資源簡介

幾何、函數與實際應用
實際應用題一直以為是中考數學的熱點題型，甚至可以說是必考題型.深圳中考數學對實際應用的考查尤其突出，此類題貼合實際，產生的問題源于生活，同時又與數學中的幾何、函數結合.問題的解決一般需要用到幾何知識和函數的相關知識.題目文字較多，對多數同學而言，難點在于文字的理解與問題的解決方法，文字的理解主要是了解實際問題，而解決方法則考查同學們的數學基本功底.
例1(2023深圳中考21題)蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它出現使得人們可以吃到反季節蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．
如圖1，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中點O，過點O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點E，若以O點為原點，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標系．
請回答下列問題：
（1）如圖2，拋物線AED的頂點E（0，4），求拋物線的解析式；
（2）如圖3，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求兩個正方形裝置的間距GM的長；
（3）如圖4，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為CK，求CK的長．
解：（1）∵AB＝3m，AD＝BC＝4m，E（0，4），∴A（﹣2，3），B（﹣2，0），C（2，0），D（2，3），設拋物線表達式為y＝ax2+bx+c，將A、D、E三點坐標代入表達式，
得，解得．
∴拋物線表達式為．
（2）設G（﹣t，3），則L（﹣t），
∴，解得（負值舍去），
∴GM＝2t．
（3）取最右側光線與拋物線切點為F，如圖4，
設直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，解得，
∴直線AC的解析式為yx，
∵FK∥AC，設，∴，得，∴，解得m，∴直線FK的解析式為，令y＝0，得x，
∴．∴CK＝BK﹣BC
例2(2024南山育才中考模擬)【項目式學習】
項目主題：設計澆地窗的遮陽篷
項目背景：小明家的窗戶朝南，窗戶的高度AB=2m，為了遮擋太陽光，小明做了遮陽篷的設計方案，請根據不同的設計方案完成以下任務.
方案1：直角形遮陽篷
如圖1：小明設計的第一個方案為直角遮陽篷BCD，點C在AB的延長線上CD⊥AC.
(1)若BC=0.5m，CD=1m，則支撐桿BD=________m.
(2)小明發現上述方案不能很好發揮遮陽作用，如圖2，他觀察到此地一年中的正午時刻，太陽光與地平面的最小夾角為α，最大夾角為β，小明查閱資料，計算出tanα=,tanβ=,為了讓遮陽篷既能最大限度的使冬天溫暖的陽光射入室內(太陽光與BD平行)，又能最大限度的遮擋夏天火熱的陽光(太陽光與AD平行)，請求出圖2中的BC、CD的長度.
方案2：拋物線形遮陽篷
(3)如圖3，為了美觀及實用性，小明在(2)的基礎上將CD邊改為拋物線形可伸縮的遮陽篷(F為拋物線的頂點，DF段可伸縮)，且∠CFD=90°，BC、CD的長保持不變，若以C為原點，CD方向為x軸，BC方向為y軸,①求該二次函數的表達式；②若某時刻太陽光與水平地面夾角的正切值tan=，使陽光最大限度的射入室內，求遮陽篷點D上長升的高度的最小值(即點D'到CD的距離)
解：(1)由勾股定理直接計算BD=
如圖所示，設EF=m，則AE=3m,DE=4m，故2+m=4m得m=，故BC=，CD=2m；
①易知點F(1,1)設二次函數解析式為，將(0,0)代入得a=-1,故二次函數的解析式為
②如圖，設光線恰好經過點B，與x軸交于點I，與拋物線交于點D,則易知BI的解析式為，與拋物線聯立得x1=,x2=(舍去)，此時y=，故上升的最小高度為
全真模擬練習
1.根據以下素材，探索完成任務
如何探測彈射飛機的軌道設計
素材1：圖1是某科技興趣小組的同學們制作出的一款彈射飛機，為驗證飛機的一些性能，通過測試收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離s與飛行時間t的函數關系式為：x=3t，飛行高度y(單位：m)隨飛機時間t(單位：s)的變化滿足二次函數關系，數據如表所示
飛行時間t/s 0 2 4 6 8 ...
飛行高度y/m 0 10 16 18 16 ...
