資源簡介

《數列》大單元整體學習學程 ： 時間：2024.02.21 班級：________小組：________ 姓名：_______評價：__________
高二數學
大單元整體學習學程
數列
班級：
小組：
姓名：
第四單元：數列
單元概述
【學科大概念】拓寬函數研究范圍，探究以正整數集為定義域定義函數的研究方法，豐富函數的內容。
【課程大概念】通過數學抽象獲得一個數學對象，并通過數學運算、邏輯推理等進行研究的過程和方法，建立數學模型刻畫具有遞推規律的事物，提高解決實際問題的能力，提升數學抽象、數學運算、邏輯推理和數學建模素養。
【單元內容】
數列是高中數學的重要內容之一，包括數列的概念、表示；等差數列與等比數列的概念、變化規律和通項公式、求和公式。本單元通過研究數列的變化規律，表示出數列，進而分析解決與數列有關問題，主要發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等數學核心素養。
【課標要求】
1.數列概念：通過日常生活和數學中的實例，了解數列的概念和表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數列是一種特殊函數。
2.等差數列：
①通過生活中的實例，理解等差數列的概念和通項公式的意義。
②探索并掌握等差數列的前n項和公式，理解等差數列的通項公式與前 n項和公式的關系。
③能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應的問題。
④體會等差數列與一元一次函數的關系。
3.等比數列：
①通過生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義。
②探索并掌握等比數列的前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前 n項和公式的關系。
③能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題。
④體會等比數列與指數函數的關系。
【單元目標】
1.借助生活實例，抽象概括數列的概念，基于概念探索數列的表示、通項、前n項和等相關內容，畫出生成過程的思維導圖。
2.借助等差、等比數列，探究一般數列的性質和關系，并表示出一般數列的通項及前項和，解決與數列有關的生活問題。
3.探索數列與相應方程、不等式、社會生活的關系，、建立數列模型，解決綜合性、應用性問題。
4.梳理本單元內容，理清生成過程，重構數列知識、邏輯、能力和價值意義體系，通過單元拓展和單元過關，發現問題分析原因，完善構建四大體系。
【評價預設】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我評價
用自己的話說出數列的概念；能判斷數列分類；寫出給定數列的通項公式；能推導出等差、等比數列的通項公式。 理解數列通項公式及前n項和公式的推導過程；能寫出數列的通項公式及前n項和公式，并用公式解決數列基本問題； 總結求解數列通項公式及前n項和的方法；靈活應用公式，解決數列和生活問題
【學習導航】
在本單元的學習中，我們將會從四個階段對本單元進行整體學習，在整體感知階段，從實例中抽象出數列模型，理解數列的概念和表示方法（列表、圖像、通項公式），從函數的角度體會數列是一種特殊的函數，從而形成用數列這一特殊的函數來描述變量變化規律的基本思想；在探究建構階段，基于等差、等比數列的概念，推導等差、等比數列的通項公式，并研究其性質，認識等差數列與一元一次函數的關系，等比數列與指數函數的關系；借助高斯算數的數學典故探索等差數列的前n項和公式，利用消元的思想推導等比數列的前n項和公式；在應用遷移階段，基于等差、等比數列的概念、公式等內容，探索一般數列的通項公式和前 n 項和公式，并能運行公式解決數列不等式問題、函數問題；在重構拓展階段，重構完善數列知識、能力、邏輯和價值意義體系，發現生活中的數列問題，利用數列解決實際問題。
【學時建議】
學習階段 學習任務 課時安排
整體感知 構建數列知識和邏輯體系 1
探究建構 探究等差（比）數列的通項公式和前n項和公式 5
應用遷移 探究數列的應用及價值 3
重構拓展 應用數列解決數列不等式問題、函數問題等綜合問題 2
(
整體感知
)
數列
【學習目標】
1.從實例中抽象概括數列概念，基于概念探索出數列的概念、分類、表示。
2.能說出等差、等比數列的概念，推導出通項公式、前n項和公式。
3.圍繞數列，畫出數列的知識和邏輯體系。
【學習任務】構建數列知識和邏輯體系
(
學習活動1
)—歸納數列概念、等差（比）數列概念
概念的抽象：
（1）從1984年到2004年，我國共參加了6次奧運會，各次參賽獲得的金牌總數依次為15,5,16,16,28,32。
（2）人們在1740年發現了一顆彗星，并推算出這顆彗星每隔83年出現一次，那么從發現那次算起，這顆彗星出現的年份依次為：1740,1823,1906,1989，2072……
（3）在《莊子》內篇的《天下篇》中說道：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”意思是：一尺長的木棒，每日取其一半，永遠也取不完。如果將“一尺之錘”視為1份，那么每日剩下的部分依次為
問題1：觀察上面的實例，總結概括出數列、等差數列、等比數列的概念。
問題2：從等差數列的變化規律中，歸納出等差數列的通項公式？
問題3：從等比數列的變化規律中，歸納出等比數列通項公式？
(
學習活動2
)----結合在數學情境中的實例，歸納出數列前n項和公式
這張圖片是一組已經捆綁好的鋼管，如果只看這一組鋼管的上半部分，我們發現它的每一排比第二排都要多一根鋼管，也就構成了一個簡單的等差數列，生活中常常用到等差數列和等比數列來求解總數。
問題1：嘗試用等差數列的知識，求解出鋼管的總數。
問題2：從等差數列的變化規律中，試歸納出等差數列的前n項和公式？
①計算出： 1+2+3+。。。+100=
②歸納出等差數列的前n項和公式：
(
學習活動
3
)--畫出數列的知識和邏輯體系。
【形成性評價1】結合生活情境中的實例，初步總結數列在數學文化、社會生活中是如何體現的，初步體會數列的應用價值。
1.建筑工地有一批磚，擺成如右圖形狀，最上層2塊磚，第2層6塊磚，第3層10塊磚…，依次每層都比其上面一層多4塊磚，問最下層2106塊磚是第幾層？總計有多少塊磚？
2.假設某銀行的活期存款年利率為%，某人存入10萬元后，既不加進存款也不取款，每年到期利息連同本金自動轉存，每年利息連同本金自動轉存.如果不考慮利息稅及利息的變化，用表示第年到期時的存款余額，求，，，及.
