資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2024中考數(shù)學(xué)考前一周必備寶典（全國通用）
目 錄
一﹑考前技能篇 3
（1）2024中考數(shù)學(xué)考前沖剌備忘錄（65問基礎(chǔ)知識） 3
（2）中考數(shù)學(xué)核心考點解題方法與策略 3
（3）中考數(shù)學(xué)三種題型的答題技巧 7
二﹑熱點前瞻篇 12
【中考熱點1】數(shù)與式★★★★★ 12
【中考熱點2】方程（組）與不等式（組）★★★★★ 27
【中考熱點3】函數(shù)類綜合問題★★★★★ 46
【中考熱點4】解直角三角形問題★★★★★ 110
【中考熱點5】幾何綜合★★★★★ 140
【中考熱點6】圓的綜合題★★★★★ 197
【中考熱點7】幾何最值問題★★★★★ 238
【中考熱點8】跨學(xué)科綜合題 ★★★ 281
【中考熱點9】閱讀理解題★★★★ 299
三﹑易錯梳理篇 334
【易錯點梳理，61個易錯點匯總】 334
【易錯強化，101道題74個題型匯總】 337
四﹑臨考心理篇 433
1.考前考生需要做哪些準(zhǔn)備 433
2.中考前一天需要做哪些準(zhǔn)備 435
五﹑考場注意篇 436
1.中考數(shù)學(xué)臨場解題策略 436
2.中考數(shù)學(xué)閱卷和答題卡的注意事項 439
六、考后疏導(dǎo)篇 445
中考考后那些事 445
七、終極押題篇 447
2024年中考數(shù)學(xué)終極押題卷 447
2024年中考數(shù)學(xué)終極押題卷參考答案 454
（1）2024中考數(shù)學(xué)考前沖剌備忘錄
為了幫助同學(xué)們回憶和鞏固基礎(chǔ)知識，老師通過對近幾年中考考點的梳理，提出一下65問，希望對同學(xué)們的考前復(fù)習(xí)能有所幫助．
1．相反數(shù)和絕對值的概念和性質(zhì)你記住了嗎？
2．科學(xué)記數(shù)法的正確表示方法和涉及到單位進率你明白了嗎？
3．二次根式有意義的滿足條件是什么？
4．掌握二次根式的性質(zhì)了嗎？
5．算術(shù)平方根和平方根的區(qū)分是否掌握？
6．立方根的性質(zhì)和運算？
7．零指數(shù)冪的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)冪的運算？
8．冪運算的乘除法法則？
9．乘法公式是否熟悉和完全平方公式的靈活應(yīng)變？
10．因式分解的方法又多少種（5種類型），因式分解的步驟？
11．解一元二次方程的方法（4種）？
12．一元二次方程的判別式的意義？
13．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）？
14．掌握解一元一次不等式的步驟？不等式解集在數(shù)軸上的表示？
15．分式有意義的條件？分式的性質(zhì)是什么？
16．解分式方程的步驟和注意事項？
17．直角坐標(biāo)系中各各象限內(nèi)點坐標(biāo)的特征？
18．坐標(biāo)軸上的點的特征掌握了嗎？
19．你能講述兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征嗎？
20．你知道和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征嗎？
21．關(guān)于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標(biāo)的特征是什么？
22．你掌握坐標(biāo)系中的距離公式了嗎？
23．函數(shù)自變量的取值范圍常考的幾種類型知道嗎？
24．正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念的區(qū)分？
25．一次函數(shù)圖像和性質(zhì)？
26．一次函數(shù)和等腰三角形，直角三角形，矩形，菱形和正方形，特殊角的存在性等綜合題都知道做題方法了嗎？
27．反比例函數(shù)的圖像的特征？
28．反比例函數(shù)中k的幾何意義？
29．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)的對稱軸，頂點坐標(biāo)，增減性等？
30．二次函數(shù)y=ax +bx+c(a≠0）中a，b，c的含義？
31．求二次函數(shù)的解析式又多少種方法及什么情況下選用？
32．求二次函數(shù)的最值時要考慮的問題？
33．三角形的三邊關(guān)系？
34．三角形的重要線段的性質(zhì)和意義都清楚嗎？
35．多邊形的內(nèi)角和公式和外交和？
36．多邊形的對角線有關(guān)公式？
37．多邊形的截角問題的分類會嗎？
38．角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)的運用？
39．全等三角形的的性質(zhì)和判定方法？
40．等腰三角形的性質(zhì)是否熟悉，靈活運用？
41．直角三角形的斜邊中線定理？
42．等邊三角形的性質(zhì)和判定方法？
43．直角三角形中30°所對的直角邊和斜邊的關(guān)系？
44．平行四邊形的性質(zhì)和判定定理？
45．矩形的性質(zhì)和判定定理？
46．菱形的性質(zhì)和判定定理？
47．正方形的性質(zhì)和判定定理？
48．是否掌握弧、弦、圓周角和圓心角之間的關(guān)系
49．垂徑定理的模型構(gòu)造，有關(guān)運算及常考的實際應(yīng)用有哪些？
50．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)？
51．圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)運算是否掌握？
52．點和直線與圓的位置關(guān)系是否會判斷？判定切線長的方法？
53．三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)于運算？切線長定理的巧用？
54．弧長公式和扇形面積公式的有關(guān)運算？
55．初中階段的5中尺規(guī)作圖方法？作圖的注意事項？
56．平移﹑旋轉(zhuǎn)﹑軸對稱和中心對稱的概念是什么？中心對稱圖形和軸對稱圖形的區(qū)分？
57．比例線段的性質(zhì)？黃金分割比？
58．相似三角形的判定方法？
59．相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，射影定理？
60．對于“一線三等角”“手拉手模型”“對角互補模型”是否掌握？
61．銳角三角形函數(shù)的特殊角的函數(shù)值是什么？
62．銳角三角函數(shù)常見的實際應(yīng)用是否會解？
63．眾數(shù)﹑中位數(shù)和方差及平均數(shù)的運算及意義？
64．求概率的方法，是否會運用“樹狀圖”/ “列表法”求概率？
65．是否掌握運用頻率估算概率方法？
（2）中考數(shù)學(xué)核心考點解題方法與策略
一、歷年中考數(shù)學(xué)試卷的啟發(fā)
1.解答題的各小問之間有一種階梯關(guān)系，通常后面的問要使用前問的結(jié)論．如果前問是證明，即使不會證明結(jié)論，該結(jié)論在后問中也可以使用．當(dāng)然，我們也要考慮結(jié)論的獨立性；
2.注意題目中的小括號括起來的部分，那往往是解題的關(guān)鍵．
二、解題策略選擇
1.先易后難是所有科目應(yīng)該遵循的原則，而表現(xiàn)在數(shù)學(xué)試卷上顯得更為重要．一般來說，選擇題的后兩題，填空題的后一題，解答題的后兩題是難題．當(dāng)然，對于不同的學(xué)生來說，有的簡單題目也可能是自己的難題，所以題目的難易只能由自己確定．一般來說，小題思考1分鐘還沒有建立解答方案，則應(yīng)采取“暫時性放棄”，把自己可做的題目做完再回頭解答；
2.選擇題有其獨特的解答方法，首先重點把握選擇支也是已知條件，利用選擇支之間的關(guān)系可能使你的答案更準(zhǔn)確．切記不要“小題大做”．
注意解答題按步驟給分，根據(jù)題目的已知條件與問題的聯(lián)系寫出可能用到的公式、方法、或是判斷．雖然不能完全解答，但是也要把自己的想法與做法寫到答題卷上．多寫不會扣分，寫了就可能得分．
（1）直接法
直接法在選擇題中的具體應(yīng)用就是直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)概念、性質(zhì)、公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識，通過嚴(yán)謹(jǐn)推理、準(zhǔn)確運算、合理驗證，從而直接得出正確結(jié)論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，從而確定正確的選擇支．這類選擇題往往是由計算題、應(yīng)用題或證明題改編而來，其基本求解策略是由因?qū)Ч苯忧蠼猓?br/>由于填空題和選擇題相比，缺少選擇支的信息，所以常用到直接法進行求解.直接法是解決選擇、填空題最基本的方法，適用范圍廣，只要運算正確必能得到正確答案，解題時要多角度思考問題，善于簡化運算過程，快速準(zhǔn)確得到結(jié)果.
直接法具體操作起來就是要熟悉試題所要考查的知識點，從而能快速找到相應(yīng)的定理、性質(zhì)、公式等進行求解，比如，幾何試題，很明顯能看到是三角形問題還是四邊形問題或是圓的問題或者是三者的綜合，如果不能直接看出，只能看出是四邊形試題，那就說明，需要對條件進行化簡或轉(zhuǎn)化了，也可快速進入狀態(tài).
（2）排除法
排除法是一種間接解法，也就是我們常說的篩選法、代入驗證法，其實質(zhì)就是舍棄不符合題目要求的選項，找到符合題意的正確結(jié)論．也即通過觀察、分析或推理運算各項提供的信息，對于錯誤的選項，逐一剔除，從而獲得正確的結(jié)論．具體操作起來，我們可以靈活應(yīng)用，合理選取相應(yīng)選項進行快速排除，比如，可以把一些簡單的數(shù)代入，符合條件的話就排除不含這個數(shù)的范圍選項，不符合條件的話就排除含這個數(shù)的范圍選項，即：如果有兩個選項A（）、B（），你就可以選取1這個數(shù)看是否符合題意，如果1符合題意，你就排除B，如果1不符合題意，你就排除A，這樣就能快速找到正確選項，當(dāng)然，選取數(shù)據(jù)時要考慮選項的特征，而不能選取所有選項都含有或都不含有的數(shù)；也可以根據(jù)各個選項對熟悉的知識點進行論證再排除，比如，四個選項當(dāng)中有四個知識點，你就可以把熟悉掌握的知識點進行論證，看是否符合題意即可快速而且正確找到選項，而不會因為某個知識點不會或模棱兩可得到錯誤選項.
而歷年中考的選擇題都采用的是“四選一”型，即選擇項中只有一個是正確的，所以排除法是快速解決部分中考選擇試題從而節(jié)省時間的有效方法.那對于填空題呢，其實也是可以的，比如有些填空題如果你已經(jīng)求出了結(jié)果，但并不確定這個結(jié)果中的某個端點值是否要取，你就可以代入驗證進行排除.所以，我們要熟練掌握這種能幫助你快速找到正確結(jié)論的方法，從而提高解題效率，為后面的試題解答留有更充足的時間！
（3）特例法
特例法對解決有關(guān)數(shù)學(xué)題目是一種非常獨特且十分有效的方法，它可以使繁雜的問題處理簡易化，收到事半功倍的效果.
特例法也就是我們常說的特殊值驗證法，有時也用特殊數(shù)值、特殊圖形、特殊位置代替題設(shè)中普遍條件，得出特殊結(jié)論，再對各選項進行檢驗，從而做出正確的選擇．特別是對于一些比較棘手的中考選擇題或填空題，若能注意到其特殊情況，從特殊性入手，也許就可以簡捷快速地解決問題.
常用的特例有特殊數(shù)值、特殊點、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．特例法是解答選擇題的最佳方法之一，具體是通過特例的方式提高解題速度，題中的一般情況必須滿足我們?nèi)≈档奶厥馇闆r，從而我們選取適當(dāng)?shù)奶刂祹椭覀兊玫秸_的結(jié)論.比如，某個三角形，可以考慮等腰三角形或等邊三角形的情形；某個四邊形，可以考慮平行四邊形或正方形；
特例法具有簡化運算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題或填空題，但使用時一定要注意：（1）取特例盡可能簡單，有利于計算和推理；（2）若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解；（3）當(dāng)正確的選擇對象，在題設(shè)普遍條件下都成立的情況下，用特殊值（取得越簡單越好）進行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律，這是解答本類選擇、填空題的最佳策略.
