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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題27 軸對稱問題
考點掃描☆聚焦中考
軸對稱問題在近幾年各地中考主要以填空題或選擇題的形式進行考查，屬于中、低檔題，較為簡單；也有部分地區以選擇、填空的壓軸題出現，少數地區以解答題的形式進行考查，屬于中檔題，難度一般；考查的內容主要涉及的有：軸對稱與軸對稱圖形的概念；軸對稱的性質；軸對稱變換；利用平移設計圖案；考查的熱點主要有軸對稱圖形的判斷；軸對稱的性質；軸對稱變換；最短路線問題；折疊問題；剪紙問題。
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 廣東）下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為（　　）
A．B． C．D．
【答案】A
【點撥】利用軸對稱圖形的定義進行分析即可．
【解析】解：選項B，C，D中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對稱圖形，選項A中的圖形沿某條直線對折后兩部分能完全重合，是軸對稱圖形，
故選：A．
【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
例2（2020 哈爾濱）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B'，則∠CAB'的度數為（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【點撥】由余角的性質可求∠C＝40°，由軸對稱的性質可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性質可求解．
【解析】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝40°，
∵△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B'，
∴∠AB'B＝∠B＝50°，
∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°，
故選：A．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質，掌握軸對稱的性質是本題的關鍵．
例3（2021 深圳）如圖所示，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1個單位．
（1）過直線m作四邊形ABCD的對稱圖形；
（2）求四邊形ABCD的面積．
【答案】（1）見解析；
（2）8．
【點撥】（1）依據軸對稱的性質得出四邊形ABCD各頂點的對稱點，再順次連接各頂點即可；
（2）依據四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△BCD進行計算，即可得到四邊形ABCD的面積．
【解析】解：（1）如圖所示，四邊形A'B'C'D'即為所求；
（2）四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△BCD＝×4×1+×4×3＝8．
【點睛】本題主要考查了利用軸對稱變換作圖，解決問題的關鍵是利用軸對稱的性質得到對稱點的位置．
例4（2023 瀘州）如圖，E，F是正方形ABCD的邊AB的三等分點，P是對角線AC上的動點，當PE+PF取得最小值時，的值是 　　．
【答案】．
【點撥】找出點E關于AC的對稱點E'，連接FE'與AC的交點P'即為PE+PF取得最小值時，點P的位置，再設法求出的值即可．
【解析】解：作點E關于AC的對稱點E'，連接FE'交AC于點P'，連接PE'，
∴PE＝PE'，
∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，
故當PE+PF取得最小值時，點P位于點P'處，
∴當PE+PF取得最小值時，求的值，只要求出的值即可．
∵正方形ABCD是關于AC所在直線軸對稱，
∴點E關于AC所在直線對稱的對稱點E'在AD上，且AE'＝AE，
過點F作FG⊥AB交AC于點G，
則∠GFA＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，
∴GF＝AF，
∵E，F是正方形ABCD的邊AB的三等分點，
∴AE'＝AE＝EF＝FB，
∴GC＝AC，，
∴AG＝AC，，
∴AP'＝AG＝AC＝AC，
∴P'C＝AC﹣AP'＝AC﹣AC＝AC，
∴＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查軸對稱﹣最短路線問題，熟悉運用將軍飲馬模型，以及轉化思想是解題的關鍵．
例5（2023 黃石）如圖，有一張矩形紙片ABCD．先對折矩形ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN，MN．觀察所得的線段，若AE＝1，則MN＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【點撥】根據折疊的性質得到AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∠AEF＝∠BEN＝90°，BN＝AB＝2，∠ABM＝∠NBM，∠BNM＝∠A＝90°，求得BE＝，根據直角三角形的性質得到∠BNE＝30°，求得∠EBN＝60°，于是得到結論．
【解析】解：∵對折矩形ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，
∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∠AEF＝∠BEN＝90°，
∵折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，
∴BN＝AB＝2，∠ABM＝∠NBM，∠BNM＝∠A＝90°，
∴BE＝，
∴∠BNE＝30°，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ABM＝∠MBN＝30°，
∴MN＝BN＝，
故選：C．
【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
例6（2022 六盤水）如圖，將一張長方形紙對折，再對折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開后可得到（　　）
A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五邊形
【答案】C
【點撥】動手操作可得結論．
【解析】解：將一張長方形紙對折，再對折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開后可得到：正方形．
故選：C．
【點睛】本題考查剪紙問題，正方形的判定和性質，矩形的性質等知識，解題的關鍵是學會動手操作，屬于中考常考題型．
考點過關☆專項突破
類型一 軸對稱圖形
1．（2023 淮安）剪紙是中國優秀的傳統文化．下列剪紙圖案中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【點撥】關于某條直線對稱的圖形是軸對稱圖形．
【解析】解：A、選項不是軸對稱圖形，不符合題意；
B、選項關于某條直線對稱，是軸對稱圖形，符合題意；
C、選項不是軸對稱圖形，不符合題意；
D、選項不是軸對稱圖形，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查學生軸對稱圖形的認識，屬于重點題型．
2．（2023 深圳）下列圖形中，為軸對稱的圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解析】解：A、B、C選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
D選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：D．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3．（2023 云南）中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣．下列四個選項中，是軸對稱圖形的為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】根據軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解析】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的概念，熟知：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．這條直線是它的對稱軸．
4．（2023 益陽）如圖所示正方體的展開圖中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】根據軸對稱圖形的定義分別判斷可得出結果．
【解析】解：由軸對稱圖形定義可知D選項中的圖形是軸對稱圖形，
故選：D．
【點睛】此題主要是考查了軸對稱圖形的定義，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對稱圖形．
5．（2023 衡陽）下面四種化學儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解析】解：A、B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：C．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
6．（2023 泰州）書法是我國特有的優秀傳統文化，其中篆書具有象形特征，充滿美感．下列“福”字的四種篆書圖案中，可以看作軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解析】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：C．
【點睛】本題考查了利用軸對稱設計圖案，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
