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專題4 計數原理（二項式定理）

（22-23高二下·河南·期中）
1．有4名男生，4名女生，全排成一行，求下列情形的排法種數．
(1)甲、乙兩人必須排在兩端；
(2)男女相間．
（22-23高二下·江蘇揚州·期中）
2．用0 1 2 3四個數字組成沒有重復數字的自然數.
(1)其中三位數偶數有多少個？
(2)把這些數從小到大排成一個數列，1230是這個數列的第幾項？
（22-23高二下·河南鄭州·期中）
3．已知從左到右有5個空格.
(1)若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數，要求每個數都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法？
(2)若向這5個格子放入7個不同的小球，要求每個格子里都有球，問有多少種不同的放法？
（22-23高二下·安徽滁州·期中）
4．班級迎接元旦晚會有個唱歌節目、個相聲節目和個魔術節目，要求排出一個節目單．
(1)2個相聲節目要排在一起，有多少種排法？
(2)相聲節目不排在第一個節目、魔術節目不排在最后一個節目，有多少種排法？
(3)現在臨時增加個魔術節目，要求重新編排節目單，要求個相聲節目不相鄰且個魔術節目也不相鄰，有多少種排法？
（23-24高二上·陜西漢中·期中）
5．電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴酷環境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰第一階段戰役的勝利，著名的“松骨峰戰斗”在該電影中就有場景.現有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？
（22-23高二下·浙江溫州·期中）
6．生命在于運動，小鑫給自己制定了周一到周六的運動計劃，這六天每天安排一項運動，其中有兩天練習瑜伽，另外四天的運動項目互不相同，且運動項目為跑步、爬山、打羽毛球和游泳，請思考并完成下列問題（結果用數值表示）：
(1)若瑜伽被安排在周一和周六，共有多少種不同的安排方法？
(2)若周二和周五至少有一天安排練習瑜伽，共有多少種不同的安排方法？
(3)若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，共有多少種不同的安排方法？
（22-23高二下·安徽安慶·期中）
7．6位同學報名參加2022年杭州亞運會4個不同的項目（記為）的志愿者活動，每位同學恰報1個項目.
(1)6位同學站成一排拍照，如果甲乙兩位同學必須相鄰，丙丁兩位同學不相鄰，求不同的排隊方式有多少種？
(2)若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？
(3)若每個項目只招一名志愿者，且同學甲不參加項目，同學乙不參加項目，求一共有多少種不同錄用方式？
（22-23高二下·上海閔行·期中）
8．12月31日是某校藝術節總匯演之日，當天會進行隆重的文藝演出，已知高一，高二，高三分別選送了4，3，2個節目，現回答以下問題：（用排列組合數列式，并計算出結果）
(1)為了活躍氣氛，學校會把20個熒光手環發給臺下的12名家長代表，每位家長至少一根，共計有多少種分配方案；
(2)若高一的節目彼此都不相鄰，高三的節目必須相鄰，共計有多少種出場順序；
(3)演出結束后，學校安排甲、乙等9位志愿者打掃A，B，C三個區域的衛生，每個區域至少需要2名志愿者，則共有多少種安排方式？甲、乙打掃同一個區域的概率是多少？
（22-23高二下·陜西安康·期中）
9．甲 乙 丙 丁四名同學去某社區做志愿者工作，現將他們隨機安排到A，B，C三個崗位中，每個崗位至少安排一人.
(1)求共有多少種安排方法；
(2)求甲乙被安排在同一崗位的概率.
（22-23高二下·河北滄州·期中）
10．立德小學的課外活動室里有一些“塑料珠子”和“紙盒”．王寧同學正在玩珠子投紙盒的游戲，將5個不同的塑料珠子投入編號為1，2，3，4，5的5個紙盒中，試問：
(1)一共有多少種不同的投法？
(2)恰有1個空盒的投法共有多少種？
（22-23高二下·新疆烏魯木齊·期中）
11．男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名.現選派 5人外出參加比賽.
