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專題2 三角函數的圖象與性質
（22-23高一下·湖北荊州·階段練習）
1．化簡求值：
(1)；
(2)設，求.
（23-24高一下·河南南陽·階段練習）
2．如圖所示，以軸非負半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓相交于點，已知點坐標為．
(1)求，的值；
(2)求的值．
（23-24高一上·河南安陽·期中）
3．已知、是方程的兩個實數根，其中．
(1)求的值；
(2)求的值．
（23-24高一上·河北保定·期中）
4．已知角的終邊在直線上．
(1)求及的值；
(2)若函數，求的值．
（23-24高一下·河南南陽·期中）
5．已知函數的圖象與軸的相鄰的兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最高點為．
(1)求的解析式；
(2)完善下面的表格，并畫出在上的大致圖象；
x 0
0 0
(3)當時，求的值域．
（16-17高一下·上海·期中）
6．已知函數；
（1）求的定義域與最小正周期；
（2）求在區間上的單調性與最值.
（22-23高一下·福建漳州·期中）
7．已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求函數的解析式；
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.
①求函數的單調遞增區間；
②求使成立的的取值集合.
（21-22高一下·福建福州·期中）
8．已知向量，設．
(1)求的單調遞增區間；
(2)若關于x的不等式在恒成立，求m的取值范圍．
（22-23高一下·江西·階段練習）
9．已知函數.
(1)將函數的解析式寫成分段函數;
(2)函數與直線有2個交點，求實數的范圍.
（2023高一上·全國·專題練習）
10．利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小．
(1)與；
(2)與；
(3)與.
（21-22高一下·陜西咸陽·階段練習）
11．已知函數．
(1)求函數圖象的對稱中心；
(2)若，求不等式的解集．
（22-23高一下·遼寧·階段練習）
12．已知函數在區間上單調，且．
(1)求圖象的一個對稱中心；
(2)若，求的解析式．
（20-21高一下·安徽滁州·期中）
13．設函數．
（1）求函數的定義域、周期、和單調區間；
（2）求不等式的解集．
（23-24高一下·江西·階段練習）
14．已知函數與函數的部分圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為4．

