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高考數學專題復習——求解圓錐曲線離心率的取值范圍
河北望都中學 張軍紅 072450
求圓錐曲線離心率的取值范圍是高考的一個熱點，也是一個難點，求離心率的難點在于如何建立不等關系定離心率的取值范圍.
一、直接根據題意建立不等關系求解. 21世紀教育網
例1：（08湖南）若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標為的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
解析 由題意可知即解得故選B.
備選（07北京）橢圓的焦點為，，兩條準線與軸的交點分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析 由題意得∴故選D.
二、借助平面幾何關系建立不等關系求解
例2：（07湖南）設分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準線上存在使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D.
分析 通過題設條件可得，求離心率的取值范圍需建立不等關系，如何建立？
解析：∵線段的中垂線過點， ∴，又點P在右準線上，∴
即∴∴，故選D.
點評 建立不等關系是解決問題的難點，而借助平面幾何知識相對來說比較簡便.
三、利用圓錐曲線相關性質建立不等關系求解.
例3：（2008福建）雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
分析 求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等關系，題設是雙曲線一點與兩焦點之間關系應想到用雙曲線第一定義.如何找不等關系呢？
解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|(|PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴
所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.
點評：本題建立不等關系是難點，如果記住一些雙曲線重要結論（雙曲線上任一點到其對應焦點的距離不小于）則可建立不等關系使問題迎刃而解.
備選（04重慶）已知雙曲線的左，右焦點分別為,點P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：( )
A B C D
∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1|(|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴
所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.
備選已知，分別為　的左、右焦點，P為雙曲線右支上任一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A B C D
解析 ，欲使最小值為，需右支上存在一點P，使，而即所以.
例5：已知橢圓右頂為A,點P在橢圓上，O為坐標原點，且OP垂直于PA，求橢圓的離心率e的取值范圍。
解：設P點坐標為（）,則有
消去得若利用求根公式求運算復雜，應注意到方程的一個根為a,由根與系數關系知由得
例6：橢圓：的兩焦點為，橢圓上存在點使. 求橢圓離心率的取值范圍；
解析 設……①
將代入①得 求得 .
點評：中，是橢圓中建立不等關系的重要依據，在求解參數范圍問題中經常使用，應給予重視.
四、運用數形結合建立不等關系求解
例7：（06福建）已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
解析 欲使過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，∴ ≥，即即∴即故選C.
五、運用函數思想求解離心率
例8：（08全國卷Ⅱ）設，則雙曲線的離心率e的取值范圍是
A． B. C. D.
解析：由題意可知∵∴
∴，故選B.
六、運用判別式建立不等關系求解離心率
例9：在橢圓上有一點M，是橢圓的兩個焦點，若，求橢圓的離心率.
解析: 由橢圓的定義，可得 又，所以是方程的兩根，由， 可得，即所以，所以橢圓離心率的取值范圍是
例10：（04全國Ⅰ）設雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
解析 由C與相交于兩個不同的點，故知方程組
有兩個不同的實數解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
所以解得
雙曲線的離心率
∴
所以雙曲線的離心率取值范圍是
總結：在求解圓錐曲線離心率取值范圍時，一定要認真分析題設條件，合理建立不等關系，把握好圓錐曲線的相關性質，記住一些常見結論、不等關系，在做題時不斷總結，擇優解題.尤其運用數形結合時要注意焦點的位置等.

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