資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系
班級 姓名
學習目標
1．了解空間中兩條直線的三種位置關系，理解異面直線的定義，會用平面襯托來畫異面直線．
2．了解直線與平面的三種位置關系，并會用圖形語言和符號語言表示．
3．了解不重合的兩個平面之間的兩種位置關系，并會用圖形語言和符號語言表示．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 一、空間中直線與直線的位置關系1．異面直線(1)定義：不同在 的兩條直線．(2)異面直線的畫法：如果直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖．①　　　　　　　　②2．空間兩條直線的位置關系位置關系特點相交同一平面內，有且只有 公共點平行同一平面內， 公共點異面直線不同在 內， 公共點
閱讀教材，完成右邊的內容 二、直線與平面的位置關系位置關系直線a在平面α內直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點 公共點 公共點 公共點符號表示a αa∩α＝Aa∥α圖形表示
閱讀教材，完成右邊的內容 三、兩個平面的位置關系位置關系兩平面平行兩平面相交公共點 有 個公共點(在一條直線上)符號表示 圖形表示
兩直線位置關系的判定 例1、如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)直線A1B與直線D1C的位置關系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關系是________.變式1、(1)已知a，b是兩條異面直線，b∥c，那么a，c的位置關系是(　　)A．平行或相交 B．異面或平行C．異面或相交 D．平行或異面或相交(2)如圖，G，H，M，N均是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示GH，MN是異面直線的圖形的序號為(　　)A．①② B．③④ C．①③ D．②④
直線與平面的位置關系 例2、(1)若直線上有一點在平面外，則下列結論正確的是(　　)A．直線上所有的點都在平面外B．直線上有無數多個點都在平面外C．直線上有無數多個點都在平面內D．直線上至少有一個點在平面內(2)下列命題中正確的是 ①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行；③如果直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么直線a∥b；④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；⑤如果直線a與平面α內的無數條直線平行，那么直線a必平行于平面α；⑥如果平面α的同側有兩點A，B到平面α的距離相等，那么直線AB∥α.
平面與平面的位置關系 例3、(多選題)以下四個命題中，正確的有(　　)A．在平面α內有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行B．在平面α內有無數條直線與平面β平行，那么這兩個平面平行C．平面α內△ABC的三個頂點在平面β的同一側且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行D．平面α內有無數個點到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行或相交變式3、(多選題)已知兩平面α，β平行，且a α，以下四個命題中，正確的有(　　)A．a與β內的所有直線平行；B．a與β內無數條直線平行；C．直線a與β內任何一條直線都不垂直； D．a與β無公共點.
課后作業
一、基礎訓練題
1．在正方體ABCD A1B1C1D1中，與棱AA1異面的棱有(　　)
A．8條　　 　B．6條　 　C．4條　 　 D．2條
2．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是(　　)
A．平行 B．異面 C．相交 D．平行、相交或異面
3．已知異面直線a，b，有a α，b β且α∩β＝c，則直線c與a，b的關系是(　　)
A．c與a，b都相交 B．c與a，b都不相交
C．c至多與a，b中的一條相交 D．c至少與a，b中的一條相交
4．(多選題)下列結論正確的是(　　)
A．直線a∥平面α，直線b α，則a∥b B．若a α，b α，則a，b無公共點
C．若a α，則a∥α或a與α相交 D．若a∩α＝A，則a α
5．已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面可能的交線有(　　)
A．1條或2條　　 B．2條或3條
C．1條或3條　　 D．1條或2條或3條
6．設a為空間中的一條直線，記直線a與正方體ABCD A1B1C1D1的六個面相交的平面個數為m，則m的所有可能取值構成的集合為(　　)
A．{2,4} B．{2,6}
C．{4,6} D．{2,4,6}
7．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之間的兩個點，則(　　)
A．過P，Q的平面一定與α，β都相交
B．過P，Q有且僅有一個平面與α，β都平行
C．過P，Q的平面不一定與α，β都平行
D．過P，Q可作無數個平面與α，β都平行
8．若直線l上有兩點到平面α的距離相等，則直線l與平面α的關系是________．
9．在四棱錐P ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有________對．
10．如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中判斷下列位置關系：
(1)AD1所在直線與平面BCC1的位置關系是________；
(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是________．
11．已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，則直線CD與平面α內的任意一條直線m的位置關系是________．
12．下圖表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB，CD，EF和GH在原正方體中相互異面的有________對．
13．下列命題正確的有________．
①若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內；
②若直線l上有無數個點不在平面α內，則l∥α；
③若直線l與平面α相交，則l與平面α內的任意直線都是異面直線；
④若兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線一定與該平面相交；
⑤若直線l與平面α平行，則l與平面α內的直線平行或異面；
⑥若平面α∥β，直線a α，直線b β，則直線a∥b.
