資源簡介

《空間幾何體》大單元整體學習學程 班級：________小組：________ 姓名：_______評價：__________
高二數學
大單元整體學習學程
直線與圓
班級：
小組：
姓名：
第八單元：直線與圓
單元概述
【學科大概念】
利用點的坐標，刻畫幾何對象，研究幾何對象的性質以及探討幾何對象之間的關系。
【課程大概念】
建立平面直角坐標系，依托對方程和幾何性質的研究，揭示解析幾何的本質，發展數學抽象和數學建模能力，初步形成研究解析幾何的一般思路即用代數方法解決幾何問題。
【單元內容】
坐標法、直線及其方程、圓及其方程、兩直線位置關系、兩圓的位置關系、直線與圓的位置關系。
【課標要求】
1.直線與方程
（1）在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。
（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。
（3）能根據斜率判定兩條直線平行或垂直。
（4）根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）。
（5）能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標。
（6）探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。
2.圓與方程
（1）回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程。
（2）能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系。
（3）能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題。
【單元目標】
1.類比數軸上的點與實數的對應關系，確立點、直線、曲線幾何性質的研究方法，能用坐標法表述直線方程、圓的方程，初步接觸解析幾何的思想。
2.探索空間中兩直線位置關系、圓與圓的位置關系、直線與圓的位置，并能用代數法刻畫這三種位置關系，形成數與形問題的相互轉化能力。
3.結合實際問題，建立數學模型，運用坐標法解決解析幾何的核心問題，提升數學建模和數學抽象的數學核心素養。
4.從直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關系重構單元結構，掌握解析幾何的基本思想和方法即借助數和形的對應關系建立曲線方程，把形的問題轉化為數的研究，再把數的研究轉化為形來討論。
【評價預設】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我評價
能用坐標法表示直線方程、圓的方程，能根據條件選擇合適的方法求出直線方程、圓的方程。 能用坐標法研究兩直線、直線與圓、圓與圓間的位置關系。 根據實際問題熟練的進行數學建模，用適合的方法建系，借助數和形的對應關系建立曲線方程，解決實際問題。
【學習導航】
本單元研究對象是幾何圖形，所用的研究方法主要是代數方法，學習分為四個階段。
1.第一階段整體感知：接觸坐標法，并且能用坐標法表示直線方程和圓的方程。第二階段重構拓展主要是探究探究直線方程、圓的方程的求法，能用坐標法研究兩直線、直線與圓、圓與圓間的位置關系。要注意直線的斜率以及點到直線的距離這兩個工具性的章節。第三階段應用遷移，要能根據實際問題熟練的進行數學建模，用適合的方法建系，借助數和形的對應關系建立曲線方程，解決實際問題。第四階段重構過關。
2.本單元研究直線所用的數學思想方法主要有函數和方程的思想、數形結合思想、分類討論思想及劃歸思想，直線的方程是在歸納的基礎上得到的，在研究兩直線位置關系時教材強調了用代數研究幾何問題的方法，并給出了怎樣利用向量來直觀理解直線與直線的位置關系的內容，巧妙的把數學直觀和數學抽象結合在一起。
3.在學習中要體會數學知識和其它學科的聯系，體會如何用數學知識證明現實世界存在的一些現象的本質，學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界。
【學時建議】
學習階段 學習任務 課時安排
整體感知 能用坐標法表示直線方程、圓的方程 3
探究建構 探究直線方程、圓的方程的求法，能用坐標法研究兩直線、直線與圓、圓與圓間的位置關系。 5
應用遷移 根據實際問題熟練的進行數學建模，用適合的方法建系，借助數和形的對應關系建立曲線方程，解決實際問題。 3
重構拓展 重構單元結構，拓展單元內容，進行單元過關檢測 2
直線與圓
----探究解析幾何的研究路徑
【學習目標】
1.類比向量的坐標表示，探索平面直角坐標系中的兩點間的距離公式和中點坐標公式，說出坐標法解決平面幾何問題的簡便性。
2.經歷對直線、圓兩種幾何圖形的直觀感知到坐標刻畫過程，能表述直線方程、圓的方程。
3.通過對直線的方程、圓的方程的概念獲得過程的研究，體驗感悟概念的本質內涵。
【學習任務】探究解析幾何的研究路徑
—類比向量的坐標表示將直線與圓放到平面直角坐標系中
問題1：回顧必修四所學內容，與同小組的同學說一說如何運用坐標表示向量，如何計算向量的模。
問題2：借助向量的模計算公式推導出在平面直角坐標系中計算兩點間的距離，借助向量的坐標表示推導出平面直角坐標系兩點間的中點坐標公式。
問題3：借助平面直角坐標系解決以下問題：
已知ABCD是一個長方形，且M是ABCD所在平面上任意一個點，求證：.
