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專題3 空間向量線性運算
（22-23高二下·江蘇連云港·期中）
1．平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱，且，為中點，為中點，設，，；

(1)用向量，，表示向量；
(2)求線段的長度．
（22-23高二下·江蘇泰州·期中）
2．已知在正三棱錐P－ABC中，點M，N分別是線段AB，PC的中點，記，，．

(1)分別用，，來表示向量，；
(2)若，，兩兩垂直，求直線PM與BN所成角的余弦值．
（22-23高二上·江蘇無錫·期中）
3．1.如圖，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，，
(1)若，，，求；
(2)試用向量，，表示．
（22-23高二·江蘇泰州·期末）
4．如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點，G在AE上，且．
試用向量，，表示向量；
若，，，，求的值．
（23-24高二下·江蘇揚州·期中）
5．已知空間三點、、.
(1)若向量與平行，且，求的坐標；
(2)求以、為鄰邊的平行四邊形的面積．
（22-23高二下·江蘇泰州·階段練習）
6．已知點，，，設，．
(1)求，夾角的余弦值．
(2)若向量，垂直，求的值．
(3)若向量，平行，求的值．
（22-23高二下·江蘇連云港·期中）
7．如圖，在多面體中，，，都是邊長為2的等邊三角形，平面平面，平面平面．

(1)判斷，，，四點是否共面，并說明理由；
(2)在中，試在邊的中線上確定一點，使得平面．
（23-24高二下·江蘇南京·期中）
8．如圖，四面體中，．

(1)求證：平面平面；
(2)若，
①若直線與平面所成角為30°，求的值；
②若平面為垂足，直線與平面的交點為．當三棱錐體積最大時，求的值．
（22-23高二下·江蘇揚州·期中）
9．如圖，在四面體中，，，.

(1)求的值；
(2)已知是線段中點，點滿足，求線段的長.
（22-23高二下·江蘇泰州·期中）
10．如圖：已知四棱柱的底面ABCD是菱形，=，且.
（1）試用表示，并求；
（2）求證：；
（3）試判斷直線與平面是否垂直，若垂直，給出證明；若不垂直，請說明理由．
（22-23高三上·江蘇泰州·期末）
11．在三棱錐中，平面平面，為正三角形， ，，
（1）求與所成角的余弦值；
（2）在平面中求一點，使得平面．
（22-23高三上·江蘇南京·期末）
12．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，.
(1)求四面體ACB1D1體積的最大值；
(2)若二面角B-AC-D1的正弦值為，求ABCD-A1B1C1D1的體積.
（23-24高二上·江蘇南通·期末）
13．如圖，在正四棱柱中，，，、分別為和的中點.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）
14．在直三棱柱中，，，.
(1)求直線與所成角的余弦值；
(2)設點平面,⊥平面，求線段的長度.
（23-24高三上·江蘇常州·期中）
15．已知三棱柱，，，為線段上的點，且滿足．

(1)求證：平面；
(2)求證：；
(3)設平面平面，已知二面角的正弦值為，求的值．
（22-23高二上·江蘇蘇州·期末）
16．如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是線段的中點．
(1)求證：平面；
(2)若，求二面角的大小；
(3)若線段上總存在一點P，使得，求t的最大值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根據空間向量基本定理利用向量的加減法法則求解即可，
（2）先根據題意可得，，，然后對平方化簡可求得結果.
【詳解】（1）因為為中點，為中點， ，，，
所以
；
（2）因為平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱，且，
所以，，，
所以
所以，即線段PM長為
2．(1)，
(2)
【分析】（1）利用空間向量的加法和數乘計算即可；
（2）利用空間向量數量積的公式計算即可.
【詳解】（1），
（2）

