資源簡介

專題2 數(shù)列的通項公式與求和
【必備知識】
1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念
概念 含義
數(shù)列 按照確定的順序排列的一列數(shù)
數(shù)列的項 數(shù)列中的每一個數(shù)
通項公式 如果數(shù)列{}的第n項與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式
遞推公式 如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式
數(shù)列{}的前n項和 把數(shù)列{}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{}的前n項和，記作，即＝＋＋…＋
2．?dāng)?shù)列的分類
分類標(biāo)準(zhǔn) 類型 滿足條件
項數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限
無窮數(shù)列 項數(shù)無限
項與項間的大小關(guān)系 遞增數(shù)列 > 其中n∈N*
遞減數(shù)列 <
常數(shù)列 ＝
擺動數(shù)列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列
3．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系
數(shù)列{}是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項，記為＝f（n）．【必備技能】
1．已知數(shù)列{}的前n項和，則＝
2．在數(shù)列{}中，若最大，則（n≥2，n∈N*）；若an最小，則（n≥2，n∈N*）．
【考向總覽】
考向一：累加（乘）法求通項（★★★）
考向二：利用與的關(guān)系求通項（★★★★）
考向三：構(gòu)造法求通項（★★★★）
【考向歸類】
考向一：累加（乘）法求通項
【典例1-1】
（22-23高二上·江蘇南通·期中）
1．等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，時，，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
（21-22高二上·寧夏·期中）
2．已知數(shù)列滿足， ，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
（1）形如－＝f（n）的數(shù)列，利用累加法．（2）形如＝f（n）的數(shù)列，利用＝a1···…·（n≥2）即可求數(shù)列{}的通項公式．
【舉一反三】
（22-23高二上·陜西延安·期中）
3．已知數(shù)列滿足，，則的通項公式（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·廣東佛山·期中）
4．已知是數(shù)列的前項和，，，則的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
考向二：利用與的關(guān)系求通項
【典例2-1】
（22-23高二下·安徽合肥·期中）
5．已知數(shù)列的前項和，則的通項公式（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】
（21-22高二上·云南麗江·期中）
6．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式是（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】
與的關(guān)系問題的求解思路
（1）利用＝－（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含，的關(guān)系式，再求解．
（2）利用－＝（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含，的關(guān)系式，再求解．【舉一反三】
（20-21高二下·山西呂梁·期中）
7．已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二上·陜西榆林·期中）
8．已知數(shù)列{an}的前項和，則這個數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
考向三：構(gòu)造法求通項
【典例3-1】
（22-23高二下·山東淄博·期中）
9．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為
【典例3-2】
（22-23高二下·河南平頂山·期中）
10．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足.則數(shù)列的通項公式為 ，的最大值為 .
【備考提醒】
形式 構(gòu)造方法
＝p＋q 引入?yún)?shù)c，構(gòu)造新的等比數(shù)列{－c}
＝p＋＋c 引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{＋xn＋y}
＝p＋ 兩邊同除以，構(gòu)造新的數(shù)列
【舉一反三】
11．設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，，則數(shù)列的通項公式為 .
（22-23高二下·安徽·期中）
12．在數(shù)列中，當(dāng)時，，則其通項公式為 ．
【必備知識】
數(shù)列求和的幾種常用方法
1．公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．
（1）等差數(shù)列的前n項和公式：
＝＝n＋d．
（2）等比數(shù)列的前n項和公式：
＝．
2．分組求和法與并項求和法
（1）分組求和法
若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）并項求和法
一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝（－1）nf（n）類型，可采用兩項合并求解．
3．錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的．
4．裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
常見的裂項技巧（1）＝－．
（2）＝．
（3）＝．
（4）＝．
（5）＝．【必備技能】
常用求和公式
（1）1＋2＋3＋4＋…＋n＝
（2）1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2．
（3）12＋22＋32＋…＋n2＝
（4）13＋23＋33＋…＋n3＝【考向總覽】
考向一：分組求和與并項求和（★★★★）
考向二：錯位相減法求和（★★★★）
考向三：裂項相消法求和（★★★★）
【考向歸類】
考向一：分組求和與并項求和
【典例1-1】
（22-23高一下·安徽六安·期中）
13．已知數(shù)列的通項公式為，設(shè)，則數(shù)列的前200項和為（ ）
A． B．0 C．200 D．10000
【典例1-2】
（23-24高二下·上海閔行·期中）
14．已知數(shù)列滿足：，；數(shù)列是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列且滿足，．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和．
【備考提醒】
（1）若數(shù)列{}的通項公式為＝±，且{}，{}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項和．
（2）若數(shù)列{}的通項公式為＝其中數(shù)列{}，{}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{}的前n項和．【舉一反三】
（23-24高二上·廣東中山·期中）
15．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的前20項和；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)數(shù)列的前項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
（23-24高二下·河南南陽·期中）
16．記數(shù)列的前項和為，已知，且．
(1)令，求數(shù)列的通項公式；
(2)若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
考向二：錯位相減法求和
【典例2-1】
（23-24高二下·山東濰坊·期中）
17．?dāng)?shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為1的等比數(shù)列.
