邊形是正方形，理由見解析
【分析】問題情境：連接，根據等腰直角三角形的性質得到，再根據正方形的性質得到，由，推出，易證，即可證明結論；操作探究：連接，同理得：，再證明內即可得出結果；深入拓展：根據等腰直角三角形的性質及正方形的性質證明，，易證四邊形是平行四邊形，由，易證四邊形是矩形，由，即可證明四邊形是正方形．
【詳解】問題情境：證明：如圖1，連接．

∵，D為的中點，∴，
∵四邊形是正方形，∴，
∴，即，
在和中，，∴，∴；
操作探究：解：如圖2，連接，

同理得：，∴，
∵為等腰直角三角形，∴，又∵D為的中點，∴平分，
∵，∴，
∴，即．
在和中，，∴，∴；
深入拓展：解：四邊形是正方形；理由如下，如圖3，設與交于點P，
為等腰直角三角形，點D為的中點，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，
∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形．
【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質、平行四邊形的判定、矩形的判定全等三角形的判定與性質、旋轉的性質、等腰直角三角形的性質等知識，本題綜合性強,熟練掌握正方形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考常考題型．
25．（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，正方形邊長為4，點在邊上（點與點、不重合），過點作，垂足為，與邊相交于點．
(1)求證：；(2)若的面積為，求的長；
(3)在（2）的條件下，取，的中點，，連接，求的長．

【答案】(1)見解析(2)5或(3)或
【分析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質以及勾股定理的應用，本題的關鍵是知道兩線段之間的垂直關系．（1）先證得，很容易證明與全等，由此得出，又由互余可得出，進而可得結論；（2）根據三角形的面積求得，再根據勾股定理求得，根據（1）中即刻得出結論；（3）連接并延長交于點，連接，可證明，所以，或1，又是的中位線，求出的長即可．
【詳解】（1）證明：，，，
在與中，，，，
，，
在和中，，．
（2）解：，，，
的面積，
，解得，，，或，或．
（3）解：如圖，連接并延長交于點，連接，

點是的中點，，
，，，，
，或1，當時，，
，，；
當時，，，，；
綜上，的長度為或．
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專題5-3 正方形
模塊1：學習目標
1.理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關系。
2.掌握正方形的性質及判定方法。
模塊2：知識梳理
正方形的定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形。
正方形的性質，從邊、角、對角線、對稱性進行討論。如下圖，四邊形ABCD為正方形：
1）邊：①四條邊相等；②對邊平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC。
2）角：四個角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°。
3）對角線：①對角線相互平分；②對角線相等；③對角線相互垂直；④對角線平分對角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO。
4）對稱性：軸對稱圖形；中線對稱圖形。
正方形是特殊的平行四邊形、矩形、正方形，常見的判定思路為 ：
1）判定方法1（定義）：平行四邊形+1個90°角+1組鄰邊相等，或平行四邊形+對角線垂直且相等。
2）判定方法2（從正方形出發）：正方形+1個90°角，或正方形+對角線相等。
3）判定方法3（從矩形出發）：矩形+1組鄰邊相等，或矩形+對角線垂直。
4）判定方法4（從四邊形出發）：對角線垂直平分且相等。
模塊3：核心考點與典例
考點1、正方形的性質
例1．（23-24九年級下·福建莆田·階段練習）下列說法不正確的是（ ）
A．矩形的對角線相等且互相平分 B．菱形的對角線互相垂直平分
C．正方形的對角線相等且互相垂直平分 D．平行四邊形、矩形、菱形都是軸對稱圖形
變式1.（23-24八年級下·江蘇無錫·階段練習）矩形、菱形、正方形都具有的性質是（ ）
A．四個角都相等 B．對角線互相平分 C．對角線互相垂直 D．對角線相等
變式2.（2024·河南安陽·一模）正方形具有而菱形不一定具有的性質是（ ）
A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．鄰邊相等
考點2、利用正方形性質求角度
例1．（23-24八年級下·江蘇徐州·階段練習）如圖，四邊形是正方形，延長到點，使，連結，則的度數是（ ）
A． B． C．40 D．
變式1.（23-24八年級下·湖南長沙·階段練習）如圖，是正方形內位于對角線下方的一點，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
變式2.（23-24九年級下·重慶·期中）如圖，正方形中，點E、F、G、H分別為邊、、、上的點，連接、、，若，，．當時，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
考點3、利用正方形性質求長度
例1．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習）如圖，已知正方形的邊長為1，連接、，平分交于點，則長（ ）
A． B． C． D．
變式1.（23-24八年級下·廣東深圳·階段練習）如圖，四邊形，是正方形，點分別在上，連接，過點作交于點，若，則的長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
變式2.（23-24八年級下·河北滄州·期中）如圖，在正方形中，點E，G分別在，BC邊上，且，，連接、，平分，過點C作于點F，連接GF，若正方形的邊長為8，則的長度是（ ）
A． B． C． D．
考點4、利用正方形性質求面積
例1．（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E為上一動點．連接，作交于點F，已知，則四邊形的面積為（　　）
A．1 B．2 C． D．4
變式1.（2024·上海虹口·二模）如圖，在正方形中，點、分別在邊和上，，，如果，那么的面積為（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
變式2.（2024·江蘇常州·模擬預測）如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形和正方形，連接，于點M，N．已知，正方形的面積為，則圖中陰影部分的面積之和為（　　）