素材2：圖2是興趣小組同學在室內操場的水平地面上設置一個高度可以變化的發射平臺PQ，當彈射口高度變化時，飛機飛行的軌跡可視為拋物線上下平移得到，線段AB為飛機回收區域，已知AP=42m，AB=(18-24)m,問題解決
任務1：確定函數表達式，求y關于t的函數表達式；
任務2：探究飛行距離，當飛機落地(高度為0m)時，求飛機飛行的水平距離；
任務3：確定彈射口高度，當飛機落到AB內(不包含端點A、B)，求發射臺彈射口高度(結果為整數)
解：任務1：觀點飛行時間與高度的數據，設二次函數解析式為y=at2+bt，將(2，10)，(4,16)代入可得4a+2b=10,16a+4b=16,得a=，b=6,故拋物線解析式為
任務2：x=3t時，可得當y=0時，x=36,故飛機落地時，飛機飛行的水平距離是36m；
任務3：設彈射高度為c，則，當x=42時，y=0，得c=14；當x=18-24,c=18,故142.利用素材解決：《橋梁的設計》
問題驅動 某地欲修建一座搭橋，橋的底邊兩端間的水平寬AB=L，稱跨度，橋面最高點到AB的距離CD=h稱拱高，拱橋的輪廓可以設計成是圓弧或拋物線型，若修建拱橋的距離L=32米，拱高h=8米.
設計方案 方案一 方案二
設計類型 圓弧型 拋物線型
任務一 設計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑 設計成拋物線型，以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分為y軸建立坐標系，求橋拱的函數表達式
任務二 如圖，一艘船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測得EF=6.1米,EH=16米，請你通過計算說明貨船能否分別順利通過這兩座橋梁.
解：任務一：由條件可知AB=32，CD=8，設半徑OB=m,則OD=m-8,BD=16，由勾股定理得得m=20，故圓的半徑為20m；
易知B(16,0),C(0,8)設拋物線的表達式為，將(16,0)代入得a=-,故拋物線的表達式為
任務二：對于方案1：如下圖，MH=8，由勾股定理得OM=，故DM=，DM-6.1=，故能通過；
對于方案2：當x=8時，y=6<6.1，故不能通過.
3.根據以下素材，探究完成任務
設計求碗中面湯液面寬度的方案
素材1 圖1是一個瓷碗，圖2是其截面圖，碗體DEC呈拋物線狀(碗體厚度不計)碗高GF=7cm,碗底寬AB=3cm，當瓷碗中裝滿面湯時，液面寬CD=12cm，此時面湯最大深度EG=6cm.
素材2 如圖3，把瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當點A離MN距離為1.8cm時停止
任務1 確定碗體形狀 在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的表達式
任務2 擬定設計方案1 根據圖2位置，把碗中面湯喝掉一部分，當碗中液面高度(離桌面MN距離)為5cm時，求此時碗中液面寬度.
任務3 擬定設計方案2 如圖3，當碗停止傾斜時，求此時碗中液面寬度CH.
解：任務1：以MN為x軸，GF為y軸,F為原點建立坐標系，易知頂點E(0,1)，C(6,7)，故設拋物線的解析式為，將點C坐標代入得a=,故拋物線的解析式為
任務2：令y=5得，x=，故此時的液面寬度為cm
任務3：如下圖，∠ABI=∠PCQ=α，易知sinα=，tanα=,而PC=6，PQ=4.5得Q(0,2.5)可得直線CQ的表達式為，與拋物線聯立得得x1=,x2=6，于是H(,),故CH=，故液面寬度為cm
4.九年級某班級同學進行項目式學習<項目式學習報告>如下：
綠化帶灌溉車的操作探究
項目內容 項目素材 項目任務
【項目一】 明確灌溉方式 如圖 1，灌溉車沿著平行于綠化 帶底部邊線 I 的方向行駛，為 綠化帶澆水．噴水口 H 離地豎 直高度為h（單位：m ），灌溉 車到l 的距離OD長度為d（單 位：m ）． “博學小組”經過實際測量，建 立如下數學模型：如圖 2，可以 把灌溉車噴出水的上、下邊緣 抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到；把綠化帶橫截面抽象為矩形 DEFG，其水平寬度 DE 3m，豎直高度 EF 0.5m 噴水口離開地面高h 1.5米，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為2m ，高出噴水口 0.5m．
【任務一】結合圖象和數據，請你求出灌溉車的最大射程OC 的長度
【項目二】提倡有效灌溉 “篤志小組”實地調查發現：為了節約用水，進行有效灌溉，灌溉車在進行行業時，要保證噴出的水能澆灌到整個綠化帶(上邊緣拋物線不低于點F，點D不在下邊緣拋物線內)
【任務二】請你求出灌溉車有效灌溉時，灌溉車到綠化帶底邊緣的距離OD的取值范圍.