近年來中考選擇、填空題中可用或結(jié)合用特例法解答的試題能占到30%左右，所以要想快速準(zhǔn)確地贏得時間獲取高分，一定要學(xué)會、會用并且靈活使用特例法！
（4）估算法
估算法一般包括范圍估算，極端值估算和推理估算，是一種快速解決數(shù)學(xué)問題的方法，也是一種高效率得出正確結(jié)論的捷徑.
對于中考數(shù)學(xué)某些問題，當(dāng)我們沒有合適的解題思路或正面解析比較麻煩，特別又是針對選擇題時，不必進行準(zhǔn)確的計算，我們可以通過適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小部分?jǐn)?shù)據(jù)估算出答案的大概范圍或者近似值，也可以通過對其數(shù)值特點和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙嫞隳茏鞒稣_的判斷，這就是估算法．
當(dāng)然，這有時也適合用在填空題中，比如比較大小時.估算法往往可以減少運算量，但是加強了思維的層次，所以我們要學(xué)會靈活運用.
而對于選擇題，實在沒思路時，又不需要解題過程，我們用這種方法還是能很大程度上提高我們的得分率的，比如，求某個圖形的面積或體積，當(dāng)選項差距比較大時，我們只需通過計算一部分比較好計算或自己熟練掌握的，就可以通過比較各選項得出正確結(jié)論.
（5）數(shù)形結(jié)合法
數(shù)形結(jié)合法，也就是我們常說的圖解法，就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的.
在中考中，數(shù)形結(jié)合是一種常用的解題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，特別是在一些計算過程復(fù)雜的函數(shù)等問題中，可以先作出有關(guān)函數(shù)的圖象或者構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，再利用圖示輔助，即參照圖形的做法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征進行直觀分析，從而得出結(jié)論.比如：
①借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法.函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法.
②處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖象的交點問題；
著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.所以，我們一定要學(xué)好并應(yīng)用好數(shù)形結(jié)合的方法.
三、解題思想方法
1.函數(shù)或方程或不等式的題目，先直接思考后建立三者的聯(lián)系．首先考慮定義域，其次使用“三合一定理”；
2.如果在方程或是不等式中出現(xiàn)解的個數(shù)或交點個數(shù)問題，優(yōu)先選擇數(shù)形結(jié)合的思想方法；
3.選擇題與填空題中出現(xiàn)不等式的題目時，優(yōu)選特殊值法；
4.求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)該建立關(guān)于參數(shù)的等式或是不等式，
5.概率與統(tǒng)計的解答題，要注意步驟的多少決定解答的詳略；
6.遇到復(fù)雜的式子可以用換元法，使用換元法必須注意新元的取值范圍，
7.絕對值問題優(yōu)先選擇去絕對值，去絕對值優(yōu)先考慮使用定義；
8.與平移有關(guān)的，注意口訣“左加右減，上加下減”只用于函數(shù)，沿向量平移一定要使用平移公式完成；
9.關(guān)于中心對稱問題，只需使用中點坐標(biāo)公式即可，關(guān)于軸對稱問題，注意兩個等式的運用：一是垂直，一是中點在對稱軸上．
四、每分必爭
1.答題時間共120分鐘，而你要答分?jǐn)?shù)為120分的考卷，算一算就知道，每分鐘應(yīng)該解答1分多的題目，所以每1分鐘的時間都是重要的．試卷發(fā)到手中首先完成必要的檢查（是否有印刷不清楚的地方）與填涂，之后剩下的時間就馬上看試卷中可能使用到的公式，做到心中有數(shù)．用心計算簡單的題目，必要時動一動筆也不是不行（你是寫名字或是寫一個字母沒有人去區(qū)分）．
2.在分?jǐn)?shù)上也是每分必爭．你得到71分與得到72分，雖然只差1分，但是有本質(zhì)的不同，一個是不合格一個是合格．中考中，你得556分與得557分，雖然只差1分，但是它決定你是否可以上重點線，關(guān)系到你的一生．所以，在答卷的時候要精益求精．對選擇題的每一個選擇支進行評估，看與你選的相似的那個是不是更準(zhǔn)確？填空題的范圍書寫是不是集合形式，是不是少或多了一個端點？是不是有一個解應(yīng)該舍去而沒舍？解答題的步驟是不是按照公式、代數(shù)、結(jié)果的格式完成的，應(yīng)用題是不是設(shè)、列、畫（線性歸化）、解、答？根據(jù)已知條件你還能聯(lián)想到什么？把它寫在考卷上，也許它就是你需要的關(guān)鍵的1分，為什么不去做呢？
3.答題的時間緊張是所有同學(xué)的感覺，想讓它變成寬松的方法只有一個，那就是學(xué)會放棄，準(zhǔn)確地判斷把該放棄的放棄，就為你多得1分提供了前提．
4.冷靜一下，表面是耽誤了時間，其實是為自己贏得了機會，可能創(chuàng)造出奇跡．在頭腦混亂的時候，不妨停下來，喝口水，深吸一口氣，再慢慢呼出，就在呼出的同時，你就會得到靈感．
5.題目分析受挫，很可能是一個重要的已知條件被你忽略，所以重新讀題，仔細(xì)讀題才能有所發(fā)現(xiàn)，不能停留在某一固定的思維層面不變．聯(lián)想你做過的類似的題目的解題方法，把不熟悉的轉(zhuǎn)化為你熟悉的也許就是成功．
6.中考只是人生的重要考試之一，其實人生是由每一分鐘組成的．把握好人生的每一分鐘才能真正把握人生．中考就是平常的模擬考試罷了，其實真正的中考是在你生活的每一分鐘里．
（3）中考數(shù)學(xué)三種題型的答題技巧
一、考前準(zhǔn)備
1．調(diào)適心理，增強信心
（1）合理設(shè)置考試目標(biāo)，創(chuàng)設(shè)寬松的應(yīng)考氛圍，以平常心對待高考；
（2）合理安排飲食，提高睡眠質(zhì)量；
（3）保持良好的備考狀態(tài)，不斷進行積極的心理暗示；
（4）靜能生慧，穩(wěn)定情緒，凈化心靈，滿懷信心地迎接即將到來的考試．
2．悉心準(zhǔn)備，不紊不亂
（1）重點復(fù)習(xí)，查缺補漏．對前幾次模擬考試的試題分類梳理、整合，既可按知識分類，也可按數(shù)學(xué)思想方法分類．強化聯(lián)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，以少勝多，以不變應(yīng)萬變．
（2）查找錯題，分析病因，對癥下藥，這是重點工作．
（3）閱讀《考試說明》和《試題分析》，確保沒有知識盲點．
（4）回歸課本，回歸基礎(chǔ)，回歸近幾年中考試題，把握通性通法．
（5）重視書寫表達的規(guī)范性和簡潔性，掌握各類常見題型的表達模式，避免“會而不對，對而不全”現(xiàn)象的出現(xiàn)．
（6）臨考前應(yīng)做一定量的中、低檔題，以達到熟悉基本方法、典型問題的目的，一般不再做難題，要保持清醒的頭腦和良好的競技狀態(tài)．
3．入場臨戰(zhàn)，通覽全卷
最容易導(dǎo)致心理緊張、焦慮和恐懼的是入場后與答卷前的“臨戰(zhàn)”階段，此時保持心態(tài)平穩(wěn)是非常重要的．剛拿到試卷，一般心情比較緊張，不要匆忙作答，可先通覽全卷，盡量從卷面上獲取更多的信息，為實施正確的解題策略作鋪墊，一般可在五分鐘之內(nèi)做完下面幾件事：
（1）填寫好全部考生信息，檢查試卷有無問題；
（2）調(diào)節(jié)情緒，盡快進入考試狀態(tài)，可解答那些一眼就能看得出結(jié)論的簡單選擇題或填空題（一旦解出，信心倍增，情緒立即穩(wěn)定）；
（3）對于不能立即作答的題目，可一邊通覽，一邊粗略地分為A、B兩類：A類指題型比較熟悉、容易上手的題目；B類指題型比較陌生、自我感覺有困難的題目，做到心中有數(shù)．
二、中考數(shù)學(xué)題型特點和答題技巧
1．選擇題——“不擇手段”
題型特點：（1）概念性強：數(shù)學(xué)中的每個術(shù)語、符號，乃至習(xí)慣用語，往往都有明確具體的含義，這個特點反映到選擇題中，表現(xiàn)出來的就是試題的概念性強，試題的陳述和信息的傳遞，都是以數(shù)學(xué)的學(xué)科規(guī)定與習(xí)慣為依據(jù)，決不標(biāo)新立異．
（2）量化突出：數(shù)量關(guān)系的研究是數(shù)學(xué)的一個重要的組成部分，也是數(shù)學(xué)考試中一項主要的內(nèi)容，在中考的數(shù)學(xué)選擇題中，定量型的試題所占的比重很大，而且許多從形式上看為計算定量型選擇題，其實不是簡單或機械的計算問題，其中往往蘊含了對概念、原理、性質(zhì)和法則的考查，把這種考查與定量計算緊密地結(jié)合在一起，形成了量化突出的試題特點．
（3）充滿思辨性：這個特點源于數(shù)學(xué)的高度抽象性、系統(tǒng)性和邏輯性．作為數(shù)學(xué)選擇題，尤其是作為選擇性考試的中考數(shù)學(xué)試題，只憑簡單計算或直觀感知便能正確作答的試題不多，幾乎可以說并不存在，絕大多數(shù)的選擇題，為了正確作答，或多或少總是要求考生具備一定的觀察、分析和邏輯推斷能力．思辨性的要求充滿題目的字里行間．
（4）形數(shù)兼?zhèn)洌簲?shù)學(xué)的研究對象不僅是數(shù)，還有圖形，而且對數(shù)和圖形的討論與研究，并不是孤立開來分割進行的，而是有分有合，將它們辯證統(tǒng)一起來．這個特色在中中數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到充分的顯露．因此，在中考的數(shù)學(xué)選擇題中，便反映出形數(shù)兼?zhèn)溥@一特點，其表現(xiàn)是幾何選擇題中常常隱藏著代數(shù)問題，而代數(shù)選擇題中往往又寓有幾何圖形的問題．因此，數(shù)形結(jié)合的解題方法是中考數(shù)學(xué)選擇題的一種重要且有效的思想方法與解題方法．
（5）解法多樣化：與其他學(xué)科比較，“一題多解”的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)中表現(xiàn)突出，尤其是數(shù)學(xué)選擇題由于它有備選項，給試題的解答提供了豐富的有用信息，有相當(dāng)大的提示性，為解題活動展現(xiàn)了廣闊的天地，大大地增加了解答的途徑和方法，而且常常潛藏著極其巧妙的解法，有利于對考生思維深度的考查．
解題策略：（1）注意審題．把題目多讀幾遍，弄清這道題目求什么，已知什么，求、知之間有什么關(guān)系，把題目搞清楚了再動手答題．
（2）答題順序不一定按題號進行．可先從自己熟悉的題目答起，從有把握的題目入手，使自己盡快進入到解題狀態(tài)，產(chǎn)生解題的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的題目．若有時間，再去拼那些把握不大或無從下手的題目．這樣也許能超水平發(fā)揮．
（3）數(shù)學(xué)選擇題大約有70%的題目都是直接法，要注意對符號、概念、公式、定理及性質(zhì)等的理解和使用，例如函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的性質(zhì)就是常見題目．
（4）挖掘隱含條件，注意易錯、易混點．
（5）方法多樣，不擇手段．中考試題凸顯能力，小題要小做，注意巧解，善于使用數(shù)形結(jié)合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊圖形）、排除、驗證、轉(zhuǎn)化、分析、估算、極限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答．不要在一兩道小題上糾纏，杜絕小題大做，如果確實沒有思路，也要堅定信心，“題可以不會，但是要做對”，即使是“蒙”，也有25%的正確率．
（6）控制時間．一般不要超過40分鐘，最好是25分鐘左右完成選擇題，爭取又快又準(zhǔn)，為后面的解答題留下充裕的時間，防止“超時失分”．
2．填空題——“直撲結(jié)果”
題型特點： 填空題和選擇題同屬客觀性試題，它們有許多共同特點：其形態(tài)短小精悍，考查目標(biāo)集中，答案簡短、明確、具體，不必填寫解析過程，評分客觀、公正、準(zhǔn)確等等，不過填空題和選擇題也有質(zhì)的區(qū)別．首先，填空題沒有備選項，因此，解答時既有不受誘誤的干擾之好處，又有缺乏提示的幫助之不足．對考生獨立思考和求解，在能力要求上會高一些．長期以來，填空題的答對率一直低于選擇題的答對率，也許這就是一個重要的原因．其次，填空題的結(jié)構(gòu)，往往是在一個正確的命題或斷言中，抽去其中的一些內(nèi)容（既可以是條件，也可以是結(jié)論），留下空位，讓考生獨立填上，考查方法比較靈活，在對題目的閱讀理解上，較之選擇題有時會顯得較為費勁．當(dāng)然并非常常如此，這將取決于命題者對試題的設(shè)計意圖．
填空題的考點少，目標(biāo)集中．否則，試題的區(qū)分度差，其考試的信度和效度都難以得到保證．這是因為：填空題要是考點多，解析過程長，影響結(jié)論的因素多，那么對于答錯的考生便難以知道其出錯的真正原因，有的可能是一竅不通，入手就錯了；有的可能只是到了最后一步才出錯，但他們在答卷上表現(xiàn)出來的情況一樣，可以得到相同的成績，盡管他們的水平存在很大的差異．
解題策略：由于填空題和選擇題有相似之處，所以有些解題策略是可以共用的，在此不再多講，只針對不同的特征給幾條建議：
一是填空題絕大多數(shù)是計算型（尤其是推理計算型）和概念（或性質(zhì)）判斷性的試題，應(yīng)答時必須按規(guī)則進行切實的計算或合乎邏輯的推演和判斷；
二是作答的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確，形式規(guī)范，例如集合形式的表示、函數(shù)表達式的完整等，結(jié)果稍有毛病便是零分；
