資源簡介

高三數學一輪復習
大單元整體學習學程
函 數
班級：
小組：
姓名：
函數
——研究兩變量間的依賴關系和變化規律
【學科大概念】
描述客觀世界中變量關系和變化規律的最為基本的數學語言和工具。
【課程大概念】
依托對基本初等函數的圖象和性質的研究，揭示變量變化規律的本質，發展數學抽象和邏輯推理能力，初步形成研究兩變量關系和變化規律的一般思路，能利用函數構建模型，解決實際問題。
【單元概述】
函數是高中數學四大主線之一，貫穿整個高中數學生涯。本單元內容包括函數概念與性質，冪函數，指數函數，對數函數，函數、方程、不等式關系，函數的綜合應用等。在學習本單元時，要在初中用變量間的依賴關系研究函數的基礎上，借助集合語言和對應關系重新刻畫函數，圍繞初中學過的一次函數，二次函數，反比例函數的圖象與性質逐步生成研究函數的基本方法，進而運用函數的研究方法，從單調性、奇偶性、最值等方面研究冪、指、對函數的運算性質和結構性質，利用圖像與性質探究基本初等函數與生活的關系和應用。
高考考查方向：1.求函數的定義域、解析式、值域；2.判斷函數的單調性，奇偶性，周期性；3.函數單調性、奇偶性、周期性的應用；4.函數性質的綜合應用。
【課標要求】
1函數概念
（1）在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念，體會集合關系和對應關系在刻畫函數概念中的作用。了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域。
（2）在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、解析法、列表法）表示函數，理解函數圖象的作用。
（3）通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用。
2.函數性質
（1）借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義。
（2）結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義。
3.冪函數
通過具體實例，結合y=x，，，，的圖象，理解它們的變化規律，了解冪函數。
指數函數
（1）通過對有理數指數冪（a>0,且a≠1；m,n為整數，且n>0）、實數指數冪（a>0，且a≠1；）含義的認識，了解指數冪的拓展過程，掌握指數冪的運算性質。
（2）通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念。
（3）能用描點法或借助計算工具畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點。
5.對數函數
（1）理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數。
（2）通過具體實例，了解對數函數的概念。能用描點法或借助計算工具畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點。
（3）知道對數函數與指數函數互為反函數（a>0.且a≠1）。
【單元目標】
會用集合語言和對應關系刻畫函數，建立
完整的函數及冪、指、對函數的概念，借助圖像，能說出函數及冪、指、對函數的性質并說出他們之間的關系，構建知識、邏輯體系；
2.通過冪、指、對函數的圖像及代數運算，總結研究函數的基本方法，建立函數模型，運用函數單調性、最值、奇偶性解決函數的核心問題。
3.從函數的圖象、性質和應用等方面重構函數的知識、邏輯、能力、價值意義體系，解決與冪、指、對函數有關的綜合性、應用性、創新性問題。
【評價預設】
評價內 容 水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我評價
整體建構 能用自己的話說出函數概念，基本初等函數概念及性質 能說出基本初等函數的性質及邏輯關系。 能畫出函數的知識與邏輯體系
探究遷移 能探究基本初等函數的運算法則和結構性質 解決與函數圖像與性質有關的基本問題 構建函數模型解決創新性問題
拓展過關 重構函數知識、邏輯、能力、價值意義體系 構建函數模型解決綜合性、應用性、創新性問題 過關達標
【學時建議】
學習過程 學習任務 課時
整體建構 任務一：梳理函數的概念與表示、以及基本初等函數的圖像與性質 任務二：構建知識、邏輯體系 4
探究遷移 任務一：探究圖像、性質，總結數學思想方法 任務二：借助具體函數（冪指對）解決數學問題和實際生活問題 10
拓展過關 構建四大體系、糾錯反思總結提升 6
【單元前測】
1.下列函數中，與函數y＝x＋1是相等函數的是(　　)
A．　　　　 　B．
C． D．
2.下列圖像表示函數的是（ ）
(
0
x
y
B
0
x
y
C
0
x
y
D
0
x
y
A
)
函數的定義域是（ ）
A. B. C. D.
4.若函數與互為反函數，則的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
5.把函數的圖像向左、向下分別平移2個單位，得到函數的圖像，則
A. B. C. D.
6.（多選）已知，則（ ）
A． B． C． D．
7.（多選）已知函數圖像經過點(4,2)，則下列命題正確的有（ ）
A．函數為增函數 B．函數為偶函數
C．若，則 D．若，則
8．已知，則f(x)＝________．
9.設函數求滿足的取值范圍__________ .