--探究直線的基本要素并表示出直線方程
小明同學周末去逛超市，在乘坐自動扶梯的時候，發現超市里有從一樓直達二樓和直達三樓的兩種電梯，若超市的層高相同，水平寬度相同，你能用數學的知識來解釋這兩種扶梯的區別嗎？
問題1：（1）上述情境中容易看出，兩種扶梯的傾斜程度不同.如果將一個扶梯看作一條直線，你如何描述它的傾斜程度呢？傾斜角的范圍是什么？
、
（2）在生活中，我們常用“升高量與前進量的比”表示傾斜面的“坡度”（傾斜程度），則坡度的公式是怎樣？并結合傾斜角，抽象出直線斜率的概念及表示方法.
問題2：設是平面直角坐標系中的直線，分別滿足下列條件的是否唯一.如果唯一，作出相應的直線，并思考直線上任意一點的坐標應該滿足什么條件.
(1)已知的斜率不存在；
(2)已知的斜率不存在且過點；
(3)已知的斜率為；
(4)已知的斜率為且經過點.
問題3：寫出滿足下列條件的直線的方程.
①經過點(3,2),斜率為； ②在軸上的截距為2,斜率為-1；
③經過點(-2,1)且垂直于軸； ④在軸上的截距為2，且與軸平行；
⑤在，軸上的截距分別是4，-3； ⑥經過A(-1,8),B(4,-2)兩點.
——探究確定圓的幾何要素并推導圓的方程
摩天輪從建成以來之所以能一直吸引眾多的愛好者，除了尋找刺激之外，還因為它獨特而五彩繽紛的外觀，你能用數學語言來描述它的外觀美嗎？
問題1：探究圓的標準方程
1.在乘坐摩天輪的時候，我們的座椅在旋轉的過程中會畫出一個圓形，我們是如何定義這個圖形的？那確定圖形的幾何要素是什么？哪個幾何要素決定了圓的大小？哪個幾何要素決定了圓的位置？
2.根據圓的定義中蘊含的確定圓的幾何要素，怎樣從動點軌跡的角度理解圓的定義？
3.在平面直角坐標系中，表示出圓心為，半徑為的點的集合.
問題2：探究圓的一般方程
1.圓的標準方程是關于的二元二次方程，而二元二次方程都表示圓嗎？
2.把圓的標準方程左邊展開，如果令，則這個方程變成了怎樣的形式？有什么特點？
【形成性評價1】
請你自己選擇一個曲線，按照解析幾何研究的思路來闡述你怎樣研究這一曲線。
直線與圓
-----解決直線與圓的綜合問題
【學習目標】
1.探索直線方程五種形式的區別與聯系，能求直線方程；類比直線方程的求法，探索圓的方程的兩種求解方法并進行比較；
2.從具體情境中抽象并探究兩直線位置關系、兩圓位置關系、直線與圓位置關系的代數刻畫，說出對代數方法研究幾何問題的理解；
3.經歷幾何問題代數化的過程，掌握解析幾何方法，解決直線與圓的綜合問題。
【情境任務】解決直線與圓的綜合問題
——探究直線方程的求法
問題1.如果已知a=(u,v)為直線的一個方向向量，你能由此寫出的斜率k和傾斜角嗎？
問題2.在平面直角坐標系中，給定一個點和斜率，如何推導出直線的點斜式方程？
問題3.直線的斜截式方程是什么？直線的斜截式方程和直線的點斜式方程什么關系？直線的斜截式方程和一次函數的表達式有什么聯系和區別？
問題4.直線經過與，直線的方程是什么？寫出推導過程.
問題5.直線在軸上的截距是如何定義的？直線在上截距分別為，且，寫出直線的方程.
