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壓軸小題5 空間向量中的最值問題
【2024上 四川德陽 統(tǒng)考期末】．已知四面體中，，且與平面所成的角為，則當(dāng)時(shí)，的最小值是______．
角度一、建立空間直角坐標(biāo)系，特殊化處理取射線為的角平分線，設(shè)，根據(jù)題意得出坐標(biāo)，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題計(jì)算即可；角度二、設(shè)中點(diǎn)為，將問題轉(zhuǎn)化為的最小值，構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合將軍飲馬計(jì)算即可．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在平面為平面，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榕c平面所成的角為，
所以不妨取射線為的角平分線．
又．設(shè)，則．
設(shè)，則點(diǎn)是平面內(nèi)任一點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，
則
（轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題）
作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與軸的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．
解法二：投影對(duì)稱性2
設(shè)，且點(diǎn)在平面內(nèi)，設(shè)中點(diǎn)為．
則
顯然，當(dāng)與在面上的投影共線時(shí)，會(huì)比不共線時(shí)更小．
此時(shí)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．
又，且與平面所成的角為，則，，
設(shè)，所以，
所以
其可表示為點(diǎn)與的距離之和，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
顯然
故答案為：
感悟反思：解決本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化成當(dāng)在面上的投影與共線時(shí)，求的最小值，再通過建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)與的距離之和，即將軍飲馬問題，從而解決問題．
（23-24高三上·上海黃浦·期中）
1．若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，高為，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最小值為 ．
設(shè)，，問題化為求的最小值，利用直線與橢圓的位置關(guān)系建立平面直角坐標(biāo)系計(jì)算即可．
設(shè)，則點(diǎn)是平面內(nèi)作一點(diǎn)，設(shè)，
則
（注：這個(gè)空間直角坐標(biāo)系只是起個(gè)襯托作用）
由題意，要使最小，必須使點(diǎn)在的投影上且以為焦點(diǎn)的橢圓與直線相切．
此時(shí)在橢圓中，．
在平面中，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐標(biāo)系．則，又，故直線，設(shè)橢圓，
與直線聯(lián)立得：
，
由得：
，解得或（舍），故，
故答案為：．
（2024高三·全國·專題練習(xí)）
2．已知平面直角坐標(biāo)系中的定點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)，其中現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿x軸翻折成平面角為的二面角，則C，P兩點(diǎn)間距離的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高三下·陜西安康·開學(xué)考試）
3．如圖，將正四棱柱斜立在平面上，頂點(diǎn)在平面內(nèi)，平面，. 點(diǎn)在平面內(nèi)，且. 若將該正四棱柱繞旋轉(zhuǎn)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2024高三·全國·專題練習(xí)）
4．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BD上，點(diǎn)H，G分別在線段AD，AB上，且，，，動(dòng)點(diǎn)P在平面內(nèi)．若PH，PG與平面所成的角相等，則BP的最小值是( )
A． B． C．5 D．
（23-24高二上·重慶開州·階段練習(xí)）
5．棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是平面和平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)， ，則的最小值為
（23-24高二上·浙江·期中）
6．點(diǎn)P是長(zhǎng)方體內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，已知，Q是平面BC D上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最小值是 .
（23-24高二上·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）
7．如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是 ．
（23-24高三下·上海浦東新·期中）
8．正三棱錐中，底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱，向量，滿足，，則的最大值為 .
（2021高三·全國·專題練習(xí)）
9．平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，，直線平面，則異面直線與所成角的余弦值為 .
（17-18高三上·江西南昌·階段練習(xí)）
10．已知半徑為的球內(nèi)切于正四面體，線段是球的一條動(dòng)直徑是直徑的兩端點(diǎn)),點(diǎn)是正四面體的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．8
【分析】利用向量中點(diǎn)的性質(zhì)，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，建立空間直角坐標(biāo)系，找到對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為易求的線段長(zhǎng)求解即可.
【詳解】
設(shè)在底面的射影為，則為底面的中心，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
由題可知，則，，,,，
設(shè)， 故，，，，
，，
設(shè)中點(diǎn)為，且，，
設(shè)是平面的平面方程，且該平面的一個(gè)法向量為，作為與該平面的對(duì)稱點(diǎn)，，設(shè)，中點(diǎn)為，
故在該平面上，面，故，，解得，，
故，.
故答案為：8
【點(diǎn)睛】利用空間向量的中點(diǎn)性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算，巧作對(duì)稱點(diǎn)，將問題簡(jiǎn)化，運(yùn)用三角形邊的性質(zhì)求解，屬于難題.
2．A
【分析】先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后利用橢圓的參數(shù)方程求解空間中兩點(diǎn)C，P的距離．
【詳解】由，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，
于是可設(shè)；設(shè)上半橢圓所在平面為，下半橢圓所在平面為，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋裕瑥亩?br/>若，依題意，點(diǎn)C到平面上的距離為，射影點(diǎn)，
于是，
因?yàn)椋?，此時(shí)，從．
綜上可得，，
故選：A ．
3．D
【分析】如圖，由于點(diǎn)到平面的距離為定值即為，所以只需最大即可，而依題意，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上， 所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且時(shí)，取最大值.
【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，連接，可知平面，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
由題意，
，
過點(diǎn)作平面，垂足為，
因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，且，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且時(shí)，取最大值，
最大值為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，從而把的最大值問題轉(zhuǎn)化為的最大值問題，由圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大值問題可解.