10.已知函數
（1）判斷函數在區間上的單調性，并證明；
（2）求函數在區間上的最大值和最小值；
（3）寫出函數在區間上的值域.
11.如圖所示的函數的圖象，由指數函數與冪函數“拼接”而成．
（1）求的解析式；
（2）比較與的大小；
（3）已知求m的取值范圍。
函數
----探究函數的研究路徑
【學習目標】
1.研讀文本，借助271BAY資源，能從變量和集合等不同角度說出函數的概念，能夠說出冪、指、對函數的概念；
2.能夠準確進行指對運算，結合圖象，能說出冪、指、對函數的性質及邏輯關系；
3.圍繞函數及冪指對函數的概念、性質，畫出本單元知識、邏輯體系.。
【情境任務】
研究細胞分裂時，每個細胞每次分裂為2個，則1個這樣的細胞第一次分裂后變為2個細胞，第2次分裂后就得到4個細胞，第3次分裂后就得到8個細胞……
在這個問題中，若分裂的次數是一個變量，用來表示.每次分裂后，細胞的個數也是一個變數，用表示，歸納出第次分裂后，細胞的個數. 給定分裂次數，可求出細胞個數. 在實際問題中，又常常需要由細胞分裂若干次后的個數，計算分裂的次數，如已知，則分裂次數是多少？在由求的值時，把表示為，我們把叫做以2為底1024的對數.
任務一：梳理函數的概念與表示、以及基本初等函數的圖像與性質
學習活動1：建構函數的概念及表示
問題1：如何用變量和集合等不同角度來理解函數？函數的三要素是什么？
問題2：如何判斷兩個函數相等？函數有幾種表示方法？
問題3：什么是分段函數？分段函數是一個函數嗎？
學習活動2：建構函數的性質
問題1：如何判斷一個函數是增函數還是減函數？什么叫函數的最值？
問題2：什么叫函數單調性？什么是單調區間？單調區間可以用不等式來表示嗎？多個單調區間應該用什么進行連接？
問題3：你能從定義域、對稱性、概念等不同角度闡明奇函數、偶函數的異同嗎？
問題4：什么樣的函數叫周期函數？什么是最小正周期？
學習活動3：指對冪運算
寫出指、對運算法則，并思考以下問題：
問題1：由對數概念可得出，，分別等于什么？指對運算法則各自成立的條件是什么？
問題2：指數式與對數式有什么關系？指數式與對數式互化的本質是什么？
問題3：在指對運算化簡中應該注意什么問題？
問題4：指對運算的特點是什么？并寫出記憶規律.
問題5：指數函數與對數函數有怎樣的關系？反函數的定義是如何描述的？怎樣求一個函數的反函數？
問題6：互為反函數的兩個函數圖像有什么關系？定義域和值域有怎樣的關系？
學習活動4：指對冪函數圖象與性質
填寫以下表格并回答問題：
指對冪函數 指數函數 對數函數 冪函數
底數
圖象
性質
注意
問題1.在指對函數的定義中，為什么要規定a>0且a≠1？
問題2：底數的變化對指對冪函數圖像有何影響？
問題3：指對冪函數的性質是如何影響函數圖像的？
問題4：指對冪函數圖像和性質有何區別和聯系？
任務二：構建知識、邏輯體系
學習活動5：構建知識、邏輯體系
結合前面的四個學習活動，自主梳理函數的概念與表示，函數的單調性和奇偶性、基本初等函數的圖像和性質，構建本單元的知識與邏輯體系，總結本單元與其他單元的邏輯體系。
函數
-----探究函數的性質及應用
【學習目標】
1.通過冪、指、對函數的代數運算及圖像性質，總結研究函數的思想方法，
2借助函數單調性、奇偶性解決函數的最值、不等式、方程及零點等數學核心問題。
3結合實際生活情境，構建函數模型，解決求距離、核算費用等生產生活問題。
任務一：探究圖像、性質，總結數學思想方法
學習活動6：探究函數的性質
問題1：求函數三要素
1.(2019·長春質檢)函數y＝＋的定義域是(　　)
A．[－1，0)∪(0，1)　　　 B．[－1，0)∪(0，1]
C．(－1，0)∪(0，1] D．(－1，0)∪(0，1)
2.已知函數f(x)的定義域為(－1，1)，則函數g(x)＝f＋f(x－1)的定義域為(　　)
A．(－2，0)　　　　　　　　 B．(－2，2)
C．(0，2) D.