(1)求的值;
(2)求數(shù)列的通項公式:
(3)求數(shù)列的前項和.
【典例2-2】
（23-24高二下·廣西桂林·階段練習(xí)）
18．在數(shù)列中，.
(1)證明：是等比數(shù)列.
(2)求的通項公式.
(3)求數(shù)列的前項和.
【備考提醒】
（1）如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法．
（2）錯位相減法求和時，應(yīng)注意：
①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1．【舉一反三】
（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）
19．已知等差數(shù)列的前項和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：
（23-24高二下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）
20．已知數(shù)列的前項和為，，且．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項公式；
(2)若__________，求數(shù)列的前項和．
從①；②；③，這三個條件中任選一個補(bǔ)充在上而的橫線上并解答問題，注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
考向三：裂項相消法求和
【典例3-1】
（23-24高二下·河南·期中）
21．已知等差數(shù)列的公差為d（），前n項和為，且滿足；，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求．
【典例3-2】
（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）
22．已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)若，記數(shù)列的前項和為，求證：.
【備考提醒】
裂項相消法的原則及規(guī)律
（1）裂項原則
一般是前面裂幾項，后面就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．
（2）消項規(guī)律
消項后前面剩幾項，后面就剩幾項，前面剩第幾項，后面就剩倒數(shù)第幾項．【舉一反三】
（2024·四川·模擬預(yù)測）
23．已知為正項數(shù)列的前項和，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求的前10項和．
（23-24高二上·湖北武漢·期中）
24．已知正項數(shù)列滿足.
(1)求通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)與累加法求解，
【詳解】根據(jù)題意得，，解得，故，
時，，
故
．
故選：A
2．A
【分析】由題得，再利用累乘法求解.
【詳解】解：由，得，
即，則，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故選：A．
3．C
【分析】利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列前項和的求解公式，求解即可.
【詳解】根據(jù)題意可得，
即.
故選：C.
4．B
【分析】由得，兩式相減得，把分別代入，用累乘法得，，再驗證也成立，即可得到.
【詳解】由得，
兩式相減得: ,
即，即，即，.
所以，，，…，.
相乘得：……，
即，因為，所以，.
當(dāng)時，，所以.
故選：B
5．C
【分析】令，解得，當(dāng)時，，得數(shù)列的遞推公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，通項公式，即可得到所求．
【詳解】令，則，解得，
當(dāng)時，，
則，即，，
所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以．
故選：C．
6．D
【分析】利用求通項公式.
【詳解】因為數(shù)列滿足
所以當(dāng)n=1時，
當(dāng)時，有
所以，
所以.
經(jīng)檢驗，對n=1不符合，
所以
故選：D
7．D
【分析】將，相減得出，再由的關(guān)系得出通項公式.
【詳解】當(dāng)時，
當(dāng)時，①
②
由①②得，即
（經(jīng)驗證時也成立）
故
故選：D
8．D
【分析】當(dāng)時，由求得；當(dāng)時，由求得；驗證后可知數(shù)列為分段數(shù)列，從而得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時，
當(dāng)時，
不滿足
故選
【點睛】本題考查根據(jù)與關(guān)系求解數(shù)列的通項公式；易錯點是忽略驗證時，是否滿足時的通項公式，造成求解錯誤.
9．
【分析】由已知可得，利用為等差數(shù)列求的通項公式.
【詳解】由得，
故為等差數(shù)列，公差為1，首項為1，
所以
所以.
故答案為：
10． ##0.4
【分析】空①利用求出，然后構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式；
空②判斷數(shù)列的單調(diào)性，得出的最大值.
【詳解】空①,由可得，
當(dāng)時，，則，
有，有，即.
可得數(shù)列成等比數(shù)列，有，可得.
空②,記，有，
可得，當(dāng)時，，
有.
故答案為：；.
11．
【分析】由構(gòu)造法和與關(guān)系求解
【詳解】由題意得，而，
所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.
，，當(dāng)時，，也滿足此式，
綜上，
故答案為：
12．
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，在時，用換，兩式相減，再構(gòu)造常數(shù)列求解作答.
【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，
兩式相減得，即，
因此，即，于是，當(dāng)時也成立，n＝1時不成立，
所以．
故答案為：
13．A
【分析】利用分組求和法及等差數(shù)列求和公式求解.
