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專題4 空間向量的應(yīng)用
（22-23高二下·江蘇·期中）
1．如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面.
（23-24高二上·江蘇無錫·期中）
2．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，解答以下問題：

(1)證明：直線平面；
(2)求直線與平面所成角的余弦值.
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
（22-23高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）
3．如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分別為CC1，BC，AB，的中點(diǎn)．
(1)求證：PN∥面ACC1A1；
(2)求平面PMN與平面ACC1A1所成銳二面角的余弦值．
（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·期末）
4．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面平面分別為的中點(diǎn)，且.
(1)求證：；
(2)求二面角的余弦值.
（23-24高二下·江蘇南京·期中）
5．如圖，在正四棱錐中，底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，為中點(diǎn)．求：
(1)與平面所成角的正弦值；
(2)點(diǎn)到平面的距離．
（23-24高三上·江蘇蘇州·期中）
6．如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，．
(1)求平面與平面所成二面角的余弦值；
(2)若點(diǎn)Q滿足，當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時(shí)，求的值．
（23-24高三上·江蘇常州·期末）
7．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且平面，．
(1)求證：平面；
(2)求平面和平面所成的二面角的正弦值．
（23-24高二上·江蘇無錫·期中）
8．在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，是棱上一點(diǎn).
(1)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求點(diǎn)的位置.
（23-24高二上·江蘇無錫·期中）
9．在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為棱上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
(1)求證：點(diǎn)，，，共面；
(2)求點(diǎn)到的距離.
（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）
10．在四棱錐中，底面為正方形， ，平面，分別為的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)．
(1)求到平面的距離；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
（23-24高二上·江蘇南通·期中）
11．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．
(1)當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；
(2)當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，求的值．
（22-23高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）
12．如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是線段的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為.
(1)求證：平面；
(2)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；
(3)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.
（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）
13．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，為正三角形，平面平面，為線段的中點(diǎn)，是線段（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)記平面交于點(diǎn)，求證：平面；
(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的正弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（22-23高二下·江蘇連云港·期中）
14．如圖在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為的中點(diǎn)．

(1)求二面角的正弦值；
(2)線段上是否存在，使得它到平面的距離為 若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
（22-23高二下·江蘇連云港·期中）
15．如圖1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分別為邊MB，MC的中點(diǎn)，且BC＝AM＝2，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如圖2，連結(jié)PB，PC．
(1)若E為PC的中點(diǎn)，求異面直線DE與PB所成的角大小；
(2)線段PC上一動(dòng)點(diǎn)G滿足，判斷是否存在，使得二面角G－AD－P的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（22-23高二下·江蘇蘇州·期末）
16．已知直角梯形中，，，，，，為的中點(diǎn)，，如圖，將四邊形沿向上翻折，使得平面平面.

(1)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面？
(2)求二面角的余弦值.
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）依題意可以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量共面定理可證明共面，即可證明平面；
（2）由空間向量數(shù)量積為零可證明，，再由線面垂直的判定定理即可證明平面.
【詳解】（1）根據(jù)題意可知平面平面，
平面平面，
又是正方形，所以，平面，

所以平面，從而可得，，兩兩垂直；
以D為原點(diǎn)，分別以，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，
又為的中點(diǎn)，所以，
則，
所以，故共面．
又平面，所以平面；
（2）
易知，所以；
又，可得；
又，平面，
所以平面.
2．(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.
（2）由（1）結(jié)論，利用線面角的向量求法求解即得.
（3）由（1）結(jié)論，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法求解即得.
【詳解】（1）在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，則兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
得，
即，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，
則，平面，所以直線平面.
（2）由（1）知，，且平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的余弦值為
（3）由（1）知，，且平面的一個(gè)法向量為，
所以點(diǎn)到平面的距離.
3．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）可以利用空間向量證明：因?yàn)橄蛄繛槠矫娴囊粋€(gè)法向量，證明即可；也可以利用面面平行的性質(zhì)：先證平面，平面，可得平面平面，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）利用空間向量，根據(jù)面面夾角的定義結(jié)合空間向量得，運(yùn)算求解．
【詳解】（1）解法一：
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB AC 所在直線分別為x y z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，．
取向量為平面的一個(gè)法向量，，
∴，
∴．
又∵平面，
∴平面．
解法二：
∵P，D分別為，的中點(diǎn)，
∴，且平面，平面，
∴平面，
∵D，N分別為，BC的中點(diǎn)，
∴，且平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
又∵平面PDN，
∴平面．
（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB AC 所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，．
∴，，
取向量為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面PMN的法向量為，
則，即，
令，則，，則，
∴，
∴平面PMN與平面所成銳二面角的余弦值為．
4．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）法一：連結(jié)，由題設(shè)及線面垂直的判定和性質(zhì)得，應(yīng)用勾股定理得，最后利用線面垂直的判定和性質(zhì)證結(jié)論；法二：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，向量法證明線線垂直；
（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求二面角余弦值.
【詳解】（1）方法一：連結(jié).
因?yàn)闉榈冗吶切危堑闹悬c(diǎn)，所以.
又面面，面面面，所以面.
因?yàn)槊妫?
在Rt中，所以，
在中，所以，即，則.
又，所以，
又面，
所以面，又面，所以，
方法二：連結(jié)因?yàn)闉榈冗吶切危堑闹悬c(diǎn)，所以.
又面面，面面面，所以面.
如圖，在平面內(nèi)作，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.

