資源簡介

1.2 集合間的關系(精講)
考點一 集合間的關系
【例1】(1)(多選)(2021·全國高三專題練習)已知集合，則有( )
A． B． C． D．
(2)(2021·北京)已知集合，集合與的關系如圖所示，則集合可能是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·廣東)已知集合，，則集合與集合的關系是( )
A． B．MN C．NM D．
【一隅三反】
1．(2021·福建廈門市)已知集合，則( )
A． B． C． D．
2．(2021·廣東中山市)能正確表示集合和集合的關系的韋恩圖的是( )
A． B．
C． D．
3．(2021·全國高一課時練習)已知集合是平行四邊形，是矩形，是正方形，是菱形，則
A． B． C． D．
4．(2021·全國高三專題練習(文))若集合，，則( )
A． B． C． D．
5．(2021·江蘇泰州市)設集合，，則( )
A． A B．A C． D．
考點二 (真)子集的個數
【例2】(1)(2021·北京師范大學)已知集合，則集合的子集的個數是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(2021·浙江)已知集合滿足，則集合A可以是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·河北)滿足的集合M有______個.
【一隅三反】
1．(2021·四川省遂寧市第二中學校)已知集合，則集合的子集個數是( )
A．4 B．8 C．16 D．32
2．(2021·陵川縣高級實驗中學校)已知集合若A的子集的元素中至多有一個奇數，則這樣的子集共( )
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
3．(2021·河南信陽高中)已知集合，，若，則滿足條件的集合的個數為( )
A．7 B．8 C．15 D．16
4．(2021·河北衡水市)定義集合A★B=，設，則集合A★B的非空真子集的個數為( )
A．12 B．14 C．15 D．16
考點三 集合相等
【例3】(1)(2020·全國高一課時練習)下列集合中表示同一集合的是( )
A．， B．，
C．， D．，
(2)(2021·全國高一單元測試)若集合，，且，則( )
A．0 B．1 C． D．0或1
【一隅三反】
1．(2021·浙江)下列集合與集合相等的是( )
A． B．
C． D．
2．(2021·江蘇南通市)已知集合，，若，則的值為( )
A．0 B． C．1 D．
3．(2021·河北石家莊市)已知集合，，(，)，若，則( )
A． B．2 C． D．1
4．(2021·江蘇省天一中學)設，則集合，若，則( )
A． B． C． D．
考點四 根據集合的關系求參數
【例4-1】(1)(2021·浙江杭州市)設，，若，則 ( )
A．0 B．0或2 C．0或 D．0或
(2)(2021·西安市經開第一中學)集合或，若，則實數的取值范圍是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·重慶市蜀都中學校)已知集合，，且，則實數的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【例5-2】(2021·全國高一單元測試)設集合，，若，求實數a的值．
【一隅三反】
1．(2021·廣東廣州市)已知集合，若，則所有的取值構成的集合為( )
A． B． C． D．
2．(2021·寧夏)設全集，且，則滿足條件的集合的個數是( )
A．3 B．4 C．7 D．8
3．(2021·全國高三專題練習)已知集合，集合，若，則的取值范圍為( )
A． B．
C． D．
4．(2021·上海)已知，，若，求實數的值.
答案與解析
考點一 集合間的關系
【例1】(1)(多選)(2021·全國高三專題練習)已知集合，則有( )
A． B． C． D．
(2)(2021·北京)已知集合，集合與的關系如圖所示，則集合可能是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·廣東)已知集合，，則集合與集合的關系是( )
A． B．MN C．NM D．
【答案】(1)ACD(2)D(3)C
【解析】(1)由題得集合，由于空集是任何集合的子集，故A正確：
因為，所以CD正確，B錯誤.故選ACD.
(2)由圖可知：，，由選項可知：，故選：D.
(3)根據題意，
①a＝﹣1時，b＝0或1，x＝0或﹣1；
②a＝0時，無論b取何值，都有x＝0；
③a＝1時，b＝﹣1或0，x＝﹣1或0．
綜上知N＝{0，﹣1}，則有NM.故選C．
【一隅三反】
1．(2021·福建廈門市)已知集合，則( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合是由小于3的自然數組成，0，，只有C正確，故選：C．
2．(2021·廣東中山市)能正確表示集合和集合的關系的韋恩圖的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，故選B.
3．(2021·全國高一課時練習)已知集合是平行四邊形，是矩形，是正方形，是菱形，則
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為菱形是平行四邊形的特殊情形，所以D A，矩形與正方形是平行四邊形的特殊情形，所以B A，C A，正方形是矩形，所以C B．故選B．
4．(2021·全國高三專題練習(文))若集合，，則( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，時，取得所有奇數，
，時，取得整數因此．故選：B．
5．(2021·江蘇泰州市)設集合，，則( )
A． A B．A C． D．
【答案】B
【解析】對于集合A，當，時，，
當，時，,所以或，所以A，
故選：B．
考點二 (真)子集的個數
【例2】(1)(2021·北京師范大學)已知集合，則集合的子集的個數是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(2021·浙江)已知集合滿足，則集合A可以是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·河北)滿足的集合M有______個.