7．（2023 寧夏）下面是由七巧板拼成的圖形（只考慮外形，忽略內部輪廓），其中軸對稱圖形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】結合軸對稱圖形的概念求解即可．
【解析】解：A、不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；
C、是軸對稱圖形，本選項符合題意；
D、不是軸對稱圖形，本選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
8．（2022 北京）圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【點撥】一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線就是這個圖形的一條對稱軸，由此即可解決問題．
【解析】解：如圖所示，該圖形有5條對稱軸，
故選：D．
【點睛】此題考查了利用軸對稱圖形的定義判斷軸對稱圖形的對稱軸條數和位置的靈活應用．
類型二 軸對稱的性質
1．（2023 德州）下列選項中，直線l是四邊形的對稱軸的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】利用對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線可對各選項進行判斷．
【解析】解：直線L是四邊形的對稱軸的是．
故選：C．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質：如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．
2．（2021 廣州）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，點D是邊AB上一點，點B關于直線CD的對稱點為B′，當B′D∥AC時，則∠BCD的度數為 　33°　．
【答案】33°．
【點撥】先根據等腰三角形的性質得到∠A＝∠B＝38°，再利用平行線的性質得∠ADB′＝∠A＝38°，接著根據軸對稱的性質得到∠CDB′＝∠CDB，則可出∠CDB的度數，然后利用三角形內角和計算出∠BCD的度數．
【解析】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝38°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝38°，
∵點B關于直線CD的對稱點為B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝（38°+180°）＝109°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣38°﹣109°＝33°．
故答案為33°．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質：軸對稱的兩個圖形全等．也考查了平行線的性質和等腰三角形的性質．
3．（2021 株洲）《蝶幾圖》是明朝人戈汕所作的一部組合家具的設計圖（“”為“蜨”，同“蝶”），它的基本組件為斜角形，包括長斜兩只、右半斜兩只、左半斜兩只、閨一只、小三斜四只、大三斜兩只，共十三只（圖①中的“樣”和“隻”為“樣”和“只”）．圖②為某蝶幾設計圖，其中△ABD和△CBD為“大三斜”組件（“一樣二隻”的大三斜組件為兩個全等的等腰直角三角形），已知某人位于點P處，點P與點A關于直線DQ對稱，連接CP、DP．若∠ADQ＝24°，則∠DCP＝　21　度．
【答案】21．
【點撥】由點P與點A關于直線DQ對稱求出∠PDQ，再由△ABD和△CBD求出∠CDB和∠ADB，進而計算出∠CDP，最后利用三角形內角和即可求解．
【解析】解：∵點P與點A關于直線DQ對稱，∠ADQ＝24°，
∴∠PDQ＝∠ADQ＝24°，AD＝DP，
∵△ABD和△CBD為兩個全等的等腰直角三角形，
∴∠CDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD，
∴∠CDP＝∠CDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝138°，
∵AD＝DP，CD＝AD，
∴CD＝DP，即△DCP是等腰三角形，
∴∠DCP＝（180°﹣∠CDP）＝21°．
故答案為：21．
【點睛】本題考查了關于直線對稱、全等三角形的性質，熟練掌握性質，找出對應邊和對應角是解題的關鍵．
4．（2021 鞍山）如圖，∠POQ＝90°，定長為a的線段端點A，B分別在射線OP，OQ上運動（點A，B不與點O重合），C為AB的中點，作△OAC關于直線OC對稱的△OA′C，A′O交AB于點D，當△OBD是等腰三角形時，∠OBD的度數為 　67.5°或72°　．
【答案】67.5°或72°．
【點撥】結合折疊及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質可得∠COA＝∠COA′＝∠BAO，設∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x°，然后利用三角形外角和等腰三角形的性質表示出∠BCO＝2x°，∠A′OB＝90°﹣2x°，∠OBD＝90°﹣x°，∠BDO＝∠AOD+∠BAO＝3x°，從而利用分類討論思想解題．
【解析】解：∵∠POQ＝90°，C為AB的中點，
∴OC＝AC＝BC，
∴∠COA＝∠BAO，∠OBC＝∠BOC，
又由折疊性質可得∠COA＝∠COA′，
∴∠COA＝∠COA′＝∠BAO，
設∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x°，則∠BCO＝2x°，∠A′OB＝90°﹣2x°，∠OBD＝90°﹣x°，∠BDO＝∠AOD+∠BAO＝3x°，
①當OB＝OD時，∠ABO＝∠BDO，
∴90°﹣x°＝3x°，
解得x＝22.5°，
∴∠OBD＝90°﹣22.5°＝67.5°；
②當BD＝OD時，∠OBD＝∠A′OB，
∴90°﹣x°＝90°﹣2x°，解得：x＝0（舍去），
∴此情況不存在；
③當OB＝DB時，∠BDO＝∠A′OB，
∴3x°＝90°﹣2x°，
解得：x＝18°，
∴∠OBD＝90°﹣18°＝72°；
綜上，∠OBD的度數為67.5°或72°，
故答案為：67.5°或72°．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質，折疊的性質及直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，掌握相關性質并注意分類討論思想解題是關鍵．
5．（2023 泰安）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝16，點D在AB上，點E在BC上，點B關于直線DE的軸對稱點為點B′，連接DB′，EB′，分別與AC相交于F點，G點，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，則CG的長度為 　　．
【答案】．
【點撥】根據軸對稱可得∠B＝∠B′，進而得出△ADF∽△B′GF，根據相似三角形的性質可求出FG，進而求出CG．
【解析】解：∵△BDE與△B′DE關于DE對稱，
∴∠B＝∠B′，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∴∠A＝∠B'，
又∵∠AFD＝∠B′FG，
∴△ADF∽△B′GF，
∴＝，
即＝，
∴GF＝，
∴CG＝AC﹣AF﹣GF
＝16﹣8﹣
＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質以及軸對稱的性質，掌握軸對稱的性質以及相似三角形的判定和性質是正確解答的前提．
6．（2021 浙江）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，點P從點A出發沿AB方向運動，到達點B時停止運動，連結CP，點A關于直線CP的對稱點為A′，連結A′C，A′P．在運動過程中，點A′到直線AB距離的最大值是 　　；點P到達點B時，線段A′P掃過的面積為 　（1+）π﹣1﹣　．
【答案】，（1+）π﹣1﹣．
【點撥】如圖1中，過點B作BH⊥AC于H．解直角三角形求出CA，當CA′⊥AB時，點A′到直線AB的距離最大，求出CA′，CK．可得結論．如圖2中，點P到達點B時，線段A′P掃過的面積＝S扇形A′CA﹣2S△ABC，由此求解即可．
【解析】解：如圖1中，過點B作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，BH＝AB sin30°＝1，AH＝BH＝，
在Rt△BCH中，∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝1，
∴AC＝CA′＝1+，
當CA′⊥AB時，點A′到直線AB的距離最大，
設CA′交AB的延長線于K．
在Rt△ACK中，CK＝AC sin30°＝，
∴A′K＝CA′﹣CK＝1+﹣＝．
如圖2中，點P到達點B時，線段A′P掃過的面積＝S扇形A′CA﹣2S△ABC＝﹣2××（1+）×1＝（1+）π﹣1﹣．
故答案為：，（1+）π﹣1﹣．
【點睛】本題考查軸對稱的性質，翻折變換，解直角三角形，扇形的面積，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會利用分割法求面積，屬于中考填空題中的壓軸題．
類型三 軸對稱變換
1．（2023 安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，B，C，D均為格點（網格線的交點）．
（1）畫出線段AB關于直線CD對稱的線段A1B1；
（2）將線段AB向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段A2B2，畫出線段A2B2；
（3）描出線段AB上的點M及直線CD上的點N，使得直線MN垂直平分AB．
【答案】見解析；
【點撥】（1）根據軸對稱的性質畫出圖形即可；
（2）根據平移的性質畫出圖形即可；
（3）根據線段垂直平分線的作法畫出圖形即可．
【解析】解：（1）線段A1B1如圖所示；
（2）線段A2B2如圖所示；
（3）直線MN即為所求．
【點睛】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：幾何圖形都可看作是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的．也考查了線段垂直平分線的性質．
