資源簡介

1.5 全稱量詞與存在量詞(精講)
考點一 判斷全稱、特稱量詞命題的真假
【例1-1】(2021·全國高一課時練習)判斷下列全稱量詞命題的真假:
(1)每一個末位是0的整數都是5的倍數;
(2)線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;
(3)對任意負數的平方是正數;
(4)梯形的對角線相等
【例1-2】(2021·江蘇無錫市·)有下列四個命題：
①，；
②；
③，；
④.其中真命題的個數為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【一隅三反】
1．(2021·山東濰坊市)(多選)下列命題中是假命題的是( )．
A．， B．，
C．， D．，
2．(2021·淮安市)(多選)下列命題是真命題的有( )
A． B．
C． D．
3．(2021·云南省云天化中學高一開學考試)(多選)下列命題正確的有( )
A．，
B．是函數為偶函數的充要條件
C．，
D．是的必要條件
4．(2021·浙江高一期末)(多選)下列命題錯誤的是( )
A．， B．，
C．， D．，
考點二 命題的否定
【例2-1】(2021·云南麗江市·高一期末)命題的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【例2-2】(2021·全國高一單元測試)寫出下列命題的否定：
(1)，；
(2)p：所有自然數的平方都是正數；
(3)p：任何實數x都是方程的根；
(4)p：有些分數不是有理數.
【一隅三反】
1．(2021·全國高三其他模擬)命題“”的否定( )
A． B．
C． D．
2．(2021·四川遂寧市)設命題，則為( )
A．
B．.
C．
D．.
3．(2021·黑龍江大慶市)命題“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
4．(2021·浙江高一期末)命題“”的否定是( )
A． B．
C． D．
考點三 求含有量詞的參數
【例4】(1)(2021·全國高一課時練習)若“有 成立”是真命題，則實數的取值范圍是____________
(2)(2021·黑龍江哈爾濱市)已知命題:“，使得”是真命題，則實數的最大值是____.
【一隅三反】
1．(2021·全國高三專題練習(文))若對，都有，則實數的取值范圍是___________.
2．(2021·安徽蕪湖市·高一期末)已知命題“，恒成立”是真命題，則實數的取值范圍是___________.
3．(2021·江西)已知命題“存在，使”是假命題，則實數的取值范圍是___________.
4．(2021·福建高一期末)若命題“”為真命題，則的取值范圍是______
5．(2021·河北)已知，
(1)若“x∈A，使得x∈B”為真命題，求m的取值范圍；
(2)是否存在實數m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分條件，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
答案與解析
考點一 判斷全稱、特稱量詞命題的真假
【例1-1】(2021·全國高一課時練習)判斷下列全稱量詞命題的真假:
(1)每一個末位是0的整數都是5的倍數;
(2)線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;
(3)對任意負數的平方是正數;
(4)梯形的對角線相等
【答案】(1)真命題;(2)真命題;(3)真命題;(4)假命題.
【解析】(1)根據整數的性質,末位是0的整數都是5的倍數成立.故為真命題.
(2)根據垂直平分線的性質可得線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.故為真命題.
(3)對任意負數,不等式兩邊同時乘以負數有.故為真命題
(4)舉反例如直角梯形對角線顯然不相等.故為假命題.
【例1-2】(2021·江蘇無錫市·)有下列四個命題：
①，；
②；
③，；
④.其中真命題的個數為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】對于①，，，故命題成立；
對于②，顯然當時滿足，但，故命題為假；
對于③，顯然時滿足，成立，故命題為真；
對于④，的實數根為，是無理數，故命題為假.
綜上，真命題的個數為2.
故選：B.
【一隅三反】
1．(2021·山東濰坊市)(多選)下列命題中是假命題的是( )．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【解析】取，，所以選項A，C不正確；
由得是無理數，所以選項B正確，選項D不正確，
故選：ACD
2．(2021·淮安市)(多選)下列命題是真命題的有( )
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】對選項A，當時，滿足，故A為真命題；
對選項B，當時，不滿足，故B為假命題；
對選項C，，解得，
所以不滿足，故C為假命題.