解：任務1：易知拋物線的頂點A(2,2)，設解析式為，將(0,)代入可得a=,故拋物線的解析式為，令y=0，可得x1=-2,x2=6,故最大射程 OC=6m
任務2：EF=0.5，令y=0.5，可得x1=2+2,x2=2-2，而DE=3，故OD的最大值為2-1；注意到H點關于對稱軸的對稱點為(4,,1.5)，兩拋物線可平移得到，故OD的最小值為2；故2d2-1
5.陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．如圖是從正面看到的一個“老碗”,其橫截面可以近似的看成是如圖(1)所示的以AB 為直徑的半圓 O，MN 為臺面截線，半圓 O 與 MN 相切于點 P，連結 OP 與 CD 相 交于點 E.水面截線 CD= 6cm，MN//CD，AB=12cm.
(1)如圖(1)求水深 EP；
(2)將圖(1)中的老碗先沿臺面 MN 向左作無滑動的滾動到如圖(2)的位置，使
得 A、C 重合，求此時最高點 B 和最低點 P 之間的距離 BP 的長；
(3)將碗從（2）中的位置開始向右邊滾動到圖(3)所示時停止，若此時∠BOP=75°，
求滾動過程中圓心 O 運動的路徑長.
解：(1)連接OD，OD=6，DE=3，得OE=3，故PE=3；
(2)連接AP、BP，由(1)知∠AOP=60°，AP=6，故BP=6；
(3)連接OC，易得∠AOC=45°，圓心O的運動路徑等于弧AC，l=cm
6．某廠家特制了一批高腳杯，分為男士杯和女士杯（如圖1），相關信息如下：
素材 內容
素材1
如圖1，這種高腳杯從下往上分為三部分： 杯托，杯腳，杯體．杯托為一個圓，水平放置時候，杯腳經過杯托圓心，并垂直任意直徑，杯體的水平橫截面都為圓，這些圓的圓心都在杯腳所在直線上．
素材2
圖2坐標系中，特制男士杯可以看作由線段AB，OC，拋物線DCE（實線部分），線段DF，線段EG繞y軸旋轉形成的立體圖形（不考慮杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由線段AB，OC，拋物線FCG（虛線部分）繞y軸旋轉形成的立體圖形．
素材3 已知，圖2坐標系中，OC＝5cm，記為C（0，5），D（，），E（，），F（，15），G（，15）．
根據以上素材內容，嘗試求解以下問題：
（1）求拋物線DCE和拋物線FCG的解析式；
（2）當杯子水平放置及杯內液體靜止時，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度均為4cm，求兩者液體最上層表面圓面積之差；（結果保留π）
（3）當杯子水平放置及杯內液體靜止時，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度相等，兩者液體最上層表面圓面積相差4πcm2，求杯中液體的深度．
解：（1）∵點C（0，5）為拋物線DCE和拋物線FCG的頂點，對稱軸為y軸，∴設拋物線DCE的解析式為：y＝a1x2+5，將點E（，）代入，得：（）2a1+5，
解得：a1．∴拋物線DCE的解析式為：yx2+5．設拋物線FCG的解析式為：y＝a2x2+5，
將點G（，15）代入，得：15＝（）2a2+5，解得：a2．∴拋物線FCG的解析式為：yx2+5．
（2）設男士杯中的液體與女士杯中的液體最上層表面圓的半徑分別為R cm，r cm，
由題可知，當男士杯中的液體與女士杯中的液體深度均為4cm時，R．
在拋物線FCG中：將y＝5+4＝9代入解析式得：
9x2+5．
∴x2．
∴r2．∴兩者液體最上層表面圓面積之差為πR2﹣πr2＝π（）2﹣π πcm2．
（3）設男士杯中的液體與女士杯中的液體最上層表面圓的半徑分別為R cm，r cm，
當5≤y時，yR2+5，yr2+5．∴R2（y﹣5），r2（y﹣5）．∴πR2﹣πr2＝4π．∴（y﹣5）（y﹣5）＝4．解得：y．∴此時深度為：5（cm）．當y≤15時，R2時，r2（y﹣5），∵πR2﹣πr2＝4π．∴（y﹣5）＝4．解得：y．此時深度為：5（cm）．
綜上所述：杯中液體深度為cm或cm．
7．中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標系xOy．如果她從點A（3，10）起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數關系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平時訓練完成一次跳水動作時，全紅蟬的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下：