(1)求的定義域；
(2)若是定義在上的函數，求關于x的不等式的解集．
（20-21高一下·北京·期中）
15．已知函數.
(1)求的定義域；
(2)求在區間上的最小值.
（23-24高一下·上海·期中）
16．已知函數.
(1)若，求函數的最小正周期及其圖象的對稱中心.
(2)若函數在區間上嚴格單調遞增，求的取值范圍.
(3)若函數在（且）上滿足“關于的方程在上至少存在2024個根”，且在所有滿足上述條件的中，的最小值不小于2024，求的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】利用誘導公式化簡求值.
【詳解】（1）原式
（2）
，
2．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用點在圓上以及三角函數的定義計算即可；
（2）利用誘導公式化簡，然后轉化為用表示，代入的值計算即可.
【詳解】（1）在單位圓上，且點在第二象限
，
解得．
由三角函數定義可知，
（2）
3．(1)
(2)
【分析】（1）根據、是方程的兩個實數根列出關于和韋達定理的式子，根據即可求解；
（2）由（1）求出和，進而求出，即可求出的值.
【詳解】（1）因為、是方程的兩個實數根，
所以，可得，
又因為，
即，解得，合乎題意．因此，．
（2）由（1）知，，
因為，則，，
所以，，
所以，
則，
因此，．
4．(1)答案見解析
(2)或
【分析】（1）根據三角函數的定義即可得解；
（2）根據誘導公式化簡函數，結合（1）就可求解；
【詳解】（1）設為直線上除去原點的任意一點，
則，
若角的終邊在第四象限，則
；
當角的終邊在第二象限，則
.
（2）
，
或.
5．(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）根據題意，結合的圖象，得到最小正周期，求得，結合最高點為，求得的值，即可求解；
（2）完善表格，結合描點、連線，即可求得函數在上的大致圖象；
（2）由，得到，結合三角函數的性質，即可求解.
【詳解】（1）解：由的圖象與軸的相鄰的兩個交點之間的距離為，
可得函數最小正周期，所以，
又由一個最高點為，可得的，
因為，即，
可得，解得，
又因為，可得，所以．
（2）解：由（1）知，函數，完善表格如下：
x 0
1 2 0 0 1
則函數在上的大致圖象如圖：
（3）解：因為，可得，
當時，即時，取得最大值，最大值為；
當時，即時，取得最小值，最大值為，
所以函數的值域為．
6．（1）定義域，；
（2）單調遞增：，單調遞減：，最大值為1，最小值為；
【詳解】試題分析：(1)簡化原函數，結合定義域求最小正周期;(2)在給定區間上結合正弦曲線，求單調性與最值.
試題解析：
；
（1）的定義域：，最小正周期 ；
（2），即最大值為1，最小值為，單調遞增：，單調遞減：，
7．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據圖象可確定和最小正周期，進而得到；根據可求得，從而得到解析式；
（2）根據三角函數平移變換原則可求得；
①采用整體代換法，由可求得單調遞增區間；
②根據正弦函數圖象和性質可得，解不等式可求得結果.
【詳解】（1）由圖象可知：，最小正周期，，
，即，
解得：，又，，
.
（2）由題意知：；
①令，解得：，
的單調遞增區間為；
②由得：，，解得：，
使成立的的取值集合為.
8．(1)
(2)
【分析】先把化為.
（1）利用復合函數單調性法則，列不等式直接求解；
（2）利用分離參數法得到，根據的單調性求出即可.
【詳解】（1）因為向量，且，
所以
.
要求的單調遞增區間，只需,
解得：，即的單調遞增區間為.
（2）因為關于x的不等式在恒成立，所以.
由（1）可知，在上單調遞增，所以在上單增，在上單減，
所以，所以.
故m的取值范圍是.
9．(1)
(2)
【分析】（1）分別求出時和時，的范圍，即可得解；
（2）作出函數的圖象，結合函數圖象即可得解.
【詳解】（1）由，當時，得，
當時，得，
所以；
（2）如圖，作出函數的圖象，
由圖可知，當函數與直線有2個交點，.
10．(1).
(2).
(3).
【分析】（1）利用正弦函數的單調性，比較正弦值的大小；
（2）由誘導公式有，，利用正弦函數的單調性比較大小；
（3）利用誘導公式和余弦函數的單調性比較大小
【詳解】（1）由，函數在上單調遞增，
所以.
（2），，
由，有，
從而，即.
（3），
，且在上是減函數，
則，即.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根據圖象的對稱中心求出圖象的對稱中心；
（2）將不等式化簡為，對分類討論求解不等式.
【詳解】（1）易知圖象的對稱中心為，
圖象的對稱中心為．
圖象的對稱中心為．
（2）不等式，即為．
，即．
當時，顯然有（不能同時取等號）恒成立；
當時，由三角函數的單調性知單調遞減，
又的解集是；
當時，顯然有無解；
當時，由三角函數的單調性知單調遞增，
又的解集是．
不等式的解集為．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據余弦函數的對稱性，即可得出答案；
（2）由題意可知的最小正周期，可求出的范圍，再由可得若或，分類討論兩種情況，即可得出答案.
【詳解】（1）由題意可知，
因為在區間上單調，所以當時，，
則的圖象的一個對稱中心為．
（2）由題意可知的最小正周期，所以，
因為，所以，2或3．
由（1）可知，，，
因為，所以，
所以，或，．
若，．
則，，，即，，，
易知，所以不存在，，使得，2；
當時，，此時，，
由，得，所以．
若，，
則，，，即，，，
易知，不存在，，使得，2或3．
綜上，．
13．（1）定義域為，周期為，增區間為，；（2），．
【分析】（1）利用正切函數的定義域、周期性和單調性，即可求出結果；
（2）由題意可得，結合函數圖象與性質可知，解不等式即可求出結果.
【詳解】（1）根據函數，可得，，
求得，故函數的定義域為．
周期為．
令，，得，
故函數的增區間為，．
（2）求不等式，即，∴，
求得，故不等式的解集為，．
14．(1)
(2)
【分析】1）由題意，結合圖形，根據割補法可知陰影部分的面積等價于矩形的面積，進而求出，結合正切函數的概念即可求解；
（2）由（1）知，由，作出函數的圖象，結合圖形即可求解.
【詳解】（1）

如圖，陰影部分的面積等價于矩形的面積，
對于函數，定義域為，
所以過點C垂直于x軸的直線為，又，
則，解得，所以，
由，得，
即函數的定義域為；
（2）由（1）知，
所以，，
則，
設，，
在同一個平面直角坐標系中作出函數的圖象，如圖，

當時，，
所以當時，，
即不等式的解集為.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）利用函數有意義，列出不等式，求解作答.
（2）切化弦，利用二倍角公式、輔助角公式化簡變形，再利用正弦函數的性質計算作答.
【詳解】（1）由函數，得，，
所以函數的定義域為.
（2）
，
當時，，則當，即時，取得最小值，
所以在區間上的最小值為.
16．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先寫出函數的解析式，進而求出該函數的最小正周期和對稱中心；（2）由題意利用正切函數的單調性，求得的范圍；（3）由題意利用正切函數的周期性和零點，結合正切函數圖象的特點，求得的范圍．
【詳解】（1）由于，且，
所以的最小正周期為，
令，求得，，
故的圖象的對稱中心為，，．
（2）若函數在區間上嚴格遞增，
則只需保證，求得，且，
即的范圍為．
（3）函數的最小正周期為，
關于的方程在區間上至少存在2024個根，
故當時，關于的方程至少有2024個根，
即關于的方程，，至少有2024個根，
即當時，關于的方程，，至少有2024個根．
且在所有滿足上述條件的中，的最小值不小于2024，
故至少包含2023個周期，即，
所以．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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