問題6.寫出直線的一般式方程.它可以表示平面直角坐標系上的任意直線嗎？
【學習評測】
1.直線經過點P(2,3),且在x,y軸上的截距相等，試求該直線的方程.
2.求經過兩條直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－2y＋1＝0的交點且與兩坐標軸圍成的三角形面積為的直線l的方程．
----探究圓的方程的求法
某施工隊要建一座圓拱橋，其跨度為20m， 拱高為4m.已知一條滿載貨物的集裝箱船，該船及貨物離水面的高度是2米，船4米，問該船能否通過該橋？若能，那么船在什么區域內可通過？若不能，說明理由.
【歸納生成】
總結用圓的標準方程解決實際問題的活動經驗.
【學習評測】
1.已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)，則該圓的方程是________________．
2.已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為________．
3.已知以點P為圓心的圓經過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4.
(1)求直線CD的方程；
(2)求圓P的方程．
----探究直線與直線的位置關系
在初中我們已經明確在同一平面內，兩直線的位置關系主要有相交、平行和重合，那么我們能否通過直線的斜率，用代數方法來判斷平面上兩條直線的位置關系呢？
問題1.設兩條直線的斜率分別為.當時，與滿足什么關系？請寫出推導過程.
問題2.設兩條直線的斜率分別為.當時，與滿足什么關系？請寫出推導過程.
問題3.如何判斷斜率不存在的直線的位置關系.
問題4.已知兩條直線的方程為，則下列系數滿足什么條件，使得相交、平行、垂直？
【歸納生成】
歸納出判斷兩直線平行、相交、垂直的方法.
【學習評測】
1.已知直線方程：：2x－4y＋7＝0，：x－2y＋5＝0，則與的關系是_________．
2.若點A(0,1)，B(，4)在直線上，直線⊥，則的傾斜角為________．
3.下列直線中，能夠與直線x＋3y＋4＝0相交的直線是________．
①x＋3y＝1；②3x＋y＝0；③＋＝1；④y＝－x＋4.
---探究點到直線的距離
類比空間中點到直線的距離，你能想辦法求出到直線的距離嗎？寫出求解過程.
問題1.如何求點到直線的距離？寫出研究過程.
問題2.你能用向量的數量積推導點到直線的距離公式嗎？寫出推導過程.
【歸納生成】
用向量研究點到直線距離的思路.
【學習評測】
1.求下列點到直線的距離
(1) （2）
2.在軸上與的距離等于5的點的坐標是 .
3.兩直線與之間的距離是 .
---探究直線與圓的位置關系
《使至塞上》
王維
單車欲問邊，屬國過居延.
征蓬出漢塞，歸雁入胡天.
大漠孤煙直，長河落日圓.
蕭關逢候騎，都護在燕然.
第三句以出色的描寫，道出了邊塞之景的奇特壯麗和作者的孤寂之感.詩中的夕陽在西落的過程中，與地平線的位置關系有哪幾種，請用圖形語言描述.那你的分類依據又是什么？
問題1.我們已經知道，在平面直角坐標系中，直線和圓都可以用方程來表示，一個點是否在直線或圓上，只要看這個點的坐標是否滿足他們的方程即可。那么能否利用直線與圓的方程來研究它們之間的位置關系呢？請嘗試用代數法判斷直線與圓的位置關系。
問題2. 如何利用幾何法研究直線與圓的位置關系？
【歸納生成】
歸納直線與圓位置關系的判定方法.
【學習評測】
1.過原點且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為 .
2.已知過點的直線被圓所截得的弦長為，求直線的方程.
---探究圓與圓的位置關系
觀察下面生活中常見的圖形，感受圓與圓之間有哪些位置關系？
問題1.圓與圓位置關系有哪幾種？如何刻畫這幾種關系？
問題2.類比直線與圓的位置關系判斷方法，思考如何用代數法與幾何法判斷兩圓的位置關系？
【歸納生成】
歸納判斷圓與圓位置關系的方法.
【學習評測】
1.已知圓交于A、B兩點，則AB所在的直線方程是_______________.
2.已知和,則這兩圓的公共弦長為 ．
3.已知圓和圓相交于A、B兩點，求：(1)公共弦AB所在直線的方程 （2）公共弦的長度.
【形成性評價2】
評價標準1：用兩種方法求直線方程、圓的方程
評價問題：直線經過直線和的交點，且在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程.