2．（2023 黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）將△ABC向左平移5個單位，再向下平移2個單位，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（2）請畫出△ABC關于x軸對稱的△A2B2C2；
（3）將△A2B2C2繞著原點O逆時針旋轉90°，得到△A3B3C3，求線段A2C2在旋轉過程中掃過的面積（結果保留π）．
【答案】（1）見解析．
（2）見解析．
（3）．
【點撥】（1）根據平移的性質作圖即可．
（2）根據軸對稱的性質作圖即可．
（3）利用勾股定理求出OA2，OC2的長，再利用扇形面積公式計算即可．
【解析】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
（3）由勾股定理得，OA2＝＝，OC2＝＝，
∴線段A2C2在旋轉過程中掃過的面積﹣＝．
【點睛】本題考查作圖﹣軸對稱變換、平移變換、旋轉變換、扇形面積公式，熟練掌握軸對稱的性質、平移的性質、旋轉的性質、扇形面積公式是解答本題的關鍵．
3．（2023 宿遷）如圖，在 ABCD中，AB＝5，，∠A＝45°．
（1）求出對角線BD的長；
（2）尺規作圖：將四邊形ABCD沿著經過A點的某條直線翻折，使點B落在CD邊上的點E處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】（1）；
（2）見解析．
【點撥】（1）連接BD，過D作DH⊥AB于H，依據等腰直角三角形以及勾股定理，即可得到BD的長；
（2）以A為圓心，AB的長為半徑畫弧，交CD于E；分別以B，E為圓心，適當的長為半徑畫弧，兩弧交于點F；作射線AF，交DC于G，則AG即為折痕．
【解析】解：（1）如圖所示，連接BD，過D作DH⊥AB于H，
∵∠A＝45°，∠AHD＝90°，
∴∠ADH＝45°＝∠A，
∴△ADH是等腰直角三角形，
又∵，
∴AH＝DH＝3，
∴BH＝AB﹣AH＝5﹣3＝2，
∴Rt△BDH中，BD＝＝；
（2）如圖所示，AG即為所求．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質以及軸對稱變換，掌握平行四邊形的性質以及軸對稱的性質是解決問題的關鍵．
4．（2022 桂林）如圖，在平面直角坐標系中，形如英文字母“V”的圖形三個端點的坐標分別是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．
（1）畫出“V”字圖形向左平移2個單位后的圖形；
（2）畫出原“V”字圖形關于x軸對稱的圖形；
（3）所得圖形與原圖形結合起來，你能從中看出什么英文字母？（任意答一個即可）
【答案】（1）圖形見解解析；
（2）圖形見解析；
（3）W，X．
【點撥】（1）根據要求直接平移即可；
（2）在第四象限畫出關于x軸對稱的圖形；
（3）觀察圖形可得結論．
【解析】解：（1）如圖1，
（2）如圖2，
（3）圖1是W，圖2是X．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質和平移，解題關鍵是牢固掌握關于坐標軸對稱的點的坐標的特征并能靈活運用．
5．（2022 吉林）圖①，圖②均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．其中點A，B，C均在格點上，請在給定的網格中按要求畫四邊形．
（1）在圖①中，找一格點D，使以點A，B，C，D為頂點的四邊形是軸對稱圖形；
（2）在圖②中，找一格點E，使以點A，B，C，E為頂點的四邊形是中心對稱圖形．
【答案】見解析．
【點撥】（1）作點B關于直線AC的對稱點D，四邊形ABCD為箏形．
（2）將點A向右平移1個單位，再向上平移1個單位可得點E，四邊形ABCE為平行四邊形．
【解析】解：（1）作點B關于直線AC的對稱點D，連接ABCD，四邊形ABCD為箏形，符合題意．
（2）將點A向右平移1個單位，再向上平移1個單位可得點E，連接ABCE，AE∥BC且AE＝BC，
∴四邊形ABCE為平行四邊形，符合題意．
【點睛】本題考查網格無刻度尺作圖，解題關鍵是掌握平行四邊形的性質．
6．（2022 哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點和線段EF的端點均在小正方形的頂點上．
（1）在方格紙中畫出△ADC，使△ADC與△ABC關于直線AC對稱（點D在小正方形的頂點上）；
（2）在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點G，點H均在小正方形的頂點上），且平行四邊形EFGH的面積為4，連接DH，請直接寫出線段DH的長．
【答案】見解析
【點撥】（1）根據軸對稱的性質可得△ADC；
（2）利用平行四邊形的性質即可畫出圖形，利用勾股定理可得DH的長．
【解析】解：（1）如圖，△ADC即為所求；
（2）如圖， EFGH即為所求；
由勾股定理得，DH＝＝5．
【點睛】本題主要考查了作圖﹣軸對稱變換，平行四邊形的性質，勾股定理等知識，準確畫出圖形是解題的關鍵．
7．（2021 無錫）（1）如圖甲，6×6的網格中，△ABC的頂點都是格點，AD是△ABC的高，E是AC與網格線的交點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成以下畫圖，畫圖過程用虛線表示：①畫出點E關于AD的對稱點F；②在AB上畫點G，使DG＝DB．
（2）如圖乙，已知直線l和直線l外一點P，請你用無刻度的直尺和圓規在直線l上找一點A，使PA所在直線與直線l的夾角為60°．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】（1）作圖見解析；
（2）作圖見解析．
【點撥】（1）①取格點Q，連接AQ，線段AQ與網格線的交點F，即為所求；
②取格點T，連接DT交AB于點G，連接DG即可；
（2）作PT∥直線l，在射線PT截取線段PE，在直線PT的上方，作等邊△PEF，直線PF交直線l于點A，直線PA即為所求．
【解析】解：（1）①如圖甲中，點F即為所求；
②如圖甲中，線段DG即為所求．
（2）如圖乙中，直線PA即為所求．
【點睛】本題考查作圖﹣軸對稱變換，平行線分線段成比例定理，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
8．（2021 寧夏）在平面直角坐標系中，已知線段A1B1與線段AB關于y軸對稱，點A1（﹣2，1）是點A的對應點，點B1是點B（4，2）的對應點．
（1）畫出線段AB和A1B1；
（2）畫出將線段A1B1繞點A1逆時針旋轉90°所得的線段A1B2，并求出點B1旋轉到點B2所經過的路徑長．
【答案】（1）見解析；
（2）π．
【點撥】（1）利用關于y軸對稱的點的坐標特征寫出A點、B1的坐標，然后描點即可；
（2）利用網格特點和旋轉的性質畫出B1的對應點B2，再求出A1B1的長，然后利用弧長公式計算點B1旋轉到點B2所經過的路徑長．
【解析】解：（1）如圖，線段AB和A1B1為所作；
（2）如圖，線段A1B2為所作，
A1B1＝＝，
所以點B1旋轉到點B2所經過的路徑長＝＝π．
【點睛】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：幾何圖形都可看作是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的．也考查了旋轉變換．
9．（2020 廣州）如圖，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作點A關于BD的對稱點C；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）所作的圖中，連接BC，DC，連接AC，交BD于點O．
①求證：四邊形ABCD是菱形；
②取BC的中點E，連接OE，若OE＝，BD＝10，求點E到AD的距離．
【答案】見解析
【點撥】（1）根據點關于直線的對稱點的畫法，過點A作BD的垂線段并延長一倍，得對稱點C；
（2）①根據菱形的判定即可求解；
②過B點作BF⊥AD于F，根據菱形的性質，勾股定理得到OB＝5，OA＝12，AD＝13，再根據三角形面積公式即可求解．
【解析】解：（1）如圖所示：點C即為所求；
（2）①證明：∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵C是點A關于BD的對稱點，
∴CB＝AB，CD＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
②過B點作BF⊥AD于F，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD＝5，
∵E是BC的中點，OA＝OC，
∴BC＝2OE＝13，
∴OC＝＝12，
∴OA＝12，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝13，
∴BF＝×12×5×2×2÷13＝，
故點E到AD的距離是．
【點睛】此題主要考查了基本作圖以及軸對稱變換的作法、菱形的判定與性質，直角三角形的性質，勾股定理，三角形面積等知識，得出BC，AC的長是解題關鍵．
類型四 最短路線問題
1．（2023 廣州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊BC上，且BE＝1，F為對角線BD上一動點，連接CF，EF，則CF+EF的最小值為 　　．
【答案】．
【點撥】如圖，連接AE交BD于一點F，根據正方形的性質得到點A與點C關于BD對稱，求得AF＝CF，推出AF+EF＝AE，此時CF+EF最小，根據勾股定理即可得到結論．
【解析】解：如圖，連接AE交BD于一點F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點A與點C關于BD對稱，
∴AF＝CF，
∴AF+EF＝AE，此時CF+EF最小，
∵正方形ABCD的邊長為4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵點E在BC上且BE＝1，
∴AE＝＝＝，
故CF+EF的最小值為．
故答案為：
【點睛】此題考查了軸對稱﹣最短路徑問題，正方形的性質，熟練運用勾股定理計算是解題的關鍵．
2．（2022 赤峰）如圖，菱形ABCD，點A、B、C、D均在坐標軸上．∠ABC＝120°，點A（﹣3，0），點E是CD的中點，點P是OC上的一動點，則PD+PE的最小值是（　　）
A．3 B．5 C．2 D．
