資源簡介

高三數學一輪復習
《三角函數與解三角形》
大單元整體學習學程
班級___________________
小組___________________
姓名___________________
三角函數與解三角形
——學習周期性函數的本質及應用
【學科大概念】用三角函數研究、表達客觀世界中事物的周期性變化規律，用三角函數模型解決不可到達距離測量問題.
【課程大概念】借鑒研究一般函數的方法，研究三角函數，用三角函數刻畫現實世界中事物的周期性變化規律，發展邏輯推理、抽象概括能力；建立三角形模型解決三角形邊、角問題，發展數學建模能力.
【單元概述】
三角函數與解三角形是由三角函數和解三角形兩個單元組合而成，其內容包括三角函數的概念、分類、表示、性質、圖像與三角函數的應用，解三角形等.在學習的過程中要理解為什么要進行角度與弧度的轉化，即明確三角函數的定義域，在此基礎上掌握弧長公式，扇形面積計算公式；然后明確三角函數的對應法則，即三角函數的概念；明確了這樣的對應關系之后，利用對稱性探究總結這種對應關系之間的內聯系，進而得到誘導公式；在掌握定義域、對應法則的基礎上利用函數圖像研究分析函數基本性質并對其進行歸納總結。借助單位圓進一步推導三角函數的同角三角函數關系式，和角、差角、倍角公式；最后建立解三角形模型，利用正弦定理、余弦定理求解三角形的邊角問題.
【高考考查方向】
1.利用三角函數定義求三角函數值； 2.借助三角函數圖像研究分析三角函數性質；3.對三角式進行化簡求值；4.利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題.
【課標要求】
1.了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化.
2.借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，能畫出這些三角函數的圖象，了解三角函數的周期性、奇偶性、最大（?。┲?借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式.
3.借助圖象理解正弦函數、余弦函數在上、正切函數在 上的性質.
4.結合具體實例，了解的實際意義；能借助圖象理解參數的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響.
5.理解同角三角函數的基本關系式.
6.能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，進行簡單的恒等變換.
7.會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型.
8.借助向量運算，探索三角形邊與角的關系，掌握余弦定理、正弦定理；能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.
【單元目標】
1. 梳理三角函數與解三角形的知識內容，明確他們的生成過程，利用內在邏輯聯系建構建三角函數與解三角形的知識、邏輯體系；
2. 借鑒一般函數研究方法研究學習三角函數，并用幾何直觀和代數運算的方法解決三角函數求值和三角函數圖像性質問題，明確三角函數是刻畫事物周期性變化規律的特殊函數模型，能建立解三角形模型解決不可到達測量問題發展數學建模能力；
3. 重構三角函數的知識、邏輯、能力、價值意義體系，能用三角函數圖像和性質解決與三角函數有關的問題，能用正、余弦定理解決解三角形問題，通過完成活動實現的轉化目標.
【單元學習計劃】
學習過程 學習任務 課時
整體建構 任務一：梳理三角函數，三角恒等變換，解三角形的知識內容；任務二：構建知識、邏輯體系 4
探究遷移 任務一：探究一般三角函數性質與圖像，從數與形表示三角函數任務二：建立三角函數的模型解決生活中的問題 7
拓展過關 構建四大體系、糾錯反思總結提升 4
【單元前測】
一、單選題
1.若，從單位圓中的三角函數線觀察的大小是（ ）
A. B.
C. D.
2.函數的圖像與函數的圖像的交點個數是(　　)
A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4
3.若將某正弦函數的圖像向右平移個單位后，所得到的圖像的函數表達式是，則原來的函數表達式為(　　)
A． B．
C．　 D．
4.在中，已知，則（ ）
A. B. C. D.
二、多選題
1.的三邊所對的角分別是，下列所給條件能確定這個三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若在是減函數，則的可能值有（ ）
A. B. C. D.
三、填空題
1.已知，則
2.在中，，則的面積等于
四、解答題
1.函數的部分圖像如圖所示，求函數的解析式.