水平距離x/m 0 3 3.5 4 4.5
豎直高度y/m 10 10 k 10 6.25
根據上述數據，直接寫出k的值為 　 　，直接寫出滿足的函數關系式：　 　；
（2）比賽當天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y＝﹣5x2+40x﹣68，記她訓練的入水點的水平距離為d1；比賽當天入水點的水平距離為d2，則d1　 　d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達最高點B開始計時，若點B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時間t之間近似滿足y＝﹣5t2+c，如果全紅嬋在達到最高點后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的270C動作，請通過計算說明，她當天的比賽能否成功完成此動作？
解：（1）由表格可知，圖象過點（3，10），（4，10），（4.5，6.25），∴h3.5，
∴y＝a（x﹣3.5）2+k，∴，解得：，∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
(2)∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，當y＝0時：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x＝5或x＝2（不合題意，舍去）；
∴d1＝5米；∵y＝﹣5x2+40x﹣68，當y＝0時：﹣5x2+40x﹣68＝0，
解得：x4或x4（不合題意，舍去）；∴d24＞5，
∴d1＜d2，
（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，∴B（4，12），
∴c＝12，∴y＝﹣5t2+12，當t＝1.6時，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，∵﹣0.8＜0，
即她在水面上無法完成此動作，
8．【發現問題】
一天放學后，媽媽帶小麗到面館去吃牛肉面，愛思考的小麗仔細觀察盛面的碗，如圖1，她發現面碗的軸截面（不包含碗足部分）可以近似看成是拋物線的一部分．
【提出問題】
碗體（碗體的厚度忽略不計）上一點到碗底內部所在平面的距離y（cm）與這一點到碗的中軸線（面碗的上、下兩個底面圓的圓心所在直線）m的距離x（cm）之間有怎樣的函數關系？
【分析問題】
小麗從書包里拿出刻度尺、筆和本，向服務員借來一個空的面碗，把面碗正放在桌面上，對面碗進行了簡單的測量，并根據測量數據畫出面碗的軸截面，如圖2，面碗的上口徑AB＝24cm，碗底直徑CD＝EF＝6cm，面碗的邊沿上一點B到桌面EF的距離BG＝8cm，碗足高DF＝1cm．小麗又進一步建立以CD所在直線為x軸，以直線m為y軸的平面直角坐標系（如圖3），從而求出y與x的關系式．
【解決問題】
（1）請你幫助小麗求出y與x的關系式；
（2）小麗向空面碗中倒入一些水，當水面寬度為20cm時，求此時面碗中水的深度；
（3）小麗將（2）中面碗中的水傾倒至如圖4所示，水面剛好與BC重合，直接寫出此時面碗中水的最大深度．
解：（1）由圖3知：點B（12，7）、點D（3，0），設拋物線的表達式為：y＝ax2+c，
則，解得：，則拋物線的表達式為：；
（2）當水面寬度為20cm時，即x＝10cm，
當x＝10時，100，
即面碗中水的深度為：cm；
（3）由圖2知，EG＝3+12＝15，yB＝7，設直線BC和水平面的夾角為α，
則tanα，則cosα；以圖4中的直線m為y坐標軸，以AB所在的直線為x軸建立如下坐標系，則點B（12，0），直線CB和x軸的夾角為α，
則直線BC表達式中的k值為tanα，設直線BC的表達式為：y＝tanαx+b，
將點B的坐標代入上式得：0＝12b，解得：b，則直線BC的表達式為：y＝tanα（x﹣12）（x﹣12），設點P是BC下方拋物線上一點，過點P作PG∥y軸交BC于點G，過點P作鉛垂線和BC交于點H，則∠HPH＝α，設點P（x，x2），則點G（x，（x﹣12）），
則PG（x﹣12）﹣（x2），即PG（x﹣4.5）2，∵0，故PG有最大值，
當x＝4.5時，PG的最大值為，即PG的最大值為，則PH的最大值＝PG cosα，則PH（cm），即面碗中水的最大深度為cm．
9.根據以下素材，探索完成任務．
如何調整蔬菜大棚的結構？
素材1 我國的大棚（如圖1）種植技術已十分成熟，一塊土地上有一個蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE，FG，相關數據如圖2所示，其中DE＝BC，OF＝DF＝BD．
