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專題5 解三角形
（23-24高一下·安徽·期中）
1．已知銳角分別為角的對邊，若.
(1)求證：；
(2)求的取值范圍.
（23-24高二下·廣東汕頭·期中）
2．在△ABC中，角A，B，C的對邊長依次是a，b，c，，．
(1)求角B的大??；
(2)若AD是∠BAC的內角平分線，當△ABC面積最大時，求AD的長．
（2024·北京東城·一模）
3．在中，.
(1)求；
(2)若為邊的中點，且，求的值.
（23-24高一下·河南南陽·期中）
4．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且.
(1)求面積的最大值；
(2)若為邊BC的中點，求線段的長度．
（23-24高一下·江蘇南京·期中）
5．在以下三個條件中任選一個補充到下面的橫線上，并給出解答.（注：如果選擇多個條件份分別進行解答，則按第一個解答計分）
①；②；③向量，，.
在中，內角，，的對邊分別為，，，且___________.
(1)求；
(2)若，求周長的最大值.
（23-24高二上·北京海淀·期末）
6．在銳角中，．
(1)求；
(2)求周長的最大值．
（23-24高二上·福建福州·期末）
7．在中，角的對邊分別為
(1)求；
(2)若面積為，求的周長.
（23-24高二上·湖北·階段練習）
8．已知的內角的對邊分別為，且．
(1)求外接圓半徑.
(2)求周長的最大值．
（23-24高一下·浙江·期中）
9．已知的內角所對的邊分別為且與垂直.
(1)求大?。?br/>(2)若邊上的中線長為，求的面積的最大值.
（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·開學考試）
10．設內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角A的大??；
(2)若，求銳角的面積的取值范圍．
（22-23高一下·廣東廣州·期中）
11．已知的內角、、的對邊分別為、、，.
(1)求角的大??；
(2)若，求面積的最大值.
（22-23高一下·甘肅白銀·期末）
12．的內角的對邊分別為，，，且．
(1)求；
(2)若為的角平分線，且，求面積的最小值．
（23-24高一下·安徽·期中）
13．“大湖名城，創新高地”的“湖”指的就是巢湖，為治理巢湖環境，擬在巢湖兩岸建立四個水質檢測站.已知兩個檢測站建在巢湖的南岸，距離為，檢測站在湖的北岸，工作人員測得.
(1)求兩個檢測站之間的距離；
(2)求兩個檢測站之間的距離.
（22-23高一下·廣東東莞·期中）
14．“桃花春色暖先開，明媚誰人不看來”.春天來了，在研學的基地里，小明觀察一棵桃樹.如圖所示，他在點處發現桃樹頂端點的仰角大小為，往正前方走后，在點處發現桃樹頂端點的仰角大小為.

(1)求的長；
(2)若小明身高為，求這棵桃樹頂端點離地面的高度（精確到，其中）.
（22-23高一下·河南鄭州·期中）
15．在海岸A處，發現北偏西75°的方向，與A距離2海里的B處有一艘走私船，在A處北偏東45°方向，與A距離（）海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船．此時，走私船正以10海里/小時的速度從B向北偏西30°方向逃竄，問：