(1)隊長中至少有1人參加，有多少種選派方法
(2)參賽的運動員需要分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運動員)，有多少種安排方式
（22-23高二下·山東濟南·期中）
12．為慶祝黨的二十大勝利閉幕，某校高二級部組織全體同學進行了主題為“二十大精神進校園，培根鑄魂育新人”的二十大知識競賽，并選出了4名女生和3名男生共7名優勝者．賽后，7名同學站成一排，照相留念．
(1)女生必須站在一起的站隊方式有多少種？
(2)男生甲不與其他男生相鄰的站隊方式有多少種？
(3)現在要求這7名同學分成三個宣講小組分別去給高一、高二、高三三個年級的同學做二十大學習成果匯報，要求每個小組必須既有男生又有女生，問有多少種安排方案？
（22-23高二下·新疆烏魯木齊·期中）
13．在 的展開式中，第3項的二項式系數是第2項的二項式系數的4倍.
(1)求n的值.
(2)求 的展開式中的常數項.
(3)求展開式中所有系數的和.
（22-23高二下·上海長寧·期末）
14．已知的二項展開式中，二項式系數之和為64.
(1)求n的值；
(2)求的展開式中的常數項.
（22-23高二下·江西宜春·期末）
15．根據條件，分別求解：
(1)求展開式中的系數；
(2)求值：.
（23-24高二上·上海松江·期末）
16．已知.
(1)求的值；
(2)設，求被6除的余數.
（22-23高二下·江蘇南通·期中）
17．設，求：
(1)；
(2).
18．設．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
（22-23高二下·山東泰安·期末）
19．已知二項式N的展開式中，第2項與第3項二項式系數之和比第4項二項式系數大1．
(1)求展開式中含的項；
(2)求的值．
（23-24高二上·福建莆田·期末）
20．在①只有第6項的二項式系數最大；②第4項與第8項的二項式系數相等；③所有二項式系數的和為，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題．
已知（），若的展開式中，______.
(1)求n的值；
(2)求的系數；
(3)求的值．
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．
（22-23高二下·四川雅安·期中）
21．請用二項式定理解決下列問題，寫出必要的過程：
(1)求除以100的余數；
(2)證明：（，且）．
（22-23高二下·山東煙臺·期中）
22．（1）證明：能被整除；
（2）求的近似值（精確到0.001）.
（22-23高二下·江西宜春·期中）
23．已知.
（1）若，求；
（2）若，求除以9的余數；
（22-23高二下·河北·期中）
24．（1）用組合數公式證明：
（2）證明：.
（3）證明：.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）先排甲、乙，再排其余6人，根據分步乘法計數原理，即可求得答案；
（2）先排男生，再將女生插空，即可求得答案.
【詳解】（1）先排甲、乙，有種排法，再排其余6人，所以共有（種）排法.
（2）先排4名男生有種方法，男生之間包括兩端共有5個空，
由于要男女相間，故再將4名女生插空，空出男生最左側或最右側的位置，
有種方法，故共有（種）排法.
2．(1)10個
(2)第35項.
【分析】（1）把偶數分為兩類個位是0和個位是2，然后再看十位、百位.
（2）分析一位數的自然數、兩位數的自然數、三位數的自然數以及四位數中比1230小的數，由此可知1230前的項數，進而可知1230是第幾項.
【詳解】（1）三位數是偶數有個位是0和個位是2兩種情況，
其中個位是0有種；個位是2有種.
所以三位數偶數共有個.
（2）1位自然數有個；2位自然數有個；
3位自然數有個；
4位自然數中小于1230的有1023，1032，1203共3個；
所以1230是此數列的第項.
3．(1)96
(2)16800
【分析】（1）由題意可知先將數字0排好，再將其余4個數字全排列，根據分步乘法計數原理即可求得結果；
（2）先將7個不同的小球分成5組，再按照分組分配問題進行計算即可.