(
探究建構
)
數列
【學習目標】
1.研讀文本，探究等差數列的性質和關系，表示出等差數列的通項公式和前n項和。
2.研讀271BAY資源，探究等比數列的性質和關系，表示出等比數列的通項公式和前n項和。
3.在具體的問題情境中，建立數列模型，并解決與數列有關的實際問題。
【學習任務】探究一般數列的通項公式和前n項和公式
(
學習活動
4
)
----探究等差數列的定義及通項公式
觀察以下幾個數列：
某月星期日的日期為1,8,15,22,29；
“中岳”泰山海拔1524米，從山腳開始登山，以100米為標注，氣溫(單位：)依次為30,29.4,28.8,28.2,27.6，...
③2016年里約奧運會主會場的觀眾席從最接近會場的第一排開始，由內而外的座位數依次為1200，1300，1400，1500，…….
問題1：結合上面三個實例，談談你對等差數列概念的理解,并用數學語言表示.
問題2：根據等差數列的概念，嘗試推導等差數列的通項公式.
問題3：請寫出學習活動1中數列的通項公式，觀察、分析并說出等差數列通項公式的結構特征.
問題4：已知等差數列的的公差為，第項為，試求其第項為.
【思考】如果一個數列的通項公式為，其中都是常數，這個數列一定是等差數列嗎？
【歸納生成】
基于等差數列的概念，總結判斷等差數列的依據與其通項公式推導思路，分析等差數列與一次函數的關系。
【學習評測】
1.在等差數列中，若，則（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
2.在等差數列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，則a7＝(　　)
A．－12 B.－13 C．12 D．13
3.若數列{an}滿足a1＝3，an＋1＝an＋3(n∈N*)，則a3＝________，通項公式an＝______
4.在等差數列中，已知.
求數列的第10項；
-10是不是數列的項？41是不是數列的項？如果是，是第幾項？
5.已知等差數列中,,,. 求數列的通項公式.
(
學習活動
5
)
----探究等差數列前n項和公式
某劇場有30排座位，第一排有20個座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個座位，那么各排的座位數依次為20，22，24，26，28，…
問題1： 你能用簡便方法快速算出第30排有多少個座位嗎？
問題2： 嘗試推導等差數列前項和公式（倒序相加法）
問題3：若已知等差數列的首項和公差，你能否直接用它們表示出其前項和？寫出推導過程.
【歸納生成】
總結推導等差數列前項和公式的方法，分析前n項和公式中分別涉及到哪些量，這兩個公式有什么聯系？等差數列前n項和能否整理成關于n的二次式的形式？
【學習評測】
1.已知等差數列，若
2.已知等差數列，若
3.等差數列前項的和為30，前項的和為100，，求它的前項的和。
4.已知等差數列的前項和為,若則是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時的值；若不存在，請說明理由.
拓展：已知數列前項和公式為.
（1）求數列的通項公式； （2）求的最值及對應的值.
(
學習活動
6
)
----探究等比數列的定義和通項公式
觀察以下幾個數列：
1.某種細胞，如果每分鐘分裂為2個，那么每過1分鐘，1個細胞分裂的個數依
次為： 2，4，8，16，……
2.莊子曰：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.” 意思：“一尺長的木棒，每日取其一半，永遠也取不完” .如果將“一尺之棰”視為單位“1”，則每日剩下的部分依次為：
3.某人年初投資10000元，如果年收益率是5%，那么按照復利，5年內各年末的本利和依次為：
問題1：與等差數列相比，上述問題涉及到的數列有什么共同特點 類比等差數列的定義，寫出等比數列的定義，并用數學語言表示
問題2：根據等比數列的定義，觀察并判斷下列數列是否為等比數列？
① 1,1,1,1,1； ② 0,1,2,4,8； ③ 2,0,2,0,2,0； ④1，，，，.
