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專題7 解三角形
類型一:正、余弦定理、面積公式的直接考查
例1在△ABC中，D為邊BC上一點，∠DAC=，AD=4，AB=2BD，且△ADC的面積為4，則sin∠ABD=( )
B. C. D.
解：得AC=4，由此可得∠ADC=∠ACD=30°，∠ADB=150°，由∠BAD=30°-∠B，在△ABD中，由正弦定理得即有得，,即有sinB=，選A.
類型二：中線及角平分線的考查
點評：題目考查了面積公式和正弦定理、和差公式，其中和差公式的使用要注意聯(lián)想到.
例2在△ABC中，點M、N分別在線段BC、BA上，且BM=CM，∠ACN=∠BCN，AB=，AM=,AC=2,
(1)求BM的長;
(2)求△BCN的面積.
解：(1)方法一：向量法
易知得即有得cos∠BAC=，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=25,故BC=5，故BM=；
方法二：兩次余弦定理
在ABM和ACM中，設AMB=，則AMC=，，，由此可得BM=；
方法三：中線長公式
由中線長公式可知2(AM2+BM2)=AB2+AC2,得BC=5，故BM=
(2)由角平分線定理知BN：AN=CB：CA=2：5，，而由(1)中方法一可知sin∠BAC=,,故(此處△ABC的面積亦可由△ACM為直角三角形直接得到)
點評：題目的解答方法不唯一，需同學們對三角形相關的知識要非常全面、熟悉，例如角平分線定理、中線長公式，正余弦定理、面積公式，同時需要靈活變換，在不同題目中切換.
類型三：最值問題
例3△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知(b-c)sinB=bsin(A-C).
(1)求角A；
(2)若△ABC為銳角三角形，且△ABC的面積為S，求的取值范圍.
解：(1)由正弦定理得(sinB-sinC)sinB=sinBsin(A-C)，sinB-sinC=sin(A-C)同時sinB=sin(A+C)得sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC,得cosA=,故A=
(2),同時由余弦定理得即有，于是，而，而得，故tanB，得，，故
點評：最值問題的處理方式一般會回到利用基本不等式或函數(shù)的值域的求解.
全真模擬
已知△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，其中a=4,b=3.
若點D為AB的中點且CD=2，求ACB的余弦值；
若ACB的角平分線與AB相交于點E，當cCE取得最大值時，求CE的長.
△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC
(1)求C；
(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.
如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=45°，BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點P
(1)求∠BAM的正弦值；
(2)求∠MPN的余弦值.
如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，AD=3，且sin∠ADB=sinB
(1)求AB的長.
(2)若AD AC，BC=3BD，求△ABC的面積.
5.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a,b,c設cos2A+sinAsinB=sin2B+sin2C
(1)求角C.
(2)若D為AB的中點，CD=，AB=，求△ABC的面積.
6.記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c，已知sin2B-cosA=cos(A+2B)
(1)若A=，求C.
(2)若，求的最小值.
7.在△ABC的內(nèi)角，A、B、C的對邊分別為a,b,c，ABC的周長為
(1)求A.
(2)若b=4,c=2,M是AC的中點，點N滿足，設AN交BM于點O，求cos∠MON的值.
8.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a,b,c，且向量與向量共線，
求角B.
請從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在且唯一確定，并求AC邊中線BD的長.
條件①：；條件②：；條件③：
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專題7 解三角形
類型一:正、余弦定理、面積公式的直接考查
例1在△ABC中，D為邊BC上一點，∠DAC=，AD=4，AB=2BD，且△ADC的面積為4，則sin∠ABD=( )
B. C. D.
解：得AC=4，由此可得∠ADC=∠ACD=30°，∠ADB=150°，由∠BAD=30°-∠B，在△ABD中，由正弦定理得即有得，,即有sinB=，選A.
類型二：中線及角平分線
點評：題目考查了面積公式和正弦定理、和差公式，其中和差公式的使用要注意聯(lián)想到.
例2在△ABC中，點M、N分別在線段BC、BA上，且BM=CM，∠ACN=∠BCN，AB=，AM=,AC=2,
(1)求BM的長;
(2)求△BCN的面積.
解：(1)方法一：向量法
易知得即有得cos∠BAC=，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=25,故BC=5，故BM=；
方法二：兩次余弦定理
在ABM和ACM中，設AMB=，則AMC=，，，由此可得BM=；
方法三：中線長公式
由中線長公式可知2(AM2+BM2)=AB2+AC2,得BC=5，故BM=
(2)由角平分線定理知BN：AN=CB：CA=2：5，，而由(1)中方法一可知sin∠BAC=,,故(此處△ABC的面積亦可由△ACM為直角三角形直接得到)
點評：題目的解答方法不唯一，需同學們對三角形相關的知識要非常全面、熟悉，例如角平分線定理、中線長公式，正余弦定理、面積公式，同時需要靈活變換，在不同題目中切換.
