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專題4 三角恒等變換
（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）
1．已知，且．
(1)求的值：
(2)求的值．
（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）
2．已知，且是第三象限角.
(1)求的值；
(2)求的值.
（23-24高一下·廣東中山·階段練習(xí)）
3．已知，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
4．設(shè)向量,函數(shù).
(1)求的對稱軸方程；
(2)若且求的值.
（23-24高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）
5．（1）直接寫出下列各式的值．
①
②
③
（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，分析式子的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并證明你的結(jié)論．
（23-24高一下·福建莆田·期中）
6．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點.
(1)求，和的值；
(2)求的值．
（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習(xí)）
7．定義:為實數(shù)對的“正弦方差”.
(1)若，則實數(shù)對的“正弦方差”的值是否是與無關(guān)的定值，并證明你的結(jié)論
(2)若，若實數(shù)對的“正弦方差”的值是與無關(guān)的定值，求值.
（22-23高一下·江蘇南京·期中）
8．由兩角和差公式我們得到倍角公式，實際上可以表示為的三次多項式.
(1)試用僅含有的多項式表示；
(2)求出的值.
（23-24高一下·全國·期中）
9．已知，求函數(shù)的值域.
（23-24高一下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）
10．已知函數(shù)，．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若使有解，求的取值范圍.
（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）
11．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)若且，求的值.
（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）
12．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域；
(2)設(shè)，若，恒成立，求時t的最大值.
（22-23高一下·江蘇淮安·期末）
13．已知，，.
(1)求；
(2)求.
（22-23高一下·江蘇連云港·期中）
14．已知角，為銳角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
（23-24高一上·江蘇無錫·期末）
15．已知.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若，，求滿足不等式的x的取值范圍.
（22-23高一上·江蘇常州·期末）
16．計算：
(1)求值；
(2)已知，，求的值
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正切公式和兩角差的正切公式即可求解；
（2）根據(jù)已知角的范圍及三角函數(shù)值，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求出，由二倍角的正切公式求出，再由及差角正切公式求解即可.
【詳解】（1）因為，所以，
所以.
（2）因為，所以，
因為，所以，所以，
所以，
，
則，
因為，所以.
2．(1)
(2)5
【分析】（1）根據(jù)題意，求得和，得到，再由正切的倍角公式，即可求解；
（2）由（1），結(jié)合，代入即可求解.
【詳解】（1）解：由，
可得，因為是第三象限角，可得，所以.
則.
（2）解：由（1）知且，
可得.
3．(1)
(2).
【分析】（1）由正弦值確定角的范圍，再由同角的三角函數(shù)關(guān)系確定余弦值，再用余弦展開式求解即可；
（2）由同角的三角函數(shù)和余弦展開式結(jié)合拆角后得到.
【詳解】（1）因為，
所以，，.
（2），
因為，，
所以，
因為，所以.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由向量數(shù)量積坐標公式、二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)表達式，結(jié)合對稱軸方程的定義即可求解.
（2）由已知條件先算出，，再結(jié)合兩角差的余弦公式即可求解.
【詳解】（1）因為
，
令，得，
所以的對稱軸方程為.
（2）因為，所以，即，
又因為所以，
故，
所以
.
5．（1）①，②，③，（2），證明見解析
【分析】（1）根據(jù)余弦二倍角公式及特殊角的三角函數(shù)值可得結(jié)果；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，分析式子的共同特點，可得一般規(guī)律的等式，根據(jù)余弦二倍角公式及特殊角的三角函數(shù)值可得結(jié)果.
【詳解】（1）①
，
②
，
③
，
（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，分析式子的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式為：
，
證明如下：
.
6．(1)，，
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義、二倍角公式和兩角和的正弦公式直接求解即可；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡所求式子，代入的值即可.
【詳解】（1）由三角函數(shù)定義可知：，，
，，
.
（2）由（1）得：，
.
7．(1)是與無關(guān)的定值，證明見解析；
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)的定義，結(jié)合三角恒等變換，整理化簡，即可求得結(jié)果為定值；
（2）根據(jù)的定義，結(jié)合三角恒等變換，根據(jù)其為定值，求得，再結(jié)合角度范圍，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）“正弦方差”的值是與無關(guān)的定值；
證明：若，
則
.
（2）若，
根據(jù)題意，
因為的值是與無關(guān)的定值，故可得，
因為，故，
由可知，或，即或，
若，則，，故舍去；
對，兩邊平方后相加可得：
，即；
因為，故或或，
即或或；
綜上所述，當，解得，不滿足題意；
當，解得，滿足題意；
當，解得，滿足題意；
故或.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題第二問的關(guān)鍵一是找到的關(guān)系，二是根據(jù)角度范圍，討論可能得取值.
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦的兩角和公式和平方關(guān)系求解即可；
（2）利用，結(jié)合三角恒等變換求解即可.
【詳解】（1）
.
（2）因為，
所以，
所以，
所以，
解得，或（舍去），
故.
9．
【分析】利用換元法與輔助角公式、同角的基本關(guān)系式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，從而得解.
【詳解】令，
當時，，故，即，
又，所以，
故，
又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當時，取得最大值，當時，函數(shù)取得最小值，
所以的值域為.
10．(1)
(2)
【分析】（1）化簡函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）由，得到，求得，結(jié)合題意，得到，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)
，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）解：由，可得，可得，
所以，
要使得使有解，則，
所以實數(shù)的取值范圍為.
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用輔助角公式化簡，求出最小正周期；
（2）將代入可求出，結(jié)合的范圍，求出，因為，由兩角差的余弦公式求出結(jié)果.
【詳解】（1），
所以的最小正周期
（2），所以，
因為，，
所以，
所以
.
12．(1)
(2)
【分析】（1）討論的象限，化簡函數(shù)，再求其值域，
（2）利用（1）的結(jié)論求的最小值，化簡條件，解不等式求t的最大值.
【詳解】（1）當時，
所以，，
所以，
當時，
所以，，
所以，
當時，
所以，，
所以，
當時，
所以，，
所以，
所以函數(shù)的值域為，
（2）因為，恒成立，
所以，
所以，
所以，
當時，，
所以，
所以，
設(shè)，則，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以或，
所以或，
又，
所以，
所以，
所以t的最大值為.
13．(1)
(2)
【分析】（1）由已知函數(shù)值以及角的范圍可得，結(jié)合兩角差的余弦公式即可求值.
（2）根據(jù)，結(jié)合兩角差的正余弦公式即可求值
【詳解】（1）因為，則，
所以.
（2）由（1）可得：，
因為，則，
可得，
所以
.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；
（2）先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得出，再根據(jù)兩角和與差的正切公式即可求解．
【詳解】（1）因為，
所以．
（2）因為，均為銳角，所以，
所以，
所以，
因為為銳角，所以，
又β為銳角，所以，
則，
所以．
15．(1)，
(2)
【分析】（1）化簡的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用換元法求x的取值范圍.
【詳解】（1）
=
=，
令，解得
所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）由（1）可得，
令，則，所以
所以不等式為，得，即
由，解得，所以解集為.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用兩角和的余弦、正弦、誘導(dǎo)公式化簡計算可得出所求代數(shù)式的值；
（2）利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得的值，再利用誘導(dǎo)公式可求得的值.
【詳解】（1）解：原式
.
（2）解：原式，
即，
因為，則，所以，，則，
因此，.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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