資源簡介

高二數學
大單元整體學習學程
圓錐曲線
班級：
小組：
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第六單元：圓錐曲線
單元概述
【學科大概念】利用點的坐標，刻畫幾何對象，研究幾何對象的性質以及探討幾何對象之間的關系
【課程大概念】建立平面直角坐標系，依托對方程和幾何性質的研究，揭示解析幾何的本質，發展數學抽象和數學建模能力，初步形成研究解析幾何的一般思路即用代數方法解決幾何問題。
【單元內容】
圓錐曲線是在學習了直線和圓的方程和平面直角坐標系的基礎上，具體研究橢圓、雙曲線、拋物線這三種圓錐曲線的標準方程和幾何性質，并判斷直線與圓錐曲線的位置關系，進一步體會坐標法在解決幾何問題中的重要性.并分析和解決與圓錐曲線相關的問題，主要發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等數學素養。在高考中主要以三種曲線的定義、幾何性質及與直線的位置關系為載體考查數學運算能力和邏輯推理能力。
【課標要求】
1.了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；
2.了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及他們的簡單幾何性質；
3.了解橢圓、拋物線的簡單應用；
4.經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質；
5.通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想。
【單元目標】
通過研究直線、圓及直線與圓的位置關系，明確解析幾何的研究方法--坐標法，從而說出研究圓錐曲線的一般思路；
通過對平面直角坐標系中圖形及對應方程關系的研究，從圖形的性質和方程的特點兩個角度研究圓錐曲線的幾何性質，揭示圓錐曲線的本質；
建立數學模型，運用坐標法解決解析幾何的核心問題，歸納坐標法解決解析幾何問題的一般思路和方法；
從三種圓錐曲線的定義與性質、直線與圓錐曲線的位置關系等方面重構單元結構，掌握解析幾何的基本思想和方法即借助數和形的對應關系建立曲線方程，把形的問題轉化為數的研究，再把數的研究轉化為形來討論.
【評價預設】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我評價
說出橢圓、雙曲線、拋物線的定義及幾何性質，能根據簡單的條件求出其標準方程 能根據直線與圓錐曲線的位置關系，解決弦長、交點等問題 靈活運用圓錐曲線的性質及直線與圓錐曲線的位置關系，解決綜合情境中的最值、定值、定點問題
【學習導航】
本單元是在學習了直線和圓的方程和平面直角坐標系的基礎上，具體研究橢圓、雙曲線、拋物線這三個圓錐曲線的標準方程和幾何性質，判斷直線與圓錐曲線的位置關系.在整體感知階段大家類比直線與圓的方程、幾何性質的研究過程，初步探究圓錐曲線的內容與研究方法。在探究構建階段，在掌握了方法的基礎上，進一步探究具體曲線的定義、方程和性質，揭示代數法研究幾何問題的本質；在應用遷移階段，從綜合情境中抽象出數學問題，利用方程思想研究直線與圓錐曲線的位置關系，進一步體會坐標法在解決幾何問題中的重要性.
【學時建議】
學習階段 學習任務 課時安排
整體感知 探究解析幾何的研究方法 2
探究建構 探究三種圓錐曲線的定義、標準方程及其性質 6
應用遷移 探究圓錐曲線的應用及價值 4
重構拓展 重構單元結構，拓展單元內容，進行單元過關檢測 4
圓錐曲線
----探究解析幾何的研究方法
【學習目標】
略讀教材，動手完成實驗說出交線對應的曲線類型，并比較它們與之前所研究的幾何對象有何異同；
類比研究圓的方法初步探索研究橢圓、雙曲線、拋物線及直線與圓錐曲線綜合問題的大致思路；
3.以橢圓、雙曲線和拋物線中的一種為例說明研究解析幾何的一般思路，并和同學們分享.