3.(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函數，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函數f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
4.已知函數f(x)＝則f[f(1)]＝(　　)
A．－ B．2
C．4 D．11
5.(2019·深圳調研)函數y＝|x＋1|＋|x－2|的值域為________
問題2：求參數的值(范圍)
1.若函數y＝的定義域為R，則實數m的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
2.設函數f(x)＝則滿足f(x＋1)A．(－∞，－1]　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
3.(2019·南京調研)已知函數f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函數，則實數a的取值范圍是________．
4.若f(x)＝是定義在R上的減函數，則a的取值范圍為________．
問題3：函數單調性
1.函數f(x)＝|x2－3x＋2|的單調遞增區間是(　　)
A.　　　　　　 B.和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D.和[2，＋∞)
2.函數y＝的單調遞增區間為__________，單調遞減區間為____________．
3.試討論函數f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的單調性．
問題4：函數奇偶性和周期性
1.判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1) ；
2.(2019·湖南永州第三次模擬)已知f(x)滿足 x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1，3)時，f(x)＝log2x＋1，則f(2 019)的值為(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．0
C．1 D．2
3.已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(x＋2)＝－，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f＝________．
活動7：函數方程不等式綜合問題
問題1：函數解析式圖像問題
1.(2019·全國卷Ⅲ)函數y＝在[－6，6]的圖象大致為(　　)
2.(2020高考)函數f(x)的大致圖象如圖所示，則函數f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝x2·sin|x| B．f(x)＝·cos 2x
C．f(x)＝(ex－e－x)cos D．f(x)＝
3.(2019·全國卷Ⅱ)設f(x)為奇函數，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則當x<0時，f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
4已知a>0，且a≠1，若函數y＝|ax－2|與y＝3a的圖象有兩個交點，則實數a的取值范圍是________．
問題2：函數不等式問題
1.設函數f(x)＝若f(a)＞f(－a)，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
2.已知函數f(x)＝9x－3x＋1＋c(其中c是常數)．若當x∈[0，1]時，恒有f(x)<0成立，求實數c的取值范圍．
問題3：函數零點問題
1．設f(x)＝ln x＋x－2，則函數f(x)的零點所在的區間為(　　)
A．(0，1)　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
2.已知函數f(x)＝－cos x，則f(x)在[0，2π]上的零點個數為________
3.設函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－b有三個零點，則實數b的取值范圍是(　　)
A．(1，＋∞) B. C．(1，＋∞)∪{0} D．(0，1]
4.若函數f(x)＝kx－|x－e－x|有兩個正實數零點，則k的取值范圍是(　　)
A．(0，＋∞)　　 B. C．(0，1) D．(0，e)
【歸納生成】
通過冪、指、對函數的代數運算及圖像性質，總結研究函數的思想方法。
學習活動8：函數應用
問題1.在數學問題中的應用
1.從定義和周期性兩個方面思考解決問題，比較異同
（2021·全國高考真題（理））設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
2．函數與方程的應用，運用數形結合思想，轉化與化歸思想解決問題
（2020·天津高考真題）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3.利用函數奇偶性與單調性解抽象函數不等式，利用分類討論思想解決問題，
（2020·海南高考真題）若定義在的奇函數f(x)在單調遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
問題2.在實際生活中的應用
1.如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點的距離是2km,從點沿海岸正東12km處有一個城鎮。
假設一個人駕駛的小船的平均速度為3km/h,步行的速度是5km/h，(單位:h),表示他從小島到城鎮的時間，(單位)表示此人將船停在海岸處距點的距離，（1）請將表示為的函數。
（2）如果將船停在距點4 km處，那么從小島到城鎮要多長時間（精準到1h）？
2.某公司共有60位員工，為提高員工的業務技術水平，公司擬聘請專業培訓機構進行培訓．培訓的總費用由兩部分組成：一部分是給每位參加員工支付400元的培訓材料費；另一部分是給培訓機構繳納的培訓費．若參加培訓的員工人數不超過30人，則每人收取培訓費1000元；若參加培訓的員工人數超過30人，則每超過1人，人均培訓費減少20元．設公司參加培訓的員工人數為人，此次培訓的總費用為元．
（1）求出與之間的函數關系式；
（2）請你預算：公司此次培訓的總費用最多需要多少元？
3.某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規則制定:
(1)5公里以內(含5公里),票價2元;
(2)5公里以上,每增加5公里,票價增加1元(不足5公里的按5公里計算).如果某條線路的總里程為20公里,請根據題意,寫出票價與里程之間的函數解析式,并畫出函數的圖象.
