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壓軸小題7 拋物線的綜合問題
【2024江蘇省如皋中學模擬T12】.已知點為拋物線上的動點，為拋物線的焦點，若的最小值為1，點，則下列結論正確的是（ ）
A.拋物線的方程為
B.的最小值為
C.點在拋物線上，且滿足，則
D.過作兩條直線分別交拋物線（異于點）于兩點，若點到距離均為，則直線的方程為
由拋物線的定義及焦半徑公式計算可判定A、B選項，構造相似三角形結合拋物線性質先求得直線方程，再聯立拋物線求弦長可判定C選項，設表示方程，利用點到直線的距離、同解方程計算即可判定D選項.
對于A：設，則，
當且僅當時取等號，故，
故，故的方程為，故A正確；
對于B：由的方程為可得：.
設.由拋物線定義可得：.
而，
所以.
當時，；
當時，
（當且僅當，即時等號成立.）
所以的最小值為.故B錯誤；
對于C：不妨設的斜率為正，如圖示：分別過作垂直準線于，過作于.
由拋物線定義可得：.
因為，不妨設，則
所以在直角三角形中，.
由勾股定理得：
.
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為.
與拋物線聯立，消去得：，
即.
由焦點弦的弦長公式可得：.故C正確；
對于D：設，
則直線.
于是，整理得：.
又，
故有，即，
故滿足方程.
同理可得：也滿足方程，
所以直線的方程為.故D正確.
（23-24高三上·浙江寧波·期末）
1．已知O為坐標原點，F為拋物線：的焦點，過點F且傾斜角為的直線交C于A、B兩點（其中點A在第一象限），過線段的中點P作垂直于拋物線準線的直線，與準線交于點N，則下列說法正確的是（ ）
A．C的準線方程為 B．
C．三角形的面積 D．
利用拋物線定義及直線與拋物線的位置關系可判定B，根據焦半徑的角度表示可判定C，由點到距離均為構造圓，結合直線與圓的位置關系可分別求得方程，聯立可求得MN坐標從而判定D選項.
對于B：從點向準線作垂線，垂足為，則，
顯然，當與拋物線相切時最小.
由得，
由解得，所以，故錯誤；
對于C：由圓錐曲線統一的焦半徑公式得：
，
，
.
對于D：以為圓心，為半徑作圓：，
從點作此圓的切線，設切線方程為，即，
由圓心到切線的距離等于半徑得，
所以兩切線（看成一個完整的圖形）的方程為：
，與拋物線聯立，得
，
解得（舍去），或，所以
所以直線的方程為.故正確.
（2023·山東棗莊·二模）
2．已知點在拋物線上，過點A作圓的兩條切線分別交拋物線于B，C兩點，則直線BC的方程為 ．
（23-24高三上·福建福州·期末）
3．已知拋物線的焦點為F，拋物線上的點到點的距離為4，過點的直線l交拋物線于，兩點，以線段為直徑的圓交y軸于，兩點，設線段的中點為，則（ ）
A． B．的取值范圍為
C．若，則直線l的斜率為 D．有最大值
【題后總結】
感悟反思：對于：由焦半徑公式求出，即可求出拋物線的方程；對于：設，用點的坐標表示出，利用基本不等式求出的最小值為；對于：利用幾何法求出直線的斜率，得到直線的方程，與拋物線聯立后，利用“設而不求法”求出；對于：設，證明出滿足方程，即可判斷.
總評
本題是一道拋物線小題，此類問題往往需要運用簡單的平面幾何性質進行解題。解析幾何簡化運算的常見方法：
（1）正確畫出圖形，利用平面幾何知識簡化運算；
（2）坐標化，把幾何關系轉化為坐標運算；
（3）巧用定義，簡化運算.
（2023秋 哈爾濱期末）
4．經過拋物線：（）的焦點的直線交于兩點，為坐標原點，設，（），的最小值是4，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．若點是線段的中點，則直線的方程為
D．若，則直線的傾斜角為60°
（2023秋·鹽城期末）
5．阿基米德是古希臘偉大的物理學家、數學家、天文學家，享有“數學之神”的稱號．若拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，則稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線的焦點為F，過拋物線上兩點A，B的直線的方程為，弦的中點為C，則關于“阿基米德三角形”，下列結論正確的是（ ）
A．點 B．軸 C． D．
（23-24高三上·安徽亳州·期末）
6．已知拋物線的焦點到點的距離為，直線經過點，且與交于點（位于第一象限），為拋物線上之間的一點，為點關于軸的對稱點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若的斜率為1，則當到的距離最大時，（為坐標原點）為直角三角形
C．若，則的斜率為3
D．若不重合，則直線經過定點
（23-24高三下·河南·開學考試）
7．已知是拋物線上的動點，點，，為坐標原點，點到的準線的距離最小值為1，則（ ）
A．
B．的最小值為
C．的取值范圍是
D．
（2024·山西運城·一模）
8．拋物線的焦點為，、是拋物線上的兩個動點，是線段的中點，過作準線的垂線，垂足為，則（ ）
A．若，則直線的斜率為或
B．若，則
C．若和不平行，則
D．若，則的最大值為
（23-24高三上·浙江金華·期末）
9．已知拋物線的焦點為，準線為，點，在上（在第一象限），點在上，，，（ ）
A．若，則 B．若，則
C．則的面積最小值為 D．則的面積大于
（2023·山東濟寧·三模）
10．已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與拋物線交于、兩點，為線段中點，、、分別為、、在上的射影，且，則下列結論中正確的是（ ）
A．的坐標為 B．
C．、、、四點共圓 D．直線的方程為
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．BD
【分析】A選項，直接求出準線方程即可；B選項，求出的方程，聯立拋物線方程，得到兩根之和，得到，進而求出，，故，從而推出；C選項，求出點到直線的距離，求出三角形的面積；D選項，求出，由焦半徑公式得到，得到.
