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高考數(shù)學(xué)橢圓中常見(jiàn)的焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及應(yīng)用
春暉中學(xué) 過(guò)月圓
定義：橢圓上任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形。
性質(zhì)一：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則。21世紀(jì)教育網(wǎng)
性質(zhì)二：已知橢圓方程為左右兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形，若最大，則點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)
證明：設(shè),由焦半徑公式可知：，
在中，
=

性質(zhì)三：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則
證明：設(shè)則在中，由余弦定理得：

命題得證。
已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為若橢圓上存在一點(diǎn)使得求橢圓的離心率的取值范圍。
簡(jiǎn)解：由橢圓焦點(diǎn)三角形性質(zhì)可知即 ,
于是得到的取值范圍是
性質(zhì)四：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形，則橢圓的離心率。

由正弦定理得：
由等比定理得：
而，
∴。
已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(－1，0)、F2(1，0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中項(xiàng)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若點(diǎn)P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．
解：(1)由題設(shè)2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝
∴橢圓的方程為＝1．
(2)設(shè)∠F1PF2＝θ，則∠PF2F1＝60°－θ
橢圓的離心率
則，
整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)
∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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