因為，，兩兩垂直，所以，
又因為，同理，
所以，
記直線PM與BN所成角為，則有，
所以直線PM與BN所成角的余弦值為.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用及空間向量的數量積運算法則進行計算；（2）結合題干中的數量關系，把用向量，，的線性關系表達出來.
【詳解】（1）由題意得：，因為，，，所以
（2）因為是四面體的棱的中點，所以，因為，所以，又因為，所以
4．（1）；（2）.
【分析】又，由此即可求出結果；
（2）利用，和數量及的定義，代入得結果．
【詳解】解：又
由問知
．
【點睛】本題考查空間向量的基本定理，和空間向量的數量積的運算公式及空間向量基本定理的應用．
5．(1)或.
(2).
【分析】（1）由已知可設，其中，利用向量的模長公式求出的值，即可求出向量的坐標；
（2）利用空間向量的數量積公式求出的值，然后利用三角形的面積公式求得以、為鄰邊的平行四邊形的面積
【詳解】（1）由已知可得，
因為向量與平行，設，其中，
則，解得.
所以，或.
（2）由題可得：，，
所以，因為，則，
所以，以、為鄰邊的平行四邊形的面積為.
6．(1)
(2)或.
(3)
【分析】（1）利用夾角公式可求夾角的余弦值.
（2）利用向量垂直的坐標形式可求參數的值.
（3）利用共線向量定理可求參數的值.
【詳解】（1），，
故.
（2）由（1）可得
，，
因為向量，垂直，故，
整理得到：，故或.
（3）由（1）可得不共線，故，均不為零向量，
若向量，平行，則存在非零常數，使得，
整理得到：，
因為不共線，故，故或，
故.
7．(1)，，，四點共面，理由見解析
(2)為中點
【分析】（1）取的中點，取的中點，連接，以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，設，由，求得，得到向量，得出，即可得到，，，四點共面；
（2）設，得到，根據平面，列出方程，求得，即可求解.
【詳解】（1）答案：四點共面.
證明：取的中點，連接，，取的中點，連接，
則在等邊三角形中，，
又因為平面平面，所以平面，
同理，得平面，平面，
所以，，兩兩垂直，且，
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立的空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，，
設，由，即，
解得，，，所以，所以，
又由，，所以，
所以，，共面，
因為為公共點，所以，，，四點共面.
（2）解：設，故，
若平面，則，即，解得，
所以為中點時，平面．

8．(1)見解析
(2)①；②
【分析】（1）由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明即可；
（2）①因為兩兩相互垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，求出直線的方向向量和平面的法向量，由線面角公式求解即可得出答案；②由題意可知，在上，由此可得所以，表示出三棱錐體積，由二次函數的性質求出三棱錐體積的最大值，即可知分別為，的中點，再由空間共面定理可得出的值.
【詳解】（1）取的中點，連接，
因為，則，
所以，所以，所以，
又因為所以，
則，又因為，
所以，又因為，
平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面；
（2）①因為兩兩相互垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，
所以，
設，因為，
所以由可得：，
所以，
，
設平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
因為直線與平面所成角為30°，
所以
則，化簡可得：，
解得：或（舍去）.
②由（1）知，平面，又平面
所以，在上，
因為，所以，
，所以，
即，所以，
所以，
三棱錐體積為：
，
因為，當時，三棱錐體積最大為，
此時分別為，的中點，所以，
設，設，
因為，
所以，所以，
因為在平面上，所以設，
所以，
所以，解得：，
所以，所以.

【點睛】關鍵點睛：本題第二問②的關鍵點在于且在上，由此可得所以，表示出三棱錐體積，由二次函數的性質求出三棱錐體積的最大值，即可知分別為，的中點，再由空間共面定理可得出的值.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意得到，再求解即可.
（2）根據，再平方求解即可.
【詳解】（1）在四面體中，，，
.
（2）如圖所示：