【答案】A
【點撥】根據題意得，E點關于x軸的對稱點是BC的中點E'，連接DE'交AC與點P，此時PD+PE有最小值，求出此時的最小值即可．
【解析】解：根據題意得，E點關于x軸的對稱點是BC的中點E'，連接DE'交AC與點P，此時PD+PE有最小值為DE'，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，點A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴DE'＝OC＝3，
即PD+PE的最小值是3，
故選：A．
【點睛】本題主要考查菱形的性質，熟練掌握菱形的性質，等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵．
3．（2022 廣安）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE+PF的最小值是（　　）
A．2 B． C．1.5 D．
【答案】A
【點撥】如圖，取AB的中點T，連接PT，FT．首先證明四邊形ADFT是平行四邊形，推出AD＝FT＝2，再證明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得結論．
【解析】解：如圖，取AB的中點T，連接PT，FT．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DF＝CF，AT＝TB，
∴DF＝AT，DF∥AT，
∴四邊形ADFT是平行四邊形，
∴AD＝FT＝2，
∵四邊形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，
∴E，T關于AC對稱，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PT+PF，
∵PF+PT≥FT＝2，
∴PE+PF≥2，
∴PE+PF的最小值為2．
故選：A．
【點睛】本題考查軸對稱最短問題，菱形的性質，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題．
4．（2022 資陽）如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E是直線BC上一動點．若AB＝4，則AE+OE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點A關于直線BC的對稱點A'，再連接A'O，運用兩點之間線段最短得到A'O為所求最小值，再運用勾股定理求線段A'O的長度即可．
【解析】解：如圖所示，作點A關于直線BC的對稱點A'，連接A'O，其與BC的交點即為點E，再作OF⊥AB交AB于點F，
∵A與A'關于BC對稱，
∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，當且僅當A'，O，E在同一條線上的時候和最小，如圖所示，此時AE+OE＝A'E+OE＝A'O，
∵正方形ABCD，點O為對角線的交點，
∴，
∵A與A'關于BC對稱，
∴AB＝BA'＝4，
∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，
在Rt△OFA'中，，
故選：D．
【點睛】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對稱的性質，并運用勾股定理求線段長度是解題關鍵．
5．（2022 德州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在BC上，CE＝2．點M是對角線BD上的一個動點，則EM+CM的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化ME，MC的值，從而找出其最小值求解．
【解析】解：如圖，連接AE交BD于M點，
∵A、C關于BD對稱，
∴AE就是ME+MC的最小值，
∵正方形ABCD中，點E是BC上的一定點，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，
∵AB＝6，
∴AE＝＝2，
∴ME+MC的最小值是2．
故選：C．
【點睛】本題主要考查的是軸對稱﹣﹣路徑最短問題、勾股定理的應用、正方形的性質，明確當點A、M、E在一條直線上時，ME+MA有最小值是解題的關鍵．
6．（2023 德州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，點E在AB上，且AE＝1．F，G為邊AD上的兩個動點，且FG＝1．當四邊形CGFE的周長最小時，CG的長為 　　．
【答案】．
【點撥】先確定FG和EC的長為確定的值，得到四邊形CGFE的周長最小時，即為CG+EF最小時，平移CG到C'F，作點E關于AD對稱點E'，連接E'C'交AD于點G'，得到CG+EF最小時，點G與G'重合，再利用平行線分線段成比例求出C'G'長即可．
【解析】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠B＝90°，
∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△EBC中，
由勾股定理，得EC＝＝＝，
∵FG＝1，
∴四邊形CGFE的周長＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，
∴四邊形CGFE的周長最小時，只要CG+EF最小即可．
過點F作FC'∥GC交BC于點C'，延長BA到E'，使AE'＝AE＝1，連接E'F，E'C'，E'C'交AD于點G'，
可得AD垂直平分E'E，
∴E'F＝EF，
∵AD∥BC，
∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，
∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，
即CG+EF最小時，CG＝C'G'，
∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，
由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，
∵AG'∥BC'，
∴＝，即＝，
解得C'G'＝，
即四邊形CGFE的周長最小時，CG的長為．
故答案為：．
【點睛】本題考查軸對稱﹣最短路線問題，解答中涉及三角形三邊關系，勾股定理，平行線分線段成比例定理，能將周長和的最小值表示成一條線段的長與固定長度的和是解題的關鍵．
7．（2023 盤錦）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝，AD＝4，點P是邊AD上一點（不與點A，D重合），連接PB，PC，點M，N分別是PB，PC的中點，連接MN，AM，DN，點E在邊AD上，ME∥DN，則AM+ME的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．3 D．4
【答案】C
【點撥】根據三角形的中位線可得AM＝BP，DN＝，轉化所求最值為（PB+PC）再依據將軍飲馬模型解答即可．
【解析】解：∵點M，N分別是PB，PC的中點，
∴AM＝BP，DN＝PC，MN∥BC，
∵ME∥DN，
∴四邊形DEMN是平行四邊形，
∴ME＝ND，
∴AM+ME＝AM+DN＝（BP+PC），
∴AM+ME的最小值就是（BP+PC）的最小值．
找到點C關于直線AD對稱點Q，連接PQ、BQ．
BP+PC＝BP+PQ，
當點BPQ三點共線時，BP+PQ的最小值就是BQ，
在Rt△BCQ中，BC＝AD＝4，QC＝2CD＝2，
BQ＝＝＝6，
∴AM+ME的最小值＝BM＝3，
故選：C．
【點睛】本題考查了軸對稱最短路徑問題以及三角形中位線性質，轉化所求最值是本題的關鍵．
8．（2022 鄂州）如圖，定直線MN∥PQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC＝12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ＝60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，當線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（　　）
A．24 B．24 C．12 D．12
【答案】C
【點撥】沿BC的方向將PQ和MN平移重合，即B和C點重合，點D平移至T，連接AT，即AB+CD最小，進一步求得結果．
【解析】解：如圖，
作DL⊥PQ于L，過點A作PQ的垂線，過點D作PQ的平行線，它們交于點R，延長DF至T，使DT＝BC＝12，連接AT，
AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，則當BC在B′C′時，AB+CD最小，最小值為AT的長，
可得AK＝AE sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6，
∴AR＝2+6+4＝12，
∵AD＝24，
∴sin∠ADR＝＝，
∴∠ADR＝30°，
∵∠PFD＝60°，
∴∠ADT＝90°，
∴AT＝＝＝12，
故答案為：C．
【點睛】本題考查了平移性質和平移的運用，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，將B和C兩地變為“一個點”．
9．（2023 黑龍江）如圖，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ABC＝60°，點E，F分別是邊BC和對角線AC上的動點，且BE＝CF，連接AE，BF相交于點M，點P是BC邊上的一個動點，連接PM，PD，則PM+PD的最小值是 　﹣　．
【答案】﹣．
【點撥】證明△ABE≌△BCF，求出∠AMB＝120°，作⊙O，說明點M在上運動，作點D關于BC的對稱點D′，連接OD′，利用點圓關系及線段和最短的求法解出答案即可．
【解析】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABM+∠CBM＝60°，
∴∠ABM+∠BAM＝60°，
∴∠AMB＝120°，
如圖，作以AB為弦，以∠AMB為圓周角的⊙O，
∴點M在上運動，延長BC，作點D關于BC的對稱點D′，連接OD′，交⊙O為M′，交BC為P′，DD′交BC于H，
則D′M′為點D到在的最小距離，且P′D′+P′M′即PD+PM的最小值，
即D′M′為PD+PM的最小值，
