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2.1 等式與不等式的性質(zhì)(精講)
考點一 不等式(組)表示實際問題
【例1】(2021·山東濰坊市)鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過．設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為(單位：)，這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示為( )．
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．(2021·安慶市)某高速公路要求行駛的車輛的速度的最大值為，同一車道上的車間距不得小于，用不等式表示為( )
A．且 B．或
C． D．
2．(2021·安徽蕪湖市)我國經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大 小兩種竹子為單位進行計算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大 小竹子各多少根？每根竹子單價各是多少錢？則在這個問題中大竹子每根的單價可能為( )
A．6錢 B．7錢 C．8錢 D．9錢
考點二 比較大小
【例2-1】(2021·安徽六安市·六安一中高一開學(xué)考試)已知，，則、 的大小關(guān)系為( )
A． B． C． D．無法確定
【例2-2】(2021·黑龍江鶴崗市)設(shè)，比較與的大小
【一隅三反】
1．(2021·海南省農(nóng)墾加來高級中學(xué)高一期末)比較與的大小( )
A．無法比較大小 B．
C． D．
2．(2021·平潭縣新世紀學(xué)校)已知， ，則 和的大小關(guān)系為( )
A． B．
C． D．
3．(2021·上海)，比較與的大小．
考點三 不等式性質(zhì)的運用
【例3】(2021·四川)若，則下列不等關(guān)系一定正確的是( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·四川省綿陽南山中學(xué))若，則下列不等式中，不能成立的是( )
A． B． C． D．
2．(2021·全國高三)已知a>b，c>d，則下列關(guān)系式正確的是( )
A．a(chǎn)c+bd>ad+bc B．a(chǎn)c+bdC．a(chǎn)c>bd D．a(chǎn)c3．(2021·浙江高一期末)已知，且，那么下列各式中正確的是( )
A． B． C． D．
4．(2021·全國高一課時練習(xí))設(shè)aA． B．a(chǎn)cC．|a|>－b D．
5.(2021·東至縣第三中學(xué)高一期中)下列結(jié)論正確的個數(shù)為( )
①兩個實數(shù)，之間，有且只有，，三種關(guān)系中的一種；
②若，則；
③一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù)，不等號方向不變；
④一個非零實數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小；
⑤，；
⑥若，則．
A．2 B．3 C．4 D．5
考點四 不等式的證明
【例4】(2021·平潭縣新世紀學(xué)校高一月考)(1)已知，求證：；
(2)已知，求證：；
(3)已知，求證：.
【一隅三反】
1．(2021·全國高一課時練習(xí))已知，，，求證：．
2．(2020·上海)設(shè)，求證：．
考點五 求代數(shù)式的范圍
【例5】(2021·江蘇省)已知，，則的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(202··四川雅安市)已知，，則的取值范圍是( ).
A． B． C． D．以上都不對
2．(2021·遼寧葫蘆島市)(多選)已知實數(shù)滿足，則( )
A． B．
C． D．
3．(2021·浙江)(多選)設(shè)x，y為實數(shù)，滿足，，則下列結(jié)論正確的是( )
A． B． C． D．
答案與解析
考點一 不等式(組)表示實際問題
【例1】(2021·山東濰坊市)鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過．設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為(單位：)，這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示為( )．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】長、寬、高之和不超過，.故選：.
【一隅三反】
1．(2021·安慶市)某高速公路要求行駛的車輛的速度的最大值為，同一車道上的車間距不得小于，用不等式表示為( )
A．且 B．或
C． D．
【答案】A
【解析】因為高速公路要求行駛的車輛的速度的最大值為，所以；
因為同一車道上的車間距不得小于，所以，
因為兩個規(guī)則都必須遵守，所以，且，故選：A.
2．(2021·安徽蕪湖市)我國經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大 小兩種竹子為單位進行計算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大 小竹子各多少根？每根竹子單價各是多少錢？則在這個問題中大竹子每根的單價可能為( )
A．6錢 B．7錢 C．8錢 D．9錢
【答案】C
【解析】依題意可設(shè)買大竹子，每根單價為，購買小竹子，每根單價為，
所以，即，即，
因為，所以，
根據(jù)選項，，所以買大竹子根，每根元.故選：C
考點二 比較大小
【例2-1】(2021·安徽六安市·六安一中高一開學(xué)考試)已知，，則、 的大小關(guān)系為( )
A． B． C． D．無法確定
【答案】C
【解析】，
,，又， ，.