類型三：最值問題
例3△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知(b-c)sinB=bsin(A-C).
(1)求角A；
(2)若△ABC為銳角三角形，且△ABC的面積為S，求的取值范圍.
解：(1)由正弦定理得(sinB-sinC)sinB=sinBsin(A-C)，sinB-sinC=sin(A-C)同時sinB=sin(A+C)得sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC,得cosA=,故A=
(2),同時由余弦定理得即有，于是，而，而得，故tanB，得，，故
點評：最值問題的處理方式一般會回到利用基本不等式或函數(shù)的值域的求解.
全真模擬
已知△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，其中a=4,b=3.
(1)若點D為AB的中點且CD=2，求∠ACB的余弦值；
(2)若∠ACB的角平分線與AB相交于點E，當cCE取得最大值時，求CE的長.
解：(1)如圖，D為AB的中點知，即有，，得cos∠ACB=-
或由中線長公式得求解；(其它方法參照例1)
(2)設∠ACE=∠BCE=α，AB2=AC2+BC2+2AC·BCcos2α,得AB2=25-24cos2α而于是CE=，cCE=當且僅當cosα=時等號成立，CE=
△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC
(1)求C；
(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.
解：(1)由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC得sin(A+B)=2sinCcosC,sinC=2sinCcosC,cosC=,故C=
(2)，而得，故tanA，得
如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=45°，BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點P
(1)求∠BAM的正弦值；
(2)求∠MPN的余弦值.
解：(1)由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,得BC=2，cos∠ABC=
由此可得AM2=AB2+MB2-2AB·BMcos∠ABM,得AM=5，sin∠ABC=，由正弦定理得得sin∠BAM=
(2)在△AMC中，由余弦定理得，sin∠CAM=；在△ABN中，BN2=AB2+AN2-2AB·ANcos∠BAN得BN=，cos∠ANP=,sin∠ANP=,∠APB=∠CAM+∠ANP，cos∠APB=cos(∠CAM+∠ANP)=
如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，AD=3，且sin∠ADB=sinB
(1)求AB的長.
(2)若AD AC，BC=3BD，求△ABC的面積.
解：(1)由正弦定理得AB=3
(2)設BD=m，則CD=2m，由余弦定理得,得m=3，于是CD=6，∠B=30°，故S△ABC=
5.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a,b,c設cos2A+sinAsinB=sin2B+cos2C
(1)求角C.
(2)若D為AB的中點，CD=，AB=，求△ABC的面積.
解：(1)由已知得1-sin2A+sinAsinB=sin2B+1-sin2C得-sin2A+sinAsinB=sin2B-sin2C，-a2+ab=b2-c2,得cosC=,C=60°
(2)D為AB的中點，得即有得；同時即有由此得CA·CB=8，故S△ABC=
6.記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c，已知sin2B-cosA=cos(A+2B)
(1)若A=，求C.
(2)若，求的最小值.
解：(1)由已知得sin2B-cosA=cosAcos2B-sinAsin2B,A=得sin(2B-)=,得B=或，C=或
(2)sin2B-cosA=cosAcos2B-sinAsin2B得sin2B(1+sinA)=cosA(1+cos2B)得2sinBcosB(1+sinA)=2cos2BcosA得sinB=-cosC,得C=B+，故A=-2B于是當且僅當cos2B=時成立，最小值為
7.在△ABC的內(nèi)角，A、B、C的對邊分別為a,b,c，△ABC的周長為
(1)求A.
(2)若b=4,c=2,M是AC的中點，點N滿足，設AN交BM于點O，求cos∠MON的值.
解：(1)由已知得a+b+c=,得sinC(c-b)=(a+b)(sinA-sinB),得b2+c2-a2=bc，故cosA=故A=
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA得BC=2，得∠ABC=90°，BN=,cos∠ANB=,而∠MON=90°，故cos∠MON=0
8.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a,b,c，且向量與向量共線，
(1)求角B.
(2)請從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在且唯一確定，并求AC邊中線BD的長.
條件①：；條件②：；條件③：
解：(1)由向量共線得得得cosB=,故B=30°
(2)選①由正弦定理知得sinA=,A=60°或120°(故不可選)
選②S=得ac=3，而a2+c2-2accosB=3，a2+c2=12,a=3，c=或a=,c=3,(故不可選)
選③，此時b=c=,A=120°,由余弦定理得BD=
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