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1.3 集合的基本運算(精講)
考點一 數(shù)集之間的基本運算
【例1】(1)(2021·遼寧高三其他模擬)已知集合，則( )
A． B． C． D．
(2)(2021·北京高考真題)已知集合，，則( )
A． B． C． D．
(3)(2021·浙江寧波市)設(shè)全集，集合，，則集合是( )
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1.(2021·黑龍江哈爾濱市)已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∩B＝( )
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
2．(2021·河南焦作市)已知集合，，，則( )
A． B． C． D．
3．(2021·全國高考真題)設(shè)集合，則( )
A． B． C． D．
4．(2021·全國)已知全集，則A集合為( )
A． B． C． D．
5．(2021·遼寧)若集合，則A∩B＝( )
A． B． C． D．
6．(2021·四川自貢市)設(shè)集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|＜0}，則A∩B＝( )
A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
考點二 點集之間的基本運算
【例2】(2021·河北高三其他模擬)已知集合，則中元素的個數(shù)為( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【一隅三反】
1．(2021·山東濟南市)已知集合M＝{(x，y)|y＝2，xy≤0}，N＝{(x，y)|y＝x2}，則中的元素個數(shù)為( )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
2．(2021·全國高三其他模擬)已知集合}，則集合中元素的個數(shù)是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．(2021·江蘇南通市)若集合，，則( )
A． B． C． D．
考點三 韋恩圖求交并補
【例3】(1)(2021·北京101中學高三其他模擬)已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·山東煙臺市)已知集合M，N都是R的子集，且，則( )
A． B． C． D．
(3)(2021·珠海市)下圖中矩形表示集合U，A，B是U的兩個子集，則不能表示陰影部分的是( )
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．(2021·浙江溫州市)設(shè)全集U為實數(shù)集R，集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為( )
A． B． C． D．
2．(2021·沈陽市)已知非空集合、、滿足：，．則( )．
A． B．
C． D．
3．(2021·江蘇蘇州市)已知為全集，非空集合、滿足，則( )
A． B． C． D．
4．(2021·全國高三專題練習(文))若集合，，滿足：，則( )
A． B． C． D．
考點四 利用集合運算求參數(shù)
【例4】(1)(2021·山東泰安市)集合若，則( )
B． C． D．
(2)(2021·全國高三專題練習)設(shè)集合，，若，則____，____．
(3)(2021·重慶八中)已知集合，集合，若，則的取值范圍為( )
A． B． C． D．
(4)(2021·河南安陽市)已知集合，，若，則實數(shù)的取值集合為( )
A． B． C． D．
(5)(2021·全國高三月考(理))設(shè)集合，，且，則( )
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．(2021·全國高三)已知集合，若，則實數(shù)a等于( )
A．或3 B．0或 C．3 D．
2．(2021·遼寧沈陽市)已知集合，若，則實數(shù)( )
A． B．1 C． D．或
3．(2021·安徽宣城市)
(1)，求的取值范圍；
(2)，求的取值范圍．
4．(2021·浙江高一期末)在“①，②”這兩個條件中任選一個，補充在下列橫線中，求解下列問題：已知集合，．
(Ⅰ)若，求；
(Ⅱ)若________(在①，②這兩個條件中任選一個)，求實數(shù)的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．
考點五 實際生活中集合間的運算
【例5】(2021·山東高三專題練習)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學為了了解在校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《三國演義》的學生共有80位，閱讀過《西游記》的學生共有60位，閱讀過《西游記》且閱讀過《三國演義》的學生共有40位，則在調(diào)查的100位同學中閱讀過《三國演義》的學生人數(shù)為( )
A．60 B．50 C．40 D．20
【一隅三反】
1．(2021·云南省云天化中學高一期末)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，六盤水市第七中學為了解我校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則在調(diào)查的100位同學中閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為( )
A．80 B．70 C．60 D．50
2．(2021·全國高三專題練習)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為
A． B． C． D．
3．(2021·吳縣中學高一月考)某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有95%的學生喜歡籃球或羽毛球，60%的學生喜歡籃球，82%的學生喜歡羽毛球，則該中學既喜歡籃球又喜歡羽毛球的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是( )
A．63% B．47% C．55% D．42%
4．(2021·廣東清遠市·高一期末)某幼兒園滿天星班開設(shè)“小小科學家”、“小小演說家”興趣小組，假設(shè)每位學員最少參加一個小組，其中有13位學員參加了“小小科學家”興趣小組，有16位學員參加了“小小演說家”興趣小組，有8位學員既參加了“小小科學家”興趣小組，又參加了“小小演說家”興趣小組，則該幼兒園滿天星班學員人數(shù)為( )
A．19 B．20 C．21 D．37
答案與解析
考點一 數(shù)集之間的基本運算
【例1】(1)(2021·遼寧高三其他模擬)已知集合，則( )
A． B． C． D．
(2)(2021·北京高考真題)已知集合，，則( )
A． B． C． D．
(3)(2021·浙江寧波市)設(shè)全集，集合，，則集合是( )
A． B．
C． D．
【答案】(1)A(2)B(3)B
【解析】(1)由題得,,所以故選：A
(2)由題意可得：，即.故選：B.