設(shè)，則.
因?yàn)椋寓伲?br/>因?yàn)椋寓冢?br/>由①②，解得：（舍負(fù)）.
所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，
所以，所以.
（2）由（1）知，平面，又平面，
所以，又，
以為原點(diǎn)，所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則.
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
由（1）知，又，面，所以面，
所以為平面的一個(gè)法向量.
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，
因?yàn)椋?br/>取，則，則為平面的一個(gè)法向量.
所以，
由圖知二面角的平面角為鈍角，余弦值為.
5．(1)
(2)
【分析】（1）由題意可知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解決即可；
（2）利用向量法求解即可.
【詳解】（1）由題意可知兩兩垂直，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
所以，
所以與平面所成角的正弦值為；
（2），
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
則點(diǎn)到平面的距離為．
6．(1)
(2)
【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)兩平面的法向量求所成角的余弦值即可；
（2）結(jié)合（1）中的空間直角坐標(biāo)系，先求出，再利用直線與直線所成角的向量求法求得，平方后再根據(jù)配方即可求得其最大值，進(jìn)而即可求出的值．
【詳解】（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，
由平面，且平面，則，
又，則，
又平面，則平面，
所以是平面的一個(gè)法向量，且，
因?yàn)椋?br/>設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，，
所以是平面的一個(gè)法向量，
所以，
所以平面與平面所成二面角的余弦值為．
（2）結(jié)合（1）中的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋裕?br/>又，則，
又，
則，
設(shè)，，則，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，
又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，此時(shí)直線CQ與DP所成角最小．
綜上所述，的值為．
7．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）過點(diǎn)作，證得，再由平面，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證得平面；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別求得平面和的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危覟榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，
又因?yàn)槠矫妫移矫妫矫嫫矫妫?br/>所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以分別為的中點(diǎn)，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)椋移矫妫云矫妫?br/>又因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋移矫妫云矫?
（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，以垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
由，
在中，由余弦定理得，
所以，設(shè)軸與交于點(diǎn)，則，
可得，
又由（1）知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
取，可得，可得；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
取，可得，可得，
設(shè)平面與平面所成的角為，
可得，所以.
.
8．(1)
(2)點(diǎn)為的中點(diǎn)
【分析】（1）由題設(shè)條件建系，表示出相關(guān)點(diǎn)，分別計(jì)算坐標(biāo)和平面的法向量坐標(biāo)，利用線面所成角的空間向量計(jì)算公式即得；
（2）在原有坐標(biāo)系中，設(shè)出參數(shù)表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別計(jì)算平面與平面的法向量，利用面面所成角的空間向量計(jì)算公式列出方程解之即得.
【詳解】（1）
如圖，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則
于是，,設(shè)平面的法向量為，
則
故可取.設(shè)直線與平面所成角為，
則
即直線與平面所成角的正弦值是.
（2）
如圖，設(shè)，，則，因，故，解得：，
則,設(shè)平面的法向量為，
則故可取.
又,設(shè)平面的法向量為，
則故可取.
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
解得：或，因，故，即當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值為.
9．(1)參見解析
(2)
【分析】（1）可以先說明兩個(gè)向量共線，從而說明共面；
（2）先利用關(guān)系求得，再利用勾股定理求點(diǎn)到直線距離.
【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由已知可得：，
所以，所以，即向量共線，
所以點(diǎn)共面.
（2）由（1）可得：，
設(shè)向量的夾角為，則，
所以，又
所以點(diǎn)到直線的距離.
【點(diǎn)睛】本題考查空間向量在空間幾何中的應(yīng)用，最為關(guān)鍵的是建立合理的空間直角坐標(biāo)系，找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相關(guān)向量，通過向量運(yùn)算的結(jié)果說明幾何元素的位置關(guān)系或大小.
10．(1)
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系后由點(diǎn)到面距離公式計(jì)算即可得；
（2）借助空間向量計(jì)算即可得.
【詳解】（1）由平面，且、平面，
故、，又底面為正方形，
故，故、、兩兩垂直，
故可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、,
則，，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，即，令，則有、，
故可為，
則到平面的距離；
（2）、，則，
則有，
故直線與平面所成角的正弦值為.
11．(1)
(2)
【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面距離的向量公式求解；
（2）設(shè)，求平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>在平面內(nèi)作，又，所以兩兩垂直，
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)椋琋是中點(diǎn)，
則，，，，，，
，，．
設(shè)平面的法向量，
則即取．
所以點(diǎn)N到平面的距離．
（2）因?yàn)镸是的中點(diǎn)，所以，設(shè)，
則，，．
設(shè)平面的法向量，
則即取．
設(shè)平面的法向量，
則即取．
設(shè)二面角的大小為，則．
設(shè)，因?yàn)槎娼堑恼抑禐椋?br/>所以，解得，此時(shí)，
所以．
12．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可證；
（2）利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離；
（3）利用空間向量求出二面角的余弦值，再借助函數(shù)性質(zhì)求值域.
【詳解】（1）連接，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸橹悬c(diǎn)，則，
由題意可知平面平面，平面平面，平面，
所以平面，則平面，可得，
由題設(shè)知四邊形為菱形，則，
因?yàn)椋謩e為，中點(diǎn)，則，可得，
且，，平面，所以平面.
（2）在平面內(nèi)的射影為，所以平面，由題設(shè)知四邊形為菱形，是線段的中點(diǎn)，所以為正三角形，
由平面，平面，可得，，
又因?yàn)闉榈冗吶切危瑸橹悬c(diǎn)，所以，
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，，
可得，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，可得，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
（3）因?yàn)椋?br/>設(shè)，，則，
可得，，，即，
可得，
由（2）知：平面的一個(gè)法向量
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，，可得；
則，
令，則，
可得，
因?yàn)椋瑒t，可得，
所以銳二面角的余弦值的取值范圍為
13．(1)證明見解析
(2)存在，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由見解析
【分析】（1）證明平面，利用線面平行的性質(zhì)可證得，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）連接、、，推導(dǎo)出平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法求出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫瑒t，
因?yàn)槠矫妫矫妫虼耍矫?
（2）解：連接、、，
因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以，平面，
因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的菱形，則，
又因?yàn)椋瑒t為等邊三角形，則，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
設(shè)，其中，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，
，
則，
取，則，，所以，，
由題意可得，
整理可得，即，因?yàn)椋獾茫?br/>故當(dāng)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的正弦值為.
14．(1)
(2)存在，.
【分析】（1）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；
（2）設(shè)線段上存在，根據(jù)向量的距離公式，求得得到的坐標(biāo)，進(jìn)而的值．
【詳解】（1）解：由底面為直角梯形，其中，，且，
所以，又由平面，
以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則平面的法向量，且，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
取，可得，所以，
設(shè)二面角夾角為，則，則，所以二面角的正弦值為.
（2）解：設(shè)線段上存在，使得它到平面的距離為，
由，可得到平面的距離，
解得或(舍去)，所以，則．