三是《考試說明》中對解答填空題提出的要求是“正確、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——運算要快，力戒小題大做；穩(wěn)——變形要穩(wěn)，防止操之過急；全——答案要全，避免對而不全；活——解題要活，不要生搬硬套；細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意．
3．解答題——“步步為營”
題型特點：解答題與填空題比較，同為提供型的試題，但也有本質(zhì)的區(qū)別，首先，解答題應(yīng)答時，考生不僅要提供出最后的結(jié)論，還得寫出或說出解析過程的主要步驟，提供合理、合法的說明，填空題則無此要求，只要填寫結(jié)果，省略過程，而且所填結(jié)果應(yīng)力求簡練、準(zhǔn)確；其次，解答題比起填空題試題內(nèi)涵要豐富得多，解答題的考點相對較多，綜合性強，難度較高，解答題成績的評定不僅看最后的結(jié)論，還要看其推演和論證過程，分情況判定分?jǐn)?shù)，用以反映其差別，因而解答題命題的自由度較之填空題大得多．
數(shù)學(xué)解答題的評分辦法：數(shù)學(xué)高考閱卷評分施行懂多少知識給多少分的評分辦法，叫做“分段評分”．而考生“分段得分”的基本策略是：會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分．會做的題目若不注意準(zhǔn)確表達和規(guī)范書寫，常常會被“分段扣分”，解答題閱卷的評分原則一般是：第一問，錯或未做，而第二問對，則第二問得分全給；前面錯引起后面方法用對但結(jié)果出錯，則后面給一半分．
解題策略：（1）常見失分因素：①對題意缺乏正確的理解，應(yīng)做到慢審題快做題；②公式記憶不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性質(zhì)等；③思維不嚴(yán)謹(jǐn)，不要忽視易錯點；④解題步驟不規(guī)范，一定要按課本要求，否則會因不規(guī)范答題而失分，避免“對而不全”，如解概率題時，要給出適當(dāng)?shù)奈淖终f明，不能只列幾個式子或單純的結(jié)論，表達不規(guī)范、字跡不工整等非智力因素會影響閱卷老師的“感情分”；⑤計算能力差導(dǎo)致失分多，會做的試題一定不能放過，不能一味求快，⑥輕易放棄試題，難題不會做時，可分解成小問題，分步解決，如最起碼能將文字語言翻譯成符號語言、設(shè)應(yīng)用題未知數(shù)、設(shè)軌跡的動點坐標(biāo)等，都能拿分．也許隨著這些小步驟的羅列，還能悟出解題的靈感．
（2）何為“分段得分”：對于同一道題目，有的人理解的深，有的人理解的淺；有的人解決的多，有的人解決的少．為了區(qū)分這種情況，中考的閱卷評分辦法是懂多少知識就給多少分．這種方法我們叫它“分段評分”，或者“踩點給分”——踩上知識點就得分，踩得多就多得分．與之對應(yīng)的“分段得分”的基本精神是，會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分．對于會做的題目，要解決“會而不對，對而不全”這個老大難問題．有的考生拿到題目，明明會做，但最終答案卻是錯的——會而不對．有的考生答案雖然對，但中間有邏輯缺陷或概念錯誤，或缺少關(guān)鍵步驟——對而不全．因此，會做的題目要特別注意表達的準(zhǔn)確、考慮的周密、書寫的規(guī)范、語言的科學(xué)，防止被“分段扣分”．經(jīng)驗表明，對于考生會做的題目，閱卷老師則更注意找其中的合理成分，分段給點分，所以“做不出來的題目得一二分易，做得出來的題目得滿分難”．
對絕大多數(shù)考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中分段得點分．我們說，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略．把你解題的真實過程原原本本寫出來，就是“分段得分”的全部秘密．
①缺步解答：如果遇到一個很困難的問題，確實啃不動，一個聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗．特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經(jīng)程序化了的方法，每一步得分點的演算都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分?jǐn)?shù)卻已過半，這叫“大題拿小分”．
②跳步答題：解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的．這時，我們可以先承認(rèn)中間結(jié)論，往后推，看能否得到結(jié)論．如果不能，說明這個途徑不對，立即改變方向；如果能得出預(yù)期結(jié)論，就回過頭來，集中力量攻克這一“卡殼處”．由于考試時間的限制，“卡殼處”的攻克如果來不及了，就可以把前面的寫下來，再寫出“證實某步之后，繼續(xù)有……”一直做到底．也許，后來中間步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補在后面．若題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作為“已知”，先做第二問，這也是跳步解答．
③退步解答：“以退求進”是一個重要的解題策略．如果你不能解決所提出的問題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復(fù)雜退到簡單，從整體退到部分，從較強的結(jié)論退到較弱的結(jié)論．總之，退到一個你能夠解決的問題．為了不產(chǎn)生“以偏概全”的誤解，應(yīng)開門見山寫上“本題分幾種情況”．這樣，還會為尋找正確的、一般性的解法提供有意義的啟發(fā)．
④輔助解答：一道題目的完整解答，既有主要的實質(zhì)性的步驟，也有次要的輔助性的步驟．實質(zhì)性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉．如：準(zhǔn)確作圖，把題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達式，設(shè)應(yīng)用題的未知數(shù)等．答卷中要做到穩(wěn)扎穩(wěn)打，字字有據(jù)，步步準(zhǔn)確，盡量一次成功，提高成功率．試題做完后要認(rèn)真做好解后檢查，看是否有空題，答卷是否準(zhǔn)確，所寫字母與題中圖形上的是否一致，格式是否規(guī)范，尤其是要審查字母、符號是否抄錯，在確信萬無一失后方可交卷．
（3）能力不同，要求有變： 由于考生的層次不同，面對同一張數(shù)學(xué)試卷，要盡可能發(fā)揮自己的水平，考試策略也有所不同．針對基礎(chǔ)較差的考生而言要“以穩(wěn)取勝”——這類考生除了知識方面的缺陷外，“會而不對，對而不全”是這類考生的致命傷．丟分的主要原因在于審題失誤和計算失誤．考試時要克服急躁心態(tài)，如果發(fā)現(xiàn)做不下去，就盡早放棄，把時間用于檢查已做的題，或回頭再做前面沒做的題．記住，只要把你會做的題都做對，你就是最成功的人！部分優(yōu)生而言要“以準(zhǔn)取勝”——他們基礎(chǔ)比較扎實，但也會犯低級錯誤，所以，考試時要做到準(zhǔn)確無誤（指會做的題目），除了最后兩題的最后一問不一定能做出，其他題目大都在“火力范圍”內(nèi)．但前面可能遇到“攔路虎”，要敢于放棄，把會做的題做得準(zhǔn)確無誤，再回來“打虎”．針對第一志愿為名校的考生而言要“以新取勝”——這些考生的主攻方向是能力型試題，在快速、正確做好常規(guī)試題的前提下，集中精力做好能力題．這些試題往往思考強度大，運算要求高，解題需要新的思想和方法，要靈活把握，見機行事．如果遇到不順手的試題，也不必恐慌，可能是試題較難，大家都一樣，此時，使會做的題不丟分就是上策．
二﹑熱點前瞻篇
【中考熱點1】數(shù)與式★★★★★
【考情分析】
每年必考的送分題，做好第一題很重要．“數(shù)與式”包括有理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式、整式與分式四個部分．?dāng)?shù)與式滲透后面各部分內(nèi)容之中，聯(lián)系著所有數(shù)學(xué)知識．它是開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的基礎(chǔ)，也是中考的重要考點之一．?dāng)?shù)與式的考題一般以填空、選擇或解答題的形式出現(xiàn)．這部分內(nèi)容的考題難度不大，但涉及的基本概念和知識點較多．
【滿分技巧】
實數(shù)：理解有理數(shù)、無理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、近似數(shù)、有效數(shù)字、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念．知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，并會求一個數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值．會用科學(xué)記數(shù)法表示一個數(shù)，能按要求用四舍五入法求一個數(shù)的近似值．能正確運用實數(shù)的運算法則進行實數(shù)的混合運算．理解實數(shù)的運算律，并能運用運算律簡化運算．能運用實數(shù)的運算解決簡單的問題．會用各種方法比較兩個實數(shù)的大小．
整式：了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；了解整式的概念和有關(guān)法則，會進行簡單的整式加、減、乘、除運算；掌握平方差公式和完全平方公式，并了解其幾何背景，會進行簡單的計算；會用提公因式法、公式法進行因式分解．
分式：了解分式的概念，會利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分，會進行簡單的分式加、減、乘、除、乘方及混合運算．
二次根式：了解二次根式的概念、性質(zhì)及其加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單四則運算．
代數(shù)式：理解用字母表示數(shù)的意義，能分析簡單問題，并能用代數(shù)式表示，能解釋簡單代數(shù)式的實際背景或幾何意義，會求代數(shù)式的值
【2024年中考預(yù)測】
一、選擇題（共21小題）
1．（2024 海淀區(qū)一模）據(jù)報道，2024年春節(jié)假期北京接待游客約1750萬人次，旅游收入同比增長近四成．將17500000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（　　）
A．175×105 B．1.75×106 C．1.75×107 D．0.175×108
【答案】C
【解析】解：17500000＝1.75×107．
故選：C．
2．（2024 遼寧模擬）下列計算正確的是（　　）
A．a(chǎn)3 a4＝a12 B．（2a2）3＝2a6
C．a(chǎn)2+a2＝2a2 D．（a+2）2＝a2+4
【答案】C
【解析】解：a3 a4＝a7，則A不符合題意；
（2a2）3＝8a6，則B不符合題意；
a2+a2＝2a2，則C符合題意；
（a+2）2＝a2+4a+4，則D不符合題意；
故選：C．
3．（2024 德惠市一模）將一個長為2a，寬為2b的矩形紙片（a＞b），用剪刀沿圖1中的虛線剪開，分成四塊形狀和大小都一樣的小矩形紙片，然后按圖2的方式拼成一個正方形，則中間小正方形的面積為（　　）
A．a(chǎn)2+b2 B．a(chǎn)2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
【答案】D
【解析】解：中間空的部分的面積＝大正方形的面積﹣4個小長方形的面積，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故選：D．
4．（2024 靜安區(qū)二模）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的為（　　）
A． B． C．π0 D．
【答案】B
【解析】解：A、＝2，2是有理數(shù)，不符合題意；
B、是無理數(shù)，符合題意；
C、π0＝1，1是有理數(shù)，不符合題意；
D、是有理數(shù)，不符合題意．
故選：B．
5．（2024 福田區(qū)模擬）已知多項式3mx2+3y﹣3﹣15x2+2中不含x2項，則m的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．3 D．15
【答案】A
【解析】解：3mx2+3y﹣3﹣15x2+2
＝（3mx2﹣15x2）+3y﹣（3﹣2）
＝（3m﹣15）x2+3y﹣1，
因為化簡后不含x2項，則3m﹣15＝0，
解得m＝5，
故選：A．
6．（2024 邵東市一模）在﹣2024，，0，1這四個有理數(shù)中，最小的數(shù)是（　　）
A．﹣2024 B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】解：∵|﹣2024|＝2024，|﹣|＝，
∴2024＞，
∴﹣2024＜﹣，
在﹣2024，，0，1這四個有理數(shù)中，
∵﹣2024＜﹣＜0＜1，
∴最小的數(shù)是﹣2024，
故選：A．
7．（2023秋 臺州期末）如果把分式中的m和n都擴大3倍，那么分式的值（　　）
A．?dāng)U大6倍 B．縮小3倍 C．不變 D．?dāng)U大3倍
【答案】C
【解析】解：，
∴把分式中的m和n都擴大3倍，分式的值不變，
故選：C．
8．（2024 蘭州模擬）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，下列結(jié)論正確的是（　　）
A．a(chǎn)＞﹣2 B．a(chǎn)+b＞0 C．|a|＜|b| D．b﹣a＞0
【答案】D
【解析】解：由數(shù)軸可知，﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，
A、∵﹣3＜a＜﹣2，∴a＜﹣2，故選項A不符合題意；
B、∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴a+b＜0，故選項B不符合題意；