4．B
【分析】證明FG⊥平面，利用求得PF和PE的關(guān)系，在平面中，以EF為x軸，其垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出P的軌跡方程，利用圓的性質(zhì)即可求解．
【詳解】∵，且，∴．
又∵，且，∴平面．
∵，∴平面．
∴PH，PG與平面所成角分別為，，則．
∵，，且，∴．
又∵，∴，
在平面中，以EF為x軸，其垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，．
設(shè)，
由，可得，整理得，
∴點(diǎn)P在圓心為，半徑長(zhǎng)為的圓上，
此時(shí)BP的最小值是．
故選：B．
5．##
【分析】利用對(duì)稱將的最小值問題轉(zhuǎn)化為求解點(diǎn)到平面的距離，再建立直角坐標(biāo)系，利用法向量方法求解點(diǎn)面距.
【詳解】如圖，取點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,
則，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋瑒t點(diǎn)是線段靠近的三等分點(diǎn)，
又正方體棱長(zhǎng)為，
則，
則，且，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
則，
則點(diǎn)到平面的距離
.
【點(diǎn)睛】空間幾何體中的距離之和的最值問題處理一般有以下方法：
（1）借助參數(shù)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解；（2）利用展開圖，將空間距離和轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)距離和問題，再利用兩點(diǎn)之間線段最短求解；（3）借助對(duì)稱，化線（面）的同側(cè)為線（面）的異側(cè)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)線、點(diǎn)面）距離求解，等等.
6．
【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線定理可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)范圍是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓面，再結(jié)合三角換元，正弦型函數(shù)的最值得出結(jié)果.
【詳解】取底面的中心，
因?yàn)椋渣c(diǎn)在平面上，且，
所以點(diǎn)在線段上，
由得，
所以由，得，
由，得，又平面，
所以平面.
因?yàn)镼是平面BC D上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，
所以當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)；當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上；
所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)范圍是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè),，R，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以,，
，,，
，
當(dāng)時(shí)，取最小，為最小值，
因?yàn)椋裕O(shè)，R，
，當(dāng)時(shí)，取最大值，
所以取最小值.
故答案為：.

【點(diǎn)睛】空間立體幾何軌跡問題：先根據(jù)已知條件確定與待求點(diǎn)相關(guān)的平行、垂直等關(guān)系；可建立空間直角坐標(biāo)系，表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的幾何關(guān)系，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)軌跡形狀即可求解出軌跡的長(zhǎng)度等其它量.
7．##
【分析】利用二面角的定義證得就是二面角的平面角，即為，再利用空間向量將的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積、一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：連接，如下圖，

由題意，，，正方形中，
正方形中，平面，平面，
平面平面，
∴就是二面角的平面角，則，
∴向量與向量夾角為，且，，
設(shè)，，，則，
且由題意，
∴
，
∴
，
令，，圖象開口向上，且對(duì)稱軸為，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，
即最小值為，
∴的最小值是.
故答案為：.
8．4
【分析】利用向量運(yùn)算化簡(jiǎn)變形，設(shè)，將向量等式轉(zhuǎn)化為兩動(dòng)點(diǎn)軌跡為均為球面，再利用球心距求兩球面上任意兩點(diǎn)間距離最大值即可.
【詳解】已知正三棱錐，則，且，
由化簡(jiǎn)得，
由化簡(jiǎn)得.
設(shè)，代入，，
分別化簡(jiǎn)得，且，
故點(diǎn)在以為直徑的球面上，半徑；
點(diǎn)在以為直徑的球面上，半徑
分別取線段、的中點(diǎn)、，
則，
故.
故答案為：4
【點(diǎn)睛】將向量的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的幾何表達(dá)，借助幾何意義求解動(dòng)點(diǎn)間的距離最值是解決本類題型的關(guān)鍵所在.
9．
【分析】設(shè)、、，若棱長(zhǎng)為，由題設(shè)知△與△相似得相似比為即有，結(jié)合已知求， 應(yīng)用向量加法的幾何應(yīng)用得即可求，在△中，結(jié)合余弦定理求異面直線與所成角的余弦值即可.
【詳解】
設(shè)、、，若棱長(zhǎng)為，則，
連接、，，連，則一定在上，又△與△相似，
∴，
∴，又，有，
∴，，又，
∴，則，
∴，又，
異面直線與所成角與與所成角相同，設(shè)為，則.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)相似三角形的相似比確定相關(guān)線段的比例，結(jié)合向量加減法的幾何應(yīng)用求模長(zhǎng)，求出、，最后應(yīng)用余弦定理求異面直線夾角余弦值.
10．
【詳解】設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為， O為球心，由下圖可得在可知，，因?yàn)閮?nèi)切球半徑為1，即，解得，所以
而又
由題意M，N是直徑的兩端點(diǎn)，可得,,
由此可知，要求出的取值范圍，只需求出，的范圍即可．
當(dāng)P位于E（切點(diǎn)）時(shí)，OP取得最小值1；
當(dāng)P位于A處時(shí)，OP取得最大值3．
綜上可得的最小值為11=0，最大值為91=8．
則的取值范圍是[0，8]．
再由，知取值范圍是
故答案為：．
點(diǎn)睛：將轉(zhuǎn)化為，是解決本題的關(guān)鍵.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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