(3)由，則又，所以故選：B
【一隅三反】
1.(2021·黑龍江哈爾濱市)已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∩B＝( )
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
【答案】D
【解析】集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∩B＝{1，2}，故選：D
2．(2021·河南焦作市)已知集合，，，則( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】題意，，又∵，∴.選：D.
3．(2021·全國高考真題)設(shè)集合，則( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題設(shè)可得，故，故選：B.
4．(2021·全國)已知全集，則A集合為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，用Venn圖表示集合，依次填寫，，，最后剩下的數(shù)字3只有填寫在中，
所以．故選：C．
5．(2021·遼寧)若集合，則A∩B＝( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，得，所以．故選：D
6．(2021·四川自貢市)設(shè)集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|＜0}，則A∩B＝( )
A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
【答案】A
【解析】∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．故選：A．
考點二 點集之間的基本運算
【例2】(2021·河北高三其他模擬)已知集合，則中元素的個數(shù)為( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】因為集合，
所以，所以中元素的個數(shù)為3，故選：D
【一隅三反】
1．(2021·山東濟南市)已知集合M＝{(x，y)|y＝2，xy≤0}，N＝{(x，y)|y＝x2}，則中的元素個數(shù)為( )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】A
【解析】∵集合M＝{(x，y)|y＝2x﹣1，xy≤0}，N＝{(x，y)|y＝x2﹣4}，
∴M∩N＝{(x，y)|}＝．∴M∩N中的元素個數(shù)為0．故選：A．
2．(2021·全國高三其他模擬)已知集合}，則集合中元素的個數(shù)是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】由可得, ，即,
N中的滿足的整點有：
，共9個點，
其中只有(1,1)這一個點不滿足，故中的元素個數(shù)為8個，故選：C.
3．(2021·江蘇南通市)若集合，，則( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵集合，，
因為∴，所以，故選：B.
考點三 韋恩圖求交并補
【例3】(1)(2021·北京101中學高三其他模擬)已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·山東煙臺市)已知集合M，N都是R的子集，且，則( )
A． B． C． D．
(3)(2021·珠海市)下圖中矩形表示集合U，A，B是U的兩個子集，則不能表示陰影部分的是( )
A． B．
C． D．
【答案】(1)C(2)A(3)C
【解析】(1)依題意，由補集的韋恩圖表示知，圖中陰影部分表示的集合是，
因集合，集合，則有，
所以圖中陰影部分表示的集合是.故選：C
(2)由題知：，所以，即.故選：A
(3)由圖知：當U為全集時，陰影部分表示集合A的補集與集合B的交集，
當B為全集時，陰影部分表示的補集，
當為全集時，陰影部分表示A的補集，故選：C.
【一隅三反】
1．(2021·浙江溫州市)設(shè)全集U為實數(shù)集R，集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圖中的陰影部分表示集合B中不滿足集合A的元素，所以陰影部分所表示的集合為.
故選：B.
2．(2021·沈陽市)已知非空集合、、滿足：，．則( )．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為非空集合、、滿足：，，
作出符合題意的三個集合之間關(guān)系的venn圖，如圖所示，
所以．
故選：D．
3．(2021·江蘇蘇州市)已知為全集，非空集合、滿足，則( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下圖所示：
，由圖可知，，，
故選：A.
4．(2021·全國高三專題練習(文))若集合，，滿足：，則( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由集合，，滿足：，，如圖所示：
，， 故選：B
考點四 利用集合運算求參數(shù)
【例4】(1)(2021·山東泰安市)集合若，則( )
B． C． D．
(2)(2021·全國高三專題練習)設(shè)集合，，若，則____，____．
(3)(2021·重慶八中)已知集合，集合，若，則的取值范圍為( )
A． B． C． D．
(4)(2021·河南安陽市)已知集合，，若，則實數(shù)的取值集合為( )
A． B． C． D．
(5)(2021·全國高三月考(理))設(shè)集合，，且，則( )
A． B．
C． D．
【答案】(1)B(2) (3)A(4)D(5)A
【解析】(1)由知，，解得故選：B
(2)
由，得或.