∵∠AMB＝120°，
∴∠AOB＝120°，
∵AB＝3，
∴OA＝OB＝＝OM，
在Rt△CDH中，
∵CD＝AB＝3，∠DCH＝∠ABC＝60°，
∴CH＝，DH＝，
∴BH＝BC+CH＝，DD′＝2DH＝3，
作OQ⊥DD′于Q，
∴四邊形BHQO為矩形，
∴OQ＝BH＝，QH＝OB＝，
∴D′Q＝HD′+HQ＝，
在Rt△OD′Q中，OD′＝＝，
∴D′M′＝﹣，
故答案為：﹣．
【點睛】本題考查了菱形及圓的知識點，點圓關系和線段和最短的題型的解法是解題關鍵
類型五 折疊問題
1．（2023 金昌）如圖，將矩形紙片ABCD對折，使邊AB與DC，BC與AD分別重合，展開后得到四邊形EFGH．若AB＝2，BC＝4，則四邊形EFGH的面積為（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【點撥】由折疊可知∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，由同旁內角互補，兩直線平行得AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，由平行線的性質可得FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，再根據對角線互相垂直平分的四邊形為菱形可知四邊形EFGH為菱形，最后利用菱形的面積公式計算即可求解．
【解析】解：如圖，設EG與FH交于點O，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
根據折疊的性質可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，
∴AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，
∴FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，
∴四邊形EFGH為菱形，
∴S菱形EFGH＝＝＝4．
故選：B．
【點睛】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、菱形的判定、菱形的面積公式，熟知折疊的性質和菱形的判定方法是解題關鍵．
2．（2023 牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數學活動課上，某位同學進行了如下操作：
第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形ABEF，然后把紙片展平；
第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕MN，如圖②．
根據以上的操作，若AB＝8，AD＝12，則線段BM的長是（　　）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【點撥】由矩形的性質得DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，由折疊得∠AFE＝∠B＝90°，AF＝AB＝8，所以四邊形ABEF是正方形，則BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，所以EM＝8﹣BM，FM＝CM＝12﹣BM，由勾股定理得（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，求得BM＝2，于是得到問題的答案．
【解析】解：如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，
∴DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，
由折疊得∠AFE＝∠B＝90°，
∴四邊形ABEF是矩形，
∵AF＝AB＝8，
∴四邊形ABEF是正方形，
∴BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，
如圖②，由折疊得FM＝CM，
∵EM2+EF2＝FM2，且EM＝8﹣BM，FM＝CM＝12﹣BM，
∴（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，
解得BM＝2，
故選：C．
【點睛】此題重點考查正方形的判定與性質、矩形的性質、軸對稱的性質、勾股定理等知識，推導出EM＝8﹣BM，FM＝CM＝12﹣BM，是解題的關鍵．
3．（2023 無錫）如圖，正方形ABCD的邊長為2，M是AD的中點，將四邊形ABCM沿CM翻折得到四邊形EFCM，連接DF，則sin∠DFE的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】延長CF，AD交于G，過D作DH⊥CG于H，由正方形ABCD的邊長為2，M是AD的中點，將四邊形ABCM沿CM翻折得到四邊形EFCM，可得∠BCM＝∠GCM，CF＝BC＝2，從而∠DMC＝∠GCM，GM＝GC，設DG＝x，在Rt△DCG中有x2+22＝（x+1）2，解得DG＝1.5，GC＝x+1＝2.5，求出FG＝GC﹣CF＝0.5，用面積法可得DH＝＝1.2，即得GH＝＝0.9，FH＝GH﹣FG＝0.4，用勾股定理得DF＝＝；可得sin∠FDH＝＝，而∠FDH＝∠DFE，故sin∠DFE＝．
【解析】解：延長CF，AD交于G，過D作DH⊥CG于H，如圖：
∵正方形ABCD的邊長為2，M是AD的中點，
∴AD∥BC，DM＝AD＝1，
∴∠DMC＝∠BCM，
∵將四邊形ABCM沿CM翻折得到四邊形EFCM，
∴∠BCM＝∠GCM，∠EFC＝∠B＝90°，CF＝BC＝2，
∴∠DMC＝∠GCM，
∴GM＝GC，
設DG＝x，則GM＝x+1＝GC，
在Rt△DCG中，DG2+CD2＝GC2，
∴x2+22＝（x+1）2，
解得x＝1.5，
∴DG＝1.5，GC＝x+1＝1.5+1＝2.5，
∴FG＝GC﹣CF＝2.5﹣2＝0.5，
∵2S△CDG＝DG CD＝CG DH，
∴DH＝＝＝1.2，
∴GH＝＝＝0.9，
∴FH＝GH﹣FG＝0.9﹣0.5＝0.4，
∴DF＝＝＝；
∴sin∠FDH＝＝＝，
∵∠EFC＝∠DHC＝90°，
∴DH∥EF，
∴∠FDH＝∠DFE，
∴sin∠DFE＝；
故選：A．
【點睛】本題考查正方形中的翻折問題，涉及勾股定理及應用，解題的關鍵是掌握正方形性質和翻折的性質．
4．（2023 浙江）如圖，已知矩形紙片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，現將紙片進行如下操作：
第一步，如圖①將紙片對折，使AB與DC重合，折痕為EF，展開后如圖②；
第二步，再將圖②中的紙片沿對角線BD折疊，展開后如圖③；
第三步，將圖③中的紙片沿過點E的直線折疊，使點C落在對角線BD上的點H處，如圖④．則DH的長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】過點M作MG⊥BD于點G，根據勾股定理求得BD＝5，由折疊可知BE＝CE＝EH＝BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CM＝HM，進而得出BE＝EH，∠EBH＝∠EHB，利用等角的余角相等可得∠HDM＝∠DHM，則DM＝HM，于是可得DM＝HM＝CM＝CD＝，由等腰三角形的性質可得DH＝2DG，易證明△MGD∽△BCD，利用相似三角形的性質即可求解．
【解析】解：如圖，過點M作MG⊥BD于點G，
∵四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，
∴AB＝CD＝3，∠C＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝5，
根據折疊的性質可得，BE＝CE＝BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CE＝EH＝2，CM＝HM，
∴BE＝EH＝2，
∴△BEH為等腰三角形，∠EBH＝∠EHB，
∵∠EBH+∠HDM＝90°，
∠EHB+∠DHM＝90°，
∴∠HDM＝∠DHM，
∴△DHM為等腰三角形，DM＝HM，
∴DM＝HM＝CM＝CD＝，
∵MG⊥BD，
∴DH＝2DG，∠MGD＝∠BCD＝90°，
∵∠MDG＝∠BDC，
∴△MGD∽△BCD，
∴，即，
∴DG＝，
∴DH＝2DG＝．
故選：D．
【點睛】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、勾股定理、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，根據矩形和折疊的性質推理論證出DM＝HM，以此得出點M為CD的中點是解題關鍵．
5．（2023 黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊AD＝5．OA：OD＝1：4，將矩形ABCD沿直線OE折疊到如圖所示的位置，線段OD1恰好經過點B，點C落在y軸的點C1位置，點E的坐標是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，2） D．（1﹣，2）
【答案】D
【點撥】根據相似三角形的判定定理得到△ABC∽△D1C1O，求出AB＝CD＝2，連接OC，設BC與OC1交于F，然后求出OC＝OC1＝2，得到C1F＝2﹣2，根據勾股定理即可得到結論．
【解析】解：∵矩形ABCD的邊AD＝5．OA：OD＝1：4，
∴OA＝1，OD＝4，BC＝5，
∵AB∥OC1，
∴∠ABO＝∠D1OC1，
∵∠BAO＝∠OD1C1＝90°，
∴△AOB∽△D1C1O，
∴，
∵將矩形ABCD沿直線OE折疊到如圖所示的位置，
∴OD1＝OD＝4，D1C1＝DC＝AB，
∴，
∴AB＝2（負值舍去），
∴CD＝2，
連接OC，設BC與OC1交于F，
∴OC＝，
∵∠FOA＝∠OAB＝∠ABF＝90°，
∴四邊形OABF是矩形，
∴AB＝OF＝2，∠BFO＝90°＝∠EFC1，OA＝BF＝1，
∴CF＝5﹣1＝4，
由折疊知，OC1＝OC＝2，EC1＝EC＝CF﹣EF＝4﹣EF，
∴FC1＝OC1﹣OF＝2﹣2，
∵EF2+C1F2＝，
∴，
解得EF＝﹣1，
∴E（1﹣，2），
故選：D．
【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，折疊的性質，勾股定理，利用相似三角形的性質求出AB的長是解題的關鍵．
