資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
8.4.1平面
學習目標
1．了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．
2．能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關系．
3．能用圖形、文字、符號三種語言描述三個公理，理解三個公理的地位與作用．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 一、平面平面的描述性概念幾何里所說的“平面”，就是從生活中一些物體中抽象出來的．平面是向四周 的畫法水平放置常把平行四邊形的一邊畫成橫向豎直放置常把平行四邊形的一邊畫成豎向記法(1)用希臘字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個角內(2)用代表平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱，如平面AC，平面BD
閱讀教材，完成右邊的內容 二、點、直線、平面之間的位置關系文字語言表達圖形語言表達符號語言表達點A在直線l上 點B在直線l外 點A在平面α內 點P在平面α外 直線l在平面α內 直線l不在平面α內 平面α與β相交于直線l
閱讀教材，完成右邊的內容 三、平面的基本事實及推論(1)基本事實：基本事實內容圖形符號基本事實1過不在一條直線上的 ，有且只有一個平面 基本事實2如果一條直線上的 在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 基本事實3如果兩個不重合的平面有一 ，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 (2)基本事實1的推論．①　　　　　　②　　　　　　③推論1　經過 和這條直線外 ，有且只有一個平面(圖①)．推論2　經過兩條 ，有且只有一個平面(圖②)．推論3　經過兩條 ，有且只有一個平面(圖③)．
符號語言的運用 例1、根據圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系．(1)點P與直線AB： ；(2)點C與直線AB： ；(3)點M與平面AC： ；(4)點A1與平面AC： ；(5)直線AB與直線BC： ；(6)直線AB與平面AC： ；(7)平面A1B與平面AC： .變式1、把下列符號敘述所對應的圖形的序號填在題后的橫線上：①A α，a α：________；②α∩β＝a，P α，且P β：________；③a α，a∩α＝A：________；④α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________．
符號語言與圖形的運用 例2、用符號表示下列語句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B；(2)點A，B在平面α內，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．變式2、用符號表示下列語句，并畫出圖形．(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC．
直線在平面內的證明 例3、如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內. INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數學\\人A必修第二冊（新教材）\\數學 人A 必修第二冊（新教材）最新（加雙選）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2019年同步最終\\數學 人教A版 必修第二冊(新教材)\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET
共點、共線與共面問題的證明 例4、如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求證：AB，CD，l共點．變式3、如圖，O1是正方體ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點，求證：O1，M，A三點共線．例5、在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q，P分別為AB，BC，CC1，C1D1的中點．(1)求證：M，N，P，Q四點共面；(2)求證：PQ，MN，DC三線共點．
課后作業
一、基礎訓練題
1．(多選題)在空間中，下列命題中正確的是(　　)
A．如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點
B．若已知四個點不共面，則其中任意三個點也不共面
C．若點A既在平面α內又在平面β內，則點A在平面α與平面β的交線上
D．若兩點A，B既在直線l上又在平面α內，則l在平面α內
2．(多選題)下列命題中錯誤的是(　　)
A．空間三點可以確定一個平面
B．三角形一定是平面圖形
C．若A，B，C，D既在平面α內，又在平面β內，則平面α和平面β重合
D．四條邊都相等的四邊形是平面圖形
3．已知點A，直線a，平面α，以下命題表述正確的個數是(　　)
①A∈a，a α A α；②A∈a，a∈α A∈α；③A a，a α A α；④A∈a，a α A α．
A．0　　 　 　 B．1　　 　 　
C．2　　 　 　 D．3
4．如果直線a 平面α，直線b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則(　　)
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
5．如圖，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P l，M∈α，N∈α，
又MN∩l＝R，M，N，P三點確定的平面記為γ，則β∩γ是(　　)
A．直線MP　　　　　 B．直線NP
C．直線PR D．直線MR
6．下列各圖均是正六棱柱，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的圖形是(　　)
7．如果空間四點A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是(　　)
A．A，B，C，D四點中必有三點共線
B．A，B，C，D四點中不存在三點共線
C．直線AB與CD相交
D．直線AB與CD平行
8．三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數為(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．1或3
9．(多選題)已知α，β為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列推理正確的是(　　)
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線 α，β重合
10．設平面α與平面β相交于l，直線a α，直線b β，a∩b＝M，則M________l．
11．如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1的所有棱中，既與AB共面，又與CC1共面的棱有________條．
12．已知平面α與平面β、平面γ都相交，則這三個平面的交線可能有________條．
13．給出以下四個命題：
①不共面的四點中，任意三點不共線；
②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；
③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
其中正確的有________．(填序號)
14．根據下列條件畫出圖形：平面α∩平面β＝直線AB，直線a α，直線b β，a∥AB，b∥AB.
