資源簡介

1.4 充分、必要條件(精講)
考點一 充分、必要條件的判斷
【例1】(1)(2021·湖南)“”是“”的( )
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)．(2021·黑龍江哈爾濱市)設，則“”是“”的( )
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【一隅三反】
1．(2021·全國高二期末)已知，，則是的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
2．(2021·陜西西安市)已知“x>2”是“<1”的( )條件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3．(2021·上海高三二模)設α：x1且y2，β：x+y3，則α是β成立的(　　)
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
4．(2021·黑龍江大慶市)若、、，則“”是“”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
考點二 充分、必要條件的選擇
【例2】(多選)(2021·浙江高一期末)“”的一個充分不必要條件可以是( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·浙江高一期末)(多選)的必要不充分條件可以是( )
A． B． C． D．
2．(2021·廣東)使得“”成立的一個必要且不充分的條件是(　　)
A． B． C． D．
3．(2021·福建福州市·高一期末)“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是( )
A． B． C． D．
考點三 文字中的充分、必要條件
【例3】(2021·江蘇南通市)1943年深秋的一個夜晚，年僅19歲的曹火星在晉察冀邊區創作了歌曲《沒有共產黨就沒有中國》，毛主席得知后感覺歌名的邏輯上有點問題，遂提出修改意見，將歌名改成《沒有共產黨就沒有新中國》，今年恰好是建黨100周年，請問“沒有共產黨”是“沒有新中國”的( )條件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【一隅三反】
1．(2021·蘭州市第二十七中學)王昌齡《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的( )
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．(2021·浙江)2020年2月11日，世界衛生組織將新型冠狀病毒感染的肺炎命名為COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者癥狀是發熱 干咳 渾身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表現為發熱 干咳 渾身乏力”的(　　)
已知該患者不是無癥狀感染者
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．(2021·浙江)偉人毛澤東的《清平樂 六盤山》傳頌至今，“天高云淡，望斷南飛雁.不到長城非好漢，屈指行程二萬，六盤山上高峰，紅旗漫卷西風，今日長纓在手，何時縛住蒼龍？”現在許多人前往長城游玩時，經常會用“不到長城非好漢”來勉勵自己，由此推斷，“到長城”是“為好漢”的( )
A．充分條件 B．必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
考點四 根據充分、必要條件求參數
【例4-1】(2021·寧夏固原市)若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
【例4-2】(2021·全國高二期末)已知：實數滿足(其中)：實數滿足.
(1)若，且與都為真命題，求實數的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍.
【一隅三反】
1．(2021·河北衡水中學)若不等式成立的充分不必要條件是，則實數的取值范圍是________．
2．(2021·浙江高一期末)已知，，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是____________．
3．(2021·全國高二單元測試)設α：2＜x≤4，β：x＞m，α是β的充分條件，則實數m的取值范圍是__．
4．(2021·全國高一單元測試)若“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件，則的取值范圍是________．
5．(2021·山東日照市·高一期末)已知“，使等式”是真命題.
(1)求實數的取值范圍：
(2)設關于的不等式的解集為，若“”是“”的充分條件，求的取值范圍.
考點五 充分、必要條件的證明
【例5】(2020·山西長治市·沁縣一中高一月考)求證：是等邊三角形的充要條件是.這里是的三條邊．
【一隅三反】
1．(2021·全國高一課時練習)求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.
(2021·全國高一課時練習)設證明:的充要條件是.
答案與解析
考點一 充分、必要條件的判斷
【例1】(1)(2021·湖南)“”是“”的( )
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)．(2021·黑龍江哈爾濱市)設，則“”是“”的( )
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】(1)C(2)C
【解析】(1)由可得，由可得所以“”是“”的充分不必要條件故選：C
(2)由，
由不一定能推出，但是由一定能推出，
所以“”是“”的必要不充分條件，故選：C
【一隅三反】
1．(2021·全國高二期末)已知，，則是的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】或，因此由不一定能推出，
但是由一定能推出，所以是的必要不充分條件，故選：B
2．(2021·陜西西安市)已知“x>2”是“<1”的( )條件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】，
所以是的充分不必要條件.故選:A
3．(2021·上海高三二模)設α：x1且y2，β：x+y3，則α是β成立的(　　)
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】A
【解析】若“且”則“”成立，
當，時，滿足，但且不成立，
故且”是“”的充分非必要條件．故選：A．
4．(2021·黑龍江大慶市)若、、，則“”是“”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】充分性：若，，則，充分性不成立；
必要性：若，則，由不等式的性質可得，必要性成立.
因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.
考點二 充分、必要條件的選擇
【例2】(多選)(2021·浙江高一期末)“”的一個充分不必要條件可以是( )
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】，所以.設,設選項對應的集合為,
因為選項是“”的一個充分不必要條件，所以是的真子集.故選：BC.
【一隅三反】
1．(2021·浙江高一期末)(多選)的必要不充分條件可以是( )
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】,
即的充要條件是，
其必要不充分條件必須滿足，其集合的一個真子集是充要條件的集合，
觀察選項發現是的真子集，
故選：BD.