2.在平面四邊形中，.
（1）求；
（2）若，求.
【評價預設】
評價內 容 水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我評價
整體建構 能明確三角函數與解三角形包含的知識內容 能利用單位圓逐步推導本單元知識內容，并根據這些內容初步形成體系 能利用知識的內在邏輯聯系構建形成本單元知識體系，并能進一步拓展聯系其他相關知識內容
探究遷移 能明確各知識內容的由來及用這些知識能夠解決的那些問題 能根據問題恰當選擇方法和用到的三角知識解決問題，形成解題的方法體系 能構建三角函數模型解決簡諧運動、單擺、波形圖像等問題；能構建解三角形模型解決不可到達距離測量問題
拓展過關 重構三角函數與解三角形的知識、邏輯、能力、價值意義體系 歸納總結在知識體系的基礎進一步構建好方法體系 過關達標
三角函數與解三角形
——梳理構建三角函數與解三角形的知識、邏輯體系
【學習目標】
1.梳理三角函數與解三角形的知識內容，明確它們生成過程，利用其內在邏輯聯系建構三角函數與解三角形知識、邏輯體系；
2.借助單位圓逐步推導三角函數與解三角形的知識內容，明確這些內容與相關知識的聯系以及能夠解決的問題；
3.梳理三角函數與解三角形能解決的問題，構建三角函數與解三角形的價值意義體系.
任務1：梳理推導三角函數與解三角形的知識內容，歸納總結相關公式，明確單元結構
活動1：梳理角度轉化成弧度的原因
問題1.為什么要進行角度與弧度的轉換？
問題2.推導弧長公式和扇形面積計算公式.
歸納總結：
活動2：利用三角函數的對應法則梳理三角函數的概念，圖像和性質
問題1.借助單位圓梳理三角函數的定義及表示
問題2.借助單位圓和三角函數線畫出正弦、余弦、正切函數的圖象
正弦：
余弦：
正切：
歸納總結：
問題3.利用上述函數圖像梳理三角函數性質
問題4.借助單位圓和點對稱的關系推導誘導公式
公式二 公式三 公式四
公式五 公式六
歸納總結：
活動3：同角三角函數的基本關系式和三角恒等變換公式推導
問題1.利用單位圓推導同角三角函數基本關系式
問題2.利用向量和單位圓推導和角、差角公式
問題3.利用和角公式推導倍角公式
活動4：正弦定理、余弦定理的推導
問題1.余弦定理的推導
問題2.正弦定理的推導
歸納總結：
任務2：梳理構建本單元的知識、邏輯體系
【整體構建評測】
水平等級 要求 自我評價 小組評價
水平一☆ 能明確三角函數與解三角形包含的知識內容
水平二☆☆ 能利用單位圓逐步推導本單元知識內容，并根據這些內容初步形成體系
水平三☆☆☆ 能利用知識的內在邏輯聯系構建形成本單元知識體系，并能進一步拓展聯系其他相關知識內容
三角函數與解三角形
——探究解決三角函數、解三角形的建模問題
【學習目標】
探究三角函數的定義、誘導關系、同角基本關系式及三角恒等變換，總結三角求值的方法；
從幾何直觀和代數運算的方法去研究正弦函數的性質，并能利用三角函數構建數學模型，解決實際問題；
通過正弦定理和余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題，能將測量和幾何計算有關的實際問題轉化成解三角形問題，發展數學建模的能力.
任務三：利用公式、概念、性質求解三角函數值
活動5：三角函數求值
1.（1）已知角的終邊經過點,求角的正弦、余弦和正切值.
已知角的終邊在直線上，求角的正弦、余弦和正切值.
2.已知，，則(　　)
A．　　　　B． C. D．
3.已知，則________.
4.已知，求下列各式的值：
（1）； （2）.
5.已知，求下列各式的值.
（1） （2）
（3） （4）.