對選項D，因為恒成立，
所以滿足，故D為真命題.
故選：AD
3．(2021·云南省云天化中學高一開學考試)(多選)下列命題正確的有( )
A．，
B．是函數為偶函數的充要條件
C．，
D．是的必要條件
【答案】AB
【解析】對于A，，解得，所以，，所以A正確；
對于B，“”時，函數是偶函數，“函數是偶函數時，由得到，故B正確．
對于C，，所以，不正確，所以C不正確．
對于D，可得，反之不成立，所以D不正確．
故選：AB．
4．(2021·浙江高一期末)(多選)下列命題錯誤的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【解析】A. 由，得，故錯誤；
B.由得：或，故正確；
C. 由得：，故錯誤；
D. 由，故正確；
故選：AC
考點二 命題的否定
【例2-1】(2021·云南麗江市·高一期末)命題的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】特稱命題的否定是全稱命題，即命題“”的否定是“”.
故選：A
【例2-2】(2021·全國高一單元測試)寫出下列命題的否定：
(1)，；
(2)p：所有自然數的平方都是正數；
(3)p：任何實數x都是方程的根；
(4)p：有些分數不是有理數.
【答案】(1)，；(2)有些自然數的平方不是正數；(3)存在實數x不是方程的根；(4)一切分數都是有理數.
【解析】(1)，；
(2)有些自然數的平方不是正數；
(3)存在實數x不是方程的根；
(4)一切分數都是有理數.
【一隅三反】
1．(2021·全國高三其他模擬)命題“”的否定( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為原命題“”，所以其否定為“”，
故選：D.
2．(2021·四川遂寧市)設命題，則為( )
A．
B．.
C．
D．.
【答案】A
【解析】命題，，
由含有一個量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，
則為：，．故選：．
3．(2021·黑龍江大慶市)命題“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】根據全稱命題與存在性命題的關系，
可得命題“，”的否定是“，”.
故選：B.
4．(2021·浙江高一期末)命題“”的否定是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據全稱命題的否定是特稱命題，所以“”的否定是“”.
故選：C
考點三 求含有量詞的參數
【例4】(1)(2021·全國高一課時練習)若“有 成立”是真命題，則實數的取值范圍是____________
(2)(2021·黑龍江哈爾濱市)已知命題:“，使得”是真命題，則實數的最大值是____.
【答案】(1)(2)5
【解析】(1)由題意可得，函數的最大值為1，∴.故答案為：.
(2)當時，，
因為“，使得”是真命題，所以.故答案為：
【一隅三反】
1．(2021·全國高三專題練習(文))若對，都有，則實數的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】因為，都有，所以，都有，令，，因為，在上單調遞減，所以，所以，
即實數的取值范圍是；
故答案為：
2．(2021·安徽蕪湖市·高一期末)已知命題“，恒成立”是真命題，則實數的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】已知命題“，恒成立”是真命題.
當時，則有恒成立，合乎題意；
當時，則有，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故答案為：.
3．(2021·江西)已知命題“存在，使”是假命題，則實數的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】因為命題“存在，使”是假命題，
所以命題“，使得”是真命題，
當時，得，故命題“，使得”是假命題，不合題意；
當時，得，解得.
故答案為：
4．(2021·福建高一期末)若命題“”為真命題，則的取值范圍是______
【答案】
【解析】依題意可得，命題等價于恒成立，
故只需要解得，即
故答案為：
5．(2021·河北)已知，
(1)若“x∈A，使得x∈B”為真命題，求m的取值范圍；
(2)是否存在實數m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分條件，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；(1)存在，
【解析】，
(1)若“x∈A，使得x∈B”為真命題，即集合、存在公共元素，
假設、無公共元素，則或，
解得或，
則集合、存在公共元素時，實數m的取值范圍.
(2)存在實數m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分條件，
若 “x∈A”是“X∈B”必要不充分條件，
則，所以，解得，
所以m的取值范圍為.

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