資源簡介

高二數學
大單元整體學習學程
隨機變量及其分布
班級：
小組：
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隨機變量及其分布
單元概述
【單元內容】
本單元內容是必修課程中概率部分的延續，研究對象是隨機現象，為我們從函數的角度認識客觀世界提供重要的理論支撐。隨機事件的條件概率，離散型隨機變量及分布列、數字特征（均值、方差），正態分布。
【課標要求】
1.隨機事件的條件概率
①結合古典概型，了解條件概率，能計算簡單隨機事件的條件概率。
②結合古典概型，了解條件概率與獨立性的關系。
③結合古典概型，會利用乘法公式計算概率。
④結合古典概型，會利用全概率公式計算概率,了解貝葉斯公式。
2.離散型隨機變量及其分布列
①通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布及其數字特征（均值、方差）。
②通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題。
③通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題。
3.正態分布
①通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量。通過具體實例、借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征。
②了解正態分布的均值、方差及其含義。
【單元目標】
1.能說出條件概率與獨立性的關系，描述隨機變量的概念及意義，感知隨機變量刻畫隨機現象；
2.探究超幾何分布、二項分布、正態分布，并用這三個模型求解離散型隨機變量的分布列和數字特征；
3.根據具體情境選擇恰當概率模型，分析數據，解決實際問題；
4.圍繞隨機變量大概念，從條件概率、隨機變量分布列、數字特征等方面重構單元結構，運用隨機變量相關知識解決綜合性問題。
【學習導航】
在本單元的學習中，我們將會從四個階段對本單元進行整體學習，在整體感知階段，類比古典概型幫助自己去理解條件概率與獨立性的關系，通過隨機現象數量化過程，理解隨機變量與隨機事件的關系；在探究建構階段結合具體實例理解條件概率性質及全概率公式，類比平均值期望，結合古典概型中“不放回和放回的抽取問題”的實例，抽象概括出超幾何分布和二項分布，借助正態曲線直觀感知正態分布的特點；在應用遷移階段從綜合的數學情境問題和生活實際問題中進行數學抽象，建立概率模型，分析數據，解決實際問題；在重構拓展階段通過重構知識與邏輯體系進行查漏補缺，掌握核心知識，學會用數學模型解決綜合問題，提升數學建模、數據分析等素養。
【學時建議】
學習階段 學習任務 課時安排
整體感知 用隨機變量刻畫隨機現象 3
探究建構 探究隨機變量分布列及數字特征 4
應用遷移 選擇恰當概率模型解決實際問題 4
重構拓展 重構隨機變量的知識與邏輯體系，反思總結提升 2
【單元評價】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我評價
能說出條件概率、隨機變量、常見三種分布的概念及性質 能說出條件概率、隨機變量性質的來源過程，能掌握三種常見分布的特征和性質，能運用隨機變量的統計規律性進行數據分析。 能構建隨機變量單元知識體系和邏輯體系，準確判斷隨機變量的類型并求數字特，能準確建立隨機變量概率模型，解決綜合性問題。
隨機變量及其分布
【學習目標】
研讀教材及資源，說出條件概率的概念及與獨立性的關系
2.結合實例描述隨機變量，判斷是否是隨機變量，能區分離散型隨機變量和連續性隨機變量；
3.用離散型隨機變量表示隨機事件，能畫出簡單隨機變量分布列。
【學習任務】用隨機變量刻畫隨機現
初步認知條件概率
1、投擲紅藍兩個質地均勻的骰子，設
A:藍色骰子的點數為5； B：兩骰子的點數之和大于7。
問題：
事件A發生的概率是多少？事件B發生的概率是多少？事件AB發生的概率是多少？
(2)事件A與事件B是否相互獨立？說出判斷依據？
(3)事件B發生的條件下事件A發生的概率是多少？與事件A發生的概率有何異同
【歸納生成】
總結條件概率與獨立性的關系用自己的話說出你對條件概率的理解？
初步認知隨機變量
1、隨機投擲一枚骰子，觀測試驗結果。
拋一次，拋到數字3的概率是多少？是隨機事件嗎？
拋一次，拋到數字8的概率是多少？是隨機事件嗎？
拋一次，拋出的結果可能是什么？概率是多少？是隨機事件嗎？
連續拋兩次的結果可能什么？如何用數表示這些隨機事件？
2.試判斷下列試驗的結果是否是隨機變量，若是，判斷是否是離散型隨機變量。
（1）太陽東升西落.