C、∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴3＞|a|＞2，2＞|b|＞1，∴|a|＞|b|，故選項C不符合題意；
D、∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴2＜﹣a＜3，∴3＜b﹣a＜5，∴b﹣a＞0，故選項D符合題意；
故選：D．
9．（2024 雅安模擬）若分式的值為0，則x的值為（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【答案】C
【解析】解：∵分式的值為0，
∴x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故選：C．
10．（2024 香洲區(qū)校級一模）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意，得
x﹣3≥0，
解得x≥3；
故選：B．
11．（2024 宜昌模擬）2024年1月1日，某地4個時刻的氣溫（單位：℃）分別為﹣4，0，1，﹣3，其中最低的氣溫是（　　）
A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣3
【答案】A
【解析】解：∵﹣4℃＜﹣3℃＜0℃＜1℃，
∴最低的氣溫是﹣4℃；
故選：A．
12．（2024 海淀區(qū)校級模擬）如果x2+2x﹣2＝0，那么代數(shù)式x（x+2）+（x+1）2的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣3
【答案】B
【解析】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
則原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝5，
故選：B．
13．（2024 利津縣一模）16的算術(shù)平方根是（　　）
A．±4 B．±2 C．4 D．﹣4
【答案】C
【解析】解：＝4，
∴16的算術(shù)平方根是4．
故選：C．
14．（2024 南崗區(qū)校級一模）小王利用計算機設(shè)計了一個計算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如表：
輸入 … 1 2 3 4 5 …
輸出 … …
那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)為8時，輸出的數(shù)據(jù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵由表格可知，輸入的數(shù)據(jù)與輸出的數(shù)據(jù)的分子相同，而輸出數(shù)據(jù)的分母正好是分子的平方加1，
∴當(dāng)輸入數(shù)據(jù)為8時，輸出的數(shù)據(jù)為：＝．
故選項A錯誤，選項B錯誤，選項C正確，項D錯誤．
故選：C．
15．（2024 武威二模）數(shù)軸上，有理數(shù)a、b、﹣a、c的位置如圖，則化簡|a+c|+|a+b|+|c﹣b|的結(jié)果為（　　）
A．2a+2c B．2a+2b C．2c﹣2b D．0
【答案】C
【解析】解：由圖可知a＜0＜b＜﹣a＜c，
∴a+c＞0，a+b＜0，c﹣b＞0，
∴|a+c|+|a+b|+|c﹣b|＝a+c﹣a﹣b+c﹣b＝2c﹣2b．
故選：C．
16．（2024 江西模擬）正奇數(shù)1，3，5，7，9，…，按如下規(guī)律排列，則第8排從左數(shù)第2個數(shù)是（　　）
A．57 B．59 C．61 D．63
【答案】B
【解析】解：由題知，
第1行奇數(shù)個數(shù)為1，第2行奇數(shù)個數(shù)為2，第3行奇數(shù)個數(shù)為3，…，
所以前n行奇數(shù)的總個數(shù)為：1+2+3+…+n＝．
當(dāng)n＝7時，
，
即前7排的奇數(shù)總個數(shù)為28，
又因為2×28﹣1＝55，
即第7排從左往右最后一個數(shù)為55，
所以第8排從左數(shù)第2個數(shù)是59．
故選：B．
17．（2024 潼南區(qū)一模）有依次排列的兩個整式A＝x2﹣1，B＝x2+x，用后一個整式B與前一個整式A作差后得到新的整式記為C1，用整式C1與前一個整式B作差后得到新的整式C2，用整式C2與前一個整式C1作差后得到新的整式C3，…，依次進行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列說法：
①當(dāng)x＝a時，C5＝（a+1）2；
②整式C10與整式C14結(jié)果相同；
③當(dāng)C9 C2＝0時，A B＝0；
④＝+2．
其中，正確的個數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】解：由題意依次計算可得：
C1＝B﹣A＝x+1，
C2＝x+1﹣x2﹣x＝﹣x2+1，
C3＝﹣x2+1﹣x﹣1＝﹣x2﹣x，
C4＝﹣x2﹣x+x2﹣1＝﹣x﹣1，
C5＝﹣x﹣1+x2+x＝x2﹣1，
C6＝x2﹣1+x+1＝x2+x，
C7＝x+1，
以此類推，6個一循環(huán)，
∴當(dāng)x＝a時，C5＝a2﹣1，故①錯誤，
整式C10與整式C4結(jié)果相同，整式C14與整式C2結(jié)果相同，故②錯誤，
當(dāng)C9 C2＝0時，則C3 C2＝0，
∴﹣x2+1＝0或﹣x2﹣x＝0，
∴x＝±1或0，
∴A B＝0，故③正確，
∵C2024＝C2，C2023＝C1，C2021＝C5，
∴＝＝﹣x+1，
+2＝+2＝x﹣1+2＝x+1，故④錯誤，
故選：A．
18．（2024 澄海區(qū)校級模擬）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A.＝2，被開方數(shù)含有開方開得盡的因式，故不符合題意；
B.＝4，被開方數(shù)是完全平方數(shù)，故不符合題意；
C.是最簡二次根式，故符合題意；
D.＝，被開方數(shù)是小數(shù)，故不符合題意．
故選：C．
19．（2024 南開區(qū)一模）計算的結(jié)果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故選：A．
20．（2024 甌海區(qū)模擬）已知＝（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，即
，即
∴．
故選：D．
21．（2024 涼州區(qū)校級模擬）下列四個說法：（1）的系數(shù)是，（2）﹣是多項式，（3）x2﹣2xy﹣3的常數(shù)項是3，（4）﹣2yx2與2x2y是同類項，其中正確的是（　　）
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2） D．（3）（4）
【答案】B
【解析】解：（1）的系數(shù)是π，故原題說法錯誤，不符合題意；
（2）﹣是多項式，故原題說法正確，符合題意；
（3）x2﹣2xy﹣3的常數(shù)項是﹣3，故原題說法錯誤，不符合題意；
（4）﹣2yx2與2x2y是同類項，故原題說法正確，符合題意；
本題正確的有：（2）和（4），
故選：B．
二、填空題（共5小題）
22．（2024 漣源市模擬）分解因式：x2y﹣4y3＝　 　．
【答案】y（x+2y）（x﹣2y）．
【解析】解：原式＝y(tǒng)（x2﹣4y2）
＝y(tǒng)（x+2y）（x﹣2y）．
故答案為：y（x+2y）（x﹣2y）．
23．（2024 大東區(qū)模擬）計算的結(jié)果是　 　．
【答案】﹣．
【解析】解：
＝﹣3
＝2﹣3
＝﹣，
故答案為：﹣．
24．（2024 孝感一模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序）的系數(shù)規(guī)律，例如：此三角形中第3行的3個數(shù)1、2、1，恰好對應(yīng)著（a+b）2＝a2+2ab+b2展開式中的各項的系數(shù)，則（a+b）2024的展開式中含a2023項的系數(shù)是　 　．
【答案】2024．
【解析】解：根據(jù)圖中所給等式，
（a+b）2展開式的第二項為2ab＝2a2﹣1b，
（a+b）3展開式的第二項為3a2b＝3a3﹣1b，
（a+b）4展開式的第二項為4a3b＝4a4﹣1b，
……，
根據(jù)變化規(guī)律，（a+b）n展開式的第二項為nan﹣1b，
∴（a+b）2024的展開式中含a2023項是第二項，系數(shù)是2023+1＝2024，
故答案為：2024．
25．（2024 武威二模）如圖，半徑為1個單位長度的圓沿數(shù)軸從實數(shù)﹣1對應(yīng)的點向右滾動一周，圓上的A點恰好與點B重合，則點B對應(yīng)的實數(shù)是　 　．
【答案】2π﹣1．
【解析】解：圓滾動一周經(jīng)過的距離等于圓的周長，
該圓的周長為2π×1＝2π，
∴點B對應(yīng)的實數(shù)是﹣1+2π＝2π﹣1．
故答案為：2π﹣1．
26．（2024 番禺區(qū)校級一模）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進行各式各樣的排列和分類，叫做“形數(shù)”．如圖為正方形數(shù)，根據(jù)圖中點的數(shù)量規(guī)律，第n個圖形中的點數(shù)為　 　．
【答案】n2．
【解析】解：由圖片可知，第1個圖形的點數(shù)為：12＝1；
第2個圖形的點數(shù)為：22＝4；
第3個圖形的點數(shù)為：32＝9；

第n個圖形的點數(shù)為：n2；
故答案為：n2．
三、解答題（共6小題）
27．（2024 海淀區(qū)校級模擬）計算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．
【解析】解：原式＝1﹣2×+2+2
＝1﹣1+2+2
＝4．
28．（2024 鹽城模擬）先化簡，再求值：，其中x＝4．
【解析】解：原式＝（+）
＝
＝
＝x﹣1，
當(dāng)x＝4時，原式＝4﹣1＝3．
29．（2024 邯鄲模擬）計算：（﹣6）×（﹣■）﹣23．
圓圓在做作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)題中有一個數(shù)字被墨水污染了．
（1）如果被污染的數(shù)字是，請計算（﹣6）×（﹣）﹣23．
（2）如果計算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．
【解析】解：（1）（﹣6）×（﹣）﹣23
＝（﹣6）×﹣8
＝﹣1﹣8
＝﹣9；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，
根據(jù)題意得：（﹣6）×（﹣x）﹣23＝6，
解得：x＝3，
答：被污染的數(shù)字是3．
30．（2024 正定縣一模）在七年級活動課上，有三位同學(xué)各拿一張卡片，卡片上分別為A，B，C三個代數(shù)式，三張卡片如下，其中C的代數(shù)式是未知的．
A＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1 B＝﹣2（x2﹣x+2） C
（1）若A為二次二項式，則k的值為 　1　；
（2）若A﹣B的結(jié)果為常數(shù)，則這個常數(shù)是 　5　，此時k的值為 　﹣1　；
（3）當(dāng)k＝﹣1時，C+2A＝B，求C．
【答案】（1）1；
（2）5，﹣1；
（3）2x2﹣2x﹣6．
【解析】解：（1）∵A＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1，A為二次二項式，
∴k﹣1＝0，
解得k＝1，
故答案為：1；
（2）∵A＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1，B＝﹣2（x2﹣x+2），
∴A﹣B
＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1﹣[﹣2（x2﹣x+2）]
＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1+2x2﹣2x+4
＝﹣（k+1）x+5，
∵A﹣B的結(jié)果為常數(shù)，
∴k+1＝0，
解得k＝﹣1，
即若A﹣B的結(jié)果為常數(shù)，則這個常數(shù)是5，此時k的值為﹣1，
故答案為：5，﹣1；
（3）當(dāng)k＝﹣1時，A＝﹣2x2+2x+1，B＝﹣2（x2﹣x+2），
∵C+2A＝B，
∴C＝B﹣2A
＝﹣2（x2﹣x+2）﹣2（﹣2x2+2x+1）
＝﹣2x2+2x﹣4+4x2﹣4x﹣2
＝2x2﹣2x﹣6．
31．（2024 南昌縣一模）以下是某同學(xué)化簡分式（﹣）÷的部分運算過程：
解：原式＝[﹣]×① ＝[﹣]×② ＝×③ … 解：
（1）上面的運算過程中第　　 步出現(xiàn)了錯誤；
（2）請你寫出完整的解析過程．
【答案】（1）③；
（2）見解析過程．
【解析】解：（1）第③步出現(xiàn)錯誤，原因是分子相減時未變號，
故答案為：③；
（2）原式＝[﹣]×，
＝[﹣]×，
＝×，
＝×，
＝．
故答案為：．
32．（2024 武安市二模）（1）若關(guān)于a，b的多項式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab項，則m的值為　 　．
（2）完全平方公式經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多數(shù)學(xué)問題．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2，
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根據(jù)上面的解題思路與方法解決下列問題：
（i）如圖，點C是線段AB上的一點，分別以AC，BC為邊向直線AB兩側(cè)作正方形BCFG，正方形AEDC，設(shè)AB＝8，兩正方形的面積和為40，則△AFC的面積為　 　；
（ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值．
【答案】（1）6；
（2）（i）6；（ii）5．
【解析】解：（1）3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）
＝3a2﹣6ab+3b2﹣2a2+mab﹣2b2
＝a2+（m﹣6）ab+b2，
∵不含有ab項，
∴m﹣6＝0，
∴m＝6，
故答案為：6．