素材2 已知大棚有200根長為DE的支架和200根長為FG的支架，為增加棚內空間，擬將圖2中棚頂向上調整，支架總數不變，對應支架的長度變化如圖3所示，調整后C與E上升相同的高度，增加的支架單價為60元/米（接口忽略不計），現有改造經費32000元．
問題解決
任務1 確定大棚形狀 在圖2中以點O為原點，OA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，求拋物線的函數表達式．
任務2 嘗試改造方案 當CC′＝1米，只考慮經費情況下，請通過計算說明能否完成改造．
任務3 擬定最優方案 只考慮經費情況下，求出CC′的最大值．
解：（1）如圖建立如圖所示的坐標系，∴A（0，1），C（6，3.4），
∴y＝ax2+bx+1，∵OF＝DF＝BD＝2，DE＝BC，∴拋物線的對稱軸為直線 ，
∴y＝ax2﹣10ax+1，將C（6，3.4）代入解析式得，，∴，
（2）如圖，建立與（1）相同的坐標系，∵CC＝1.2，∴C為（6，4.6），
∵改造后對稱軸不變，設改造后拋物線解析式為 y＝ax2﹣10ax+1
將C（6，4.6）代入解析式得 ，∴
∴G為 ，G為 ，∴，
∴共需改造經費 ，∴能完成改造．
（3）如圖，設改造后拋物線解析式為 y＝ax2﹣10ax+1，
則G為 （2，﹣16a+1），E為 （4，﹣24a+1），
∴EE′+GG′＝﹣16a+1﹣24a+1﹣（3.4）＝﹣40a﹣4，
（﹣40a﹣4）×200×60≤32000，解得 ，∵CC′＝EE′＝﹣24a+1﹣3.4，∴ 時，CC′的值最大，為1.6米．
10．根據以下素材，探索完成任務：
素材一 太陽光線與地面的夾角叫做太陽高度角．冬至是北半球各地白晝時間最短、黑夜最長的一天；夏至是北半球各地黑夜時間最短、白晝最長的一天．設冬至這天正午時刻太陽高度角為α，夏至這天正午時刻太陽高度角為β．
素材二 廠家設計了可伸縮拋物線型遮陽棚，其側面示意圖如圖1所示．曲線QM為遮陽棚，PQ為遮陽棚安裝在窗戶上方的支架，PQ⊥QM，線段QM的長度稱為遮陽棚的跨度．已知遮陽棚QM所在的拋物線與拋物線的形狀相同．
素材三 如圖2，AB為小明家的朝南窗戶，測得，∠β＝45°，窗戶AB的高度為1.5米．為能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內，在安裝遮陽棚時，需根據實際計算遮陽棚的跨度（QM的長）．
素材四 春節前期，小明想在遮陽棚頂部掛一盞高為0.3米的燈籠（如圖3）．如圖4，燈籠CD與窗戶的水平距離為m米，燈籠的底端（點D）與窗戶的上沿（點B）的鉛垂高度為n米，燈籠頂端（點C）與懸掛點（點N）的距離為d米．
解決問題
任務1 求小明家所需的遮陽棚的跨度QM．
任務2 當d＝0.16時，求m的值．
任務3 現要求0.6≤m≤1.5且0.1≤n≤0.2，求d的取值范圍．
解：任務1：過點M作垂線交BE于點E，交AF于點F，如圖：∴QM＝BE＝AF，
∵，∴，∴MEAF，∵β＝45°，∴tanβ＝1，∴1，
∵AB＝1.5，∴AF+1.5＝AF，∴AF＝2（m），即QM＝2m，
∴小明家所需的遮陽棚的跨度QM長為2m；
任務2：以點A為坐標原點，AQ所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖：
由任務1可知，Q（0，2），M（2，2），設拋物線的解析式為yx2+bx+c，
將點Q，M坐標代入解析式得，解得，
∴拋物線的解析式為yx2x+2，點N坐標為（m，1.96+n），代入yx2x+2得，m2m+2＝1.96+n，解得m＝1±；
任務3：點N坐標為（m，1.8+n+d），
將點N坐標為（m，1.8+n+d）代入yx2x+2得，m2m+2＝1.8+n+d，
令wm2m+2（m﹣1）2，∵0.6≤m≤1.5，∴當x＝1.5時，w取最小值，最小值為2.1875，
當x＝1時，w取大值，最大值為2.25，∴w的取值范圍2.1875≤w≤2.25，即2.1875≤1.8+n+d≤2.25，
解得0.3875﹣n≤d≤0.45﹣n，當0.1≤n≤0.2時，0.1875≤d≤0.35．幾何、函數與實際應用
實際應用題一直以為是中考數學的熱點題型，甚至可以說是必考題型.深圳中考數學對實際應用的考查尤其突出，此類題貼合實際，產生的問題源于生活，同時又與數學中的幾何、函數結合.問題的解決一般需要用到幾何知識和函數的相關知識.題目文字較多，對多數同學而言，難點在于文字的理解與問題的解決方法，文字的理解主要是了解實際問題，而解決方法則考查同學們的數學基本功底.