A．4 B． C． D．5
考點5、正方形的判定定理
例1．（2023·河南周口·統考一模）如圖，在矩形中，對角線與相交O，添加下列條件不能判定矩形是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023·河南周口·校聯考一模）下列說法錯誤的是（　　）
A．有一個角為直角的菱形是正方形 B．有一組鄰邊相等的矩形是正方形
C．對角線相等的菱形是正方形 D．對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形
變式2.（2024·上海靜安·二模）如圖，菱形的對角線、相交于點，那么下列條件中，能判斷菱形是正方形的為（ ）
A． B． C． D．
考點6、正方形的判定（證明）
例1．（22-23八年級下·浙江寧波·期中）如圖1，已知矩形，點E是邊上一點，點F是延長線上一點，且．
(1)求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，點G是邊上一點，連接交于點H，有，求．
變式1.（23-24八年級下·江蘇南京·階段練習）如圖，在平行四邊形中，、為對角線上兩點，，連接、、、．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，求證：四邊形為菱形；(3)在（2）的條件下，連接交于點，若．求證：四邊形為正方形．
變式2.（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，已知四邊形為正方形，，點為對角線上一動點，連接，過點作，交于點，以、為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

考點7、中點四邊形
例1．（23-24八年級下·山東聊城·階段練習）下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．
瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點，，，分別是邊，，，的中點，順次連接，，，，得到的四邊形是平行四邊形．我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國數學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交，于點，，過點作于點，交于點．，分別為，的中點，．（依據．，．四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，，即．，即，四邊形是平行四邊形．（依據．，．同理，
任務：(1)材料中的依據1是指：　　　　　　　　，依據2是指：　　　　　　　　　　．
(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時畫出四邊形的對角線）；不必說明理由）
(3)在圖1中，分別連接，得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長與對角線，長度的關系，并證明你的結論．
變式1. （23-24八年級下·甘肅武威·期中）如圖，在四邊形中，E，F，G，H分別是的中點，則下列結論一定正確的是（　　）
A．四邊形是矩形
B．四邊形的內角和小于四邊形的內角和
C．四邊形的周長等于四邊形的對角線長度之和
D．四邊形的面積等于四邊形的面積的
考點8、正方形的性質與判定綜合（選填題）
例1．（23-24八年級下·廣東深圳·階段練習）如圖，正方形中，點為對角線的中點，矩形兩邊分別交、邊于、兩點，連接，下列結論正確的有（ ）個．
（1）；（2）；（3）；（4）若，則以為斜邊的直角三角形面積的最大值為8．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
變式1. （23-24九年級下·福建福州·期中）在菱形中，，，，分別為邊，，，上的一點（不與端點重合），對于任意的菱形，下面四個結論中：
①存在無數個四邊形是平行四邊形；②存在無數個四邊形是矩形；③存在無數個四邊形是菱形；④至少存在一個四邊形是正方形．
正確的結論的個數是（ ）個.
A．1 B．2 C．3 D．4
變式2. （2024八年級下·山東·專題練習）如圖，現有邊長為4的正方形紙片，點P為邊上的一點(不與點A點重合）將正方形紙片沿折疊，使點B落在P處，點落在G處，交于，連結、，下列結論：
①；②當P為中點時，三邊之比為；③；④周長等于8．其中正確的是 （寫出所有正確結論的序號）
考點9、正方形的性質與判定綜合（解答題）
例1．（22-23八年級下·浙江·周測）在中，B在C的左邊，，將關于作軸對稱，得四邊形．P是對角線上的動點，E是直線上的動點，且．