（2）（i）設(shè)正方形BCFG和AEDC的邊長分別為a和b，則△AFC的面積為ab．
根據(jù)題意，得a+b＝8，a2+b2＝40，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64，
∴ab＝12，
∴S△AFC＝×12＝6，
故答案為：6．
（ii）令（9﹣x）＝m，（x﹣6）＝n，則（9﹣x）2+（x﹣6）2＝m2+n2，
∴m+n＝3，mn＝2，
∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝9，
∴m2+n2＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣6）2＝5．
【中考熱點2】方程（組）與不等式（組）★★★★★
【考情分析】
在各地中考中，方程(組)與不等式(組)主要考查有兩方面:一是計算，整體來說命題都是中規(guī)中矩;二是應(yīng)用，時常命題新穎，目出題類型比較廣泛，選擇題、填空題、解答題都有可能出現(xiàn)，是屬干占分較多的一類考點，分值設(shè)在15分左右，整體來看試題難度不大，厘干中考中的中等題，所以在中考復(fù)習(xí)時，需要考生對計算部分的易錯點多加重視，而應(yīng)用類則需要認(rèn)直審題，根據(jù)應(yīng)用的處理步驟完成即可．
【滿分技巧】
1.一次方程（組）：熟記定義，熟悉解法步驟，注重基礎(chǔ)計算格式及其準(zhǔn)確性，實際應(yīng)用找準(zhǔn)等量關(guān)系；
一次方程（組）如果考定義或者實際應(yīng)用時，多以選擇、填空題形式出現(xiàn)，這就從問題本身降低了難度，但是也要求必須對這部分的定義或?qū)嶋H應(yīng)用的等量關(guān)系較為熟悉才能更快更準(zhǔn)確的拿分．而對一次方程（組）解法的考察，多在于其解法步驟上，所以基本各類方程的解法步驟必須熟悉．
2.不等式（組）：熟記解法步驟，注意是否變號，畫解集：＞向右，＜向左，實際應(yīng)用找準(zhǔn)不等量關(guān)系；
不等式（組）解法的考察多以解答題的形式出現(xiàn)，還會要求在數(shù)軸上畫出解集，這類問題一是不能漏畫解集，二是實心、空心，向左、向右不要搞反了．不等式（組）的實際應(yīng)用問題，也基本都是以解答題形式出現(xiàn)，并且常和二元一次方程組結(jié)合考察，分值較高，復(fù)習(xí)時需要不留“死角”．
3.分式方程及其應(yīng)用：解分式方程勿忘驗根；
分式方程的考察不管是單獨的解分式方程，還是分式方程的應(yīng)用題，在解完方程之后，都需要加上“驗根”這一步，這步缺失是要扣分的．其他注意事項同一次方程（組）．
4.一元二次方程：考定義要注意“2次”與“系數(shù)≠0”要同時成立；考解的情況想“b2-4ac”；考兩根關(guān)系想“根與系數(shù)的關(guān)系”；
中考中對一元二次方程的考察是多方面的，每個考點都有不同的考察方向，而且，一元二次方程還可以結(jié)合二次函數(shù)同時考察，有些考點的變形就更多.中考復(fù)習(xí)時，需要對一元二次方程的各個知識重點都加以重視，遇到問題隨機應(yīng)變．
【2024年中考預(yù)測】
一、選擇題（共18小題）
1．（2024 北流市一模）已知方程x2﹣3x+2＝0的兩根是x1，x2，則x1+x2﹣x1 x2的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】解：由題意可得，x1+x2＝3，x1 x2＝2，
∴x1+x2﹣x1 x2＝3﹣2＝1．
故選：A．
2．（2024 安陽模擬）若a，b是方程的兩個根，則的值為（　　）
A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．20
【答案】C
【解析】解：由題知，
因為a，b是方程的兩個根，
所以a+b＝，ab＝，
所以＝＝．
故選：C．
3．（2024 福田區(qū)模擬）已知點P（a，a+1）在平面直角坐標(biāo)系的第二象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵點P（a，a+1）在平面直角坐標(biāo)系的第二象限，
∴，
解得﹣1＜a＜0，
故選：C．
4．（2024 邵東市一模）《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，如圖，它的局部畫面裝裱前是一個長為2.4米，寬為1.4米的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長的比是8：13，且四周邊襯的寬度相等，則邊襯的寬度應(yīng)是多少米？設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意可列方程為（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】D
【解析】解：由題意可得，
＝，
故選：D．
5．（2024 蘭州模擬）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題：今有上禾三秉，益實六斗，當(dāng)下禾十秉．下禾五秉，益實一斗，當(dāng)上禾二秉．問上、下禾實一秉各幾何？大意是：3束上等禾的產(chǎn)量再加6斗，相當(dāng)于10束下等禾的產(chǎn)量；5束下等禾的產(chǎn)量再加1斗，相當(dāng)于2束上等禾的產(chǎn)量．問上等禾、下等禾每束的產(chǎn)量各為幾斗？
設(shè)上等禾每束產(chǎn)量x斗，下等禾每束產(chǎn)量y斗，根據(jù)題意可列方程組為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：根據(jù)題意知：．
故選：A．
6．（2024 金山區(qū)二模）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有實數(shù)根，那么a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜1
【答案】A
【解析】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，
解得a≤1，
即a的取值范圍為a≤1．
故選：A．
7．（2024 喀喇沁旗模擬）紅星中學(xué)初三、②班十幾名同學(xué)畢業(yè)前和數(shù)學(xué)老師合影留念，一張彩色底片要0.6元，擴印一張相片0.5元，每人分一張，免費送老師一張（由學(xué)生出錢），每個學(xué)生交0.6元剛好，相片上共有多少人（　　）
A．13個 B．12個 C．11個 D．無法確定
【答案】B
【解析】解：設(shè)相片上共有x人，則相片上共有（x﹣1）名學(xué)生，
根據(jù)題意得：0.6+0.5x＝0.6（x﹣1），
解得：x＝12，
∴相片上共有12人．
故選：B．
8．（2024 青島一模）《孫子算經(jīng)》記載：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”（尺、寸是長度單位，1尺＝10寸）．意思是，現(xiàn)有一根長木，不知道其長短．用一根繩子去度量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再度量長木，長木還剩余1尺．問長木長多少？設(shè)長木長為x尺，則可列方程為（　　）
A．x+4.5＝2（x﹣1） B．x+4.5＝2（x+1）
C．x﹣4.5＝2（x+1） D．x﹣4.5＝2（x﹣1）
【答案】A
【解析】解：設(shè)長木長為x尺，
∵用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，
∴繩子長為（x+4.5）尺，
∵繩子對折再量木條，木條剩余1尺，
得方程為：x+4.5＝2（x﹣1）．
故選：A．
9．（2024 濟南模擬）已知關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)≤2 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)≥2
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
∵關(guān)于x的不等式組無解，
∴a≥2，
故選：D．
10．（2024 耒陽市一模）已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，則a2+7a+b的值為（　　）
A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9
【答案】A
【解析】解：因為a，b是方程x2+6x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，
所以a+b＝﹣6，
將x＝a代入方程得，
a2+6a﹣2＝0，
即a2+6a＝2，
所以a2+7a+b＝a2+6a+a+b＝2+（﹣6）＝﹣4．
故選：A．
11．（2024 蒼溪縣二模）2023年多地爆發(fā)支原體肺炎和甲流，某口罩生產(chǎn)廠家為提高生產(chǎn)量，特增加了先進的生產(chǎn)設(shè)備．10月份該廠家生產(chǎn)口罩120萬個，12月份生產(chǎn)口罩270萬個，設(shè)這一季度口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x，則可列方程為（　　）
A．120+120（1+x2）＝270 B．120（1+x2）＝270
C．270（1﹣x）2＝120 D．120（1+x）2＝270
【答案】D
【解析】解：設(shè)這一季度口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x，
則根據(jù)題意可得出方程為：
120（1+x）2＝270，
故選：D．
12．（2024 杭州一模）記載“綾羅尺價”問題：“今有綾、羅共三丈，各直錢八百九十六文，_■_．”其大意為：“現(xiàn)在有綾布和羅布長共3丈（1丈＝10尺），已知綾布和羅布分別出售均能收入896文，_■__．”設(shè)綾布有x尺，則可得方程為，根據(jù)此情境，題中“_■__”表示缺失的條件，下列可以作為補充條件的是（　　）
A．每尺綾布比每尺羅布貴120文
B．每尺綾布比每尺羅布便宜120文
C．每尺綾布和每尺羅布一共需要120文
D．綾布的總價比羅布總價便宜120文
【答案】C
【解析】解：設(shè)綾布有x尺，則羅布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺，
設(shè)綾布有x尺，則可得方程為，
∴缺失的條件為每尺綾布和每尺羅布一共需要120文
故選：C．
13．（2024 鶴城區(qū)校級一模）A，B兩地相距50km，一艘輪船從A地逆流航行到B地，又立即從B地順流航行到A地，共用去9h，已知水流速度為3km/h，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為xkm/h，則下列所列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：設(shè)該輪船在靜水中的速度為xkm/h，
依題意，得：+＝9．
故選：B．
14．（2024 織金縣一模）程大位的《算法統(tǒng)宗》是我國古代數(shù)學(xué)名著，其中有一道這樣的題目“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．問房客各幾何？”題目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每間房里住7人，就會有7人沒地方住；若每間房住9人，則空出一間房．問有多少房間，多少客人？如果設(shè)房間有x間，客人y人，由題意可列方程組（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：設(shè)房間有x間，客人y人，由題意可列方程組：
．
故選：B．
15．（2024 宿城區(qū)一模）關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)＞5 B．a(chǎn)＜5 C．a(chǎn)＞5且a≠7 D．a(chǎn)＜5且a≠3
【答案】D
【解析】解：，
去分母，得1﹣a+2＝x﹣2，
解得x＝5﹣a，
∵關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，
∴5﹣a＞0且5﹣a≠2，
∴a＜5且a≠3．
故選：D．
16．（2024 武漢模擬）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：
①b＝a+c時，方程ax2+bx+c＝0一定有實數(shù)根；
②若a、c異號，則方程ax2+bx+c＝0一定有實數(shù)根；
③b2﹣5ac＞0時方程ax2+bx+c＝0一定有兩個不相等的實數(shù)根；
④若方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則方程cx2+bx+a＝0也一定有兩個不相等實數(shù)根．
其中正確的是（　　）
A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①②④ D．只有②④
【答案】B
【解析】解：當(dāng)b＝a+c時，Δ＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，則方程ax2+bx+c＝0一定有實數(shù)根，所以①正確；若a、c異號，則Δ＝b2﹣4ac＞0，則方程ax2+bx+c＝0一定有實數(shù)根，所以②正確；當(dāng)a、c異號，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)a、c同號，若b2﹣5ac＞0，則Δ＝b2﹣4ac＞ac＞0，所以方程ax2+bx+c＝0一定有兩個不相等的實數(shù)根，所以③正確；
方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，若c＝0，則方程cx2+bx+a＝0沒有兩個不相等實數(shù)根，所以④錯誤．
故選：B．