(1)剛發現走私船時，緝私船距離走私船多遠？在走私船的什么方向？
(2)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？
（22-23高一下·云南曲靖·期中）
16．夏季來臨，氣溫升高，是學生溺水事故的高發期．為有效預防學生溺水事件的發生，增強學生防溺水的安全防范意識，提高學生的自護自救能力，減少安全事故的發生，切實保護學生的生命安全，學校組織各班召開了防溺水安全教育主題班會．某地一河流的岸邊觀測站位于點處（離地面高度忽略不計），觀察到位于點西南方向且距離為的點處有一名釣友，正目不轉睛地盯著其東偏北方向上點處一個正在岸邊玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距離為，假設三點在同一水平面上．
(1)求此時釣友與小孩之間的距離．
(2)若此時釣友到點處比到點處的距離更近，且在孩子落水的瞬間釣友跳進河里開始以的速度救援，與此同時孩子在水流的作用下以的速度沿北偏東方向移動，由于釣友平時缺乏鍛煉受耐力限制，最多能持續游，試問釣友這次救援是否有成功的可能？若有可能，求釣友救援成功的最短時間；若不能，請說明原因．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據題干，利用余弦定理化簡可得，再由正弦定理可得即，再根據是銳角三角形，所以即可得解；
（2）由是銳角三角形，所以，由正弦定理可得結合角的范圍即可得解.
【詳解】（1）
根據正弦定理，由
，
即.
是銳角三角形，
，，
因此有
（2）是銳角三角形，，而，
由正弦定理，得，
則，
而
所以，
因此的取值范圍為.
2．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化邊，再應用余弦定理可解得角B.
（2）由余弦定理與重要不等式可得面積最大時a、c的值，在中應用正弦定理可解得AD的值.
【詳解】（1）∵，
∴由正弦定理可得，
∴由余弦定理得，
又∵，∴．
（2）在中，由余弦定理得，
即．∵，，
∴，當且僅當時取等號，
∴，當且僅當時，，
此時面積最大．
當時，．
又∵為的角平分線，∴
∴在中，，
∴在中，由正弦定理得．
3．(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理可得，結合三角和為及誘導公式可得，即可得答案；
（2）在中，由正弦定理可求得，從而可得，在中，利用余弦定理求解即可.
【詳解】（1）解：因為，
由正弦定理可得，
即，，
又因為，
所以，
解得，又因為，
所以；
（2）解：因為為邊的中點，，
所以,
設,
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
又因為，所以，