因為，則，
因為F是CD中點，則，
于是.
，
所以.
10．（1）；（2）證明見解析；（3）平面.
【分析】（1）利用向量線性運算的幾何意義，通過計算得出；
（2）通過計算，可得；
（3）通過計算數量積證明，從而可得直線平面.
【詳解】解：（1），
，
；
（2） =，
，
；
（3） =，
，，同理可證，
平面，平面，，
.
11．（1）；（2）
【分析】（1）取的中點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，通過計算，即可求解與所成角的余弦值.
（2）設，則，根據，列出方程求得的值，從而得到的坐標.
【詳解】（1）如圖所示，取的中點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，
，，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值
（2）由（1）可得，，
設，
故，
因為平面，且平面，
所以，則 ，解得，
所以，所以.
12．(1)；
(2)2.
【分析】（1）根據數量積和余弦定理得到，即，然后根據得到，最后利用不等式求四面體體積的最大值即可；
（2）根據二面角的定義得到為二面角的平面角，然后根據二面角的正弦值為列方程得到，，最后求體積即可.
【詳解】（1）
設，，，
且，
由余弦定理得：，則，
又，所以，
且，當且僅當時等號成立，
即四面體體積的最大值為；
（2）
過點作的垂線，垂足為，連接，
因為平面，平面，
所以，且，
又，平面，
所以平面，且平面，
所以，即為二面角的平面角，
記二面角的平面角為，
則二面角的平面角為，
所以，
則，且，所以，
且，
所以的體積為2.
13．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算得出，即可證得結論成立；
（2）計算出平面的一個法向量，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）證明：在正四棱柱中，以點為坐標原點，
、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
因為，，則、、、，
所以，.
因為，所以，即.
（2）解：由，得，設平面的法向量，
則，令，得，，即.
設直線與平面所成角的大小為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
14．(1)
(2)
【分析】（1）以點為原點，建立空間直角坐標系，求得,結合向量的夾角公式，即可求解；
（2）設點的坐標為，得到，求得平面的一個法向量為，得到，求得的值，結合向量的模的計算公式，即可求解.
【詳解】（1）解：由直三棱柱，可得平面，
因為平面，所以,
又因為，以點為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
由，可得，
所以,
設異面直線與所成角為，
可得，
所以直線與所成角的余弦值為.
（2）解：由（1）中的空間直角坐標系，可得，
因為點點平面,設點的坐標為，可得，
又由，
設平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
要使得⊥平面，則滿足，即，
解得，所以，
則，
即線段的長度為.
【點睛】
15．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)或
【分析】（1）作輔助線，先證明四邊形為平行四邊形，得線線平行，再由線面平行判定定理可證；
（2）以為一組基底，先利用基底表達向量，再向量平方利用數量積求模，求得，由勾股定理計算可證垂直；
（3）先證明兩兩垂直，再建立空間直角坐標系，利用法向量求解二面角余弦值，即可根據題意建立等量關系求參數.
【詳解】（1）過分別作交于點交于點，
，
且，
，
∴四邊形為平行四邊形，，
平面．平面．
平面．
（2），
，
，，．
（3）取中點，連接
為等邊三角形且，則．
在中，，
由，
在中，為中點，，，
.
如圖，分別以為軸建立空間直角坐標系．

．
即，
，設，
則，即，
故，
又，同理可得，
，
設平面的一個法向量，
而平面的一個法向量，
設二面角的的平面角為，則，
則，
化簡得，
解得或.
16．(1)證明見解析；
(2)；
(3)的最大值為.
【分析】（1）法一：設，連結，，先證為平行四邊形，得到，再由線面平行的判定證結論；法二：證面，構建空間直角坐標系，應用向量法證線面平行；
（2）應用向量法求二面角的大小即可；
（3）設，其中，進而得到，再結合向量垂直的坐標表示列方程得，最后求t的最大值．
【詳解】（1）法一：設，連結，，
矩形中是線段的中點，是線段的中點，
所以，，所以為平行四邊形，故，
又平面，平面，所以平面；
法二：由題意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，
面面，，面，所以面，
以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
因為，，是線段的中點，
則，，，，，，
從而，，，，
設面的法向量為，則由，可知，
令，則，，從而面的一個法向量為，
則，又平面，所以，從而面.
（2）若，則，，面的一個法向量為，
設面的法向量為，則，可知，
令，則，，從而面的一個法向量為，
設二面角的平面角為，因為為銳角，所以，
所以二面角的大小為.
（3）因為點在線段上，而，
設，其中，則，從而，
于是，而，
由知，即，
所以，解得，故的最大值為.
【點睛】關鍵點點睛：第三問，設，其中，根據向量的坐標表示得到，，再由垂直關系列方程得到參數關系為關鍵.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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