資源簡介

1.1 集合的概念(精講)
考點一 集合的概念
【例1】(2021·浙江)下列各對象可以組成集合的是( )
A．與1非常接近的全體實數 B．某校2020-2021學年度笫一學期全體高一學生
C．高一年級視力比較好的同學 D．與無理數相差很小的全體實數
【一隅三反】
1．(2021·江蘇高一)下列說法中正確的有( )個：
①很小的數的全體組成一個集合：
②全體等邊三角形組成一個集合；
③表示實數集；
④不大于3的所有自然數組成一個集合.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(多選)(2021·全國高一單元測試)下列各組對象能構成集合的是( )
A．擁有手機的人 B．2020年高考數學難題
C．所有有理數 D．小于的正整數
3．(2021·全國高一課時練習)考察下列每組對象，能組成一個集合的是( )
①我校高一年級聰明的孩子 ②直角坐標系中，橫、縱坐標相等的點
③不小于3的整數 ④的近似值
A．② B．②③④
C．②③ D．①③
考點二 元素與集合的關系
【例2】(2021·廣東)用符號“”或“”填空：
(1)設A為所有亞洲國家組成的集合，則中國______________A，美國__________A，印度____________A，英國_____________A；
(2)若，則-1_____________A；
(3)若，則3________________B；
(4)若，則8_______________C，9.1____________C.
【一隅三反】
1.(2021·安徽省安慶九一六學校)下列元素與集合的關系表示不正確的是( )
A． B． C． D．
2．(2021·全國高一課時練習)用符號“”或“”填空：
(1)0______；(2)_______；
(3)_______；(4)2017_______.
3．(2021·全國高一課時練習)已知集合,則下列四個元素中屬于M的元素的個數是( )
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
考點三 集合的表示方法
【例3-1】(1)(2021·全國高一課時練習)把集合用列舉法表示為( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·安徽省桐城中學高一月考)方程組的解集可表示為( )
A． B． C． D．
【例3-2】(2021·全國高一課時練習)用適當的方法表示下列集合：
(1)二次函數的函數值組成的集合；
(2)反比例函數的自變量組成的集合；
(3)不等式的解集
【一隅三反】
1．(2021·上海高一期末)10的所有正因數組成的集合用列舉法表示為__________.
2．(2021·全國高一課時練習)若集合，，用列舉法表示________．
3．(2021·北京大峪中學高一期中)方程組的解集是
4．(2021·全國高一課時練習)把下列集合用適當方法表示出來：
(1)；(2)；(3)；
(4) ；(5).
考點四 元素的個數
【例4】(1)(2021·江蘇蘇州市)設集合，則C中元素的個數為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)(2021·江蘇南通市)已知集合，則中元素的個數為( )
A． B． C． D．
(3)(2021·黑龍江大慶市)由實數所組成的集合，最多可含有( )個元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【一隅三反】
1．(2021·江西宜春市)設集合，則中元素的個數為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(2021·阜陽市潁東區衡水實驗中學)已知集合，，則集合等于( )
A． B．
C． D．
3．(2021·全國)若集合，，則中所含元素的個數為( )
A． B．6 C． D．10
考點五 已知元素的特征求參數
【例5-1】(1)(2021·河北藝術職業中學)若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實數a的值為( )
A．1 B．2 C．0 D．1 或2
(2)(2021·江西)已知集合只有一個元素，則的取值集合為( )
A． B． C． D．
(3)(2021·全國高一課時練習)已知集合，若，則的取值范圍為( )
A． B． C． D．
(4)(2021·寶山區)已知實數集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，則__________．
【例5-2】(2020·上海)已知集合．
(1)若中只有一個元素，求的值；
(2)若中至少有一個元素，求的取值范圍；
(3)若中至多有一個元素，求的取值范圍.