—初步認識三種曲線
2000多年前，古希臘數學家最先開始研究圓錐曲線 ，并獲得了大量的成果。古希臘數學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。 按照下面的要求動手操作，請給出切割后得到了什么曲線？
1.用垂直于錐軸的平面(不過圓錐頂點)去截圓錐；
2.用與錐軸相交且不平行的平面截圓錐；
3.用平行于圓錐母線的平面截圓錐；
4.用平行于圓錐的軸的平面截圓錐.
--類比圓探究三種曲線的學習方法
同學們，我們已經完成了直線、圓的學習，大家可以梳理一下直線、圓部分的知識體系與思想方法，類比著直線與圓部分的內容與學習方法，你能嘗試著寫出橢圓、雙曲線和拋物線的大致內容與研究思路嗎？
--類比直線與圓的研究方法探究直線與圓錐曲線的位置關系
同學們，還記直線與圓的位置關系有哪些嗎，我們研究位置關系用的是什么方法？那么研究直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關系的方法是否也一樣呢？請在下面闡述你的觀點。
【形成性評價1】
請你自己選擇一種圓錐曲線，闡述你是怎樣研究這一類幾何對象的，寫出你的研究方法。
圓錐曲線
-----探究三種圓錐曲線的定義、標準方程及其性質
【學習目標】
1.通過三個實驗，說出橢圓、雙曲線、拋物線的定義并能推導出它們的標準方程；
2.結合它們的圖形和方程探究其幾何性質，歸納研究圓錐曲線性質的一般方法；
3.在數學情境中應用定義和性質解決方程、焦點三角形等綜合問題，從而總結運用坐標法解決幾何問題的思路。
——探究橢圓的定義、標準方程及其性質
動手實驗1.請同學們在空白紙上取兩個定點和，把一條長度為定值2a且大于的細繩的兩端固定在兩點，用鉛筆尖把細繩拉緊，并使筆尖在畫板上慢慢移動一周.
問題1.結合實驗總結橢圓上點的性質，并歸納出橢圓的定義。改變兩定點間的距離，試一試：若=2a，軌跡是什么曲線？若>2a，軌跡是什么曲線？
問題2.結合橢圓的定義，建立適當的坐標系，試推導出橢圓的標準方程.探究橢圓方程的特點，有無其他表示方式.
問題3.根據橢圓的標準方程和圖像,從橢圓范圍、對稱性、頂點、軸和扁圓程度總結橢圓的幾何性質.
【歸納生成】
闡述在研究橢圓的過程中其代數特征和幾何特征是如何聯系在一起的.
【學習評測】
，則該橢圓的長軸長為 ，短軸長為 ，焦距為 ，離心率為
2.P是橢圓上的點，是橢圓的焦點，若，則的面積等于
——探究雙曲線的定義、標準方程及其性質
動手實驗2：分別取拉鏈兩側不同位置的兩點用圖釘固定在桌面上，將鉛筆頭穿過拉鏈頭，畫出拉鏈頭移動的軌跡.
問題1.結合實驗總結雙曲線上點的性質，歸納出雙曲線的定義，并與橢圓作比較.在雙曲線的定義中，若去掉“絕對值”三個字，還表示完整的雙曲線嗎？
問題2.類比橢圓的標準方程推導過程，試推導雙曲線的標準方程.
問題3.根據雙曲線的標準方程和圖像,從雙曲線范圍、對稱性、頂點、軸和漸近線總結雙曲線的幾何性質.
【歸納生成】
比較雙曲線與橢圓在定義、標準方程和幾何性質方面的異同
【學習評測】
1.已知雙曲線過橢圓的焦點，且以橢圓的頂點為焦點，求雙曲線的方程.
2.已知a>b>0,橢圓C1的方程為=1,雙曲線C2的方程為=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為(　　)
A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0
——探究拋物線的定義、標準方程及其性質
動手實驗3：類比橢圓與雙曲線的作圖方法，請同學們借助三角板、直尺、細繩在一張紙上畫出一條拋物線.
問題1.結合實驗總結拋物線上點的性質，歸納出拋物線的定義，若去掉條件，還表示拋物線嗎？
問題2.類比橢圓的標準方程推導過程，試推導拋物線的標準方程.