（2）一根繩子隨意剪斷，其中一節繩子的長度.
（3）某急救中心每天接到的呼救次數.
（4）趙風平高考成績780.
（5）水文站觀測到江水的水位數Y
（6）某天的氣溫值γ
【歸納生成】
（1）結合隨機變量與隨機事件關系，說出你對隨機變量的理解？
（2）總結離散型隨機變量和連續型隨機變量的區別與聯系。
用隨機變量表示隨機事件，畫簡單分布列
1.用隨機變量表示隨機事件。
（1）擲一枚硬幣的3次，正面朝上的次數；
（2）總數為100件的兩類物品，其中A類有20件，從所有物品中取出n件，A類物品抽到的件數；
（3）經過六個路口，遇到的紅燈個數。
2一瓶中裝有5個球，編號為1,2,3,4,5.從瓶中同時取3個，以X表示出取出的3個球中的最大號碼.
（1）隨機變量X的可能取值是什么？
（2）試求X取不同值的概率P分別是什么？
（3）用表格表示X與P的對應關系？
【形成性評價1】
請舉例說明條件概率與獨立事件，隨機變量與隨機事件之間的關系，并比較兩者之間的異同.
隨機變量及其分布
【學習目標】
1.結合具體實例探究條件概率及全概率公式；
2.結合具體實例探究離散型隨機變量及其分布的特點，總結常見分布模型特點；
3.能根據具體情境準確判斷分布類型，并能選擇恰當概率模型，分析問題，科學決策.
【學習任務】探究隨機變量分布列及數字特征
探究條件概率及全概率公式
假設9月份你去大學報道，有飛機和火車兩種交通工具可供選擇，它們能準時到達的概率分別為0.95,0.8，若當天天晴則乘飛機，否則乘火車，天氣預報顯示當天天晴的概率為0.8.設“乘坐飛機”為事件A，“乘坐火車”為事件B，“天晴”為事件C。
問題：
“乘坐飛機準時到達的概率”如何表示？“乘坐火車準時到達的概率”如何表示？（用ABC表示）
“你能準時到達”為事件D，概率是多少？
若你當天準時到達，則你是乘火車去的概率是多少？
【實踐生成】
總結條件概率與全概率公式的性質
探究兩點分布、二項分布及超幾何分布
A:投擲一枚質地均勻的硬幣，投擲1次，正面向上的情況。
B:投擲一枚質地均勻的硬幣，出現正面向上和反面向上是等可能的。將這個試驗反復做五次。設正面向上次數為X；
C:某校組織一次認識大自然夏令營活動，有10名同學參加，其中有6個男生，4個女生，為了活動的需要，要從這10名同學中隨機抽取3名同學去采集自然標本。設女生人數為X。
問題：
以上情境問題是不是都可以用隨機變量表示？如何表示？
A情境中投擲結果有幾種？與B情境有何區別與聯系？
A情境中正面向上與反面向上的概率分別是多少？它們有何關系？
4.B情境中任何兩次試驗，第一次出現正面向上對第二次出現正面向上的概率是否有影響？
5.判斷以上情境分別是什么分布類型 求分布列及期望？
【實踐生成】
總結求離散型隨機變量的分布列的步驟及期望計算方法？
2.總結兩點分布、二項分布與超幾何分布的異同？
探究正態分布的相關性質
本次高二期中檢測某班數學成績分布如下圖所示：
問題：
1.觀察上面圖像，這些數據的分布有什么特征？
2.當分組越來越細時，頻率直方圖上面的折線怎么變化？
3.結合情境簡述正態曲線.