例1(2023深圳中考21題)蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它出現使得人們可以吃到反季節蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．
如圖1，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中點O，過點O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點E，若以O點為原點，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標系．
請回答下列問題：
（1）如圖2，拋物線AED的頂點E（0，4），求拋物線的解析式；
（2）如圖3，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求兩個正方形裝置的間距GM的長；
（3）如圖4，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為CK，求CK的長．
解：（1）∵AB＝3m，AD＝BC＝4m，E（0，4），∴A（﹣2，3），B（﹣2，0），C（2，0），D（2，3），設拋物線表達式為y＝ax2+bx+c，將A、D、E三點坐標代入表達式，
得，解得．
∴拋物線表達式為．
（2）設G（﹣t，3），則L（﹣t），
∴，解得（負值舍去），
∴GM＝2t．
（3）取最右側光線與拋物線切點為F，如圖4，
設直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，解得，
∴直線AC的解析式為yx，
∵FK∥AC，設，∴，得，∴，解得m，∴直線FK的解析式為，令y＝0，得x，
∴．∴CK＝BK﹣BC
例2(2024南山育才中考模擬)【項目式學習】
項目主題：設計澆地窗的遮陽篷
項目背景：小明家的窗戶朝南，窗戶的高度AB=2m，為了遮擋太陽光，小明做了遮陽篷的設計方案，請根據不同的設計方案完成以下任務.
方案1：直角形遮陽篷
如圖1：小明設計的第一個方案為直角遮陽篷BCD，點C在AB的延長線上CD⊥AC.
(1)若BC=0.5m，CD=1m，則支撐桿BD=________m.
(2)小明發現上述方案不能很好發揮遮陽作用，如圖2，他觀察到此地一年中的正午時刻，太陽光與地平面的最小夾角為α，最大夾角為β，小明查閱資料，計算出tanα=,tanβ=,為了讓遮陽篷既能最大限度的使冬天溫暖的陽光射入室內(太陽光與BD平行)，又能最大限度的遮擋夏天火熱的陽光(太陽光與AD平行)，請求出圖2中的BC、CD的長度.
方案2：拋物線形遮陽篷
(3)如圖3，為了美觀及實用性，小明在(2)的基礎上將CD邊改為拋物線形可伸縮的遮陽篷(F為拋物線的頂點，DF段可伸縮)，且∠CFD=90°，BC、CD的長保持不變，若以C為原點，CD方向為x軸，BC方向為y軸,①求該二次函數的表達式；②若某時刻太陽光與水平地面夾角的正切值tan=，使陽光最大限度的射入室內，求遮陽篷點D上長升的高度的最小值(即點D'到CD的距離)
解：(1)由勾股定理直接計算BD=
如圖所示，設EF=m，則AE=3m,DE=4m，故2+m=4m得m=，故BC=，CD=2m；
①易知點F(1,1)設二次函數解析式為，將(0,0)代入得a=-1,故二次函數的解析式為
②如圖，設光線恰好經過點B，與x軸交于點I，與拋物線交于點D,則易知BI的解析式為，與拋物線聯立得x1=,x2=(舍去)，此時y=，故上升的最小高度為
全真模擬練習
1.根據以下素材，探索完成任務
如何探測彈射飛機的軌道設計
素材1：圖1是某科技興趣小組的同學們制作出的一款彈射飛機，為驗證飛機的一些性能，通過測試收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離s與飛行時間t的函數關系式為：x=3t，飛行高度y(單位：m)隨飛機時間t(單位：s)的變化滿足二次函數關系，數據如表所示
飛行時間t/s 0 2 4 6 8 ...
飛行高度y/m 0 10 16 18 16 ...
素材2：圖2是興趣小組同學在室內操場的水平地面上設置一個高度可以變化的發射平臺PQ，當彈射口高度變化時，飛機飛行的軌跡可視為拋物線上下平移得到，線段AB為飛機回收區域，已知AP=42m，AB=(18-24)m,問題解決
任務1：確定函數表達式，求y關于t的函數表達式；
任務2：探究飛行距離，當飛機落地(高度為0m)時，求飛機飛行的水平距離；
任務3：確定彈射口高度，當飛機落到AB內(不包含端點A、B)，求發射臺彈射口高度(結果為整數)
2.利用素材解決：《橋梁的設計》
問題驅動 某地欲修建一座搭橋，橋的底邊兩端間的水平寬AB=L，稱跨度，橋面最高點到AB的距離CD=h稱拱高，拱橋的輪廓可以設計成是圓弧或拋物線型，若修建拱橋的距離L=32米，拱高h=8米.