問題3.根據拋物線的標準方程和圖像,從拋物線范圍、對稱性、頂點、軸和準線總結拋物線的幾何性質.
【歸納生成】
解析幾何中的拋物線與函數中的拋物線有何異同
【學習評測】
1.動點到點的距離比它到直線的距離大1，則動點的軌跡方程為 .
2. 拋物線y2=4x的焦點到雙曲線x2-=1的漸近線的距離是(　　)
A. B. C.1 D.
【形成性評價2】
評價標準1：說出三種圓錐曲線的定義
評價問題：
平面內有定點及動點，命題甲：是定值，命題乙：點的軌跡是以、為焦點的橢圓，那么（ ）
A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件
評價標準2：靈活運用定義、幾何性質求標準方程
評價問題：
1.根據條件求橢圓的標準方程
經過兩點。
兩個焦點過點且與坐標軸不平行的直線與橢圓相交于兩點，且的周長等于12.
2.已知是雙曲線的左右焦點，過作垂直于軸的直線交雙曲線于點，且，求該雙曲線的漸近線方程.
3.已知拋物線，且是拋物線上一點：
設為拋物線的焦點，，求的最小值，并求出取得最小值時點的坐標；
設的坐標為，求的最小值（用表示），并求出取得最小值時點的坐標.
圓錐曲線
---探究圓錐曲線的應用及價值
【學習目標】
1.通過探究直線與圓錐曲線的位置關系，運用兩點間距離公式推導弦長公式并與圓中弦長比較有何聯系與區別；
2.類比探究弦長的方法探究解析幾何中的最值、定點、定值等問題，歸納解決解析幾何綜合問題的一般思路并闡釋解析幾何與函數、方程的關系；
3.在綜合情境中，舉例說明如何運用數形結合思想及坐標法解決平面解析幾何問題。
——探究直線與圓錐曲線的關系
【例1】已知直線與橢圓C：，問：為何值時，直線l與橢圓C有兩個交點，一個交點，無交點？
【實踐生成】
總結直線與圓錐曲線位置關系
【學習測評】
1.橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點，C是AB的中點，若|AB|＝2，OC的斜率為，則橢圓的方程為______________．
2.已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線C：y2＝4x．問：k為何值時，直線l與拋物線C有兩個交點，一個交點，無交點？
——探究直線與圓錐曲線中的范圍問題
【例2】橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，短軸長為4，過點P（0，3）引直線l順次與橢圓交于點A、B（A在B、P之間）．
（I）求橢圓方程；
（Ⅱ）O為坐標原點，求三角形AOB的面積的取值范圍．
【實踐生成】
總結求直線與圓錐曲線中范圍問題的步驟過程
【學習測評】
已知如圖，橢圓與直線l交橢圓C于A，B兩點．
（Ⅰ）若直線l經過橢圓C的左焦點F，交y軸于點P，且滿足，．求證：λ+μ為定值；
（Ⅱ）若OA⊥OB，求△OAB面積的取值范圍．
——探究曲線與直線關系，解決定點、定值問題
【例3】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，四點P1(1，1)，P2(0，1)，P3(－1，)，P4(1，)中恰有三點在橢圓C上．
(1)求C的方程；
(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：過定點．
【實踐生成】
總結解決直線與圓錐曲線中定點、定值問題的思路方法
【學習測評】
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝，其左、右焦點分別為F1，F2，|F1F2|＝2，設點M(x1，y1)，N(x2，y2)是橢圓上不同兩點，且這兩點與坐標原點的連線的斜率之積為－.