在中，，
在中，，
由余弦定理可得：，
所以，
即.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化邊化簡已知等式，可得，再由余弦定理即可求得答案；
（2）由向量的線性運算以及數量積的運算律可得的表達式，再結合（1）的結果推出，即可求得答案.
【詳解】（1），
由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得，
又，故，
又，，，當且僅當時取等號．
，
故面積的最大值為；
（2）是邊BC的中點，，
．
，，，
又由（1）知，，
，，
即線段AD的長度為.
5．(1)
(2)
【分析】（1）選①：用正弦定理化簡求解即可；選②：用兩角和差正弦公式化簡求解；選③：用向量垂直的坐標表示和余弦定理求解即可；
（2）先利用余弦定理求得，然后利用基本不等式求解最值即可.
【詳解】（1）若選①：，
由正弦定理得，又，
所以，又，所以，即，
又，所以；
若選②：因為，所以，
所以，所以，因為，
所以，所以，所以；
若選③：因為向量，，，
所以，化簡得，
所以，又，所以；
（2）由余弦定理得，
所以，
所以，所以，當且僅當時等號成立，
所以，即周長的最大值為.
6．(1)
(2)3
【分析】（1）利用正弦的二倍角公式化簡求值即可；
（2）解法一：利用正弦定理可得，結合正弦兩角差公式和輔助角公式求解即可；解法二：利用余弦定理可得，再根據均值不等式求最值即可.
【詳解】（1）因為銳角，，所以，
所以，所以，.
（2）解法一：由正弦定理可得，
所以
，
在銳角中，，
所以當，即時，取最大值，
.
解法二：由余弦定理可得，
代入得，所以，
因為，所以，，
當且僅當時等號成立，
所以.
7．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角結合兩角和的正弦公式，化簡已知等式，可得，結合同角的三角函數關系，即可求得答案；
（2）利用面積公式和余弦定理求邊長，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知中，，
故，即，
即，
，
又即，又，
.
（2）由，得
由，
所以的周長為.
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合余弦定理即可求解.
（2）由余弦定理結合基本不等式，即可求得周長的最大值.
【詳解】（1）設外接圓半徑為，
因為，,，
所以，則，
即，整理得，
所以由余弦定理可得，，
因為，所以，
故外接圓半徑.
（2）因為，
所以，即，
又因為，，
所以，即，當且僅當等號成立.
又因為，，
故的周長的最大值為．
9．(1)；
(2).
【分析】（1）利用垂直的向量表示進行化簡，再根據正弦定理結合條件即可得到結果；
（2）利用余弦定理與邊上的中線有進行化簡，在利用基本不等式即可得到結果.
【詳解】（1）因為，垂直，
所以.
由正弦定理，得，因為，
所以，，
所以.
（2）設邊上的中線為，
在中，由余弦定理得：，
即①.
在和中，，
所以，
即，，，
化簡得，
代入①式得，，
由基本不等式，
∴，當且僅當取到“”；
所以的面積最大值為.
10．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換，結合三角函數的和差公式求得的值，從而得解；
（2）利用正弦定理和三角形面積公式，結合三角函數恒等變換得到關于的表達式，再由銳角得到的取值范圍，從而得解.
【詳解】（1）因為，
所以由正弦定理，得．
又在中，，
所以，則，
又，則，所以，
又，所以.
（2）因為，則，
所以，
，
因為為銳角三角形，所以，解得，
所以，所以，
故，則.
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、誘導公式以及兩角和的正弦公式化簡得出的值，結合角的取值范圍可得出角的值；
（2）利用余弦定理結合基本不等式可求得的最大值，結合三角形的面積公式可求得面積的最大值.
【詳解】（1）解：因為，
由正弦定理可得，
即，
所以，，
因為、，則，所以，，故.
（2）解：由余弦定理可得
，即，
當且僅當時，等號成立，
所以，，
故面積的最大值為.
12．(1)
(2)
【分析】（1）解法1、根據題意，利用余弦定理得到，求得，即可求解；解法2、根據題意，由正弦定理得到，求得求得，即可求解；
（2）由，結合基本不等式求得，進而求得面積的最小值．
【詳解】（1）解法1、因為，
由余弦定理得，
整理得，即，則，
因為，所以．
解法2、因為，由正弦定理得，
因為，可得，
所以，
整理得，
因為，所以，則，
因為，所以．
（2）解：由，可得，
可得，所以，當且僅當時，等號成立，
則的面積為，即面積的最小值為．
13．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，在中由正弦定理計算可得；
（2）根據題意可得，由余弦定理求出，再由余弦定理即可求出.
【詳解】（1）由已知，在中，，
由正弦定理，得，
則，
所以兩個檢測站之間的距離為.
（2）在中，，所以，
所以，所以，
由余弦定理得
，
所以
在中，由余弦定理得，
，
所以，即兩個檢測站之間的距離為.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理和兩角和的正弦公式求解.
【詳解】（1）在中，，，
則，.
由正弦定理得,即，
解得.即的長為.

（2）在中，，
所以.
因為，
則.
所以.
即這棵桃樹頂端點離地面的高度為.
15．(1)緝私船距離走私船海里，在走私船的正東方向
(2)緝私船沿北偏西的方向能最快追上走私船
【分析】（1）根據題求得，由正弦定理求得，得到，得出為水平線，即可得到答案；
（2）設經過時間小時后，緝私船追上走私船，得到，結合正弦定理求得，進而得到答案.
【詳解】（1）由題意，可得，
則 ，
在中，由正弦定理，即，
解得，因為，所以，所以為水平線，
所以剛發現走私船時，緝私船距離走私船海里，在走私船的正東方向．
（2）設經過時間小時后，緝私船追上走私船，
在中，可得，
由正弦定理得，
因為為銳角，所以，
所以緝私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．
16．(1)距離為100或200米；
(2)釣友這次救援有成功的可能，救援成功的最短時間為.
【分析】（1）作出圖形，利用余弦定理即可得到答案；
（2）根據（1）中的結論得，求出，設，根據余弦定理得到方程，解出即可.
【詳解】（1）由題意得，，，
在三角形中，根據余弦定理有，
即，解得或100，

故釣友與小孩之間的距離為100或200米.
（2）因為釣友到點處比到點處的距離更近，則，

設釣友在最短時間內救援到地點為點，，
則，
所以，
整理得，解得（負根舍去），
因為，所以釣友這次救援有成功的可能，
且成功的最短時間為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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