15．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D l，如圖所示．
求證：直線AD，BD，CD共面．
16．如圖所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D與B，C分別在平面α的兩側，AC∩α＝Q，
BD∩α＝R.求證：P，Q，R三點共線．
17．已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC.求證：
(1)E，F，G，H四點共面；
(2)直線FH，EG，AC共點．
二、綜合訓練題
18．如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，點G為正方形ABCD的中心，點E為A1D1的中點，點F為AE的中點，則(　　)
A．C，E，F，G四點共面，且CF＝EG
B．C，E，F，G四點共面，且CF≠EG
C．C，E，F，G四點不共面，且CF＝EG
D．C，E，F，G四點不共面，且CF≠EG
19．如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，平面A1CC1與平面BDC1的交線是________．
三、能力提升題
20．在正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方體過點M，N，C1的截面圖形是(　　)
A．三角形 B．四邊形
C．五邊形 D．六邊形
21．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為8 cm，M，N，P分別是AD，A1B1，B1B的中點．
(1)畫出過M，N，P三點的平面與平面AC的交線以及與平面BC1的交線；
(2)設過M，N，P三點的平面與BC交于點R，求PR的長．
8.4.1平面參考答案
1、【答案】ACD
2、【答案】ACD
【解析】共線的三點不能確定一個平面，故A錯誤；當A，B，C，D四點共線時，這兩個平面可以是相交的，故C錯誤；四邊都相等的四邊形可以是空間四邊形，故D錯誤.
3、【答案】A　
【解析】①不正確，如a∩α＝A；②不正確，∵“a∈α”表述錯誤；③不正確，如圖所示，A a，a α，但A∈α；④不正確，“A α”表述錯誤．
4、【答案】A
【解析】∵M∈a，a α，∴M∈α，又∵N∈b，b α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l α.
5、【答案】C　
【解析】因為MN γ，R∈MN，所以R∈γ.又α∩β＝l，MN∩l＝R，所以R∈β.又P∈β，P∈γ，所以P，R均為平面γ與β的公共點，所以β∩γ＝PR.故選C.
6、【答案】D
【解析】在選項A，B，C中，由棱柱、正六邊形、中位線的性質，知均有PS∥QR，
即在此三個圖形中P，Q，R，S共面，故選D.
7、【答案】B　
【解析】兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面，選B．
8、【答案】D　
【解析】當三條直線是同一平面內的平行直線時，確定一個平面；當三條直線是三棱柱側棱所在的直線時，確定三個平面，選D．
9、【答案】ABD　
【解析】對于A，由基本事實2可知，a β，A正確；對于B，由M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事實2可知，直線MN α.同理MN β，∴α∩β＝MN，B正確；對于C，∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．由基本事實可知α∩β為經過A的一條直線而不是點A.故α∩β＝A的寫法錯誤；對于D，∵A，B，M不共線，由基本事實1可知，過A，B，M有且只有一個平面，故α，β重合．故選A、B、D.
10、【答案】∈　
【解析】因為a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β．又因為α∩β＝l，所以M∈l．
11、【答案】5　
【解析】由題圖可知，既與AB共面又與CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5條．
12、【答案】1或2或3　
【解析】當β與γ相交時，若α過β與γ的交線，有1條交線；若α不過β與γ的交線，有3條交線；
當β與γ平行時，有2條交線．
13、【答案】①
【解析】①假設有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，
故任意三點不共線，所以①正確；
②不正確，如圖，兩個相交平面有三個公共點A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；
③顯然不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形．
14、【解】圖形如圖所示．
15、證明 因為D l，所以l與D可以確定平面α，
因為A∈l，所以A∈α，
又D∈α，所以AD α．同理，BD α，CD α，
所以AD，BD，CD在同一平面α內，即它們共面．
16、【解】因為AB∩α＝P，CD∩α＝P，所以AB∩CD＝P.
所以AB，CD可確定一個平面，設為β.
因為A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
所以AC β，BD β，平面α，β相交．因為AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
所以P，Q，R三點是平面α與平面β的公共點．
所以P，Q，R都在α與β的交線上，故P，Q，R三點共線．
17、【解】 (1)連接EF，GH.因為E，F分別是AB，AD的中點，所以EFBD，
因為G，H分別是BC，CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC.所以GHBD，所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四點共面．
(2)因為E，F分別是AB，AD的中點，所以EFBD，
因為G，H分別是BC，CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC.
所以GHBD，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以四邊形EFHG是梯形，
設兩腰EG，FH相交于一點T.因為EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直線EG，FH，AC相交于一點T.
18、【答案】B
【解析】如圖，連接AC，FG，EC，因為G為正方形ABCD的中心，所以AG＝GC.
又因為F為AE的中點，所以AF＝FE，所以由三角形的中位線定理可知，FG∥EC，
所以由推論3知，C，E，F，G四點共面．
過點E作EH⊥AD于H，連接HG，
則EG＝＝＝2.
過點F作FT⊥AD于T，連接CT，
則CF＝＝＝，
所以CF≠EG.故選B.
19、【答案】C1M　
【解析】因為C1∈平面A1CC1，且C1∈平面BDC1，同時M∈平面A1CC1，且M∈平面BDC1，
所以平面A1CC1與平面BDC1的交線是C1M．
20、【答案】C
【解析】在正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，
MD＝DD1，NB＝BB1.如圖，延長C1M交CD的延長線于點P，
延長C1N交CB的延長線于點Q，連接PQ交AD于點E，AB于點F，
連接NF，ME，則正方體過點M，N，C1的截面圖形是五邊形，故選C.
21、解 (1)如圖，延長NP，AB交于點Q，連接MQ，則Q∈平面MNP，Q∈平面AC.
又M∈平面MNP，M∈平面AC.
∴平面MNP∩平面AC＝MQ.
設MQ∩BC＝R，連接PR，則平面MNP∩平面BC1＝PR.
(2)∵△PB1N∽△PBQ，P為BB1中點，
∴BQ＝B1N＝AB，∴BR＝AM＝ cm.
∴PR＝＝ cm.
PAGE
1

展開更多......

收起↑