【答案】(1)C(2)D(3)7
【解析】(1)，有2個元素，則集合的子集的個數是.
故選：C.
(2)，集合A可以是，.故選：D.
(3)由,可以確定集合M必含有元素1,2,且至少舍有元素3,4,5中的一個,因此依據集合M的元素個數分類如下：含有三個元素：,,；含有四個元素：,,；含有五個元素：,故滿足題意的集合M共有7個.故答案為：7
【一隅三反】
1．(2021·四川省遂寧市第二中學校)已知集合，則集合的子集個數是( )
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】，
即集合A中有3個元素，則集合A的子集個數為.故選：B.
2．(2021·陵川縣高級實驗中學校)已知集合若A的子集的元素中至多有一個奇數，則這樣的子集共( )
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【答案】C
【解析】集合A的子集一共有：
則滿足題意的共有，6個故選：C
3．(2021·河南信陽高中)已知集合，，若，則滿足條件的集合的個數為( )
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【解析】，，
，則集合M中一定包含元素0、1，
滿足條件的集合M有：
，共15個.
故選：C
4．(2021·河北衡水市)定義集合A★B=，設，則集合A★B的非空真子集的個數為( )
A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解析】，所以集合的非空真子集的個數為，故選：B.
考點三 集合相等
【例3】(1)(2020·全國高一課時練習)下列集合中表示同一集合的是( )
A．， B．，
C．， D．，
(2)(2021·全國高一單元測試)若集合，，且，則( )
A．0 B．1 C． D．0或1
【答案】(1)B(2)A
【解析】(1)對于A選項，點和點不是同一個點，則；
對于B選項，集合和中的元素相同，則；
對于C選項，集合為點集，集合為數集，則；
對于D選項，集合為數集，集合為點集，則.故選：B.
(2)，，或1，顯然，.故選：A.
【一隅三反】
1．(2021·浙江)下列集合與集合相等的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】集合表示數字和的集合.
對于A：集合中的元素代表點，與集合不同，A錯誤；
對于B：集合中的元素代表點，與集合不同，B錯誤；
對于C：由得：或，與集合元素相同，C正確；
對于D：表示兩個代數式的集合，與集合不同，D錯誤.
故選：C.
2．(2021·江蘇南通市)已知集合，，若，則的值為( )
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】根據集合中元素的互異性可知，
因為，所以或，
當時，，此時；
當時，則，因為，所以，此時.故選：B
3．(2021·河北石家莊市)已知集合，，(，)，若，則( )
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】∵集合，，且，
∴，或，
先考慮，解得，
此時，，滿足題意，
∴；
再考慮，解得，
此時，，不滿足題意，
綜上，故選：D
4．(2021·江蘇省天一中學)設，則集合，若，則( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，得，
∵，∴僅當時符合題意，故.故選：C.
考點四 根據集合的關系求參數
【例4-1】(1)(2021·浙江杭州市)設，，若，則 ( )
A．0 B．0或2 C．0或 D．0或
(2)(2021·西安市經開第一中學)集合或，若，則實數的取值范圍是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·重慶市蜀都中學校)已知集合，，且，則實數的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】(1)C(2)A(3)C
【解析】(1)當時，得，
若，則不滿足集合中的元素的互異性，所以；
若，則，，滿足題意，
當時，或(舍去)，滿足題意，
∴或，故選：C．
(2)，①當時，即無解，此時，滿足題意．
②當時，即有解，當時，可得，
要使，則需要，解得．
當時，可得，
要使，則需要，解得，
綜上，實數的取值范圍是．故選：A．
(3)因，而，
所以時，即，則，此時
時，，則，無解，
綜上得，即實數的取值范圍是.故選：C
【例5-2】(2021·全國高一單元測試)設集合，，若，求實數a的值．
【答案】a≤－1或a＝1.
【解析】∵A＝{0，－4}，B A，于是可分為以下幾種情況．
(1)當A＝B時，B＝{0，－4}，
∴由根與系數的關系，得解得a＝1.
(2)當時，又可分為兩種情況．
①當時，即B＝{0}或B＝{－4}，
當x＝0時，有a＝±1；
當x＝－4時，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此時B＝{0}滿足條件；
②當時，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1.
綜合(1)(2)知，所求實數a的取值為a≤－1或a＝1.
【一隅三反】
1．(2021·廣東廣州市)已知集合，若，則所有的取值構成的集合為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】時，滿足題意，
時，得，所以或，或，所求集合為．故選：D．
2．(2021·寧夏)設全集，且，則滿足條件的集合的個數是( )
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】由不等式，解得，即
又由，可得滿足條件的集合的個數為．故選：D
3．(2021·全國高三專題練習)已知集合，集合，若，則的取值范圍為( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解不等式得，要使，
當集合時，，解得；
當集合時，，解得.
綜上：.故選：D.
4．(2021·上海)已知，，若，求實數的值.
【答案】或
【解析】，或或或；
若，無解；
若，無解；
若，；
若，；綜上：或.

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