故選C.
【例2-2】(2021·黑龍江鶴崗市)設(shè)，比較與的大小
【答案】
【解析】，，.
兩數(shù)作商，.
【一隅三反】
1．(2021·海南省農(nóng)墾加來高級中學(xué)高一期末)比較與的大小( )
A．無法比較大小 B．
C． D．
【答案】B
【解析】，所以，故選：B
2．(2021·平潭縣新世紀學(xué)校)已知， ，則 和的大小關(guān)系為( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，故有，故選：D．
3．(2021·上海)，比較與的大小．
【答案】
【解析】由
所以
考點三 不等式性質(zhì)的運用
【例3】(2021·四川)若，則下列不等關(guān)系一定正確的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，所以故選：B
【一隅三反】
1．(2021·四川省綿陽南山中學(xué))若，則下列不等式中，不能成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若，則，即，A成立；
，即，B不成立；
，C成立；，D成立；故選：B
2．(2021·全國高三)已知a>b，c>d，則下列關(guān)系式正確的是( )
A．a(chǎn)c+bd>ad+bc B．a(chǎn)c+bdC．a(chǎn)c>bd D．a(chǎn)c【答案】A
【解析】對于A、B：
a>b，c>d，ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0，故A正確，B錯誤；
對于C：當(dāng)b=0，c<0時，ac<0，bd=0，故C錯誤；
對于D：當(dāng)a>b>0，c>d>0時，ac>bd，故D錯誤；故選：A.
3．(2021·浙江高一期末)已知，且，那么下列各式中正確的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于A選項：舉反例，則，則A不成立；
對于B選項：舉反例，則，所以，則B不成立；
對于C選項：舉反例，則，所以，則C不成立；
對于D選項：
∵，∴又∵∴，即.則D成立故選：D.
4．(2021·全國高一課時練習(xí))設(shè)aA． B．a(chǎn)cC．|a|>－b D．
【答案】B
【解析】對A，因為a對B，當(dāng)c>0時選項B成立，其余情況不成立，則選項B不正確，符合題意；
對C，|a|＝－a>－b，則選項C正確，不符合題意；
對D，由－a>－b>0，可得，則選項D正確，不符合題意.
故選：B.
5.(2021·東至縣第三中學(xué)高一期中)下列結(jié)論正確的個數(shù)為( )
①兩個實數(shù)，之間，有且只有，，三種關(guān)系中的一種；
②若，則；
③一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù)，不等號方向不變；
④一個非零實數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小；
⑤，；
⑥若，則．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解：對于①，任意兩個實數(shù)顯然成立；
對于②，若，則，故且或且，故錯誤；
對于③，不等式的兩邊乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變，故錯誤；
對于④，例如，，故錯誤；
對于⑤，，進而由可得，故正確；
對于⑥，由得同號，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故若，則正確；綜上正確的是：①⑤⑥故選：B.
考點四 不等式的證明
【例4】(2021·平潭縣新世紀學(xué)校高一月考)(1)已知，求證：；
(2)已知，求證：；
(3)已知，求證：.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.
【解析】證明：(1)因為，所以.則.
(2)因為，所以.又因為，所以，即，因此.
(3)因為，根據(jù)(2)的結(jié)論，得.
又因為，則 ，即.
【一隅三反】
1．(2021·全國高一課時練習(xí))已知，，，求證：．
【答案】
【解析】，，
又，，，
又，．
2．(2020·上海)設(shè)，求證：．
【答案】證明見解析
【解析】
考點五 求代數(shù)式的范圍
【例5】(2021·江蘇省)已知，，則的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，，故選：C
【一隅三反】
1．(202··四川雅安市)已知，，則的取值范圍是( ).
A． B． C． D．以上都不對
【答案】A
【解析】設(shè)，可得，解得，，
即，
因為，，所以，
所以.
故選：A.
2．(2021·遼寧葫蘆島市)(多選)已知實數(shù)滿足，則( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因為，所以，A正確；
因為，所以，解得，B錯誤；
因為，，所以，C正確；
，，所以， D錯誤.故選：AC.
3．(2021·浙江)(多選)設(shè)x，y為實數(shù)，滿足，，則下列結(jié)論正確的是( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】，，，A正確；
，，，B錯誤；
，，，C正確；
，，，D錯誤；故選：AC

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