6．（2023 赤峰）如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點C與AB延長線上的點Q重合，DE交BC于點F，交AB延長線于點E，DQ交BC于點P，DM⊥AB于點M，AM＝4，則下列結論：①DQ＝EQ，②BQ＝3，③BP＝，④BD∥FQ．正確的是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【點撥】由折疊性質和平行線的性質可得∠QDF＝∠CDF＝∠QEF，根據等角對等邊即可判斷①正確；根據等腰三角形三線合一的性質求出MQ＝AM＝4，再求出BQ即可判斷②正確；由△CDP∽△BQP 得 ，求出BP即可判斷③正確；根據 即可判斷④錯誤．
【解析】解：由折疊性質可知：∠CDF＝∠QDF，CD＝DQ＝5，
∵CD∥AB，
∴∠CDF＝∠QEF．
∴∠QDF＝∠QEF．
∴DQ＝EQ＝5．故①正確；
∵DQ＝CD＝AD＝5，DM⊥AB，
∴MQ＝AM＝4．
∵MB＝AB﹣AM＝5﹣4＝1，
∴BQ＝MQ﹣MB＝4﹣1＝3．故②正確；
∵CD∥AB，
∴△CDP∽△BQP．
∴．
∵CP+BP＝BC＝5，
∴，故③正確；
∵CD∥AB，
∴△CDF∽△BEF．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴△EFQ與△EDB不相似．
∴∠EQF≠∠EBD．
∴BD與FQ不平行．故④錯誤；
故選：A．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，菱形的性質等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．
7．（2023 涼山州）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，將△ACD沿CD折疊，當點A落在點A′處時，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，則CA′＝　2　．
【答案】2．
【點撥】由∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，可得∠A＝∠ACD，由翻折的性質可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，故∠A＝∠ACD＝∠A'CD，而A'C⊥AB，即得∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，在Rt△ABC中，tan30°＝，可解得AC，從而可得答案．
【解析】解：設CA'交AB于O，如圖：
∵∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性質可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD，
∵A'C⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A'CD+∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，
在Rt△ABC中，tanA＝，
∴tan30°＝，
∴AC＝2，
∴CA'＝2，
故答案為：2．
【點睛】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關鍵是掌握翻折的性質，熟練掌握含30°角的直角三角形三邊的關系．
8．（2023 邵陽）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，動點P在矩形的邊上沿B→C→D→A運動．當點P不與點A、B重合時，將△ABP沿AP對折，得到△AB′P，連接CB'，則在點P的運動過程中，線段CB′的最小值為 　﹣2　．
【答案】﹣2．
【點撥】根據折疊的性質得出B'在A為圓心，2為半徑的弧上運動，進而分類討論當點P在BC上時，當點P在DC上時，當P在AD上時，即可求解．
【解析】解：在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，
∴BC＝AD＝，AC＝＝，
如圖所示，當點P在BC上時，
∵AB'＝AB＝2，
.∴B'在A為圓心，2為半徑的弧上運動，
當A，B'，C三點共線時，CB'最短，
此時CB'＝AC﹣AB'＝﹣2，
當點P在DC上時，如圖所示，
此時CB'＞﹣2，
當P在AD上時，如圖所示，此時CB'＞﹣2，
綜上所述，CB'的最小值為﹣2，
故答案為：﹣2．
【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，圓外一點到圓上的距離的最值問題，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
9．（2023 黑龍江）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝9，點D在BC上，且BD：DC＝1：2，連接AD．將AD沿直角邊翻折，得到線段AE，連接BE，點P在射線AC上，且∠APB＝∠ABE，則AP的長是 　4或20　．
【答案】4或20．
【點撥】分兩種情況討論，一是AD沿AB翻折得到線段AE，則∠ABE＝∠ABC，而∠APB＝∠ABE，所以∠APB＝∠ABC，則＝tan∠APB＝tan∠ABC＝＝，所以AP＝AB＝4；二是AD沿AC翻折得到線段AE，連接DE交AC于點M，作EN⊥BA交BA的延長線于點N，可證明△MDC∽△ABC，則＝＝＝，求得MD＝AB＝4，MC＝AC＝6，則AM＝3，所以EN＝3，BN＝10，則＝tan∠APB＝tan∠ABE＝＝，求得AP＝AB＝20．
【解析】解：如圖1，AD沿AB翻折得到線段AE，則∠ABE＝∠ABC，
∵∠APB＝∠ABE，
∴∠APB＝∠ABC，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝9，
∴＝tan∠APB＝tan∠ABC＝＝＝，
∴AP＝AB＝×6＝4；
如圖2，AD沿AC翻折得到線段AE，連接DE交AC于點M，作EN⊥BA交BA的延長線于點N，
∵點E與點D關于AC對稱，
∴AC垂直平分DE，
∴∠DMC＝∠BAC＝90°，
∴MD∥AB，
∴△MDC∽△ABC，
∵BD：DC＝1：2，
∴＝，
∴＝＝＝，
∴MD＝AB＝×6＝4，MC＝AC＝×9＝6，
∴AM＝AC﹣MC＝9﹣6＝3，
∵∠N＝∠MAN＝∠AME＝90°，
∴四邊形AMEN是矩形，
∴AN＝ME＝MD＝4，EN＝AM＝3，
∴BN＝AB+AN＝6+4＝10，
∵∠APB＝∠ABE，
∴＝tan∠APB＝tan∠ABE＝＝，
∴AP＝AB＝×6＝20，
故答案為：4或20．
【點睛】此題重點考查軸對稱的性質、銳角三角函數與解直角三角形等知識，推導出∠APB＝∠ABC是解題的關鍵．
10．（2023 南京）如圖，在菱形紙片ABCD中，點E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點B落在B′處，CB′⊥AD，垂足為F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，則BE＝　　cm．
【答案】．
【點撥】作EH⊥BC于點H，由CF＝4cm，FB′＝1cm，求得B′C＝5cm，由折疊得BC＝B′C＝5cm，由菱形的性質得BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，因為CB′⊥AD于點F，所以∠BCB′＝∠CFD＝90°，則∠BCE＝∠B′CE＝45°，DF＝＝3cm，所以∠HEC＝∠BCE＝45°，則CH＝EH，由＝sinB＝sinD＝，＝cosB＝cosD＝，得CH＝EH＝BE，BH＝BE，于是得BE+BE＝5，則BE＝cm．
【解析】解：作EH⊥BC于點H，則∠BHE＝∠CHE＝90°，
∵CF＝4cm，FB′＝1cm，
∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），
由折疊得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，
∵CB′⊥AD于點F，
∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE＝∠B′CE＝∠BCB′＝×90°＝45°，DF＝＝＝3（cm），
∴∠HEC＝∠BCE＝45°，
∴CH＝EH，
∵＝sinB＝sinD＝＝，＝cosB＝cosD＝＝，
∴CH＝EH＝BE，BH＝BE，
∴BE+BE＝5，
∴BE＝cm，
故答案為：．
【點睛】此題重點考查菱形的性質、軸對稱的性質、勾股定理、銳角三角函數與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
11．（2023 徐州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，點D在邊BC上．將△ACD沿AD折疊，使點C落在點C′處，連接BC′，則BC′的最小值為 　　．
【答案】3．
【點撥】由折疊性質可知AC＝AC'＝3，然后根據三角形的三邊不等關系可進行求解．
【解析】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，
∴，
由折疊的性質可知AC＝AC'＝3，
∵BC'≥AB﹣AC'，
∴當A、C′、B三點在同一條直線時，BC'取最小值，最小值即為，
故答案為 ．
【點睛】本題主要考查勾股定理、折疊的性質及三角形的三邊不等關系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質及三角形的三邊不等關系是解題的關鍵．
類型六 剪紙問題
1．（2021 浙江）將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【點撥】對折是軸對稱得到的圖形，根據最后得到的圖形可得是沿對角線折疊2次后，剪去一個三角形得到的，按原圖返回即可．
【解析】解：如圖，由題意可知，剪下的圖形是四邊形BACD，
由折疊可知CA＝AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又△ABC和△BCD關于直線BC對稱，
∴四邊形BACD是菱形，
故選：D．
【點睛】本題主要考查折疊的性質及學生動手操作能力：逆向思維也是常用的一種數學思維方式．
2．（2020 青海）剪紙是我國傳統的民間藝術．將一張紙片按圖中①，②的方式沿虛線依次對折后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應該是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】對于此類問題，只要依據翻折變換，將圖（4）中的紙片按順序打開鋪平，即可得到一個圖案．