設計方案 方案一 方案二
設計類型 圓弧型 拋物線型
任務一 設計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑 設計成拋物線型，以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分為y軸建立坐標系，求橋拱的函數表達式
任務二 如圖，一艘船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測得EF=6.1米,EH=16米，請你通過計算說明貨船能否分別順利通過這兩座橋梁.
3.根據以下素材，探究完成任務
設計求碗中面湯液面寬度的方案
素材1 圖1是一個瓷碗，圖2是其截面圖，碗體DEC呈拋物線狀(碗體厚度不計)碗高GF=7cm,碗底寬AB=3cm，當瓷碗中裝滿面湯時，液面寬CD=12cm，此時面湯最大深度EG=6cm.
素材2 如圖3，把瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當點A離MN距離為1.8cm時停止
任務1 確定碗體形狀 在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的表達式
任務2 擬定設計方案1 根據圖2位置，把碗中面湯喝掉一部分，當碗中液面高度(離桌面MN距離)為5cm時，求此時碗中液面寬度.
任務3 擬定設計方案2 如圖3，當碗停止傾斜時，求此時碗中液面寬度CH.
4.九年級某班級同學進行項目式學習<項目式學習報告>如下：
綠化帶灌溉車的操作探究
項目內容 項目素材 項目任務
【項目一】 明確灌溉方式 如圖 1，灌溉車沿著平行于綠化 帶底部邊線 I 的方向行駛，為 綠化帶澆水．噴水口 H 離地豎 直高度為h（單位：m ），灌溉 車到l 的距離OD長度為d（單 位：m ）． “博學小組”經過實際測量，建 立如下數學模型：如圖 2，可以 把灌溉車噴出水的上、下邊緣 抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到；把綠化帶橫截面抽象為矩形 DEFG，其水平寬度 DE 3m，豎直高度 EF 0.5m 噴水口離開地面高h 1.5米，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為2m ，高出噴水口 0.5m．
【任務一】結合圖象和數據，請你求出灌溉車的最大射程OC 的長度
【項目二】提倡有效灌溉 “篤志小組”實地調查發現：為了節約用水，進行有效灌溉，灌溉車在進行行業時，要保證噴出的水能澆灌到整個綠化帶(上邊緣拋物線不低于點F，點D不在下邊緣拋物線內)
【任務二】請你求出灌溉車有效灌溉時，灌溉車到綠化帶底邊緣的距離OD的取值范圍.
5.陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．如圖是從正面看到的一個“老碗”,其橫截面可以近似的看成是如圖(1)所示的以AB 為直徑的半圓 O，MN 為臺面截線，半圓 O 與 MN 相切于點 P，連結 OP 與 CD 相 交于點 E.水面截線 CD= 6cm，MN//CD，AB=12cm.
(1)如圖(1)求水深 EP；
(2)將圖(1)中的老碗先沿臺面 MN 向左作無滑動的滾動到如圖(2)的位置，使
得 A、C 重合，求此時最高點 B 和最低點 P 之間的距離 BP 的長；
(3)將碗從（2）中的位置開始向右邊滾動到圖(3)所示時停止，若此時∠BOP=75°，
求滾動過程中圓心 O 運動的路徑長.