4.正態曲線函數表達式中參數μ和σ對圖像有什么影響？
5.你了解3σ原則么，它有什么規律.
【實踐生成】
總結正態分布的圖像特點及性質。
【形成性評價2】
評價標準1：會運用條件概率性質及全概率公式解決相關問題
評價問題：
1.市場上供應的燈泡中，甲廠產品占70%，乙廠占30%，甲廠產品的合格率是95%，乙廠的合格率是80%.若用事件A，分別表示甲、乙兩廠的產品，B表示產品為合格品．求市場上買一個燈泡的合格率，及買到合格燈泡是甲廠生產的概率．
評價標準2：理解隨機事件，能根據隨機變量分布列定義解決相關問題
準確把握二項分布和超幾何分布的區別與聯系
評價問題：
1．若隨機變量X的分布列為
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
則當P(XA．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
2.設隨機變量X的分布列為下表所示，且E（X）=1.6，則a b=( )
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A. 0.2 B. 0.1 C. 0.2 D. 0.4
3．隨機變量服從二項分布，且，則等于（ ）
A． B． C．1 D．0
4.重復拋擲一枚篩子5次得到點數為6的次數記為ξ，求P(ξ>3)．
5.從一批含有13件正品、2件次品的產品中,不放回地任取3件.
（1）求取得次品數ξ的概率分布列及期望；
（2）求至少取到一件次品的概率.
評價標準3：能根據曲線的對稱性和3原則解決正態分布問題
評價問題：
正態總體的概率密度函數為，則總體的平均數和標準差分別是 ， .
2.如果隨機變量ξ～N(－1，)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，則P(ξ≥1)等于(　　)
A．0.1　 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3.設隨機變量，其正態分布密度曲線如圖所示，且，那么向正方形中隨機投擲個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值為（ ）（附：若隨機變量，）
A． B． C． D．
4.271教育集團為70000名學生定制校服，設學生的身高（單位：厘米）服從正態分布N（172,25），請估計適宜身高在167-177厘米范圍內學生穿的校服要訂制多少套？
參考數據：若X～N（μ，σ2），則P（μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）＝0.9974．
隨機變量及其分布
【學習目標】
1.結合實例，運用隨機變量分布列及其數字特征，對方案選擇問題進行科學評估；
2.根據“超幾何分布”,“二項分布”的特點，建立恰當概率模型解決實際問題；
3.靈活運用正態分布的性質解決生活中與正態分布相關的問題。
【學習任務】選擇恰當概率模型解決實際問題
隨機變量分布列及其數字特征方案選擇中的應用
某投資公司在2019年年初準備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現有兩個項目供選擇：
項目一：新能源汽車．據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發生的概率分別為和；
項目二：通信設備．據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為，和.
針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.
【實踐生成】
總結如何利用隨機變量分布列求期望方差并進行科學決策？
【學習評測】
1. 已知隨機變量X的分布列為，則（ ）
A. B. C. D.
2. 隨機抽取某廠的某種產品200件,經質檢,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元;而1件次品虧損2萬元;設1件產品的利潤(單位:萬元)為X.
(1)求X的分布列;
(2)求1件產品的平均利潤即X的均值;
(3)經技術革新后,仍有四個等級的產品，但次品率降為1%,一等品率提高為70%.如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元,則三等品率最多是多少
利用二項分布、超幾何分布概率模型解決實際問題
1.一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是
（1）求這名學生在途中遇到紅燈的次數的分布列；
（2）求這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經過的路口數的分布列.
2.現有10張相同的卡片，其中有5張上印有“獎”字。游戲者從中任抽5張，抽到2張或2張以上印有“獎”字的卡片就可獲得一份精美小禮品，如果抽到5張印有“獎”字的卡片就可另外獲得一套叢書。
⑴某人獲得精美小禮品的概率是多少？
⑵他能獲得一套叢書的概率是多少？
【學習評測】
某市電視臺舉辦紀念紅軍長征勝利知識回答活動，宣傳長征精神，首先在甲、乙、丙、丁四個不同的公園進行支持簽名活動.
