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壓軸小題6 等差數列求參數
【2023~2024學年福州市高三年級第三次質量檢測】
設為數列的前n項積，若，其中常數，則______（結果用m表示）；若數列為等差數列，則______．
根據等差數列的定義作差得，分類討論結合分式的特征待定系數計算即可
易知，∴，解得，故應填；
，
若數列為等差數列，則為常數d，
①若，則恒成立，即恒成立，∴；
②若，則，∴，解得，
綜上所述，若數列為等差數列，則，或，故應填1或2．
利用等差數列的通項公式設公差得，再根據的關系得恒成立，待定系數分類討論計算即可.
易知，∴，解得，故應填；
∵為等差數列，∴，易知，且，
當時，∵，∴，∴，
∴由，可得，
∴對于任意n恒成立，
∴，或，解得，或，
綜上所述，若數列為等差數列，則，或，故應填1或2．
1．已知數列的前n項和是，前n項的積是.則其中正確命題的有（ ）
A．若是等差數列，則是等差數列
B．若是等比數列，則是等比數列
C．若等差數列，則是等差數列
D．若是等比數列，則是等比數列
2．已知數列的前n項和為，前n項積為，，且．（ ）
A．若數列為等差數列，則 B．若數列為等差數列，則
C．若數列為等比數列，則 D．若數列為等比數列，則
3．設為數列的前n項和，若是非零常數，則稱該數列為“和等比數列”；若數列是首項為2，公差不為0的等差數列，且數列是“和等比數列”，則 ．
4．已知數列是公差為的等差數列，設，若存在常數，使得數列為等比數列，則的值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ACD
【分析】根據等差數列和等比數列的定義，通項公式判斷．
【詳解】A. 若是等差數列，則，所以，
，是等差數列，A正確；
B. 若是等比數列，但是當時，則，不可能是等比數列，B錯；
C. 若等差數列，設，，，
時，，也適合此式，
這樣是常數，是等差數列，C正確；
D. 若是等比數列，設，
，
，，是等比數列，D正確．
故選：ACD．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數列和等比數列的判斷，掌握等差數列和等比數列的定義是解題關鍵．解題時可設出等差數列或等比數列的通項公式，由通項公式進行計算，再根據定義證明，同樣錯誤的結論可舉反例說明．
2．AC
【分析】構造函數，根據函數的奇偶性與單調性，結合等差數列、等比數列的定義，性質，求和公式計算一一判定選項即可.
【詳解】令，易知在R上單調遞減，
且，
所以為奇函數，
又，所以，
由題意可知，
對于A、B，若數列為等差數列，則，
且故A正確，B錯誤；
對于C、D，若數列為等比數列，設公比，易知
則同號，
所以，故C正確，
若，與前提矛盾，故D錯誤.
故選：AC
3．78
【分析】根據等差數列的求和公式，即可根據為非零常數求解,進而根據等差中項求解.
【詳解】由題意可知，數列是等差數列，所以前項和為，
前項和為，
所以.
因為數列是“和等比數列”，即為非零常數，所以.
故.
故答案為：78
4．
【分析】首先討論時，當滿足時，是否存在實數使等式成立，然后討論當時，，對任意正整數恒成立，求.
【詳解】當時，.若存在常數，使得數列為等比數列，則，記，則有，化簡得，這與矛盾，故此時不存在常數，使得數列為等比數列.
當時，(其中).因為數列為等比數列，對任意，恒有(為常數且)，即，所以，
所以對任意正整數恒成立，所以解得或(舍)，所以數列為等比數列時，.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據數列是等比數列求參數的取值范圍，關鍵是討論兩種情況，和兩種情況，再一個關鍵是本題的計算比較繁瑣，其中換元后，使計算變得簡單一些.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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