二、綜合訓練題
14．(多選題)以下四個命題是真命題的是(　　)
A．三個平面最多可以把空間分成八部分
B．若直線a 平面α，直線b 平面β，則“a與b相交”與“α與β相交”等價
C．若α∩β＝l，直線a 平面α，直線b 平面β，且a∩b＝P，則P∈l
D．若n條直線中任意兩條共面，則它們共面
15．不共面的四個定點到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有(　　)
A．3個　　 　B．4個 C．6個 　 　　D．7個
16．如圖所示，在三棱錐A BCD中，E，F是棱AD上異于A，D的不同兩點，G，H是棱BC上異于B，C的不同兩點，給出下列說法：
①AB與CD為異面直線；
②FH與CD，DB均為異面直線；
③EG與FH為異面直線；
④EG與AB為異面直線．
其中正確的說法是________．(填序號)
三、能力提升題
17．三個平面可以將空間劃分成幾個部分？
8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系
參考答案
1、【答案】C　
【解析】正方體共有12條棱，其中與AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3條，與AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4條，因此與棱AA1異面的棱有11－3－4＝4(條)，故選C．
2、【答案】D
【解析】可借助長方體來判斷.
如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，
已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，
則c可以是長方體ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.
故a和c可以平行、相交或異面.
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3、【答案】D　
【解析】若c與a，b都不相交，因為c與a在α內，所以a∥c.又c與b都在β內，所以b∥c.
所以a∥b，與已知條件矛盾．如圖，只有以下三種情況．
4、【答案】CD　
【解析】結合直線與平面的位置關系可知，AB錯誤，CD正確．
5、【答案】D　
【解析】當三個平面兩兩相交且過同一直線時，它們有1條交線；當平面β和γ平行時，它們的交線有2條；當這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時，它們有3條交線．
6、【答案】D　
【解析】體對角線所在的直線與正方體的6個面都相交，面對角線所在的直線與正方體的4個面相交，而棱所在的直線與正方體的2個面相交，故選D．
7、【答案】C　
【解析】當過P，Q的直線與α，β相交時，過P，Q的平面一定與平面α，β都相交，排除B，D；當過P，Q的直線與α，β都平行時，可以作唯一的一個平面與α，β都平行，排除A，故選C．
8、【答案】平行或相交　
【解析】當這兩點在α的同側時，l與α平行；當這兩點在α的異側時，l與α相交．
9、【答案】8　
【解析】以底邊所在直線為準進行考察，因為四邊形ABCD是平面圖形，4條邊在同一平面內，不可能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側棱組成2對異面直線，所以共有4×2＝8(對)異面直線．
10、【答案】(1)平行　(2)相交　
【解析】(1)AD1所在的直線與平面BCC1沒有公共點，所以平行；(2)平面A1BC1與平面ABCD有公共點B，故相交．
11、【答案】平行或異面　
【解析】如圖，由于ABCD是梯形，AB∥CD，所以AB與CD無公共點，又CD 平面α，所以CD與平面α無公共點．當m∥AB時，則m∥DC；當m與 AB相交時，則m與DC異面．
12、【答案】3
【解析】還原為正方體如圖所示，相互異面的線段有AB與CD，EF與GH，AB與GH，共3對．
13、【答案】①⑤
【解析】對于②，直線l也可能與平面相交；對于③，直線l與平面內不過交點的直線是異面直線，而與過交點的直線相交；對于④，另一條直線可能在平面內，也可能與平面平行或相交；對于⑥，兩平行平面內的直線可能平行，也可能異面．故①⑤正確．
14、【答案】AC　
【解析】對于A，正確；對于B，逆推“α與β相交”推不出“a與b相交”，也可能a∥b；對于C，正確；對于D，反例：正方體的側棱任意兩條都共面，但這4條側棱并不共面，故D錯．所以正確的是AC．
15、【答案】D　
【解析】把不共面的四個定點看作四面體的四個頂點，平面α可以分為兩類：第一類：如圖(1)所示，四個定點分布在α的一側1個，另一側3個，此類中α共有4個．
圖(1)　　　　　　　　圖(2)
第二類：如圖(2)所示，四個定點分布在α的兩側各兩個，此類中α共3個．
綜上，α共有4＋3＝7(個)，故選D．
16、【答案】①②③④　
【解析】因為直線CD 平面BCD，直線AB 平面BCD，點B 直線DC，所以AB與CD為異面直線，①正確；同理，②③④正確．
17、【解】(1)若三個平面互相平行，則它們將空間分成四個部分，如圖①.
(2)若三個平面中，兩個平面平行，另一個平面與它們相交，則它們將空間分成六個部分，如圖②.
(3)若三個平面兩兩相交，則它們將空間分成六、七或八個部分，如圖③④⑤.
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