公園 甲 乙 丙 丁
獲得簽名人數 45 60 30 15
然后在各公園簽名的人中按分層隨機抽樣的方式抽取10名幸運之星回答問題，從10個關于長征的問題中隨機抽取4個問題讓幸運之星回答，全部答對的幸運之星獲得一份紀念品．
(1)求此活動中各公園幸運之星的人數；
(2)若乙公園中每位幸運之星對每個問題答對的概率均為，求恰好2位幸運之星獲得紀念品的概率；
(3)若幸運之星小李對其中8個問題能答對，而另外2個問題答不對，記小李答對的問題數為X，求X的分布列．
利用正態分布模型解決實際問題
1.已知隨機變量服從正態分布N（2，），P（）=0.84，求P().
2.一商場經營的某種包裝的大米質量X（單位：kg）服從正態分布N（10，），且P（X<10.5）=0.8.從該商場中任意抽取一袋該種大米，求其質量在9.5—10.5kg之間的概率.
【實踐生成】
總結如何利用正態分布的對稱性及3原則解決實際問題。
【形成性評價3】
評價標準1：靈活應用超幾何分布、二項分布模型解決實際問題
評價問題：
1.一個盒子中裝有大量形狀、大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量(單位：g)，重量分組區間為[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖)．
(1)求a的值，并根據樣本數據，試估計盒子中小球重量的眾數與平均值；
(2)從盒子中隨機抽取3個小球，其中重量在[5,15]內的小球個數為X，求X的分布列和數學期望(以直方圖中的頻率作為概率)．
評價標準2：靈活應用正態分布模型解決實際問題
評價問題：
1．設隨機變量，若，則______，______.
2.已知隨機變量服從正態分布，且，則______.
3.（多選題）設，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中不正確的是（ ）
A.
B.
C. 對任意正數，
D. 對任意正數，
4.《山東省高考改革試點方案》規定：從2017年秋季高中入學的新生開始，不分文理科；2020年高考總成績由語數外三門統考科目和物理、化學等六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、共8個等級，參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%，選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到、八個分數區間，得到考生的等級成績．某市高一學生共6000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六門選考科目進行測試，其中化學考試原始成績大致服從正態分布．
（1）求該市化學原始成績在區間的人數；
（2）以各等級人數所占比例作為各分數區間發生的概率，按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記X表示這3人中等級成績在區間的人數，求．
（附：若隨機變量，則，，）
隨機變量及其分布
【學習目標】
1.結合離散型隨機變量的分布列、數學期望和方差等知識的回扣，從邏輯、能力及價值等方面重構本單元的思維導圖；
2.結合對隨機變量及其分布的研究，能夠選擇恰當的概率分布模型解決概率問題；
3.圍繞隨機變量及其分布進行二次過關，靈活運用相關知識解決生活中的實際問題。
【學習任務】重構隨機變量的知識與邏輯體系，反思總結提升
【單元重構】
從條件概率、離散型隨機變量的分布列、數學期望和方差等方面層層深入，再次回扣課本任容及271BAY相關資源，梳理本單元的核心知識和它們邏輯體系，重構思維導圖。
【單元拓展】
為應對新冠性病毒肺炎帶來的強傳染性，外出佩戴口罩成為必要。某工廠生產N95型口罩成箱包裝，每箱200件，每一箱口罩出廠前要對產品進行檢驗，如檢驗出不合格品,則更換為合格品,檢驗時，先從這箱產品中任取20件檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品做檢驗,設每件產品為不合格品的概率為，且每件產品是否為不合格品相互獨立。
(1)記20件產品中恰有兩件不合格品的概率為，求的最大值點
(2）現對一箱口罩檢驗了20件，結果恰有2件不合格,以(1）中確定的作為的值。已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用。
(i)若不對該箱余下的口罩做檢驗，這一箱口罩的檢驗費用和賠償費用的和記為，求；
(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為依據，是否應該對該箱余下的所有口罩做檢驗？
【單元過關】
核心知識素養提升
1．已知隨機變量服從正態分布，（ ）
A．0.028 B．0.056 C．0.994 D．0.972