【一隅三反】
1．(2021·安徽省桐城中學)已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，則實數a的值為( )
A．－2 B．2
C．4 D．2或4
2．(2021·壽縣第一中學)已知集合，且，則的值可能為( )
A． B． C．0 D．1
3．(2021·全國高一單元測試)設集合，若且，則實數的取值范圍是( )
A． B． C． D．
4．(多選)(2021·全國高三專題練習)已知集合，，，若，則滿足條件的實數可能為( )
A．2 B． C． D．1
5．(多選)(2020·河北安平中學高一月考)已知集合中有且僅有一個元素，那么的可能取值為( )
A． B． C． D．
答案與解析
考點一 集合的概念
【例1】(2021·浙江)下列各對象可以組成集合的是( )
A．與1非常接近的全體實數 B．某校2020-2021學年度笫一學期全體高一學生
C．高一年級視力比較好的同學 D．與無理數相差很小的全體實數
【答案】B
【解析】A中對象不確定，故錯；B中對象可以組成集合；C中視力比較好的對象不確定，故錯；D中相差很小的對象不確定，故錯.故選：B
【一隅三反】
1．(2021·江蘇高一)下列說法中正確的有( )個：
①很小的數的全體組成一個集合：
②全體等邊三角形組成一個集合；
③表示實數集；
④不大于3的所有自然數組成一個集合.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①很小的數不確定，不能組成一個集合，故錯誤：
②全體等邊三角形組成一個集合，故正確；
③表示以實數集為元素的集合，不表示實數集，故錯誤；
④不大于3的所有自然數是0，1，2，3，組成一個集合，故正確.故選：B
2．(多選)(2021·全國高一單元測試)下列各組對象能構成集合的是( )
A．擁有手機的人 B．2020年高考數學難題
C．所有有理數 D．小于的正整數
【答案】ACD
【解析】根據集合的概念，可知集合中元素的確定性，可得選項A、C、D中的元素都是確定的，故選項A、C、D能構成集合，但B選項中“難題”的標準不明確，不符合確定性，不能構成集合．故選：ACD.
3．(2021·全國高一課時練習)考察下列每組對象，能組成一個集合的是( )
①我校高一年級聰明的孩子 ②直角坐標系中，橫、縱坐標相等的點
③不小于3的整數 ④的近似值
A．② B．②③④
C．②③ D．①③
【答案】C
【解析】對于①，“某高中高一年級聰明的學生”，其中聰明沒有明確的定義，故不能構成集合；
對于②，“直角坐標系中橫、縱坐標相等的點”，符合集合的定義，能構成集合；
對于③，“不小于3的正整數”，符合集合的定義，能構成集合；
對于④，“的近似值”，對近似的精確度沒有明確定義，故不能構成集合．
綜上所述，只有②③能構成集合，①④不能構成集合．故選：．
考點二 元素與集合的關系
【例2】(2021·廣東)用符號“”或“”填空：
(1)設A為所有亞洲國家組成的集合，則中國______________A，美國__________A，印度____________A，英國_____________A；
(2)若，則-1_____________A；
(3)若，則3________________B；
(4)若，則8_______________C，9.1____________C.
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)根據國家的地理位置直接得到答案：中國，美國，印度，英國；
(2)，故；
(3)，故；
(4)，故；
故答案為：(1)；(2)；(3)；(4)
【一隅三反】
1.(2021·安徽省安慶九一六學校)下列元素與集合的關系表示不正確的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據元素與集合的關系可得，，，，故D不正確，符合題意.故選：D.
2．(2021·全國高一課時練習)用符號“”或“”填空：
(1)0______；(2)_______；
(3)_______；(4)2017_______.
【答案】(1) (2) (3) (4)
【解析】(1)為不含有任何元素的集合，所以；
(2) ，；
(3)
(4)因為2017不能被表示為的形式，所以；
3．(2021·全國高一課時練習)已知集合,則下列四個元素中屬于M的元素的個數是( )
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】①當時，可得，這與矛盾，
②
，可得 ，都是有理數，所以正確，
③，
，可得，都是有理數，所以正確，
④
而 ，
，
是無理數，
不是集合中的元素，
只有②③是集合的元素.故選：C
考點三 集合的表示方法
【例3-1】(1)(2021·全國高一課時練習)把集合用列舉法表示為( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·安徽省桐城中學高一月考)方程組的解集可表示為( )
A． B． C． D．
【答案】(1)D(2)C
【解析】(1)解方程得或，因此集合用列舉法表示為.故選：D.
(2)方程組的解為，
根據集合的表示方法可知方程組的解集可表示為或.
所以C選項正確.故選：C
【例3-2】(2021·全國高一課時練習)用適當的方法表示下列集合：
(1)二次函數的函數值組成的集合；
(2)反比例函數的自變量組成的集合；
(3)不等式的解集
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)二次函數的函數值為y，
∴二次函數的函數值y組成的集合為.
(2)反比例函數的自變量為x
∴反比例函數的自變量組成的集合為.
(3)由，得，∴不等式的解集為.
【一隅三反】
1．(2021·上海高一期末)10的所有正因數組成的集合用列舉法表示為__________.
【答案】
【解析】∵對于正因數分解，有，∴其正因數組成的集合為.故答案為：
2．(2021·全國高一課時練習)若集合，，用列舉法表示________．
【答案】
【解析】因為，，所以故答案為：
3．(2021·北京大峪中學高一期中)方程組的解集是
【答案】{(1，﹣1),(﹣1，1)}
【解析】方程組的解為或，其解集為?。蔬x：A．
4．(2021·全國高一課時練習)把下列集合用適當方法表示出來：
(1)；(2)；(3)；
(4) ；(5).