17．（2024 邯鄲模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負(fù)責(zé)完成一個步驟，如圖所示，老師看后，發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)所負(fù)責(zé)的步驟是錯誤的，則這位同學(xué)是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】解：x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝8+1，
（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
由上可得，丁同學(xué)是錯的，
故選：D．
18．（2024 涼州區(qū)二模）已知關(guān)于x，y的方程組的解是．則關(guān)于x，y的方程組的解是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：可化為：，
∵關(guān)于x，y的方程組的解是，
∴的解為：；
解得：．
故選：D．
二、填空題（共7小題）
19．（2024 儀隴縣模擬）定義一種新運算：a b＝a﹣ab，例如：2 3＝2﹣2×3＝﹣4．根據(jù)上述定義，不等式組的整數(shù)解為　 　．
【答案】﹣1，0，1．
【解析】解：由題意可得，
不等式組轉(zhuǎn)化為，
解得﹣1≤x≤．
所以不等式組的整數(shù)解為﹣1，0，1．
故答案為：﹣1，0，1．
20．（2024 江陽區(qū)校級一模）關(guān)于x的不等式組有且只有3個整數(shù)解，則常數(shù)k的取值范圍是　 　．
【答案】﹣3＜k≤﹣2．
【解析】解：解不等式4x﹣3≥2x﹣5，得：x≥﹣1，
解不等式x+2＜k+6，得：x＜k+4，
∵不等式組只有3個整數(shù)解，
∴不等式組的整數(shù)解為﹣1、0、1，
則1＜k+4≤2，
解得﹣3＜k≤﹣2，
故答案為：﹣3＜k≤﹣2．
21．（2024 兗州區(qū)一模）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩個實數(shù)根，則α2+αβ﹣3α的值為　 　．
【答案】0
【解析】解：∵α是方程x2﹣3x﹣4＝0的實數(shù)根，
∴α2﹣3α﹣4＝0，
即α2﹣3α＝4，
∵αβ＝﹣4，
∴原式＝4﹣4
＝0．
故答案為0．
22．（2024 臺江區(qū)校級模擬）慶“元旦”，市工會組織籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），共進行了45場比賽，這次有　 　隊參加比賽．
【答案】10
【解析】解：設(shè)這次有x隊參加比賽，則此次比賽的總場數(shù)為場，
根據(jù)題意列出方程得：＝45，
整理，得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合題意舍去），
所以，這次有10隊參加比賽．
答：這次有10隊參加比賽．
23．（2024 海州區(qū)校級一模）若x＝3是關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝6的解，則2023﹣6a+2b的值為　 　．
【答案】2019
【解析】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，
則原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．
故答案為：2019．
24．（2024 碑林區(qū)校級一模）如果一個矩形內(nèi)部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱它為“優(yōu)美矩形”．如圖所示，“優(yōu)美矩形”ABCD的周長為26，則正方形d的邊長為　 　．
【答案】5．
【解析】解：設(shè)正方形b的邊長為x，則正方形a的邊長為2x，正方形c的邊長為3x，正方形d的邊長為5x，
依題意得：（3x+5x+5x）×2＝26，
解得：x＝1，
∴5x＝5×1＝5，
即正方形d的邊長為5．
故答案為：5．
25．（2024 任城區(qū)校級模擬）《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問有多少匹大馬、多少匹小馬？設(shè)有x匹大馬，y匹小馬，根據(jù)題意可列方程組為　　 ．
【答案】
【解析】解：由題意可得，
，
故答案為：．
三．解答題（共13小題）
26．（2024 長沙模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若方程有一個根小于1，求k的取值范圍．
【解析】（1）證明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程總有兩個實數(shù)根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范圍為k＜0．
27．（2024 仁和區(qū)一模）解不等式組，并把它們的解集表示在數(shù)軸上．
【解析】解：，
解不等式①得，x＜2，
解不等式②得，x≥﹣1，
在數(shù)軸上表示如下：
所以不等式組的解集為：﹣1≤x＜2．
28．（2024 東海縣一模）解方程：．
【解析】解：兩邊乘x﹣2得到，1+3（x﹣2）＝x﹣1，
1+3x﹣6＝x﹣1，
x＝2，
∵x＝2時，x﹣2＝0，
∴x＝2是分式方程的增根，原方程無解．
29．（2024 周至縣一模）解方程：x2+6x+2＝0．
【解析】解：方程x2+6x+2＝0，
配方得：（x+3）2＝7，
開方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
30．（2024 正定縣一模）對于實數(shù)a、b，定義關(guān)于“ ”的一種運算：a b＝2a+b，例如3 4＝2×3+4＝10．
（1）求4 （﹣3）的值；
（2）若x （﹣y）＝2，（2y） x＝﹣1，求x+y的值．
【解析】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝2×4+（﹣3）＝8﹣3＝5；
（2）根據(jù)題中的新定義化簡得：，
①+②得：3x+3y＝1，
則x+y＝．
31．（2024 偃師區(qū)模擬）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．
（1）當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？
（2）羊圈的面積能達到650m2嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由．
【答案】（1）當(dāng)羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為640m2 的羊圈；（2）不能，理由見解答．
【解析】解：（1）設(shè)矩形ABCD的邊AB＝x m，則邊BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根據(jù)題意，得x（72﹣2x）＝640，
化簡，得 x2﹣36x+320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
當(dāng)x＝16時，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），
當(dāng)x＝20時，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．
答：當(dāng)羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由題意，得x（72﹣2x）＝650，
化簡，得 x2﹣36x+325＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程沒有實數(shù)根．
∴羊圈的面積不能達到 650m2．
32．（2024 桂陽縣校級模擬）湘潭市繼2017年成功創(chuàng)建全國文明城市之后，又準(zhǔn)備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市．某小區(qū)積極響應(yīng)，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍．
（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？
（2）該小區(qū)至少需要安放48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費用不超過10000元，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？
【解析】解：（1）設(shè)溫馨提示牌的單價為x元，則垃圾箱的單價為3x元，
根據(jù)題意得，2x+3×3x＝550，
∴x＝50，
經(jīng)檢驗，符合題意，
∴3x＝150元，
即：溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是50元和150元；
（2）設(shè)購買溫馨提示牌y個（y為正整數(shù)），則垃圾箱為（100﹣y）個，
根據(jù)題意得，，
∴50≤y≤52，
∵y為正整數(shù)，
∴y為50，51，52，共3種方案；
即：溫馨提示牌50個，垃圾箱50個；溫馨提示牌51個，垃圾箱49個；溫馨提示牌52個，垃圾箱48個，
根據(jù)題意，費用為50y+150（100﹣y）＝﹣100y+15000，
當(dāng)y＝52時，所需資金最少，最少是9800元．
33．（2024 雙峰縣模擬）某商城在2021年端午節(jié)期間促銷海爾冰箱，每臺進貨價為2500元，標(biāo)價為3000元．
（1）商城舉行了“新老用戶粽是情”摸獎活動，中獎?wù)呱坛菍⒈溥B續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價的百分率；
（2）市場調(diào)研表明：當(dāng)每臺售價為2900元時，平均每天能售出8臺，當(dāng)每臺售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，若商城要想使海爾冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，則每臺冰箱的定價應(yīng)為多少元？
【答案】（1）每次降價的百分率是10%；
（2）定價為2750元．
【解析】解：（1）設(shè)每次降價的百分率為x，
依題意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）
答：每次降價的百分率是10%；
（2）假設(shè)下調(diào)a個50元，依題意得：5000＝（2900﹣2500﹣50a）（8+4a）．
解得a1＝a2＝3．
所以下調(diào)150元，因此定價為2750元．
34．（2024 新邵縣一模）有甲、乙兩種客車，2輛甲種客車與3輛乙種客車的總載客量為180人，1輛甲種客車與2輛乙種客車的總載客量為105人．
（1）請問1輛甲種客車與1輛乙種客車的載客量分別為多少人？
（2）某學(xué)校組織240名師生集體外出活動，擬租用甲、乙兩種客車共6輛，一次將全部師生送到指定地點．若每輛甲種客車的租金為400元，每輛乙種客車的租金為280元，請給出最節(jié)省費用的租車方案，并求出最低費用．
【解析】解：（1）設(shè)1輛甲種客車與1輛乙種客車的載客量分別為x人，y人，
，
解得：，
答：1輛甲種客車與1輛乙種客車的載客量分別為45人和30人；
（2）設(shè)租用甲種客車a輛，依題意有：，
解得：6＞a≥4，
因為a取整數(shù)，
所以a＝4或5，
∵5×400+1×280＞4×400+2×280，
∴a＝4時，租車費用最低，為4×400+2×280＝2160（元）．
35．（2024 宿遷二模）近日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版），將勞動從原來的綜合實踐活動課程中獨立出來．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗農(nóng)耕勞動，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動．據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價格是菜苗基地的倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆A種菜苗的價格．
（2）菜苗基地每捆B種菜苗的價格是30元．學(xué)校決定在菜苗基地購買A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)．菜苗基地為支持該校活動，對A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購買最少花費多少錢．
【答案】（1）菜苗基地每捆A種菜苗的價格是20元；
（2）本次購買最少花費2250元．
【解析】解：（1）設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價格是x元，
根據(jù)題意得：＝+3，
解得x＝20，
經(jīng)檢驗，x＝20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A種菜苗的價格是20元；
（2）設(shè)購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗（100﹣m）捆，
∵A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)，
∴m≤100﹣m，
解得m≤50，
設(shè)本次購買花費w元，
∴w＝20×0.9m+30×0.9（100﹣m）＝﹣9m+2700，
∵﹣9＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴m＝50時，w取最小值，最小值為﹣9×50+2700＝2250（元），
答：本次購買最少花費2250元．
36．（2024 江陰市校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，動點P、Q分別以3cm/s，2cm/s的速度從點A，C同時出發(fā)，沿規(guī)定路線移動．
（1）若點P從點A移動到點B停止，點Q隨點P的停止而停止移動，問經(jīng)過多長時間P，Q兩點之間的距離是10cm？