評價標準2：兩直線的位置關系求參數
評價問題：已知直線，求滿足下列條件的的取值.
(1) 相交 (2) 平行 (3) 重合
評價標準3：直線與圓的位置關系解決綜合問題
評價問題：已知直線與圓Ｃ：交于A、B兩點。
（1）求線段AB的垂直平分線的方程；
（2）若，求的值
（3）在（2）的條件下，求過點的圓C的切線方程
直線與圓
-- --運用代數法解決平面幾何的核心問題
【學習目標】
1.運用代數法解決平面幾何的核心問題，舉實例說明代數法和幾何法的異同及轉化策略；
2.從實際問題情境中抽象出解析幾何模型，解決直線與圓的位置關系問題；
3.通過問題的解決提升直觀想象、數學建模和數學抽象的數學核心素養。
【情境任務】運用代數法解決平面幾何的核心問題
----點到直線的距離
某倉庫附近有一條鐵路，現需要修一條公路把倉庫和鐵路連接起來，為了節約成本，距離越短費用越低，現將鐵路看成一條直線，應如何求出倉庫到鐵路的最短距離？
問題1：設倉庫的坐標為，鐵路所在直線方程為,如何求點到直線的最短距離，嘗試寫出求解過程？
問題2：驗證當時，問題1中的公式是否成立？
問題3：建立適當的坐標系，可得倉庫所在位置的坐標為，鐵路所在直線方程為，求出倉庫到鐵路的最短距離？
----直線與圓的方程在平面幾何中的應用
已知內接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.
問題1：許多平面幾何問題常利用“坐標法”來解決，首先要做的工作是建立適當的直角坐標系，在本題中應如何選取坐標系？
問題2：如圖所示建立直角坐標系，設四邊形的四個頂點分別為點A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d)，那么BC邊的長為多少？
問題3：四邊形ABCD的外接圓圓心M的坐標如何？
問題4：如何計算圓心M到直線AD的距離|MN|？
問題5：由上述計算可得|BC|=2|MN|，從而命題成立.你能用平面幾何知識證明這個命題嗎？
----直線與圓的方程在實際生活中的應用
一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70 km處， 受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區域. 已知港口位于臺風中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？
問題1：你有什么辦法判斷輪船航線是否經過臺風圓域？
問題2：如圖所示建立直角坐標系，取10km為長度單位，那么輪船航線所在直線和臺風圓域邊界所在圓的方程分別是什么？
問題3：直線4x＋7y－28＝0與圓x2＋y2＝9的位置關系如何？對問題1應作怎樣的回答？
【學習評測】
如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖. 這個圓的圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m）
你能用幾何法求支柱A2P2的高度嗎？
如圖所示建立直角坐標系，那么求支柱A2P2的高度，化歸為求一個什么問題？
取1m為長度單位，如何求圓拱所在圓的方程？
利用這個圓的方程可求得點P2的縱坐標是多少？問題Ⅱ的答案如何？
【形成性評價3】
評價標準1：能夠利用直線和圓方程解決幾何問題
評價問題：(1)求直線l: 2x-y-2=0被圓C: (x-3)2+y2=0所截得的弦長.
(2)已知圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，點A(3，5)．
(1)求過點A的圓的切線方程；
(2)O點是坐標原點，連接OA，OC，求△AOC的面積S.
評價標準2：能夠利用直線和圓方程解決實際問題
評價問題： 一個小島的周圍有環島暗礁,暗礁分布以小島的中心為圓心,半徑30km的圓形區域.已知小島中心位于輪船正西70km處,港口位于小島中心正北40km處,如果輪船沿直線返航,那么它是否會有觸礁危險
直線與圓
---應用代數法解決解析幾何中的綜合問題
【學習目標】
1.結合271bay中的學習資源，從直線與圓的幾何要素、方程、關系三個方面構建單元知識與邏輯體系。
2.能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程，體會數學學習中的類比、由特殊到一般等探索的學習方式。
3.類比直線方程、圓的方程的求法，探索出三種圓錐曲線的方程，深刻理解解析幾何思想。
【單元重構】
從直線方程、圓的方程、位置關系等方面層層深入，再次閱讀《直線與圓》的課本內容及271BAY相關資源，梳理本單元的核心知識和它們邏輯體系，重構思維導圖.