①當時，解得，此時，，符合題意；
②當時，解得，此時，集合中的元素不滿足互異性，不符合題意．
綜上所述，，.故答案為：；.
(3)由題知，得，則，故選：A．
(4)，因為，所以，
當時，集合，滿足；
當時，集合，
由，得或，解得或，
綜上，實數(shù)的取值集合為.故選：D.
(5)由題意，集合，且，
可得是方程的根，即，解得，
所以，
則.故選：A.
【一隅三反】
1．(2021·全國高三)已知集合，若，則實數(shù)a等于( )
A．或3 B．0或 C．3 D．
【答案】C
【解析】由可知，故，解得或.
當時，，與集合元素互異性矛盾，故不正確.
經(jīng)檢驗可知符合題意.故選：C.
2．(2021·遼寧沈陽市)已知集合，若，則實數(shù)( )
A． B．1 C． D．或
【答案】A
【解析】由得，
時，不合題意，時，也不合題意，
時，，滿足題意．故選：A．
3．(2021·安徽宣城市)
(1)，求的取值范圍；
(2)，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)，，，解得，即的取值范圍為；
(2)可得或，
，若，則，解得，滿足題意；
若，則，不等式無解，綜上，的取值范圍為.
4．(2021·浙江高一期末)在“①，②”這兩個條件中任選一個，補充在下列橫線中，求解下列問題：已知集合，．
(Ⅰ)若，求；
(Ⅱ)若________(在①，②這兩個條件中任選一個)，求實數(shù)的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．
【答案】(1)；(2)若選①，；若選②，
【解析】(1)當時，，；
所以
(2)若選①，，
當時，，解得，
當時，或，解得：或，
綜上：實數(shù)的取值范圍．
若選②，，
則，即，解得：，所以實數(shù)的取值范圍．
考點五 實際生活中集合間的運算
【例5】(2021·山東高三專題練習)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學為了了解在校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《三國演義》的學生共有80位，閱讀過《西游記》的學生共有60位，閱讀過《西游記》且閱讀過《三國演義》的學生共有40位，則在調(diào)查的100位同學中閱讀過《三國演義》的學生人數(shù)為( )
A．60 B．50 C．40 D．20
【答案】A
【解析】因為閱讀過《西游記》或《三國演義》的學生共有位，閱讀過《西游記》的學生共有60位，
所以只閱讀了《三國演義》的學生有位，
又因為閱讀過《西游記》且閱讀過《三國演義》的學生共有40位，
所以只閱讀過《三國演義》的學生共有位，故選：A.
【一隅三反】
1．(2021·云南省云天化中學高一期末)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，六盤水市第七中學為了解我校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則在調(diào)查的100位同學中閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為( )
A．80 B．70 C．60 D．50
【答案】B
【解析】因為閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，
所以《西游記》與《紅樓夢》兩本書中只閱讀了一本的學生共有位，
因為閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，
所以只閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，
所以只閱讀過《西游記》的學生共有位，
故閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為位，故選：B.
2．(2021·全國高三專題練習)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C．
3．(2021·吳縣中學高一月考)某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有95%的學生喜歡籃球或羽毛球，60%的學生喜歡籃球，82%的學生喜歡羽毛球，則該中學既喜歡籃球又喜歡羽毛球的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是( )
A．63% B．47% C．55% D．42%
【答案】B
【解析】設(shè)只喜歡籃球的百分比為，只喜歡羽毛球的百分比為，兩個項目都喜歡的百分比為，
由題意，可得，，，解得．
該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是．
故選：B．
4．(2021·廣東清遠市·高一期末)某幼兒園滿天星班開設(shè)“小小科學家”、“小小演說家”興趣小組，假設(shè)每位學員最少參加一個小組，其中有13位學員參加了“小小科學家”興趣小組，有16位學員參加了“小小演說家”興趣小組，有8位學員既參加了“小小科學家”興趣小組，又參加了“小小演說家”興趣小組，則該幼兒園滿天星班學員人數(shù)為( )
A．19 B．20 C．21 D．37
【答案】C
【解析】由條件可知該幼兒園滿天星班學員人數(shù)為.故選：C

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