2.有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數據，計算出樣本均值，方差分別為 ，由此可以估計（ ）
A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊 B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整體
C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同 D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較
3．從分別標有1，2，…，9的9張卡片中有放回地隨機抽取5次，每次抽取1張．則恰好有2次抽到奇數的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現隨機等可能取出小球，當有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數為；當無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數為，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．在2019年高中學生信息技術測試中，經統計，某校高二學生的測試成績，若已知，則從該校高二年級任選一名考生，他的測試成績大于92分的概率為（ ）
A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14
核心知識遷移應用
6.（多選）設離散型隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若離散型隨機變量滿足，則下列結果正確的有（ ）
A． B．，
C．， D．，
7.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束）．根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．
8.為了解2020屆高三理科生的化學成績的情況，該州教育局組織高三理科生進行了摸底考試，現從參加考試的學生中隨機抽取了100名理科生，將他們的化學成績（滿分為100分）分為6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求a的值；
（2）記A表示事件“從參加考試的所有理科生中隨機抽取一名學生，該學生的化學成績不低于70分”，試估計事件A發生的概率；
（3）在抽取的100名理科生中，采用分層抽樣的方法從成績在內的學生中抽取10名，再從這10名學生中隨機抽取4名，記這4名理科生成績在內的人數為X，求X的分布列與數學期望.
【形成性評價4】
水平劃分 水平標準 自我評價
水平一 重構隨機變量單元結構，總結出用隨機變量刻畫隨機現象常用分布。
水平二 厘清常見幾種隨機變量分布的區別和聯系，能建立模型解決數學和生活問題。
水平三 數學抽象能力、數學建模能力、數據分析能力、邏輯推理能力有顯著提升。
隨機變量及其分布
單元過關檢測： (時間：120分鐘　滿分：150分)
【過關要求】
1.獨立完成，科學、合理安排時間；
2.認真審題，分析出條件和結論，靈活運用基礎知識解決問題；
3.注意過程步驟規范書寫，條理工整，卷面整潔，做最好的答卷。
【整體重構過關】
一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
1．袋中有2個黑球6個紅球， 從中任取兩個， 可以作為隨機變量的是(　　)
A．取到球的個數　　　 B．取到紅球的個數
C．至少取到一個紅球 D．至少取得一個紅球的概率
2．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，有放回地依次取出2個球，設兩個球號碼之和為隨機變量X，則X所有可能值的個數是(　　)
A．25 B．10 C．9 D．5
ξ －1 0 1 2
P
3．某同學通過計算機測試的概率為，他連續測試3次，其中恰有1次通過的概率為(　　)
A. B. C. D.
4．已知ξ的分布列為則ξ的均值為(　　)
A．0 B．－1 C. D.
5．如果隨機變量X表示拋擲一個各面分別有1,2,3,4,5,6的均勻的正方體向上面的數字，那么隨機變量X的均值為(　　)
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
6．若某校研究性學習小組共6人，計劃同時參觀某科普展，該科普展共有甲、乙、丙三個展廳，6人各自隨機地確定參觀順序，在每個展廳參觀一小時后去其他展廳，所有展廳參觀結束后集合返回，設事件A為：在參觀的第一個小時時間內，甲、乙、丙三個展廳恰好分別有該小組的2個人；事件B為：在參觀的第一個小時時間內，該小組在甲展廳人數恰好為2人．則P(A|B)＝(　　)