【答案】(1){且}；(2).(3) ；(4) ；(5).
【解析】(1)因為集合中的元素都是偶數，所以{且}；
(2).
(3)由得，,因此.
(3)由，且,，,得，因此.
(4)由得，.因此.
考點四 元素的個數
【例4】(1)(2021·江蘇蘇州市)設集合，則C中元素的個數為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)(2021·江蘇南通市)已知集合，則中元素的個數為( )
A． B． C． D．
(3)(2021·黑龍江大慶市)由實數所組成的集合，最多可含有( )個元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】(1)B(2)D(3)B
【解析】(1)時，的值依次為，有4個不同值，即，因此中有4個元素．故選：B．
(2)由題意可知，集合中的元素有：、、、、、、、、、、、、，共個.故選：D.
(3)由題意，當時所含元素最多，
此時分別可化為，，，
所以由實數所組成的集合，最多可含有3個元素．故選：B
【一隅三反】
1．(2021·江西宜春市)設集合，則中元素的個數為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因為，所以當時，由可得：；
當時，由可得：；
當時，由可得：，
當，時，由可知：不存在整數使該不等式成立，
所以,
因此中元素的個數為5.故選：C
(2021·阜陽市潁東區衡水實驗中學)已知集合，，則集合等于( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，，
當時，；
當時，；
當時，；
當時，
所以，
故選：B
3．(2021·全國)若集合，，則中所含元素的個數為( )
A． B．6 C． D．10
【答案】D
【解析】因為集合，，
當時，；則是集合中的元素；
當時，或，則，是集合中的元素；
當時，或或，則，，是集合中的元素；
當時，或或或，則，，，是集合中的元素.
即中所含元素的個數為個.故選：D.
考點五 已知元素的特征求參數
【例5-1】(1)(2021·河北藝術職業中學)若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實數a的值為( )
A．1 B．2 C．0 D．1 或2
(2)(2021·江西)已知集合只有一個元素，則的取值集合為( )
A． B． C． D．
(3)(2021·全國高一課時練習)已知集合，若，則的取值范圍為( )
A． B． C． D．
(4)(2021·寶山區)已知實數集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，則__________．
【答案】(1)B(2)D(3)C(4)-3
【解析】(1)因為a∈{1，a2﹣2a+2}，則：a＝1或a＝a2﹣2a+2，
當a＝1時：a2﹣2a+2＝1，與集合元素的互異性矛盾，舍去；
當a≠1時：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1(舍去)或a＝2；故選：B．
①當時，，此時滿足條件；
②當時，中只有一個元素的話，，解得，
綜上，的取值集合為，．故選：D．
(3)因為集合，所以，又因為，則，即，故選：．
(4)因為實數集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，
所以(無解)或者，解得：．故答案為：-3．
【例5-2】(2020·上海)已知集合．
(1)若中只有一個元素，求的值；
(2)若中至少有一個元素，求的取值范圍；
(3)若中至多有一個元素，求的取值范圍.
【答案】(1)或；(2)；(3)或.
【解析】(1)若中只有一個元素，
則當時，原方程變為，此時符合題意，
當時，方程為二元一次方程，，即，
故當或時，原方程只有一個解；
(2)中至少有一個元素，即中有一個或兩個元素，
由得綜合(1)當時中至少有一個元素；
(3)中至多有一個元素，即中有一個或沒有元素
當，即時原方程無實數解，
結合(1)知當或時中至多有一個元素.
【一隅三反】
1．(2021·安徽省桐城中學)已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，則實數a的值為( )
A．－2 B．2
C．4 D．2或4
【答案】A
【解析】依題意，若，則，不滿足集合元素的互異性，所以；
若，則或(舍去)，此時，符合題意；
若，則，而，不滿足集合元素的互異性，所以.綜上所述，的值為.
故選：A
2．(2021·壽縣第一中學)已知集合，且，則的值可能為( )
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解析】集合，四個選項中，只有，故選：C．
3．(2021·全國高一單元測試)設集合，若且，則實數的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為集合，而且，
且，解得．故選：C．
4．(多選)(2021·全國高三專題練習)已知集合，，，若，則滿足條件的實數可能為( )
A．2 B． C． D．1
【答案】AC
【解析】由題意得，或，
若，即，
或，
檢驗：當時，，與元素互異性矛盾，舍去；
當時，，與元素互異性矛盾，舍去．
若，即，
或，
經驗證或為滿足條件的實數．
故選：AC．
5．(多選)(2020·河北安平中學高一月考)已知集合中有且僅有一個元素，那么的可能取值為( )
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
當時，即，解得，
當時，代入方程解得，滿足題意；
當時，方程無解，不滿足題意；
當時，即，，即，
整理可得，解得，滿足題意；
故選：BC

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