【解析】解：按照圖中的順序，向右對折，向上對折，從斜邊處剪去一個直角三角形，從直角頂點處剪去一個等腰直角三角形，展開后實際是從原菱形的四邊處各剪去一個直角三角形，從菱形的中心剪去一個正方形，可得：
．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了剪紙問題，解決這類問題要熟知軸對稱圖形的特點，關鍵是準確地找到對稱軸．一般方法是動手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即可得到正確的圖案．
3．（2023 臨沂）如圖，三角形紙片ABC中，AC＝6，BC＝9，分別沿與BC，AC平行的方向，從靠近A的AB邊的三等分點剪去兩個角，得到的平行四邊形紙片的周長是 　14　．
【答案】14．
【點撥】根據DE∥BC，DF∥AC，可得四邊形DECF為平行四邊形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，所以＝＝，＝＝，因為AC＝6，BC＝9，所以DE＝3，DF＝4，即可得出答案．
【解析】解：如圖，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四邊形DECF為平行四邊形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴＝＝，＝＝，
∵AC＝6，BC＝9，
∴DE＝3，DF＝4，
∴平行四邊形紙片的周長是2×（3+4）＝14．
故答案為：14．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是理解題意，掌握相似三角形的判定和性質．
4．（2021 資陽）將一張圓形紙片（圓心為點O）沿直徑MN對折后，按圖1分成六等份折疊得到圖2，將圖2沿虛線AB剪開，再將△AOB展開得到如圖3的一個六角星．若∠CDE＝75°，則∠OBA的度數為 　135°　．
【答案】135°
【點撥】根據翻折可以知道∠OAB＝∠DCE，且∠CDE＝75°，CD＝CE，求出∠AOB和∠OAB的度數即可求∠OBA的度數．
【解析】解：由題知，∠AOB＝×180°＝30°，
由翻折知∠OAB＝∠DCE，CD＝CE，
∵∠CDE＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠OAB＝∠DCE＝＝15°，
∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣30°﹣15°＝135°，
故答案為：135°．
【點睛】本題主要考查剪紙問題，熟練掌握剪紙中的翻折是解題的關鍵．
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題27 軸對稱問題
考點掃描☆聚焦中考
軸對稱問題在近幾年各地中考主要以填空題或選擇題的形式進行考查，屬于中、低檔題，較為簡單；也有部分地區以選擇、填空的壓軸題出現，少數地區以解答題的形式進行考查，屬于中檔題，難度一般；考查的內容主要涉及的有：軸對稱與軸對稱圖形的概念；軸對稱的性質；軸對稱變換；利用平移設計圖案；考查的熱點主要有軸對稱圖形的判斷；軸對稱的性質；軸對稱變換；最短路線問題；折疊問題；剪紙問題。
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 廣東）下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為（　　）
A．B． C．D．
例2（2020 哈爾濱）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B'，則∠CAB'的度數為（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
例3（2021 深圳）如圖所示，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1個單位．
（1）過直線m作四邊形ABCD的對稱圖形；
（2）求四邊形ABCD的面積．
例4（2023 瀘州）如圖，E，F是正方形ABCD的邊AB的三等分點，P是對角線AC上的動點，當PE+PF取得最小值時，的值是 　　．
例5（2023 黃石）如圖，有一張矩形紙片ABCD．先對折矩形ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN，MN．觀察所得的線段，若AE＝1，則MN＝（　　）
A． B．1 C． D．2
例6（2022 六盤水）如圖，將一張長方形紙對折，再對折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開后可得到（　　）
A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五邊形
考點過關☆專項突破
類型一 軸對稱圖形
1．（2023 淮安）剪紙是中國優秀的傳統文化．下列剪紙圖案中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 深圳）下列圖形中，為軸對稱的圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 云南）中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣．下列四個選項中，是軸對稱圖形的為（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 益陽）如圖所示正方體的展開圖中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 衡陽）下面四種化學儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 泰州）書法是我國特有的優秀傳統文化，其中篆書具有象形特征，充滿美感．下列“福”字的四種篆書圖案中，可以看作軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 寧夏）下面是由七巧板拼成的圖形（只考慮外形，忽略內部輪廓），其中軸對稱圖形是（　　）
A． B． C． D．
8．（2022 北京）圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
類型二 軸對稱的性質
1．（2023 德州）下列選項中，直線l是四邊形的對稱軸的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 廣州）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，點D是邊AB上一點，點B關于直線CD的對稱點為B′，當B′D∥AC時，則∠BCD的度數為 　　．
3．（2021 株洲）《蝶幾圖》是明朝人戈汕所作的一部組合家具的設計圖（“”為“蜨”，同“蝶”），它的基本組件為斜角形，包括長斜兩只、右半斜兩只、左半斜兩只、閨一只、小三斜四只、大三斜兩只，共十三只（圖①中的“樣”和“隻”為“樣”和“只”）．圖②為某蝶幾設計圖，其中△ABD和△CBD為“大三斜”組件（“一樣二隻”的大三斜組件為兩個全等的等腰直角三角形），已知某人位于點P處，點P與點A關于直線DQ對稱，連接CP、DP．若∠ADQ＝24°，則∠DCP＝　 　度．
4．（2021 鞍山）如圖，∠POQ＝90°，定長為a的線段端點A，B分別在射線OP，OQ上運動（點A，B不與點O重合），C為AB的中點，作△OAC關于直線OC對稱的△OA′C，A′O交AB于點D，當△OBD是等腰三角形時，∠OBD的度數為 　 　．
5．（2023 泰安）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝16，點D在AB上，點E在BC上，點B關于直線DE的軸對稱點為點B′，連接DB′，EB′，分別與AC相交于F點，G點，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，則CG的長度為 　　．
6．（2021 浙江）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，點P從點A出發沿AB方向運動，到達點B時停止運動，連結CP，點A關于直線CP的對稱點為A′，連結A′C，A′P．在運動過程中，點A′到直線AB距離的最大值是 　　；點P到達點B時，線段A′P掃過的面積為 　 　．
類型三 軸對稱變換
1．（2023 安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，B，C，D均為格點（網格線的交點）．
（1）畫出線段AB關于直線CD對稱的線段A1B1；
（2）將線段AB向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段A2B2，畫出線段A2B2；
（3）描出線段AB上的點M及直線CD上的點N，使得直線MN垂直平分AB．
2．（2023 黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）將△ABC向左平移5個單位，再向下平移2個單位，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（2）請畫出△ABC關于x軸對稱的△A2B2C2；
（3）將△A2B2C2繞著原點O逆時針旋轉90°，得到△A3B3C3，求線段A2C2在旋轉過程中掃過的面積（結果保留π）．
3．（2023 宿遷）如圖，在 ABCD中，AB＝5，，∠A＝45°．
（1）求出對角線BD的長；
（2）尺規作圖：將四邊形ABCD沿著經過A點的某條直線翻折，使點B落在CD邊上的點E處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）
4．（2022 桂林）如圖，在平面直角坐標系中，形如英文字母“V”的圖形三個端點的坐標分別是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．
（1）畫出“V”字圖形向左平移2個單位后的圖形；
（2）畫出原“V”字圖形關于x軸對稱的圖形；
（3）所得圖形與原圖形結合起來，你能從中看出什么英文字母？（任意答一個即可）
5．（2022 吉林）圖①，圖②均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．其中點A，B，C均在格點上，請在給定的網格中按要求畫四邊形．