6.已知f(x)＝(n∈Z)．
（1）化簡f(x)的表達式；
（2）求＋的值．
歸納總結：
活動6：化簡求值
1.（1）計算
（2）.
2.（1）在中，若，則________.
（2）＝________.
3.已知，求的值
4.已知函數，.
（1）求的值；
（2）若，且，求.
歸納總結：
任務四：分析三角函數圖像和性質并用圖像和性質解決問題
活動7：三角函數圖像和性質
1.用“五點法”作出函數的圖象.
2.根據上面作出的函數的圖象，作出函數的簡圖，此圖象是由經過怎樣的變換得到的？（嘗試寫出兩種變換方式）
3.把函數的圖象向右平移個單位長度，再把各點的縱坐標擴大為原來的2倍，所得圖象的函數解析式為 。
4.已知函數(A＞0，|φ|＜，ω＞0)的圖象的一部分如圖所示．
(1)求f(x)的表達式；
(2)試寫出f(x)的對稱軸方程和對稱中心．
歸納總結：
建?；顒右唬喝呛瘮悼坍嬍挛镏芷谛宰兓幝?br/>1.某地農業監測部門統計發現：該地區近幾年的生豬收購價格每四個月會重復出現．下表是今年前四個月的統計情況：
月份x 1 2 3 4
收購價格y(元/斤) 6 7 6 5
選用一個正弦型函數來近似描述收購價格(元/斤)與相應月份之間的函數關系為______________．
2.如圖，某公園摩天輪的半徑為40 m，圓心距地面的高度為50 m，摩天輪做勻速轉動，每3 min轉一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處．
（1）已知在時刻t(min)時P距離地面的高度(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π)，求2 017 min時P距離地面的高度；
（2）當離地面(50＋20)m以上時，可以看到公園的全貌，求轉一圈有多少時間可以看到公園的全貌？
3.已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數，記作y＝f(t)．下表是某日各時的浪高數據：
t(小時) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
經長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(A＞0，ω＞0)的圖象，根據以上數據，
（1）求函數f(t)的解析式；
（2）求一日(持續24小時)內，該海濱浴場的海浪高度超過1.25米的時間．
歸納總結：
活動8：三角函數中的綜合問題
1.函數y＝lg(sin x)＋ 的定義域為________．
2.函數y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域為___________________________________．
3.已知函數，其中，若f(x)的值域是，則實數a的取值范圍是________．
4.已知ω>0，函數在上單調遞減，則ω的取值范圍是________．
5.已知函數是偶函數，則θ的值為________．
6.已知函數,求函數的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時的取值集合.
7.已知函數f(x)＝sin 2x－cos 2x，.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的圖象關于點對稱，且t∈(0，π)，求t的值；
(3)當時，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求實數m的取值范圍．
8．已知函數f(x)＝(sin ωx－cos ωx)cos ωx＋(ω＞0)的圖象的一條對稱軸為x＝π.
(1)求ω的最小值；
(2)當ω取最小值時，若，，求的值．
9.(2019·全國卷Ⅲ)設函數已知f(x)在有且僅有5個零點，下述四個結論：
①f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點；
②f(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點；
③f(x)在單調遞增；
④ ω的取值范圍是.
其中所有正確結論的編號是(　　)
A．①④　　　　　　　 B．②③
C．①②③ D．①③④
歸納總結：
任務五：用正弦、余弦定理求解三角形，并構建模型解決不可到達距離測量問題
活動9：利用正余弦定理解三角形
在中，角A、B、C的對邊分別用表示，已知，則的面積是多少？
2.在中，已知，求此三角形的三個角的余弦值和面積.
3．在中，，則（ ）
A．300 B．300或1500 C．600 D．600或1200
4.（多選） 在中，已知，，，則邊長(　 　)
A.3 B. C. D .6
5.已知銳角三角形中，，的面積是，則（ ）
A.2 B.-2 C.4 D.-4
6.已知三角形滿足條件則 .
