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壓軸小題8 利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量的取值范圍問題
【廣東省茂名市2024屆高三下學(xué)期第二次綜合測試數(shù)學(xué)試題T11】
已知，其中，則的取值可以是（ ）
A. B. C. D.

構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性得，轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問題，構(gòu)造差函數(shù)判定其單調(diào)性計(jì)算即可.
令，則，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
∵，，
∴，
又，不妨設(shè)，
記，設(shè)，，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，所以，，
則，
又因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，所以，
則，所以，
故選:CD
（22-23高二下·四川成都·期中）
1．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，且，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①；②；③；④；
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
（2023·四川瀘州·二模）
2．已知兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性得，轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問題，令，通過比值換元化.角度一、構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求其范圍即可；角度二、構(gòu)造，通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性結(jié)合洛必達(dá)法則計(jì)算即可.
令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∵，，∴，又，不妨設(shè)，
令；兩式相減，可得，則，∴；
角度一、令，則，
因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ栽谏蠁握{(diào)遞增，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ栽谏蠁握{(diào)遞增，則，即，所以，故CD
角度二、令，則，
記，則，在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增，∴，所以在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，又由洛必達(dá)法則可知，
∴，∴，故選CD
3．已知且，則（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．曲線在點(diǎn)處的切線可能與直線垂直
C．
D．
構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性得，轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問題，利用對數(shù)均值不等式直接計(jì)算即可.
令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∵，，∴，又，不妨設(shè)，
∵，兩式相減得，由對數(shù)均值不等式，可得，下列對數(shù)均值不等式右半部分：（左半部分可自行證明），
證明：不妨設(shè)，則上述不等式可化為，
即，記，則不等式可化為時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以時(shí)，，所以，故選CD.
5．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，則下列說法正確的是（ ）．
A． B． C． D．
（23-24高三上·山東淄博·期末）
6．已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)與函數(shù)有相同的極小值
B．若方程有唯一實(shí)根，則a的取值范圍為
C．若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則
D．當(dāng)時(shí)，若，則成立
（2022·四川成都·一模）
7．已知，且，則下列說法正確的有（ ）
①； ② ；③； ④.
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
（20-21高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）
8．關(guān)于函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．是的極小值點(diǎn)
B．函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)
C．存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立
D．對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則
（2016·四川南充·一模）
9．設(shè)是不相等的兩個(gè)正數(shù)，且，給出下列結(jié)論：①；②；③.其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
（22-23高二下·浙江臺州·期末）
10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足（為自然對數(shù)的底數(shù)，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，
（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）
11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若恒成立，則
B．當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)只有個(gè)
C．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則
D．當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是
（22-23高三上·河南·階段練習(xí)）
12．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)、、、，且，則以下結(jié)論正確的是 .
①；
②；
③；
④.
（2022·吉林·三模）
13．已知函數(shù)的極大值點(diǎn)為0，則實(shí)數(shù)m的值為 ；設(shè)，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
（2024·遼寧·模擬預(yù)測）
14．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且．
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：.
（2024高三·全國·專題練習(xí)）
15．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.
（2023高三·全國·專題練習(xí)）
16．已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】由可得，設(shè)，其中，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷①；構(gòu)造函數(shù)，其中，分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷②③；分析出、，利用不等式的基本性質(zhì)可判斷④.
【詳解】由可得，令，其中，
則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，
由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，①對；
對于②，由圖可知，，
因?yàn)椋煽傻茫煽傻茫?br/>所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，則必有，
所以，，則，
令，其中，
則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，，即，即，
又，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則，即，②錯(cuò)；
對于③，由，兩式相加整理可得，
所以，，可得，③對；
對于④，由圖可知，則，又因?yàn)椋裕軐?
故選；C.
【點(diǎn)睛】證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問題，一般有以下幾種方法：
（1）證明（或）：
①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；
②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；
③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；
（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：
①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；
②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；
③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；
（3）應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：
①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；
②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；
③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.
2．C
【分析】先利用同構(gòu)法與構(gòu)造函數(shù)，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖像即可排除AD，利用特殊值計(jì)算即可排除B，再利用極值點(diǎn)偏移的解決方法即可判斷C.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，則，即，
令，則，，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增,
所以，
對于，總有，即在上單調(diào)遞增，
故，即在上恒成立，
所以對于，對于任意，在上取，
則，
所以當(dāng)且趨向于0時(shí)，趨向于無窮大，
當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，趨向于無窮大，趨向于0，故趨向于無窮大，
所以的大致圖像如圖所示：
.