（2）若點P沿著AB→BC→CD移動，點Q從點C移動到點D停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時間△PBQ的面積為12cm2？
【答案】（1）或；
（2）4秒或6秒．
【解析】解：（1）過點P作PE⊥CD于E，
設(shè)x秒后，點P和點Q的距離是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，
∴，；
∴經(jīng)過或，P、Q兩點之間的距離是10cm；
（2）連接BQ．設(shè)經(jīng)過ys后△PBQ的面積為12cm2．
①當(dāng)時，PB＝16﹣3y，
∴，即，
解得y＝4；
②當(dāng)時，BP＝3y﹣16，QC＝2y，
則，
解得（舍去）；
③時，QP＝CQ﹣PC＝22﹣y，
則，
解得y＝18（舍去）．
綜上所述，經(jīng)過4秒或6秒，△PBQ的面積為12cm2．
37．（2024 皇姑區(qū)模擬）為推進全民健身設(shè)施建設(shè)，某體育中心準(zhǔn)備改擴建一塊運動場地．現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：
信息一
工程隊 每天施工面積（單位：m2） 每天施工費用（單位：元）
甲 x+300 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程隊施工1800m2所需天數(shù)與乙工程隊施工1200m2所需天數(shù)相等．
（1）求x的值；
（2）該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續(xù)施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于15000m2．該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付多少施工費用？
【答案】（1）x的值為600；
（2）該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付56800元施工費用．
【解析】解：（1）根據(jù)題意得：＝，
解得：x＝600，
經(jīng)檢驗，x＝600是所列方程的解，且符合題意．
答：x的值為600；
（2）設(shè)甲工程隊施工m天，則乙工程隊單獨施工（22﹣m）天，
根據(jù)題意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000，
解得：m≥6，
設(shè)該段時間內(nèi)體育中心需要支付w元施工費用，則w＝3600m+2200（22﹣m），
即w＝1400m+48400，
∵1400＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m＝6時，w取得最小值，最小值＝1400×6+48400＝56800．
答：該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付56800元施工費用．
38．（2024 富順縣一模）我們規(guī)定：方程ax2+bx+c＝0的變形方程為a（x+1）2+b（x+1）+c＝0．例如，方程2x2﹣3x+4＝0的變形方程為2（x+1）2﹣3（x+1）+4＝0
（1）直接寫出方程x2+2x﹣5＝0的變形方程；
（2）若方程x2+2x+m＝0的變形方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；
（3）若方程ax2+bx+c＝0的變形方程為x2+2x+1＝0，直接寫出a+b+c的值．
【解析】解：（1）用x+1表示方程x2+2x﹣5＝0里的x，
可得（x+1）2+2（x+1）﹣5＝0．
（2）用x+1表示方程x2+2x+m＝0里的x，
得（x+1）2+2（x+1）+m＝0．
整理，得x2+4x+3+m＝0
∵變形后的方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝42﹣4（3+m）
＝4﹣4m＞0，
∴m＜1．
（3）a+b+c＝1．
（方程ax2+bx+c＝0的變形方程為a（x+1）2+b（x+1）+c＝0，
整理，得ax2+2ax+a+bx+b+c＝0，
即ax2+（2a+b）x+（a+b+c）＝0
由于方程ax2+bx+c＝0的變形方程為x2+2x+1＝0，
所以a+b+c＝1．
【中考熱點3】函數(shù)類綜合問題★★★★★
【考情分析】
二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容之一，往往也是中考數(shù)學(xué)的壓軸大戲．涉及題目數(shù)量一般3-4題，其中有1-2道大題．所占分值大約25分左右．二次函數(shù)在中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，而在壓軸題中，一般都設(shè)計成三至四小問，其中第一、二小問比較簡單，最后一至兩問難度很大．二次函數(shù)在考查時，往往會與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、圓、三角形、四邊形相結(jié)合，綜合性很強，技巧性也很強，同時計算量一般很大，加上二次函數(shù)本身就比較抽象，這就導(dǎo)致了題目得分率非常低．其實我們只要能熟練掌握二次函數(shù)的基本知識，同時掌握一些常見的題型，提高對于二次函數(shù)的得分，不是什么難事，多多練習(xí)，多多總結(jié)．
【滿分技巧】
1．把握二次函數(shù)所有考點的做題技巧
(1)求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程:
(2)求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式;
(3)根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)ax +bx+c=0中a,b,c的符號,或由二次函數(shù)中a,b,c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合;
(4)二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標(biāo)，或已知與x軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo)，
2.二次函數(shù)的壓軸題主要考向
（1）存在性問題（全等與相似、特殊三角形（直角、等腰、等邊）、平行四邊形（含特殊平行四邊形）等）．
（2）最值問題（線段、周長、面積）
3．熟練掌握各種常見有關(guān)二次函數(shù)的題型和應(yīng)對策略
（1）線段最值（周長）問題——斜化直策略
（2）三角形或多邊形面積問題——鉛垂高、水平寬策略
（3）線段和最小值問題——胡不歸+阿氏圓策略問題
（4）線段差——三角形三邊關(guān)系或函數(shù)
（5）相似三角形存在性問題——根據(jù)相等角分類討論
（6）平行四邊形存在性問題——中點公式+平移法
【2024年中考預(yù)測】
一、選擇題（共20小題）
1．（2024 大渡口區(qū)模擬）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（﹣2，3），下列各點在該反比例函數(shù)圖象上的是（　　）
A．（﹣1，﹣6） B．（1，﹣6） C．（﹣3，﹣2） D．（3，2）
【答案】B
【解析】解：設(shè)反比例函數(shù)表達式為，把A（﹣2，3）代入，
∴k＝xy＝﹣6，
A、∵（﹣1）×（﹣6）＝6≠﹣6，
∴點（﹣1，﹣6）不在反比例函數(shù)圖象上，故本選項不符合題意；
B、∵1×（﹣6）＝﹣6，
∴點（1，﹣6）在反比例函數(shù)圖象上，故本選項符合題意；
C、∵﹣3×（﹣2）＝6≠﹣6，
∴點（﹣3，﹣2）在反比例函數(shù)圖象上，故本選項不符合題意；
D、∵3×2＝6≠﹣6，
∴點（3，2）不在反比例函數(shù)圖象上，故本選項不符合題意．
故選：B．
2．（2024 綏化模擬）如圖1，Rt△ABC中，點E為BC的中點，點P沿BC從點B運動到點C，設(shè)B，P兩點間的距離為x，PA﹣PE＝y(tǒng)，圖2是點P運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則BC的長為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】解：由函數(shù)圖象知：當(dāng)x＝0，即P在B點時，BA﹣BE＝2．
利用三角形兩邊之差小于第三邊，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值為AE，
∴AE＝10．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝100，
設(shè)BE的長度為t，
則BA＝t+2，
∴（t+2）2+t2＝100，
即：t2+t﹣48＝0，
∴（t+8）（t﹣6）＝0，
由于t＞0，
∴t+8＞0，
∴t﹣6＝0，
∴t＝6．
∴BC＝2BE＝2t＝2×6＝12．
故選：D．
3．（2024 慶云縣模擬）已知直線y＝﹣3x+a與直線y＝2x+b交于點P，若點P的橫坐標(biāo)為3，則關(guān)于x的不等式﹣3x+a＞2x+b的解集為（　　）
A．x＜﹣3 B．x＜3 C．x＞3 D．x＞﹣3
【答案】B
【解析】解：當(dāng)x＜3時，直線y＝﹣3x+a都在直線y＝2x+b的上方，
所以關(guān)于x的不等式﹣3x+a＞2x+b的解集為x＜3．
故選：B．
4．（2024 綏化模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC頂點AC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點P是矩形OABC內(nèi)的一點，連接PO、PA、PB、PC，則圖中陰影部分的面積是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】見試題解析內(nèi)容
【解析】解：作PE⊥OC于E，EP的延長線交AB于F，
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB∥OC，
∴PF⊥AB，
∵頂點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，
∴xy＝6，
∴S陰＝ OC PE+ AB PF＝ OC EF＝S矩形ABCO＝×6＝3．
故選：A．
5．（2024 黔南州一模）直線y＝2x+1如圖所示，過點P（2，1）作與它平行的直線y＝kx+b，則k，b的值是（　　）
A．k＝2，b＝3 B．k＝2，b＝﹣3 C．k＝2，b＝﹣1 D．k＝﹣2，b＝﹣3
【答案】B
【解析】解：∵直線y＝kx+b與直線y＝2x+1平行，
∴k＝2，
∵點P（2，1）在直線y＝kx+b上，
∴2k+b＝1，
∴b＝﹣2k+1＝﹣2×2+1＝﹣3，
即一次函數(shù)y＝kx+b的解析式為y＝2x﹣3．
故選：B．
6．（2024 金鄉(xiāng)縣一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx﹣k與y＝的大致圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：①當(dāng)k＞0時，
一次函數(shù)y＝kx﹣k經(jīng)過一、三、四象限，
反比例函數(shù)的y＝（k≠0）的圖象的兩個分支分別位于一、三象限，
沒有符合條件的選項，
②當(dāng)k＜0時，
一次函數(shù)y＝kx﹣k經(jīng)過一、二、四象限，
反比例函數(shù)的y＝（k≠0）的圖象的兩個分支分別二、四象限，
故C選項的圖象符合要求．
故選：C．
7．（2024 武威二模）如圖，小球起始位置時位于（3，0）處，沿圖中所示的方向擊球，小球的運動軌跡如圖所示，當(dāng)小球第2023次碰到球桌邊時，小球的位置是（　　）
A．（0，3） B．（1，4） C．（5，0） D．（8，3）
【答案】A
【解析】解：由圖可得，
點（3，0）第一次碰撞后的點的坐標(biāo)為（0，3），
第二次碰撞后的點的坐標(biāo)為（1，4），
第三次碰撞后的點的坐標(biāo)為（5，0），
第四次碰撞后的點的坐標(biāo)為（8，3），
第五次碰撞后的點的坐標(biāo)為（7，4），
第六次碰撞后的點的坐標(biāo)為（3，0），
…，
∵2023÷6＝337余1，
∴小球第2023次碰到球桌邊時，小球的位置是（0，3），
故選：A．
8．（2024 津市市一模）將拋物線y＝﹣x2+2x+3中x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到的新圖象與直線y＝x+m有4個交點，則m的取值范圍是（　　）
A．m≤﹣5 B．﹣≤m＜﹣5 C．﹣＜m＜﹣3 D．m≥﹣3
【答案】C
【解析】解：令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴拋物線與x軸的交點為（﹣1，0）、（3，0），
∵將拋物線y＝﹣x2+2x+3中x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，
∴新圖象中當(dāng)﹣1≤x≤3時，解析式為y＝x2﹣2x﹣3，如圖，
當(dāng)直線y＝x+m．經(jīng)過（3，0）時，此時直線y＝x+m與新函數(shù)圖象有3個交點，
把（3，0）代入直線y＝x+m，解得m＝﹣3，
直線y＝x+m再向下平移時，有4個交點；
當(dāng)y＝x2﹣2x﹣3與直線y＝x+m有一個交點時，此時直線y＝x+m與新函數(shù)圖象有3個交點，
聯(lián)立方程組，
整理得x2﹣3x﹣3﹣m＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝21+4m＝0，
解得m＝﹣，
綜上所述，新圖象與直線y＝x+m有4個交點時，m的取值范圍是．
故選：C．
9．（2024 涼州區(qū)二模）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，如圖所示，與x軸的一個交點為（3，0），對稱軸為直線x＝1，有下列四個結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③若點（x1，y1）和點（x2，y2）在拋物線圖象上，那么當(dāng)﹣2＜x1＜﹣1，2＜x2＜3時，y1＜y2；④3a+c＝0，其中正確的結(jié)論個數(shù)有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【解析】解：拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線對稱軸為直線為，