【詳解】（1）根據題意，分2步進行分析：
①第三個格子不能填0，則0有4種選法；
②將其余的4個數字全排列，安排在其他四個格子中，有種情況，
則一共有種不同的填法；
（2）根據題意，分2步進行分析：
①、將7個小球分成5組，有2種分法：
若分成2－2－1－1－1的5組，有種分法，
若分成3－1－1－1－1的5組，有種分組方法，
則有（）種分組方法，
②、將分好的5組全排列，對應5個空格，有種情況，
則一共有種放法.
4．(1)種
(2)種
(3)種
【分析】（1）根據捆綁法即可得到答案；
（2）利用全排列公式減去不符合題意的情況即可；
（3）利用全排列公式減去不符合題意的情況即可.
【詳解】（1）將個相聲節目捆綁在一起，看成個節目，與其余個節目一起排，
則共有種不同排法；
（2）若相聲節目排在第一個節目，則有種不同排法，
若魔術節目排在最后一個節目，則有種不同排法，
若相聲節目排在第一個節目，并且魔術節目排在最后一個節目，則有種不同排法，
則相聲節目不排在第一個節目、魔術節目不排在最后一個節目，
可以用個節目的全排列減去相聲節目排在第一個節目的排列數和魔術節目排在最后一個節目的排列數，
再加上相聲節目排在第一個節目并且魔術節目排在最后一個節目的排列數，
所以共有種不同排法；
（3）若個相聲節目相鄰，則有種不同排法，
若個魔術節目相鄰，也有種不同排法，
若個相聲節目相鄰，并且個魔術節目也相鄰，則有種不同排法，
則個相聲節目不相鄰且個魔術節目也不相鄰，可由個節目的全排列減去個相聲節目相鄰的排列數和個魔術節目相鄰的排列數，
再加上個相聲節目相鄰并且個魔術節目也相鄰的排列數，
所以共有種不同排法．
5．(1)576
(2)144
(3)960
【分析】（1）由捆綁法即可得到結果；
（2）由插空法即可得到結果；
（3）結合捆綁法與插空法代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）先將4名女生排在一起，有種排法，
將排好的女生視為一個整體，再與3名男生進行排列，共有種排法，
由分步乘法計數原理，共有種排法；
（2）先將3名男生排好，共有種排法，
在這3名男生中間以及兩邊的4個空位中插入4名女生，共有種排法，
再由分步乘法計數原理，共有種排法；
（3）先將甲乙丙以外的其余4人排好，共有種排法，
由于甲乙相鄰，則有種排法，
最后將排好的甲乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空隙中，
共有種排法，
由分步計數原理，共有種排法.
6．(1)種
(2)種
(3)種
【分析】（1）瑜伽被安排在周一和周六,安排剩下的四種運動項目即可；
（2）分2種情況討論周二和周五都安排瑜伽,周二和周五中有1天安排瑜伽可求解;
（3）先排其他四項運動，再插空可求解.
【詳解】（1）若瑜伽被安排在周一和周六，安排剩下的四種運動項目則共有種不同的安排方法.
（2）根據題意，分2種情況討論：
若周二和周五都安排瑜伽，有種安排方法，
若周二和周五中有1天安排瑜伽，有種安排方法，
則有種安排.
（3）若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則先排其他四項運動，共有種不同的安排方法，再從5個空位里插入2個安排練習瑜伽，故共有種不同的安排方法.
7．(1)144
(2)1560
(3)252
【分析】（1）利用捆綁法和插空法進行排列計算即可得共有144種；
（2）先將6位同學分成4組，再根據題意進行排列計算即可得出結果；
（3）先計算出所有的錄用方式，再減去不符合題意的方式即可得出答案.
【詳解】（1）根據題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進行排列，再把丙丁插空進行排列，
所以共有.
（2）先分為4組，則按人數可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；
再分到4個項目，即可得共有；
（3）先考慮全部，則共有種排列方式，
其中甲參加項目共有種，同學乙參加項目共有種；
甲參加項目同時乙參加項目共有種，
根據題意減去不滿足題意的情況共有種.
8．(1)
(2)
(3)11508，
【分析】（1）由題意根據隔板法求解；
（2）根據相鄰與不相鄰問題可用捆綁法與插空法求解；
（3）分別按分類求解，再按不同分組求出甲乙在一組的種數，由古典概型求解.