【詳解】記數(shù)列的前200項和為，
.
故選：A
【點睛】本題考查等差數(shù)列求和公式、分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.
14．(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量求出的通項公式，設(shè)等比數(shù)列的公比為，即可得到方程組，解得、，從而求出的通項公式；
（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得.
【詳解】（1）因為，，所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，故；
設(shè)等比數(shù)列的公比為，又，，所以，
解得或（舍去），所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，由并項求和法結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由遞推關(guān)系可得數(shù)列是以3為首項，公差為2的等差數(shù)列，即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的求和公式結(jié)合基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）
.
（2）①，②，
②-①得，
，，
數(shù)列是以3為首項，公差為2的等差數(shù)列，.
（3），
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時取等號，
因，當(dāng)時，，當(dāng)時，
，.
16．(1)
(2)．
【分析】（1）分類討論是奇數(shù)和偶數(shù)，利用遞推公式計算即可；
（2）先利用等差數(shù)列求和公式分組求和，再分離參數(shù)，令，判定其單調(diào)性，計算即可.
【詳解】（1）令，則①，
令，則②，
②－①，得，
又因為，所以可得，
代入①式，得，所以．
（2），其中，
，所以．
由，可得恒成立．
設(shè)，則，
當(dāng)，即時，，
當(dāng)，即時，，
所以，故，所以，
即實數(shù)的取值范圍為．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由成等比數(shù)列求得；
（2）利用累加法可求數(shù)列的通項公式；
（3）由（2）可得，利用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求得．
【詳解】（1），，，
因為成公比不為1的等比數(shù)列，
所以，解得或.
當(dāng)時，，不符合題意舍去，
故.
（2）當(dāng)時，
由于，
所以，
又，故.
當(dāng)時，上式也成立，
所以.
（3）因為，
所以，
，
兩式相減得
，
即.
18．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）將已知等式變形為，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)論；
（2）由（1）可得，利用累加法，即可求得的通項公式.；
（3）由（2）可得的表達(dá)式，利用錯位相減法，即可求得答案.
【詳解】（1）證明：在數(shù)列中，，故，
又，即，故，
故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得，
故時，
，
也適合該式，故；
（3）由（2）可得，
故，
則，
兩式相減得，
故.
19．(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項和公差，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）先用錯位相減法求出，得證.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，
所以，解得，
所以，解得，
，.
（2）由（1）得，令，
，①
則，②
①②式得，
，
化簡整理得，
，，得證.
20．(1)證明見解析，
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)，作差得到，再由及等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）若選①，利用錯位相減法計算可得；若選②：利用裂項相消法計算可得；若選③：，利用等比數(shù)列求和公式計算即可.
【詳解】（1）因為，
所以，
又，當(dāng)時，解得，
當(dāng)時，
所以，
即，即，即，又，
所以，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.
（2）若選①，，
所以，
，
所以
，
所以；
若選②：，
當(dāng)為偶數(shù)時，
當(dāng)為奇數(shù)時，
所以；
若選③：
，
所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由等差數(shù)列前項和公式求得，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)求得公差即可得解；
（2）由裂項相消法即可求解.
【詳解】（1），得，即．
由，，成等比數(shù)列，得，，即．
所以，故．
（2），
∴
.
22．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中所求，利用裂項求和法，求得，再證明即可.
【詳解】（1）因為，所以又，
所以，
所以是以9為首項，3為公比的等比數(shù)列，
所以，所以.
（2）由（1）知，
所以
，又，
所以.
23．(1)
(2)
【分析】（1）已知與的關(guān)系求通項公式，用退位作差，再利用平方差公式進(jìn)行化簡，最后對時進(jìn)行檢驗，得到數(shù)列是等差數(shù)列，從而寫出通項公式；
（2）根據(jù)得到，觀察數(shù)列通項公式特點，裂項，進(jìn)而得到前10項和.
【詳解】（1）由題意知：，即，
當(dāng)時，，
兩式相減，可得，
因為，可得．
又因為，當(dāng)時，，即，
解得或（舍去），所以（符合），
從而，所以數(shù)列表示首項為3，公差為2的等差數(shù)列．
所以數(shù)列的通項公式為．
（2）由題意得，
所以
，
所以.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)和的遞推公式，從而可求解；
（2）根據(jù)（1）求得，然后利用裂項相消求和，從而求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，得，由題知為正項數(shù)列，則，
由題得，則，化簡得，
所以為首項為，公差為的等差數(shù)列，則，
所以，當(dāng)時，，
當(dāng)時也成立，所以.
（2）由（1）知，
所以
，
所以.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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