(1)四邊形如圖1所示，四邊形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）；(2)四邊形如圖2所示，且，四邊形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中與之間的數量關系還成立嗎？若成立，請說明理由．(3)四邊形如圖3所示，若，，請直接寫出的度數．（用含、的代數式表示）
變式1．（23-24八年級下·廣東珠海·期中）四邊形為正方形，點為線段上一點，連接，過點作，交射線于點，以、為鄰邊作矩形，連接．
(1)求證：矩形是正方形；(2)若，，求的長度；
(3)當線段與正方形的某條邊的夾角是時，直接寫出的度數．
變式2．（2023春·浙江·八年級專題練習）問題情境：
如圖1，點為正方形內一點，，將繞點按順時針方向旋轉，得到 （點的對應點為點）．延長交于點，連接，
猜想證明：(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)如圖2，若、請猜想線段與的數最關系并加以證明，解決問題；
(3)如圖1，若的面積為72，，請直接寫出的長．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24八年級下·山東淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性質是（　　）
A．對角線平分一組對角 B．對角線相等 C．對角線互相垂直平分 D．四條邊相等
2．（23-24八年級下·河北滄州·期中）小琦在復習幾種特殊四邊形的關系時整理出如圖所示的轉換圖，（1）（2）（3）（4）處需要添加條件，則下列條件添加錯誤的是（ ）
A．（1）處可填 B．（2）處可填 C．（3）處可填 D．（4）處可填
3．（2023春·河北張家口·八年級校考期中）四邊形 是正方形，E為上一點，連接，過B作于E，且，則正方形的周長為（ ）
A． B． C．24 D．6
4．（2023·浙江寧波·校考一模）如圖，在正方形中，P為對角線上一動點，，，若要知道陰影部分的面積，則只需要知道下列哪個條件（ ）
A．PB的長 B．PD的長 C．矩形的面積 D．矩形對角線的長
5．（2022·廣東珠海·校考三模）如圖，E是正方形內一點，于E，，則的面積是（　　）．
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2022秋·內蒙古包頭·九年級統考期末）如圖，在正方形中，，點E，F分別在邊和上，，，則的長是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·山西晉城·八年級統考期末）如圖，在正方形中，點P在邊上，于點E，于點F，若，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023春·山東濟寧·八年級濟寧市第十五中學校考階段練習）如圖，正方形的對角線，交于點，是邊上一點，連接，過點作，交于點．若四邊形的面積是1，則的長為（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．（2023·黑龍江綏化·校考一模）如圖，正方形中，，連接，的平分線交于點，在上截取，連接，分別交，于點，，點是線段上的動點，于點，連接，的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
10．（2023春·浙江八年級期中）如圖，已知正方形的邊長為6，點E是邊的中點，將沿折疊得到，點F落在邊上，連接，則下列結論：
①；②；③；④．
其中正確的結論有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022秋·湖南永州·八年級統考期末）如圖，在正方形中，P，Q分別為的中點，若，則大小為___________．