【詳解】（1）利用隔板法：.
（2）根據捆綁、插空：高三2個節目視作1個節目，與高二3個節目全排列，
再把高一的4個節目插入所成的5個空中的4個，所以共有 .
（3）①.若按2，2，5分組，則有：種，
②.若按2，3，4分組，則有：種，
③.若按3，3，3分組，則有：種，
故共有種安排方式.
若按2，2，5分組，甲、乙在同一組的安排方式有種，
若按2，3，4分組，甲、乙在同一組的安排方式有 種，
若按3，3，3分組，甲、乙在同一組的安排方式有=420種，
故甲、乙在同一組的概率為.
9．(1)36
(2)
【分析】（1）根據題意，先分組再分配，然后代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，由古典概型的概率計算公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）由題意一個崗位安排了2名志愿者，另外兩個崗位各安排了1名志愿者，所以共有種安排方法
（2）第一步安排甲乙，有種，第二步安排丙丁兩人有種，
則共有種，
則甲乙被安排在同一崗位的概率.
10．(1)3125
(2)1200
【分析】（1）每個塑料珠子都有5種投法，根據分步乘法計數原理即可得出答案；
（2）先選出2個小球，與剩余的3個看作4組，投入4個盒子中，計算每步的結果，根據分步乘法計數原理即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，每個塑料珠子都有5種投法，
根據分步乘法計數原理可知，5個不同的塑料珠子的投法有種.
（2）恰有1個空盒，表示5個塑料珠子投入了4個盒子，這4個盒子里面有1個盒子里面有2個珠子，剩余3個盒子里面只有1個珠子.
第一步：從5個小球中選出2個，選法種數為；
第二步：將選出的2個小球與剩余的3個小球看為4組，分別投入5個空盒中4個中，不同的投放方法為.
根據分步乘法計數原理可得，恰有1個空盒的投法種數為.
11．(1)196
(2)7560
【分析】（1）求出隨機選擇和沒有隊長的情況，即可求出隊長中至少有1人參加時選派方法的數量；
（2）求出隨機選擇人數，人隨機坐和人坐同一個車中的情況，即可求出運動員分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運動員)時安排方式的數量.
【詳解】（1）由題意，
男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名.選派 5人，
若沒有隊長，則有種選派方法，
若隨機選擇，則有種選派方法，
∴隊長中至少有1人參加，有種方法.
（2）由題意，
男運動員6名，女運動員4名，選派 5人外出參加比賽，分坐在兩輛車，
∴選擇的人是隨機的，有種情況，
若人坐同一個車中，有種情況，
若人隨機坐，有種情況，
∴從人中選5人，且坐在輛不同的車中，有種情況.
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用捆綁法，女生看成整體與男生排列，再考慮女生內部排列；
（2）男生甲不與其他男生相鄰，則相鄰的只能是女生，分甲站在兩端和甲不站兩端兩種情況討論，選出女生與甲看作整體，與剩下的人排列即可；
（3）分別將男生女生分分給三個年級，由此求解即可.
【詳解】（1）女生必須站在一起，利用捆綁法，
先將四個女生看成一個整體，再與其他三個男生排列，
則有種站隊方式；
（2）若甲站在兩端，則甲有種站法，
再選一名女生與甲相鄰，有種選法，
再將把其他人排列，有排法，
則甲站在兩端有種，
若甲不站兩端，則可先在甲兩邊分別安排一名女生，有種選法，
再將這三個人看成一個整體與其他人排列，有種排法，
則甲不站兩端有種，
所以男生甲不與其他男生相鄰的站隊方式有種；
（3）先選名女生分到三個年級，有種，
再將個男生分到三個年級，有種，
所以共有種.
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據二項式系數的關系求得.
（2）根據二項式展開式的通項公式求得常數項.
（3）令求得所有系數的和.
【詳解】（1）依題意，第3項的二項式系數是第2項的二項式系數的4倍，
即，解得.