(1)求橢圓C的方程；
(2)求證：x12＋x22為定值，并求該定值．
【形成性評價3】
評價標準：靈活應用坐標法解決解析幾何問題
評價問題：
圓錐曲線
——構建四大體系
【學習目標】
1.通過準備辯論的過程，以三種曲線及研究方法為核心重構解析幾何結構，歸納解決解析幾何的常見問題及其解法；
2.在綜合情境和生活情境中建立曲線模型，解決數學中的解析幾何問題；
3.在單元過關中，總結自己的得與失，進一步完善解析幾何得四大體系。
【單元重構】
同學們，我們已經學習完圓錐曲線這一單元，具體學習了三種曲線分別是橢圓、雙曲線和拋物線，請從三種曲線中選出你最喜歡的一種，和其它曲線對比，闡述你喜歡它的具體原因并和同學們一起辯論。
【基礎過關】
1.，則該橢圓的長軸長為（ ）
A.10 B.5 C.6 D.8
2.橢圓與雙曲線有相同的焦點，則a的值是 （ ）
A. B. 1或–2 C. 1或 D. 1
3.拋物線上一點到焦點的距離是10, 則點的坐標是（ ）
A.（9, 6） B.（6, 9） C.（±6, 9） D.（9,±6）
4.曲線與(k<9)曲線有（ ）
A.相等的長軸和短軸 B.相同的離心率 C.相同的焦距 D.不確定
5.對拋物線x2=4y,下列描述不正確的是(　　)
A.開口向上,焦點為(0,1) B.開口向上,焦點為
C.開口向右,焦點為(1,0) D.開口向右,焦點為
6.在平面直角坐標系中，動點P到兩個定點和的斜率之積等于8，記點P的軌跡為曲線E，則（ ）
A．曲線E經過坐標原點 B．曲線E關于x軸對稱
C．曲線E關于y軸對稱 D．若點在曲線E上，則
7.已知是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于兩點，若△是
正三角形，則這個橢圓的離心率為_______________.
8.與雙曲線有相同漸近線，且經過點的雙曲線的方程是____________.
【應用過關】
一、單選題
1.設斜率為2的直線過拋物線的焦點F,且和軸交于點A,若△OAF(O為坐標原點)的面積為4,則拋物線方程為( )
A. B. C. D.
2.已知直線過雙曲線C的一個焦點，且與C的對稱軸垂直，與C交于A，B兩點，為C的實軸長的2倍，C的離心率為（ ）
A. B. C.2 D.3
3.設為橢圓的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于、兩點，當四邊形面積最大時，的值等于（ ）
A. B. C. D.
4.在平面直角坐標系中，動點P到兩個定點和的斜率之積等于8，記點P的軌跡為曲線E，則（ ）
A．曲線E經過坐標原點 B．曲線E關于x軸對稱
C．曲線E關于y軸對稱 D．若點在曲線E上，則
5.衛星導航系統中，地球靜止同步軌道衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌跡高度為 36000km(軌道高度指衛星到地球表面的最短距離)，把地球看成一個球心為 O 半徑為 6400km 的球，其上點 A 的緯度是指 OA 與赤道所在平面所成角的度數，地球表面能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛星的點的緯度的最大值記為α，該衛星信號覆蓋的地球表面面積 S = 2πr2(1 cos α)，(單位：km2)，則 S 占地球表面積的百分比為（ ）
A．26% B． 34% C． 42% D．50%
二、多選題
6.已知橢圓的左、右焦點分別為，定點，若點P是橢圓E上的動點，則的值不可能為（ ）
A．7 B．10 C．17 D．19
7.已知點在雙曲線上，、是雙曲線的左、右焦點，若的面積為，則下列說法不正確的有（ ）
A．點到軸的距離為 B．
C．為鈍角三角形 D．
三、解答題
8.已知雙曲線，離心率，頂點到漸近線的距離為，求雙曲線C的方程.
9.雙曲線的方程設A，B為曲線C:上兩點，A與B的橫坐標之和為4.
（1）求直線AB的斜率；
（2）設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程.
【形成性評價4】
水平劃分 水平標準 自我評價
水平一 重構解析幾何單元結構，掌握圓錐曲線的定義、方程和幾何性質；
水平二 運用三種曲線的定義及性質解決簡單的數學問題與實際問題；
水平三 類比直線與圓問題的解法，利用坐標法解決解析幾何的綜合問題，體會數形結合的思想；

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