A. B. C. D.
7．設隨機變量X～B(2，p)，隨機變量Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，則D(3Y＋1)＝(　　)
A. B．4 C．8 D．10
8．在等差數列{an}中，a4＝2，a7＝－4.現從{an}的前10項中隨機取數，每次取出一個數，取后放回，連續抽取3次，假定每次取數互不影響，那么在這三次取數中，取出的數恰好為兩個正數和一個負數的概率為(　　)
A. B. C. D.
二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)
9．下列說法正確的是(　　)
A．某輛汽車一年中發生事故的次數是一個離散型隨機變量
B．正態分布隨機變量等于一個特定實數的概率為0
C．公式E(X)＝np可以用來計算離散型隨機變量的均值
D．從一副撲克牌中隨機抽取5張，其中梅花的張數服從超幾何分布
ξ 1 2 3
P 1－a 2a2
10．已知隨機變量ξ的分布如下：則實數a的值為(　　)
A．－ B. C. D．－
11．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有6個紅球，2個白球和2個黑球，先從甲罐中隨機取出1個球放入乙罐，分別以A1，A2，A3表示事件“由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球”，再從乙罐中隨機取出1個球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，下列結論正確的是(　　)
A．事件B與事件A1不相互獨立
B．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件
C．P(B|A1)＝
D．P(B)＝
12.甲、乙兩類水果的質量(單位：kg)分別服從正態分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正態分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．甲類水果的平均質量μ1＝0.4 kg
B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙類水果的質量服從的正態分布的參數σ2＝1.99
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．)
13．某處有供水龍頭5個，調查表示每個水龍頭被打開的可能性均為，3個水龍頭同時被打開的概率為________．
已知隨機變量ξ服從正態分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ＜0)＝________.
15.學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選4個進行作答，至少答對3個才能通過初試，已知在這8個試題中甲能答對6個，則甲通過自主招生初試的概率為__________；記甲答對試題的個數為，則的數學期望________.
16.設一次試驗成功的概率為p，進行100次重伯努利試驗，當p＝________時，成功次數的方差的值最大，其最大值為__________．
四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)現有6個節目準備參加比賽，其中4個舞蹈節目，2個語言類節目，如果不放回地依次抽取2個節目，求
(1)第1次抽到舞蹈節目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈節目的條件下，第2次抽到舞蹈節目的概率．
18．(12分)某校從學生會宣傳部6名成員(其中男生4人，女生2人)中，任選3人參加某省舉辦的演講比賽活動．
(1)設所選3人中女生人數為ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被選中的概率；
(3)設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，求P(B)和P(B|A)．
19．(12分)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24,16,16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查．
(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列與數學期望．
20.(12分)某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達時間X(分鐘)服從正態分布N(5,1)；第二條路線較長但不擁擠，X服從正態分布N(6,0.16)．有一天他出發時離點名時間還有7分鐘，問他應選哪一條路線？若離點名時間還有6.5分鐘，問他應選哪一條路線？
21．(12分)九節蝦的真身是虎斑蝦，蝦身上有一深一淺的橫向紋路，煮熟后有明顯的九節白色花紋，肉味鮮美．某酒店購進一批九節蝦，并隨機抽取了40只統計質量，得到的結果如下表所示：
質量/g [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55]
數量 4 12 11 8 5
(1)若購進這批九節蝦35 000 g，且同一組數據用該組區間的中點值代表，試估計這批九節蝦的數量(所得結果保留整數)；
(2)以頻率估計概率，若在本次購買的九節蝦中隨機挑選4只，記質量在[5,25)間的九節蝦的數量為X，求X的分布列及期望．
22．(12分)目前，新冠病毒引發的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫院組織專家統計了該地區500名患者新冠病毒潛伏期的相關信息，數據經過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求這500名患者潛伏期的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)，并計算這500名患者中潛伏期超過8天的人數；
(2)研究發現，有5種藥物對新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2種特別有效，現在要通過逐一試驗直到把這2種特別有效的藥物找出來為止，每一次試驗花費的費用是500元，設所需要的試驗費用為X，求X的分布列與數學期望．

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