6．某廠家特制了一批高腳杯，分為男士杯和女士杯（如圖1），相關信息如下：
素材 內容
素材1
如圖1，這種高腳杯從下往上分為三部分： 杯托，杯腳，杯體．杯托為一個圓，水平放置時候，杯腳經過杯托圓心，并垂直任意直徑，杯體的水平橫截面都為圓，這些圓的圓心都在杯腳所在直線上．
素材2
圖2坐標系中，特制男士杯可以看作由線段AB，OC，拋物線DCE（實線部分），線段DF，線段EG繞y軸旋轉形成的立體圖形（不考慮杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由線段AB，OC，拋物線FCG（虛線部分）繞y軸旋轉形成的立體圖形．
素材3 已知，圖2坐標系中，OC＝5cm，記為C（0，5），D（，），E（，），F（，15），G（，15）．
根據以上素材內容，嘗試求解以下問題：
（1）求拋物線DCE和拋物線FCG的解析式；
（2）當杯子水平放置及杯內液體靜止時，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度均為4cm，求兩者液體最上層表面圓面積之差；（結果保留π）
（3）當杯子水平放置及杯內液體靜止時，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度相等，兩者液體最上層表面圓面積相差4πcm2，求杯中液體的深度．
7．中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標系xOy．如果她從點A（3，10）起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數關系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平時訓練完成一次跳水動作時，全紅蟬的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下：
水平距離x/m 0 3 3.5 4 4.5
豎直高度y/m 10 10 k 10 6.25
根據上述數據，直接寫出k的值為 　 　，直接寫出滿足的函數關系式：　 　；
（2）比賽當天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y＝﹣5x2+40x﹣68，記她訓練的入水點的水平距離為d1；比賽當天入水點的水平距離為d2，則d1　 　d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達最高點B開始計時，若點B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時間t之間近似滿足y＝﹣5t2+c，如果全紅嬋在達到最高點后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的270C動作，請通過計算說明，她當天的比賽能否成功完成此動作？
8．【發現問題】
一天放學后，媽媽帶小麗到面館去吃牛肉面，愛思考的小麗仔細觀察盛面的碗，如圖1，她發現面碗的軸截面（不包含碗足部分）可以近似看成是拋物線的一部分．
【提出問題】
碗體（碗體的厚度忽略不計）上一點到碗底內部所在平面的距離y（cm）與這一點到碗的中軸線（面碗的上、下兩個底面圓的圓心所在直線）m的距離x（cm）之間有怎樣的函數關系？
【分析問題】
小麗從書包里拿出刻度尺、筆和本，向服務員借來一個空的面碗，把面碗正放在桌面上，對面碗進行了簡單的測量，并根據測量數據畫出面碗的軸截面，如圖2，面碗的上口徑AB＝24cm，碗底直徑CD＝EF＝6cm，面碗的邊沿上一點B到桌面EF的距離BG＝8cm，碗足高DF＝1cm．小麗又進一步建立以CD所在直線為x軸，以直線m為y軸的平面直角坐標系（如圖3），從而求出y與x的關系式．
【解決問題】
（1）請你幫助小麗求出y與x的關系式；
（2）小麗向空面碗中倒入一些水，當水面寬度為20cm時，求此時面碗中水的深度；
（3）小麗將（2）中面碗中的水傾倒至如圖4所示，水面剛好與BC重合，直接寫出此時面碗中水的最大深度．
9.根據以下素材，探索完成任務．
如何調整蔬菜大棚的結構？
素材1 我國的大棚（如圖1）種植技術已十分成熟，一塊土地上有一個蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE，FG，相關數據如圖2所示，其中DE＝BC，OF＝DF＝BD．
素材2 已知大棚有200根長為DE的支架和200根長為FG的支架，為增加棚內空間，擬將圖2中棚頂向上調整，支架總數不變，對應支架的長度變化如圖3所示，調整后C與E上升相同的高度，增加的支架單價為60元/米（接口忽略不計），現有改造經費32000元．
問題解決
任務1 確定大棚形狀 在圖2中以點O為原點，OA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，求拋物線的函數表達式．
任務2 嘗試改造方案 當CC′＝1米，只考慮經費情況下，請通過計算說明能否完成改造．
任務3 擬定最優方案 只考慮經費情況下，求出CC′的最大值．
10．根據以下素材，探索完成任務：
素材一 太陽光線與地面的夾角叫做太陽高度角．冬至是北半球各地白晝時間最短、黑夜最長的一天；夏至是北半球各地黑夜時間最短、白晝最長的一天．設冬至這天正午時刻太陽高度角為α，夏至這天正午時刻太陽高度角為β．
素材二 廠家設計了可伸縮拋物線型遮陽棚，其側面示意圖如圖1所示．曲線QM為遮陽棚，PQ為遮陽棚安裝在窗戶上方的支架，PQ⊥QM，線段QM的長度稱為遮陽棚的跨度．已知遮陽棚QM所在的拋物線與拋物線的形狀相同．
素材三 如圖2，AB為小明家的朝南窗戶，測得，∠β＝45°，窗戶AB的高度為1.5米．為能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內，在安裝遮陽棚時，需根據實際計算遮陽棚的跨度（QM的長）．
素材四 春節前期，小明想在遮陽棚頂部掛一盞高為0.3米的燈籠（如圖3）．如圖4，燈籠CD與窗戶的水平距離為m米，燈籠的底端（點D）與窗戶的上沿（點B）的鉛垂高度為n米，燈籠頂端（點C）與懸掛點（點N）的距離為d米．
解決問題
任務1 求小明家所需的遮陽棚的跨度QM．
任務2 當d＝0.16時，求m的值．
任務3 現要求0.6≤m≤1.5且0.1≤n≤0.2，求d的取值范圍．

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