【實踐生成】
請總結建立數學模型運用函數性質解決問題的一般方法.
函數
—— 糾錯反思總結提升
【學習目標】
1.結合271BAY中的學習資源，以圖像、性質、應用為核心，重構函數的知識、邏輯、能力、價值意義體系，總結出解決函數問題常用的方法；
2.探究指對冪函數的性質特點，嘗試著畫出構造的新函數的圖像，能從多個角度揭示函數、方程與不等式的本質；
3.圍繞函數的圖像、性質、應用進行重構過關，歸納在綜合情境和生活情境中建立函數模型，解決生活中相關問題的普遍規律.
活動9：重構單元體系
從函數的概念、冪指對函數的圖像與性質等方面層層深入，再次閱讀《函數》的課本內容及271BAY相關資源，重構函數的知識、邏輯、能力、價值意義體系.
活動10：應用過關
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知，則 （ ）
A． B. C. D.
2. 若函數是指數函數，則有 （ ）
A. B. C. D.
3. 函數的圖象關于（ ）
A．x軸對稱 B．y軸對稱 C．原點對稱 D．直線y=x對稱
4. 函數的定義域為 （ ）
A. B. C. D.
5. 若函數的圖象在第一、三、四象限內，則（ ）
A、 B、且 C、 D、
6. 若函數的定義域為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知，則a、b的關系是（ ）
A．1＜b＜a B．1＜a＜b C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜1
8.函數是上的減函數，則的取值范圍是（ ）
A．（0，1） B． C． D．
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)
9.在下面給出的函數中，當時，能夠使恒成立的函數有（ ） A． B． C． D．
10.函數的圖象不可能是（ ）
11．已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．
C．若，則或 D．若方程有兩個不同的實數根，則
12.給出以下四個結論，其中所有正確結論的序號是（ ）
A．若函數的定義域為，則函數的定義域是；
B．函數（其中，且）的圖象過定點；
C．當時，冪函數的圖象是一條直線；
D．若，則的取值范圍是.
填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13. 設函數 ，則不等式的解集為______________.
14. 已知函數是偶函數，則的值為______________.
15.已知函數與滿足
如果函數的定義域為，則的定義域為_________
如果函數的定義域為，則的定義域為________
已知函數f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=　　　　　　　.
四、解答題：本題共6個小題，滿分70分.解答題應寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟.
17.（本題滿分10分）（1）計算：
（2）若，求的值.
18.（本題滿分12分）已知.
求函數的定義域； （2）判斷并證明的奇偶性.
19.（本題滿分12分）已知定義域為的函數是奇函數.
（1）求的值；
（2）證明：在上是增函數.
20.（本題滿分12分）設，其中且，比較與的大小，并證明.
21.（本題滿分12分）函數的最小值為，求的解析式.
22.（本題滿分12分）已知且，求函數的最大值和最小值．
活動11： 糾錯 反思 總結 提升
從以下方面進行反思總結：
學習態度、習慣方面：
課堂的參與、效率方面：
每天的落實清底子方面：
二、針對錯題，進行糾錯（注意錯因分析，方法的總結，每道題都當作解答題進行糾錯）

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