【單元拓展】
學習了解析幾何解決問題的方法后，我們能熟練地建立坐標系求出直線方程和圓的方程，并能研究兩者的位置關系。請大家按照下面的要求動手操作，給出切割后得到了什么曲線？能不能類比求出這些曲線的方程？
（1）當平面與圓錐面的母線平行，且不過圓錐頂點；
（2）當平面只與圓錐面一側相交，且不過圓錐頂點；
（3）當平面只與圓錐面一側相交，且不過圓錐頂點，并與圓錐面的對稱軸垂直；
（4）當平面與圓錐面兩側都相交，且不過圓錐頂點，結果為雙曲線的一支（另一支為此圓錐面的對頂圓錐面與平面的交線）；
【單元過關】
——求直線方程、圓的方程
1.已知點A（-7，4），點B（-5，6），則線段AB的垂直平分線的方程 ________________________.
2.已知直線過點且其法向量為，則其方程為 ；已知直線過點且其方向向量為，則其方程為 .
——直線與圓位置關系的應用
3.已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)，則該圓的方程是________________．
4.已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為________．
5.已知以點P為圓心的圓經過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4.
(1)求直線CD的方程；
(2)求圓P的方程．
形成性評價4
水平劃分 水平標準 自我評價
水平一 從直線與圓的幾何要素、方程、關系三個方面構建單元知識與邏輯體系
水平二 能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程，體會數學學習中的類比、由特殊到一般等探索的學習方式。
水平三 類比直線方程、圓的方程的求法，探索出三種圓錐曲線的方程，深刻理解解析幾何思想。
單元檢測
一、選擇題：
1. 直線的傾斜角為( )
A． B． C. D.
2.將直線繞原點逆時針旋轉，再向右平移1個單位，所得到的直線為（　　）
A. B. C. D.
3．直線與圓相切，則實數等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．過點的直線與圓相交于，兩點，則的最小值為（　　）
A．2　　 B．　 C．3　　 D．
5.若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和x軸都相切，則該圓的標準
方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知圓：+=1，圓與圓關于直線對稱，則圓的方
程為（ ）
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
7.已知圓C與直線 及都相切，圓心在直線上，則圓C的
方程為（ ）
A. B.
C. D.
8．設在軸上，它到點的距離等于到點的距離的兩倍，那么點的坐標是( )
A.（1，0，0）和（ -1，0，0） B.（2，0，0）和（-2，0，0）
C.（，0，0）和（，0，0） D.（，0，0）和（，0，0）
9．直線被圓所截得的弦長為( )
Ａ． B． C．　D．
10.若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是（ ）
A.[，] B.[，3] C.[-1，] D.[，3]
二、填空題：
11.設若圓與圓的公共弦長為，則=______.
12.已知圓過點，且圓心在軸的正半軸上，直線被該圓所截得的弦長為，則圓的標準方程為_________ ___．
13．已知圓的圓心與點關于直線對稱．直線與圓相
交于兩點，且，則圓的方程為 ．
14．已知直線與直線 平行，則 ．
15.直線被兩平行線所截得的線段的長為，則的
傾斜角可以是①；②；③；④；⑤. 其中正確答案的序號是 .
三、解答題：
16(1).已知圓C經過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，求圓C的方程.
．(2)求與圓同心，且與直線相切的圓的方程.
17.已知圓，
（Ⅰ）若直線過定點(1，0)，且與圓相切，求的方程；
(Ⅱ) 若圓的半徑為3，圓心在直線：上，且與圓外切，求圓的方程．
18.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9.
(1)判斷兩圓的位置關系;
(2)求直線m的方程，使直線m被圓C1截得的弦長為4，與圓C截得的弦長是6.
19.已知圓C： 直線
（1）證明：不論取何實數，直線與圓C恒相交；
（2）求直線被圓C所截得的弦長的最小值及此時直線的方程；
20．已知以點C (t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
(1)求證：△AOB的面積為定值；
(2)設直線2x＋y－4＝0與圓C交于點M、N，若OM＝ON，求圓C的方程；
21.在平面直角坐標系中，已知圓 的圓心為，過點且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OADB,是否存在常數，使得直線OD與PQ平行如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．

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