對于AD，因?yàn)椋环猎O(shè)，
由圖象可知，，故，故AD錯(cuò)誤；
對于B，假設(shè)成立，取，
則，顯然不滿足，故B錯(cuò)誤；
對于C，令，又，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，則，即，
又，則，
因?yàn)椋裕郑谏蠁握{(diào)遞增，
所以，即，故C正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于利用同構(gòu)法轉(zhuǎn)化等式，從而構(gòu)造函數(shù)，并研究其圖像的性質(zhì)，由此判斷得解.
3．AD
【分析】不妨設(shè)，，則，利用導(dǎo)數(shù)可證，利用極值點(diǎn)偏移可證.
【詳解】不妨設(shè)，，
因?yàn)椋剩?br/>由可得，故，所以，，
又.
設(shè)，則，
故在為增函數(shù)，故即，
故即，故C錯(cuò)誤，D正確.
函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.
考慮函數(shù)，
則，
而，故，故，
所以在上為減函數(shù)，故，
所以，所以即，
而，故即，故A正確，B錯(cuò)誤.
故選：AD.
4．ACD
【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，得到導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)變號零點(diǎn)，從而可求參數(shù)的取值范圍，即可判斷A選項(xiàng)；
假設(shè)滿足條件的切線存在，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的科率，得到的值，結(jié)合A項(xiàng)結(jié)果推出矛盾，可得B不正確；
由，利用整體替換思想得到，最后根據(jù)的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)得到，可得C正確；
由，利用整體替換思想可知若D正確，則只需，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，由此可證得結(jié)論，從而判斷D選項(xiàng)．
【詳解】對于A，，令，則，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；
有兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)變號零點(diǎn)，，
即，，A正確；
對于B，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，
若該切線與直線垂直，則，即，與矛盾，B錯(cuò)誤；
對于C，由題意知：，即，
則，由A知：，
由二次函數(shù)性質(zhì)知：，C正確；
對于D，由題意知：，即，又，
，即；
要證，只需證，即證，
即證，
設(shè)，則只需證，
令，則，
在上單調(diào)遞增，，，
則，D正確.
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于D項(xiàng)，求解這類極值點(diǎn)偏移問題的關(guān)鍵：一是消參，把極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之后，需要利用兩個(gè)變量把參數(shù)表示出來，再巧妙地把兩個(gè)極值點(diǎn)通過消參向求證的結(jié)論逐漸靠近；二是消“變”，即減少變量的個(gè)數(shù)，只有把不等式轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)“變量”的式子后，才能建立與之相應(yīng)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)行求解．
5．ACD
【分析】分析可知直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng)；證明對數(shù)平均不等式，其中，且、均為正數(shù)，利用對數(shù)平均不等式可判斷BCD選項(xiàng).
【詳解】由可得，令，其中，
所以，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
，令，可得，列表如下：
減 極小值 增
作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，A對；
接下來證明對數(shù)平均不等式，其中，且、均為正數(shù).
先證明，其中，
即證，
令，，其中，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，，
接下來證明：，其中，即證，
令，即證，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，，
由已知可得，兩式作差可得，所以，，
因?yàn)椋剩珺錯(cuò)，CD都對.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：
①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；
②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；
③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.
6．ACD
【分析】對于A，根據(jù)題目直接對兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)判斷極值即可；對于B，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和最值判斷函數(shù)變化趨勢，進(jìn)而求出參數(shù)范圍；對于C，利用對數(shù)均值不等式直接判斷即可；對于D，利用同構(gòu)方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.
【詳解】對于A，定義域，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
定義域，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，故A正確；
對于B，若方程有唯一實(shí)根，
由于當(dāng)時(shí)，，且，
結(jié)合已求的單調(diào)性和最值可知，或，故B錯(cuò)誤；
對于C，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的實(shí)根，假設(shè)，則，
則，即，兩式相減得，
即，由對數(shù)均值不等式，
則，即得證，故C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，若，則，
即，顯然，則，
則成立，故D正確.