12．（2023·山東菏澤·校考一模）如圖，兩個邊長為4的正方形重疊在一起，點是其中一個正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為_____．
13．（2023春·江蘇南京·八年級南京鐘英中學校考階段練習）如圖，同一平面內的四條平行直線、、、分別過正方形的四個頂點、、、，且每相鄰的兩條平行直線間的距離都為1，則該正方形的面積是_________．
14．（2023·廣東肇慶·統考一模）如圖，正方形中，點E是的中點，將正方形沿翻折，點B落在點F處，延長交于點P，若，則的長為_____．
15．（2023秋·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校校考期末）如圖，正方形的邊長是4，點在上，點在上，，若．則的長為___________．
16．（2023·甘肅白銀·統考模擬預測）如圖，正方形的對角線與相交于點O，的平分線分別交于M、N兩點．若，則正方形的邊長為______．
17．（2023·天津南開·南開翔宇學校校考一模）如圖，四邊形為正方形，點E為對角線上一點，連接DE，過點E作，交于點F，以，為鄰邊作矩形，連接．若，則的值為____________．
18．（2023·安徽·校聯考一模）如圖．已知正方形紙片的邊，點P在邊上，將沿折疊，點A的應點為．
（1）若時，的長為______﹔
（2）若點到邊或的距離為1，則線段的長為______．
三、解答題（本大題共6小題，共46分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·吉林長春·校考一模）【問題情境】如圖①，在正方形中，E為邊上一點（不與點B、C重合），垂直于的一條直線分別交于點M、P、N．判斷線段之間的數量關系，并說明理由；
【問題探究】在“問題情境”的基礎上，如圖②，若垂足P恰好為的中點，連接，交于點Q，連接，并延長交邊于點F．則的大小為 度．
20．（2023·廣東惠州·九年級統考期中）如圖，在正方形中，Р是對角線上的一個動點（不與點A．C重合），連接，將繞點B順時針旋轉到，連接交于點E，延長線與邊交于點F．(1)連接，求證：；(2)若正方形的邊長為4，且，求線段的長．
21．（2023·廣東梅州·校考模擬預測）如圖，已知E，F是正方形的對角線上的兩點，且．(1)求證：四邊形為菱形．(2)若，，求四邊形的面積．
22．（2022·廣東珠海·校考三模）如圖，E是正方形的邊上一點（E不與B、C重合），于G，F在的延長線上，且，連接、和．
(1)若連接，求證：；(2)若，求的度數．
23．（2024八年級下·浙江·專題練習）小明學行四邊形這一章后，對特殊四邊形的探究產生了興趣，發現另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是 　　
(2)性質探究：通過探究，直接寫出垂直四邊形的面積與兩對角線，之間的數量關系： 　　．
(3)問題解決：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，．①求證：四邊形為垂美四邊形；②求出四邊形的面積．
24．（23-24九年級下·甘肅天水·階段練習）問題情境：如圖1，將正方形的一個頂點D放在一塊等腰直角三角板斜邊的中點O處，分別與交于點M，N，連接．求證：；
操作探究：將圖1中正方形繞點D逆時針旋轉一定的角度，得到圖2，連接，若，求的長；
深入拓展：創新小組將正方形繞點D繼續逆時針旋轉，如圖3，當時，連接，若，試判斷此時四邊形的形狀，并說明理由．

25．（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，正方形邊長為4，點在邊上（點與點、不重合），過點作，垂足為，與邊相交于點．
(1)求證：；(2)若的面積為，求的長；
(3)在（2）的條件下，取，的中點，，連接，求的長．

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