∴b＝﹣2a＜0，
∴2a+b＝0，
②正確；
∵拋物線與y軸交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
①正確；
∵對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點為（3，0），
∴與x軸另一交點為（﹣1，0），
∴當(dāng)﹣2＜x1＜﹣1時，y＞0，當(dāng)2＜x2＜3時，y＜0，
∴y1＞y2
③錯誤；
∵拋物線經(jīng)過（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴9a+3b+c＝3a+c＝0，
④正確；
正確結(jié)論有3個，
故選：C．
10．（2024 松北區(qū)一模）A，B兩地相距80km，甲、乙兩人沿同一條路從A地到B地．甲、乙兩人離開A地的距離S（單位：km）與時間t（單位：h）之間的關(guān)系如圖所示．下列說法錯誤的是（　　）
A．乙比甲提前出發(fā)1h
B．甲行駛的速度為40km/h
C．3h時，甲、乙兩人相距60km
D．0.75h或1.125h時，乙比甲多行駛10km
【答案】C
【解析】解：由圖象可得，乙車比甲車早出發(fā)1小時，
故A正確；
甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），
故B正確；
乙的速度是＝km/h，
3h甲車行走的路程為40×（3﹣1）＝80（km），
3h乙車行走的路程為×3＝40（km），
∴3h后甲、乙相距80﹣40＝40（km），
故C錯誤；
0.75h乙車走了0.75×＝10（km），
甲車還在A地沒出發(fā)，此時乙比甲多行駛10km，
1.125h乙走了1.125×＝15km，
此時甲行走的路程為（1.125﹣1）×40＝5（km），
乙車比甲車多走了15﹣5＝10（km），
故D正確．
故選：C．
11．（2024 蒼溪縣一模）如圖，Rt△AOB的直角頂點在坐標(biāo)原點O上，點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在反比例函數(shù)（x＜0）的圖象上，則tan∠A的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，如圖．
∵點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在反比例函數(shù)（x＜0）的圖象上，
∴S△BCO＝×1＝，S△AOD＝＝2，
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴＝（）2，
∴＝（）2，即＝（）2，
∴tan∠A＝＝，
故選：B．
12．（2024 陽新縣校級模擬）函數(shù)y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象是由函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（　　）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④將圖象向上平移2個單位后與直線y＝5有3個交點．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【解析】解：∵圖象經(jīng)過（﹣1，0），（3，0），
∴拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正確．
由圖象可得拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交點在x軸下方，
∴c＜0，②錯誤．
由拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上可得a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，③正確．
設(shè)拋物線y＝ax2+bx+c的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得：3＝﹣3a，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點坐標(biāo)為（1，4），
∵點（1，4）向上平移2個單位后的坐標(biāo)為（1，6），
∴將圖象向上平移2個單位后與直線y＝5有4個交點，故④錯誤；
故選：B．
13．（2024 津市市一模）將二次函數(shù)y＝x2﹣6的圖象向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得圖象的解析式為（　　）
A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣5
【答案】C
【解析】解：根據(jù)題意可得解析式為：y＝（x﹣1）2﹣3﹣6＝x2﹣2x﹣8．
故選：C．
14．（2024 許昌一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點P從點A出發(fā)運動到點B時停止，過點P作PQ⊥AB，交直角邊AC（或BC）于點Q，設(shè)點P運動的路程為x，△APQ的面積為y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，當(dāng)x＝5時，△APQ的面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根據(jù)圖2知，AB＝8，
當(dāng)x＝5時，AP＝5，BP＝3，
∵∠B＝30°，
∴，
，
故選：C．
15．（2024 昌吉州一模）已知直線與y軸、x軸分別交于點A和點B，M是線段OB上的一點，若將△ABM沿AM折疊，點B恰好落在y軸上的點B′處，則點M的坐標(biāo)是（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0）
【答案】A
【解析】解：令x＝0，則，
∴A（0，6），
令y＝0，則，解得：x＝8，
∴點B（8，0），
∵O（0，0），
∴OA＝6，OB＝8，
∵x軸⊥y軸，
∴∠AOB＝∠B′OM＝90°，
∴AB＝10，
由折疊可知：AB′＝AB＝10，BM＝B′M，
∴B′O＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，
設(shè)點M坐標(biāo)為（m，0），
∵O（0，0），
∴OM＝m，BM＝OB﹣OM＝8﹣m，
∴B′O2+OM2＝B′M2，
42+m2＝（8﹣m）2，
16+m2＝64﹣16m+m2，
16m＝48，
m＝3，
∴點M的坐標(biāo)為（3，0），
故選：A．
16．（2024 鞍山模擬）如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系h＝20t﹣5t2．下列敘述正確的是（　　）
A．小球的飛行高度不能達到15m
B．小球的飛行高度可以達到25m
C．小球從飛出到落地要用時4s
D．小球飛出1s時的飛行高度為10m
【答案】C
【解析】解：A、當(dāng)h＝15時，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飛行高度能達到15m，故此選項錯誤；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2時，小球的飛行高度最大為：20m，故此選項錯誤；
C、∵h＝0時，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球從飛出到落地要用時4s，故此選項正確；
D、當(dāng)t＝1時，h＝15，
故小球飛出1s時的飛行高度為15m，故此選項錯誤；
故選：C．
17．（2024 斗門區(qū)校級一模）如圖，直線y＝x+b分別交x軸、y軸于A，B，M是反比例函數(shù)的圖象上位于直線上方的一點，MC∥x軸交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC BD＝8，則k的值為（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【答案】B
【解析】解：過點D作DE⊥y軸于點E，過點C作CF⊥x軸于點F，
令x＝0代入y＝x+b，
∴y＝b，
∴B（0，b），
∴OB＝﹣b，
令y＝0代入y＝x+b，
∴x＝﹣b，
∴（﹣b，0），
∴OA＝OB＝﹣b，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
設(shè)M（x，y），
∴CF＝﹣y，ED＝x，
∴﹣y＝AC，x＝BD，
∴AC＝﹣y，BD＝x，
∵AC BD＝8，
∴﹣y x＝8，
∴xy＝﹣4，
∵M在反比例函數(shù)的圖象上，
∴k＝xy＝﹣4，
故選：B．
18．（2024 黃山一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與y＝kx+b的圖象相交于點P（﹣2，n），則關(guān)于x，y的方程組的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：關(guān)于x，y的方程組可化為：
，
故一次函數(shù)的圖象與y＝kx+b的圖象的交點坐標(biāo)即為方程組的解，
將P（﹣2，n）代入得：
，
∴P（﹣2，3），
故關(guān)于x，y的方程組的解是．
故選：B．
19．（2024 南山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B在反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象上，點C在y軸上，AB＝AC，AC∥x軸，BD⊥AC于點D，若點A的橫坐標(biāo)為5，BD＝3CD，則k值為（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】解：延長BD交x軸于點E，作BG⊥y軸于點G，作AF⊥x軸，則四邊形OCAF、COED、ADEF、BGCD均為矩形，
∴BG＝CD，AF＝DE，CD＝OE，
設(shè)B點坐標(biāo)為（m，n），則BG＝CD＝OE＝m，BE＝n，
∵AC＝AB＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣m，
∵BD＝3CD＝3m，
∴AF＝DE＝n﹣3m，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴（3m）2+（5﹣m）2＝52，
解得m1＝1，m2＝0（舍去），
∴DE＝n﹣3，AF＝n﹣3，
∴B（1，n），A（5，n﹣3），
∵點B（1，n），A（5，n﹣3）在反比例函數(shù)圖象上，
∴n＝5（n﹣3），解得n＝，
∴k＝＝．
故選：D．
20．（2024 新鄉(xiāng)一模）如圖1，在菱形ABCD中，E為AB的中點，點F沿AC從點A向點C運動，連接FE，F(xiàn)B．設(shè)FA＝x，F(xiàn)E+FB＝y(tǒng)，圖2是點F運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則y的最小值是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】解：如圖，連接BD，DE．DE、AC交于點F，BD、AC交于點O．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD．
∴點B、D關(guān)于直線AC對稱．
∴FB＝FD．
∴y最小＝FB+FE＝FD+FE＝DE．
觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)點F與A重合時，F(xiàn)E+FB＝3，
即AE+AB＝3．
∵點E是AB的中點，
∴AE＝AB．
∴AB+AB＝3．
解得：AB＝2．
∴AE＝EB＝1．
當(dāng)點F在點C處時，F(xiàn)E+FB＝2+．
∵BC＝AB＝2，
∴FE＝．
作CG⊥AB于點G．
∴∠G＝90°．
設(shè)BG長x，
在Rt△CBG中，CG2＝CB2﹣BG2，
在Rt△CEG中，CG2＝CE2﹣EG2，
∴22﹣x2＝7﹣（1+x）2．
解得：x＝1．
∴BG＝1．
∴cos∠CBG＝．
∴∠CBG＝60°．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD＝BA＝2，AD∥CB，
∴∠DAB＝60°．
∴△BAD為等邊三角形．
∴DB＝DA．
∵點E是CB的中點，
∴DE⊥AB．
∴∠DEA＝90°．
∴DE＝．
∴FB+FE的最小值為．
∴y的最小值是．
故選：B．
二、填空題（共8小題）
21．（2024 濟南模擬）某快遞公司每天上午9：30﹣10：30為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發(fā)快件，該時段內(nèi)甲、乙兩倉庫的快件數(shù)量y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，那么從9：30開始，經(jīng)過　 　分鐘時，兩倉庫快遞件數(shù)相同．
【答案】20
【解析】解：設(shè)甲倉庫的快件數(shù)量y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y1＝k1x+40，根據(jù)題意得60k1+40＝400，解得k1＝6，
∴y1＝6x+40；
設(shè)乙倉庫的快件數(shù)量y（件）與時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y2＝k2x+240，根據(jù)題意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，
∴y2＝﹣4x+240，
聯(lián)立，
解得，
∴經(jīng)過20分鐘時，當(dāng)兩倉庫快遞件數(shù)相同．

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