故選：ACD
下面補(bǔ)證C選項(xiàng)對數(shù)均值不等式：
要證，即證，
設(shè)，即證，即證，
令，，
則在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解
7．B
【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性后可判斷①②④正負(fù)，利用極值點(diǎn)偏移可判斷③的正誤.
【詳解】令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
而，，故，
而，故，故①錯(cuò)誤.
又，故，
故②正確， 此時(shí)，故④正確.
設(shè)，
則（不恒為零），
故在上為增函數(shù)，
故，必有即，
所以，即，
由的單調(diào)性可得即，故③成立.
故選：B.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等關(guān)系的討論，注意根據(jù)等式或不等式的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù)，并結(jié)合單調(diào)性來比較大小關(guān)系，在不等式關(guān)系的討論中，注意利用極值點(diǎn)偏移來處理大小關(guān)系.
8．C
【分析】對于A，分析導(dǎo)函數(shù)可作判斷；對于B，考查函數(shù)的單調(diào)性可作判斷；對于C，分離參數(shù)，再分析函數(shù)最值情況而作出判斷；對于D，構(gòu)造函數(shù)討論其單調(diào)性，確定即可判斷作答.
【詳解】對于A選項(xiàng)：定義域?yàn)椋?br/>時(shí),時(shí)，
是的極小值點(diǎn)，A正確；
對于B選項(xiàng)：令，
在上遞減，，
有唯一零點(diǎn)，B正確；
對于C選項(xiàng)：令，
令，時(shí),時(shí),，
在上遞減，在上遞增，則，
，在上遞減，圖象恒在x軸上方，
與x軸無限接近，不存在正實(shí)數(shù)k使得恒成立，C錯(cuò)誤；
對于D選項(xiàng)：由A選項(xiàng)知，在上遞減，在上遞增，
因正實(shí)數(shù)，，且，，則，
時(shí)，令，
，
即在上遞減，
于是有，從而有，
又 ，所以，即成立，D正確.
故選：C.
9．D
【分析】①由blna﹣alnb＝a﹣b得，構(gòu)造函數(shù)h(x)，x＞0，判斷a，b的取值范圍即可．②令，通過導(dǎo)函數(shù)可得單增，得到，即，所以，對于同理可得.③構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行證明即可．
【詳解】對①，因?yàn)椋?br/>設(shè)，則有，
又由，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
或，
所以，①正確；
對②，令，
則，所以，
即當(dāng)時(shí)，
對于，則有，
即，而在上單調(diào)增減，
所以，對于同理可得，因此②正確；
對③，令，則，
則由得＞0，得，得，此時(shí)g(x)為增函數(shù)，
由得＜0，得，得，此時(shí)g(x)為減函數(shù)，
再令，
則，
則，在上為增函數(shù)，
則，
則，
即g()＜g(2)，
∵g()lnlna，
∴g()＝g()，則g()＝g()＜g(2)，
∵g(x)在上為增函數(shù)，∴2，
即2，故③正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及不等式的證明，利用構(gòu)造法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．
10．ACD
【分析】同構(gòu)函數(shù)可判斷A，B；由對數(shù)均值不等式可判斷C，D.
【詳解】由，得，所以，，
當(dāng)時(shí)，，即，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
由得，
所以，即，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，即，
令，則，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
由得，
因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以由不一定能得到，
即不一定成立，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，由前面的分析可知，此時(shí)，，
令，，則有，不妨設(shè)，
得，
下面證明，當(dāng)時(shí)，不等式成立.
先證右邊，要證，只要證，
即證，令，即證，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即成立，從而得證；
再證左邊，要證，只要證，
即證，令，即證，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即成立，從而得證.
由，，得，即，故C正確；
由，，得，
即，所以，故D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)熟練掌握證明極值點(diǎn)偏移問題的常用方法，如對稱構(gòu)造函數(shù)法、對數(shù)均值不等式、指數(shù)均值不等式等.
11．BC
【分析】采用分離變量法可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，進(jìn)而得到最大值，從而得到，知A錯(cuò)誤；根據(jù)恒成立可知單調(diào)遞增，利用零點(diǎn)存在定理可說明存在唯一零點(diǎn)，知B正確；要得到，只需得到，可化簡得到，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可說明，即可判斷C正確；將恒成立的不等式變形為，根據(jù)單調(diào)遞增可得，即，利用導(dǎo)數(shù)的知識即可判斷D錯(cuò)誤.