15．(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)可得兩兩互相垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系求直線DE與PB的方向向量并求其數(shù)量積，即可確定異面直線的夾角.
（2）由（1）得，進(jìn)而求得，再求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示及已知二面角正弦值列方程求參數(shù)，即可判斷存在性.
【詳解】（1）因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，則，
因?yàn)椋瑒t，即．
又，，平面，
所以平面，又，
綜上，兩兩互相垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，，，，，
則，，．
所以，故，
所以異面直線與所成的角大小為.
（2）假設(shè)存在使二面角的正弦值為，即二面角的余弦值為
由，．
所以，，．
易知：平面的一個(gè)法向量為
設(shè)平面的法向量，則，令，則，
綜上，有，即，
解得，．又，故．
故存在，使二面角的正弦值為．
16．(1)為的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明見解析；
(2)二面角的余弦值為.
【分析】（1）取的中點(diǎn)為， 證明，利用線面平行判定定理證明平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的法向量，利用向量夾角公式求二面角的余弦值.
【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：
由已知，
所以四邊形為矩形，
所以，，
已知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，
又，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
所以在上存在一點(diǎn)，使得平面；
’
（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>，平面，
所以平面，又，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，，
所以，故，
取，可得，
所以為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量為，，
所以，故，
取，可得，
所以為平面的一個(gè)法向量，
所以，
設(shè)二面角的平面角為，
則，觀察圖象可得，
所以.
所以二面角的余弦值為.

答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
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