（2）二項式展開式的通項公式為，
令，解得，
故常數項為.
（3）由令得，
即展開式中所有系數的和為.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）由二項式系數和有，即可求n；
（2）由（1）寫出的展開式通項，進而確定原多項式的常數項即可.
【詳解】（1）由題設，故.
（2）由（1）知：，而的展開式通項為，
所以常數項為.
15．(1)
(2)
【分析】(1)將化為,利用二項展開式的通項公式,即可求得答案;
（2）根據組合數的性質以及排列數的計算，化簡，可得答案.
【詳解】（1）因為，
設,
令,得,
故展開式中的系數為.
（2）.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）由，結合二項式定理寫出通項公式求；
（2）由題設，結合二項式定理得，即可確定余數.
【詳解】（1）由題設，則展開式通項為，，
所以.
（2）由題設，
而
，
所以，
顯然，除外，其它項均可被6整除，又，
所以被6除的余數為.
17．(1)5670
(2)16777216
【分析】（1）由二項式公式展開對比即可求解；（2）結合平方差公式并利用函數觀點即可求解.
【詳解】（1）由二項式公式得，對比，
即得.
（2）設，
因為，
所以=16777216.
18．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）賦值即可得解；
（2）賦值，結合（1）即可得解；
（3）賦值，結合（2）即可得解.
【詳解】（1）代入可得：；
（2）代入可得：
，所以：
；
（3）代入可得：
，又，、
兩式相減可得：，
所以.
【點睛】本題考查了二項展開式中項的系數和項的系數和，主要方法是賦值法，屬于基礎題.
19．(1)
(2)1365
【分析】（1）先根據已知條件求出值，在利用二項展開式的通項公式求含的項；
（2）利用賦值法求解.
【詳解】（1）由題意得，整理得，
∵且 ∴
二項式的展開式的通項為
令，解得， ∴展開式中含的項為
（2）
令，則
∴.
20．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）選擇條件①，②，③，利用二項式系數的性質求出.
（2）由（1）的結論，結合二項式定理求出.
（3）由（1）的結論，利用賦值法求出所求式子的值.
【詳解】（1）選擇條件①，只有第6項的二項式系數最大，則的展開式共11項，即，
所以.
選擇條件②，第4項與第8項的二項式系數相等，則，解得，
所以.
選擇條件③，所有二項式系數的和為，則，解得，
所以.
（2）由（1）知，的展開式中項為：，
所以.
（3）由（1）知，的展開式中，當時，，
當時，，
所以.
21．(1)1
(2)證明見解析
【分析】（1）利用二項展開式得到被100除余數為，再將寫成，展開后被100除即得余數為1；
（2）先考慮的展開式，利用放縮法得到，從而得到結論.
【詳解】（1），
由展開式可知，前100項都能被100整除，最后一項是，
而
其展開式的前100項都能被100整除，最后一項是，
所以除以100的余數是1；
（2）因為
，
即，故，即原不等式成立．
22．（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）利用二項式展開式證明即可；
（2）構造二項式展開式進行求解即可.
【詳解】（1）證明：因為
所以能被整除；
（2）
23．（1）192；（2）1.
【分析】（1）若，則，，兩式相加整理結合二項式系數的和即可得解；
（2）若，則，展開分析即可得出答案.
【詳解】解：（1）因為，所以①
同時，②，
①②兩式相加得：
所以；
（2）因為，所以
因為都能被9整除，所以1除以9的余數就是除以9的余數，
故除以9的余數為1.
24．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析
【分析】（1）利用組合的階乘公式，分別化簡左、右邊，即可得證；（2）公式法：利用公式和，即可證明；（3）利用二項式定理將展開，結合放縮法證明不等式即可.
【詳解】（1）左邊，
右邊，
所以；
（2）利用公式，
則
，
∴．
（3）
.
【點睛】本題考查組合數公式的證明與應用，二項式定理的應用，涉及等式、不等式的證明；注意觀察原等式或不等式的形式，結合二項式定理，屬于難題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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