【詳解】對于A，定義域?yàn)椋傻茫海?br/>令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，則，A錯(cuò)誤；
對于B，定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
又，，
，使得，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，B正確；
對于C，，，
；
要證，只需證，即證，
不妨令，則只需證，
令，則，
令，
則，
在上單調(diào)遞增，，，
即恒成立，，C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，由得：，
即，；
令，則，在上單調(diào)遞增，
由得：，；
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問題、零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題和極值點(diǎn)偏移的問題；本題D選項(xiàng)中恒成立問題求解的關(guān)鍵是能夠利用同構(gòu)法，將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)不同函數(shù)值的大小關(guān)系比較問題，進(jìn)而通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得到自變量的大小關(guān)系，從而化簡恒成立的不等式.
12．①②④
【分析】設(shè)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷②的正誤；分析可知，結(jié)合基本不等式可判斷①的正誤；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可判斷③④的正誤.
【詳解】設(shè)，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時(shí)，，
作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，②對；
因?yàn)椋瑒t，由圖可知，則，
所以，，①對；
令，其中，由圖可知，
，
當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，即，
因?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，，則，故，③錯(cuò)④對.
故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問題，一般有以下幾種方法：
（1）證明（或）：
①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；
②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；
③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；
（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：
①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；
②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；
③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；
（3）應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：
①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；
②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；
③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.
13． 1
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到，從而求出，令，即可得到，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)草圖，即可得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而得解；
【詳解】解：，則，則，解得，
此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上的單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取極大值，符合題意；
令，則
構(gòu)造函數(shù)，則．
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，
易知的圖象如圖所示：
不妨令，
令
∵
∴在上單調(diào)遞增，即
∵，∴，即
∵，∴
∵在上單調(diào)遞減，∴
故答案為：1；
14．(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）多次求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）（i）原條件可轉(zhuǎn)化有三個(gè)不等實(shí)根，從而構(gòu)造函數(shù)，研究該函數(shù)即可得；（ii）借助的單調(diào)性，得到，從而將證明，轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)，從而將三個(gè)變量的問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，即可構(gòu)造函數(shù)，證明其在上大于即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
令，，
令，可得，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）（i）有三個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)根，
由不是該方程的根，故有三個(gè)根，且，
令，，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
故時(shí)，有三個(gè)根；
（ii）由在上單調(diào)遞增，，故，
由（i）可得，且，
即只需證，設(shè)，則，
則有，即有，故，，
則，即，
即只需證，
令，
則恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
則，即得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式：
1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；
2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；
3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；
4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.
15．(1)在上單調(diào)遞增
(2)，證明見解析
【分析】（1）對求導(dǎo)，根據(jù)的符號得出的單調(diào)性；
（2）由題意可知有兩解，求出的過原點(diǎn)的切線斜率即可得出的范圍，設(shè)，根據(jù)分析法構(gòu)造關(guān)于的不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式恒成立即可，
【詳解】（1）時(shí)，，
故，
在上單調(diào)遞增.
（2）關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根,，
即有兩不同實(shí)根，，得，
令，，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，取得最大值，且，得圖象如圖：.
，則，
即當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)根，，
兩根滿足，，
兩式相加得：，兩式相減地，
上述兩式相除得，
不妨設(shè)，要證：，
只需證：,即證，
設(shè)，令，
則，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且,
，即，
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：
1，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2，利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；
3，適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4，構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
16．證明見解析
【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，從而只需證明，即可求解.
【詳解】由題意得，令，則，，
所以在上單調(diào)遞增，故至多有解；
又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，有兩個(gè)解，
令，，易得在上遞減，在上遞增，所以.
此時(shí)，兩式相除，可得：.
于是，欲證只需證明：，
下證：
因?yàn)椋?br/>不妨設(shè)，則只需證，
構(gòu)造函數(shù)，則，
故在上單調(diào)遞減，故，即得證，
綜上所述：即證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題通過構(gòu)造對數(shù)不等式證明極值點(diǎn)偏移問題.
答案第1頁，共2頁
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