7.在
8．(多選)下列命題中，正確的是(　　)
A．在△ABC中，若A＞B，則sin A＞sin B
B．在銳角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，則△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形
9．（創新題型）在△ABC中，已知＝且還滿足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcos A＋acos B＝csin C中的一個條件，試判斷△ABC的形狀，并寫出推理過程．
10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.
(1)求角C的大?。?br/>(2)若c＝3，△ABC的面積S＝，求△ABC的周長．
10.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若角A，B，C成等差數列，且b＝.
(1)求△ABC的外接圓直徑；
(2)求a＋c的取值范圍．
歸納總結：
建?；顒佣航⒔馊切文Ｐ徒鉀Q不可到達測量距離問題
1.在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角，在塔底C處測得A處的俯角．已知鐵塔BC部分的高為50 m,求山高CD.
2.某巡邏艇在A處發現北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？
（注:,）
【探究遷移評測】
水平等級 要求 自我評價 小組評價
水平一☆ 能明確各知識內容的由來及用這些知識能夠解決的那些問題
水平二☆☆ 能根據問題恰當選擇方法和用到的三角知識解決問題，形成解題的方法體系
水平三☆☆☆ 能構建三角函數模型解決簡諧運動、單擺、波形圖像等問題；能構建解三角形模型解決不可到達距離測量問題
三角函數與解三角形
—— 糾錯反思總結提升
【學習目標】
圍繞三角函數的圖像和性質，三角形邊角關系，重構三角函數的知識、邏輯、能力、價值意義四大體系；
能夠根據三角函數的圖像分析其性質，解決與三角函數有關的問題；并能用正余弦定理解決求三角形的問題，解決三角形邊、角求解問題；
通過完成活動理解并掌握三角函數與解三角形的所有內容，實現的小組轉化目標.
活動1：重構單元體系
從三角函數定義、三角函數的圖像與性質及解三角形等方面層層深入，再次閱讀《三角函數》的課本內容，重構三角函數與解三角形的知識、邏輯、能力、價值意義體系.
活動2：應用過關
1.下列函數中，以為周期且在區間(，)單調遞增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
2.已知則
A． B． C． D．
3.已知函數是奇函數，將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應的函數為．若的最小正周期為，且，則
A． B． C． D．
4.在中，則
A. B. C. D.
5.將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數
A. 在區間上單調遞增 B. 在區間上單調遞減
C. 在區間上單調遞增 D. 在區間上單調遞減
6.的內角A,B,C的對邊分別為a，b，c，若的面積為則C=
A. B. C. D.
7.已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結論正確的是
A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
8.設函數f(x)=cos(x+)，則下列結論錯誤的是
A．f(x)的一個周期為 2π B．y=f(x)的圖像關于直線x=對稱
C．f(x+π)的一個零點為x= D．f(x)在(,π)單調遞減
9.函數f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
10.已知，則的值是 .
11.在中，，，，點在線段上，若，則___________，___________．
12.設函數，若對任意的實數都成立，則的最小值為__________
13.函數在的零點個數為________．
14.已知則______．
15.的內角的對邊分別為，設．
（1）求；（2）若，求．
16.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．
17.在中，．
（1）求b，c的值；
（2）求sin（B–C）的值．
18.在中，．
（1）求；
（2）求邊上的高．
19.在平面四邊形中，，.
（1）求；
（2）若，求.
20.的內角的對邊分別為a，b，c，已知的面積為
（1）求；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.
21.的內角所對的邊分別為，已知，
（1）求；
（2）若，的面積為，求.
22.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知 ，a=2,b=2.
（1）求c；
（2）設D為BC邊上一點，且ADAC,求△ABD的面積.
活動3： 糾錯 反思 總結 提升
從以下方面進行反思總結：
學習態度、習慣方面：
課堂的參與、效率方面：
每天的落實清底子方面：
二、針對錯題，進行糾錯（注意錯因分析，方法的總結，每道題都當作解答題進行糾錯）
整體建構
學習活動
探究遷移
學習活動
拓展過關
學習活動

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