【詳解】A選項，準線方程為，A錯誤；
B選項，焦點坐標為，故直線，即，
聯立得，，
設，則，
所以，即，所以，
又，所以，
所以，故，
因為，所以，
所以，B正確；
C選項，點到直線的距離為，
故三角形的面積為，C錯誤；
D選項，由B選項可得，
則由焦半徑公式可知，
故，D正確.
故選：BD
【點睛】結論點睛：拋物線的相關結論，
中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切；
中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切.
2．
【分析】根據給定的條件，求出拋物線的方程，設出圓的切線方程并求出切線的斜率，再設出點B，C的坐標并求出，即可求出直線方程作答.
【詳解】因為點在拋物線上，則，解得，即拋物線方程為，
顯然過點A作圓的兩條切線斜率存在，設此切線方程為，即，
于是，解得，設點，
不妨令直線的斜率分別為，于是，，
同理，直線的斜率，而點，
直線BC的方程為，即.
故答案為：
【點睛】結論點睛：點是拋物線上的兩點，則直線斜率；點是拋物線上的兩點，則直線斜率.
3．BD
【分析】由題意計算可得，即可得拋物線解析式，設、，，聯立曲線則可得與兩交點有關韋達定理，借助中點公式與距離公式可得以線段AB為直徑的圓的方程，令即可得、兩點坐標，計算即可得A，計算的范圍即可得的范圍即可得B，由可計算出，兩點具體坐標，即可得C，由，借助兩角和的正切公式及所得韋達定理計算即可得D.
【詳解】由在拋物線上，故有，焦點，又，
故有，
化簡得，又，故，即，
設、，，
聯立，可得，，
則，，
則，
，故，
，則，
故以線段AB為直徑的圓的方程為，
令，有，
故，
由圓的對稱性，不妨設，，
則，
則不恒等于，故A錯誤；
過點作軸于點，
則
，
令，則，
則，
由對勾函數性質可知，在上單調遞增，
故，故，
則，故B正確；
若，則有，即，
由，故，解得，則，
則，，故，故C錯誤；
，
由，，
故
，
則當時，有最大值，且其最大值為，故D正確.
故選：BD.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
4．BCD
【分析】設出直線的方程并與拋物線方程聯立，化簡寫出根與系數關系，根據的最小值求得，由此逐項分析即可.
【詳解】由題焦點，直線的斜率存在且不為零，
可設直線的方程為，
聯立，得，
所以，
則，
則，
當時，等號成立，
所以，拋物線方程為，
所以，
則，故A錯誤；
又,
所以，
，
所以，故B正確；
若點是線段的中點，
則即，
所以直線的方程為，C正確；
若，則，
即，
所以，
又，所以，
化為，
解得，或（舍），
又，故，
所以,
所以直線的斜率為，
直線的傾斜角為60°，故D正確，
故選：BCD.
5．BCD
【分析】設，聯立直線方程和拋物線方程，消元后利用韋達定理結合導數逐項計算后可得正確的選項.
【詳解】由消y可得
令，
，
，
解得，，A錯．
，∴軸，B對．
，∴，D對．
，∴，C對，
故選：BCD．
6．ABD
【分析】利用兩點距離公式求得，從而判斷A；利用導數的幾何意義求得的坐標，從而判斷B；利用拋物線的定義求得，從而判斷C，聯立直線與拋物線方程，利用表示直線，從而判斷D.