（1）在圖①中，找一格點D，使以點A，B，C，D為頂點的四邊形是軸對稱圖形；
（2）在圖②中，找一格點E，使以點A，B，C，E為頂點的四邊形是中心對稱圖形．
6．（2022 哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點和線段EF的端點均在小正方形的頂點上．
（1）在方格紙中畫出△ADC，使△ADC與△ABC關于直線AC對稱（點D在小正方形的頂點上）；
（2）在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點G，點H均在小正方形的頂點上），且平行四邊形EFGH的面積為4，連接DH，請直接寫出線段DH的長．
7．（2021 無錫）（1）如圖甲，6×6的網格中，△ABC的頂點都是格點，AD是△ABC的高，E是AC與網格線的交點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成以下畫圖，畫圖過程用虛線表示：①畫出點E關于AD的對稱點F；②在AB上畫點G，使DG＝DB．
（2）如圖乙，已知直線l和直線l外一點P，請你用無刻度的直尺和圓規在直線l上找一點A，使PA所在直線與直線l的夾角為60°．（不寫作法，保留作圖痕跡）
8．（2021 寧夏）在平面直角坐標系中，已知線段A1B1與線段AB關于y軸對稱，點A1（﹣2，1）是點A的對應點，點B1是點B（4，2）的對應點．
（1）畫出線段AB和A1B1；
（2）畫出將線段A1B1繞點A1逆時針旋轉90°所得的線段A1B2，并求出點B1旋轉到點B2所經過的路徑長．
9．（2020 廣州）如圖，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作點A關于BD的對稱點C；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）所作的圖中，連接BC，DC，連接AC，交BD于點O．
①求證：四邊形ABCD是菱形；
②取BC的中點E，連接OE，若OE＝，BD＝10，求點E到AD的距離．
類型四 最短路線問題
1．（2023 廣州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊BC上，且BE＝1，F為對角線BD上一動點，連接CF，EF，則CF+EF的最小值為 　 　．
2．（2022 赤峰）如圖，菱形ABCD，點A、B、C、D均在坐標軸上．∠ABC＝120°，點A（﹣3，0），點E是CD的中點，點P是OC上的一動點，則PD+PE的最小值是（　　）
A．3 B．5 C．2 D．
3．（2022 廣安）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE+PF的最小值是（　　）
A．2 B． C．1.5 D．
4．（2022 資陽）如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E是直線BC上一動點．若AB＝4，則AE+OE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022 德州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在BC上，CE＝2．點M是對角線BD上的一個動點，則EM+CM的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 德州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，點E在AB上，且AE＝1．F，G為邊AD上的兩個動點，且FG＝1．當四邊形CGFE的周長最小時，CG的長為 　　．
7．（2023 盤錦）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝，AD＝4，點P是邊AD上一點（不與點A，D重合），連接PB，PC，點M，N分別是PB，PC的中點，連接MN，AM，DN，點E在邊AD上，ME∥DN，則AM+ME的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．3 D．4
8．（2022 鄂州）如圖，定直線MN∥PQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC＝12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ＝60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，當線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（　　）
A．24 B．24 C．12 D．12
9．（2023 黑龍江）如圖，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ABC＝60°，點E，F分別是邊BC和對角線AC上的動點，且BE＝CF，連接AE，BF相交于點M，點P是BC邊上的一個動點，連接PM，PD，則PM+PD的最小值是 　　 ．
類型五 折疊問題
1．（2023 金昌）如圖，將矩形紙片ABCD對折，使邊AB與DC，BC與AD分別重合，展開后得到四邊形EFGH．若AB＝2，BC＝4，則四邊形EFGH的面積為（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．（2023 牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數學活動課上，某位同學進行了如下操作：
第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形ABEF，然后把紙片展平；
第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕MN，如圖②．
根據以上的操作，若AB＝8，AD＝12，則線段BM的長是（　　）
A．3 B． C．2 D．1
3．（2023 無錫）如圖，正方形ABCD的邊長為2，M是AD的中點，將四邊形ABCM沿CM翻折得到四邊形EFCM，連接DF，則sin∠DFE的值等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 浙江）如圖，已知矩形紙片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，現將紙片進行如下操作：
第一步，如圖①將紙片對折，使AB與DC重合，折痕為EF，展開后如圖②；
第二步，再將圖②中的紙片沿對角線BD折疊，展開后如圖③；
第三步，將圖③中的紙片沿過點E的直線折疊，使點C落在對角線BD上的點H處，如圖④．則DH的長為（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊AD＝5．OA：OD＝1：4，將矩形ABCD沿直線OE折疊到如圖所示的位置，線段OD1恰好經過點B，點C落在y軸的點C1位置，點E的坐標是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，2） D．（1﹣，2）
6．（2023 赤峰）如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點C與AB延長線上的點Q重合，DE交BC于點F，交AB延長線于點E，DQ交BC于點P，DM⊥AB于點M，AM＝4，則下列結論：①DQ＝EQ，②BQ＝3，③BP＝，④BD∥FQ．正確的是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
7．（2023 涼山州）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，將△ACD沿CD折疊，當點A落在點A′處時，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，則CA′＝　 　．
8．（2023 邵陽）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，動點P在矩形的邊上沿B→C→D→A運動．當點P不與點A、B重合時，將△ABP沿AP對折，得到△AB′P，連接CB'，則在點P的運動過程中，線段CB′的最小值為 　 ．
9．（2023 黑龍江）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝9，點D在BC上，且BD：DC＝1：2，連接AD．將AD沿直角邊翻折，得到線段AE，連接BE，點P在射線AC上，且∠APB＝∠ABE，則AP的長是 　 　．
10．（2023 南京）如圖，在菱形紙片ABCD中，點E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點B落在B′處，CB′⊥AD，垂足為F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，則BE＝　　cm．
11．（2023 徐州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，點D在邊BC上．將△ACD沿AD折疊，使點C落在點C′處，連接BC′，則BC′的最小值為 　　 ．
類型六 剪紙問題
1．（2021 浙江）將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
2．（2020 青海）剪紙是我國傳統的民間藝術．將一張紙片按圖中①，②的方式沿虛線依次對折后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應該是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 臨沂）如圖，三角形紙片ABC中，AC＝6，BC＝9，分別沿與BC，AC平行的方向，從靠近A的AB邊的三等分點剪去兩個角，得到的平行四邊形紙片的周長是 　 　．
4．（2021 資陽）將一張圓形紙片（圓心為點O）沿直徑MN對折后，按圖1分成六等份折疊得到圖2，將圖2沿虛線AB剪開，再將△AOB展開得到如圖3的一個六角星．若∠CDE＝75°，則∠OBA的度數為 　　．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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