2．(2021·廣東)使得“”成立的一個必要且不充分的條件是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】使成立的一個必要不充分條件，滿足不等式的范圍包含，但不完全一致，
A選項解集為或，成立，A選項正確；
B選項解集為，為充要條件，B選項錯誤；
C選項解集為，不成立，C選項錯誤；
D選項錯誤；故選：A.
3．(2021·福建福州市·高一期末)“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由關于的不等式的解集為，
可得，解得，所以的取值范圍是.
根據必要不充分條件的概念可知B項正確.故選：B.
考點三 文字中的充分、必要條件
【例3】(2021·江蘇南通市)1943年深秋的一個夜晚，年僅19歲的曹火星在晉察冀邊區創作了歌曲《沒有共產黨就沒有中國》，毛主席得知后感覺歌名的邏輯上有點問題，遂提出修改意見，將歌名改成《沒有共產黨就沒有新中國》，今年恰好是建黨100周年，請問“沒有共產黨”是“沒有新中國”的( )條件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【解析】記條件p: “沒有共產黨”，條件q：“沒有新中國”，由歌詞知，p可推出q，故“沒有共產黨”是“沒有新中國”的充分條件.故選：A.
【一隅三反】
1．(2021·蘭州市第二十七中學)王昌齡《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的( )
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由題意知：“攻破樓蘭”未必“返回家鄉”，即“攻破樓蘭”“返回家鄉”；
若“返回家鄉”則必然“攻破樓蘭”，即“返回家鄉”“攻破樓蘭”；
“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的必要不充分條件.故選：A.
2．(2021·浙江)2020年2月11日，世界衛生組織將新型冠狀病毒感染的肺炎命名為COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者癥狀是發熱 干咳 渾身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表現為發熱 干咳 渾身乏力”的(　　)
已知該患者不是無癥狀感染者
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】新冠肺炎患者癥狀是發熱 干咳 渾身乏力等外部表征，充分的同，但有發熱 干咳 渾身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，不必要，即為充分不必要條件．故選：A．
3．(2021·浙江)偉人毛澤東的《清平樂 六盤山》傳頌至今，“天高云淡，望斷南飛雁.不到長城非好漢，屈指行程二萬，六盤山上高峰，紅旗漫卷西風，今日長纓在手，何時縛住蒼龍？”現在許多人前往長城游玩時，經常會用“不到長城非好漢”來勉勵自己，由此推斷，“到長城”是“為好漢”的( )
A．充分條件 B．必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】設為不到長城，推出非好漢，即，則，即好漢到長城，
故“到長城”是“好漢”的必要條件，故選：．
考點四 根據充分、必要條件求參數
【例4-1】(2021·寧夏固原市)若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解不等式可得.
因為“”是“”的充分不必要條件，則 ，
由題意可得，解得.因此，實數的取值范圍是.故選：A.
【例4-2】(2021·全國高二期末)已知：實數滿足(其中)：實數滿足.
(1)若，且與都為真命題，求實數的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)當時，：實數滿足，又：實數滿足，
因為與都為真命題，所以，解得，即；
(2)記，，因為是的必要不充分條件，所以
所以，解得：，
所以實數的取值范圍是．
【一隅三反】
1．(2021·河北衡水中學)若不等式成立的充分不必要條件是，則實數的取值范圍是________．
【答案】
【解析】由得，
因為是不等式成立的充分不必要條件，
∴滿足且等號不能同時取得，即，解得．
2．(2021·浙江高一期末)已知，，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】，，且是的必要不充分條件，
所以是的真子集，
所以或，解得，
3．(2021·全國高二單元測試)設α：2＜x≤4，β：x＞m，α是β的充分條件，則實數m的取值范圍是__．
【答案】(﹣∞，2]
【解析】∵α：2＜x≤4，β：x＞m，若α是β的充分條件，則m≤2．
∴實數m的取值范圍是(﹣∞，2]．故答案為：(﹣∞，2]．
4．(2021·全國高一單元測試)若“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】由題意可知，“”是“”必要不充分條件，則，
所以，.故答案為：.
5．(2021·山東日照市·高一期末)已知“，使等式”是真命題.
(1)求實數的取值范圍：
(2)設關于的不等式的解集為，若“”是“”的充分條件，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)若“，使等式”是真命題，
則，
因為，所以，
所以，
(2)由不等式可得，
所以，
若“”是“”的充分條件，
則是的子集，所以解得，
經檢驗、符合題意，
所以的取值范圍是
考點五 充分、必要條件的證明
【例5】(2020·山西長治市·沁縣一中高一月考)求證：是等邊三角形的充要條件是.這里是的三條邊．
【答案】詳見解析
【解析】先證明充分性：
由，
即，
所以，
所以，三角形為等邊三角形.
然后證明必要性.
當三角形是等邊三角形時，，所以.
綜上所述，是等邊三角形的充要條件是.
【一隅三反】
1．(2021·全國高一課時練習)求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.
【答案】見解析．
【解析】 (1)必要性：因為方程有一正根和一負根，所以為方程的兩根)，所以ac<0.
(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2為方程的兩根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根．
綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.
2．(2021·全國高一課時練習)設證明:的充要條件是.
【答案】見解析
【解析】證明:(1)充分性:如果,
那么,
.
(2)必要性:如果,
那么,
,.
由(1)(2)知,的充要條件是.

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