【詳解】對于A，因為拋物線的焦點的坐標為，
由已知得，解得，故A正確；
對于B，當到的距離最大時，以為切點的的切線斜率也為1，
因為，所以只需考慮，
則，令，得，則，則此時，
又的坐標為，所以軸，所以為直角三角形，故B正確；
對于C，如圖，設的準線為，過點分別作，過點作，
當時，設，
所以，所以，即的斜率為，故C錯誤；
對于D，設，則，
設的方程為，代入，得0，
易得，所以，
直線的方程為，
則
，
所以經過定點，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
7．ACD
【分析】對A，由點到的準線的距離最小值為1可得；對B，根據拋物線方程設點，計算得到關于的函數，通過求導得到該函數的最小值即得的最小值；對C，當時，可得，當時，結合圖形表示出與，分兩類情況分別將表示成的函數形式，根據的范圍分別求出的范圍即得；對D，根據C中所得，有，而，易得：，又，即得.
【詳解】由點到的準線的距離最小值為1，故的準線為，故，即，故A正確；
設，則，
設，，
因為，令得，
當時，，當時，，
則在單調遞減，在單調遞增，
故的最小值為，的最小值為，故B錯誤；
當時，，
當時，如圖，分別過點作軸的垂線，垂足分別是，
因為，，由題可知，，
，
當時，，
則，
該式是關于的減函數，所以；
當時，，
則，
該式是關于的增函數，所以；
綜上，的取值范圍是，故C正確；
由，且，
所以，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點點睛：解決距離、角的范圍問題時的關鍵是將幾何問題代數化處理，即通過解析式設點坐標計算距離表達式，再求解函數的最值得到，將所求角的三角函數式用關于某自變量的解析式表示，再根據自變量范圍求出解析式函數的值域即得.
8．ABD
【分析】設直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯立，結合韋達定理求出的值，可判斷A選項；利用拋物線的焦點弦公式可判斷B選項；利用三角形三邊關系可判斷C選項；利用余弦定理、基本不等式可判斷D選項.
【詳解】易知拋物線的焦點為，
對于A選項，若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，
因為，則在直線上，設直線的方程為，
聯立可得，則，
由韋達定理可得，，
因為，即，可得，即，
所以，，可得，，解得，
此時，直線的斜率為，A對；
對于B選項，當時，則在直線上，，
則，B對；
對于C選項，當和不平行時，則、、三點不共線，
所以，，C錯；
對于D選項，設，，
當時，，
由C選項可得，
所以，
，
即，當且僅當時，等號成立，故的最大值為，D對.
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；
二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值．
9．ABD
【分析】對A，設點在準線上的投影為，準線與軸交于點，由相似比可得解；對B，易證，可得為等邊三角形，得解；對C，分點在第一和第四象限兩種情況，由焦半徑公式求出，表示出利用三角函數求出最小值，對D，分點在第一和第四象限兩種情況，由焦半徑公式求出可證，得解.
【詳解】對于A，如圖1，設點在準線上的投影為，準線與軸交于點，
又，，則，所以，
故A正確；
對于B，設點在準線上的投影為點，易證，又，
，即，又，則為等邊三角形，
所以，且，，故B正確；

對于C，分兩種情況：
當點都在第一象限，如圖1所示，設，，
由焦半徑公式可得，，，
令，
設，且，
，當且僅當時取得最小值.
當點在第四象限時，如圖2所示，設，，則，，
所以，
同理令，且，
，
所以，當且僅當時取得最小值，
綜上，面積的最小值為，故C錯誤；
對于D，當點都在第一象限，如圖1所示，，，
則，所以，即，，
當點在第四象限時，如圖2所示，同理可得，即，，
綜上，的面積大于，故D正確.
故選：ABD.

【點睛】關鍵點睛：對于C,D選項，關鍵是利用拋物線焦半徑公式求出，從而易求出三角形面積.
10．BCD
【分析】根據拋物線的方程求出點的坐標，可判斷A選項；根據拋物線的定義以及數形結合求出直線的方程，可判斷D選項；利用斜率關系判斷出，可判斷C選項；求出、，可判斷B選項.
【詳解】對于A選項，拋物線的焦點為，A錯；
對于D選項，當點在第一象限，過點作垂直于，為垂足，如圖所示，

設，則，
因為，，，則四邊形為矩形，
所以，，
則，
設直線的傾斜角為，則為銳角，且，則，
此時，直線的方程為，
當點在第二象限時，同理可知，直線的方程為，
綜上所述，直線的方程為，D對；
對于B選項，不妨設點在第一象限，則直線的方程為，
設點、，聯立，可得，
，由韋達定理可得，，
設點，則，故點，
所以，直線的斜率為，
而直線的斜率為，所以，，故，
又因為，故、、、四點共圓，
同理可知，當點在第二象限時，、、、四點共圓，
綜上所述，故、、、四點共圓，C對；
對于B選項，，
，B對.
故選：BCD.
【點睛】方法點睛：拋物線定義的兩種應用：
（1）實現距離轉化，根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線的定義可以實現點與點之間的距離與點到準線的距離的相互轉化，從而簡化某些問題；
（2）解決最值問題，在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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