問題3：根據等比數列的定義，類比研究等差數列的方法和過程來嘗試推導等比數列的通項公式；并分析等比數列與指數函數的關系。
【思考1】若2 ，m， 8構成等比數列，則A的值是多少？ 2，n，-8能否構成等比數列？
【思考2】已知等比數列滿足，計算，研究和的關系？能否得出一般性結論？
【歸納生成】
類比等差數列的性質，歸納出等比數列的性質。
【學習評測】
1.已知等比數列中，，求該數列的通項公式.
2.已知是等比數列，且，求數列的通項公式
(
學習活動
7
)
----探究等比數列前n項和
在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說:我可以滿足你的任何要求。西薩說:請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格.國王覺得太容易了，就同意了他的要求。國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚，為什么呢
大家想一下，這個國王能夠滿足宰相的要求嗎？
問題1：上述問題是數列1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，… 的求和問題，那么這個數列有什么特征？怎樣求該數列的和？
問題2：由等比數列的定義，我們可以寫出下列等式：
……
如何處理上述等式才能得到？怎樣研究等比數列的前項和？
【學習評測】
1.已知數列{an}為等比數列.
2.等比數列的首項為，前項和為，如果，求.
3.等比數列的前項和為，且、、成等差數列，若，求.
4.記Sn為等比數列{an}的前n項和.若，求S4．
【形成性評價2】
評價標準1：能求出數列通項公式
評價問題：
1.等比數列滿足，則______________。
2.一個等比數列中，，求這個數列的通項公式。
評價標準2：能求出數列前n項和
評價問題：
1.等差數列中，=40， =13，d=-2 時，n=______________。
2.在等比數列中，，則__________，__________。
3.等差數列的前n項和。求數列的前n項的和。
4.數列中,當n為奇數時,,當n為偶數時,=,若數列共有2m
項。求這個數列的前2m項的和。
(
應用遷移
)
數列
【學習目標】
1.結合生活實例，探索一般函數的通項公式，歸納求通項公式的方法和思想；
2.研讀271BAY資源，探索一般函數的前n項和公式，歸納求前 n 項和公式的方法和思想；
3. 探索數列在生活中的應用，能建立數列模型解決數列不等式問題和函數最值問題。
【學習任務】探究數列的價值及應用
(
學習活動
8
)
——由數列的遞推關系式求通項公式
請同學們仔細觀察下列數列：
（1）
（2）0.8,0.88,0.888,0.8888……
（3）0,1,0,1,0,1……
問題1：嘗試找出這些數列各自的規律，并寫出接下來的3項；
問題2：寫出這些數列的通項公式，并總結在觀察數列的時候應該抓住哪幾方面特征。
【思考】對于一般數列該如何求其通項公式，能不能轉化成等差等比數列處理呢？
（1）
（2）a1＝3，
（3）
（4）
（5）
問題1：對于上述數列，請根據所給條件寫出前5項，并總結出所給數列各自的特點；
問題2：嘗試將這幾個數列轉化成等差或等比數列，并求出其通項公式；
問題3：模仿所給數列，自己再寫出幾個并求出其通項公式。
【實踐生成】
總結求數列通項公式的方法。
【學習評測】
已知等差數列的公差為2，前項和為，且成等比數列，則數列的通項公式__________.
(
學習活動
9
)
——探究數列的前項和
前面已經學習過了兩類特殊的數列——等差數列和等比數列，知道了如何去求這兩類數列的前n項和公式，現在請小組內的四位同學兩兩為一隊，分別代表等差數列和等比數列，思考當這兩類數列相遇變成一個新的數列時又該如何去求前n項和公式.
問題1：等差數列±等比數列，得到新的數列有什么樣的特征？如何利用等差等比數列的前n項和公式求出該數列的前n項和？
問題2：等差數列*、÷等比數列，得到新的數列有什么樣的特征？能不能類比等比數列的前n項和公式推導出該數列的前n項和公式？
開心消消樂是一款很火的游戲，其原理是把三個顏色相同的小動物連成一條直線，即可消除。這對于我們求數列的前項和有沒有什么幫助，如果所給的數列沒有可以相抵消的，又該如何處理？
問題1：嘗試用數列的內容表示下列式子：，并計算最后結果.
問題2：能不能用上面的方法求
問題3：你還能總結哪些能夠相消的式子，請寫出來并與同伴交流.
【實踐生成】
總結求數列前項和的方法.
【學習評測】
等差數列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝10，a2為整數，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求數列{bn}的前n項和Tn.
(
學習活動
10
)——數列與函數、不等式、生活的關系
數列的應用主要表現在數學和生活上，根據所給條件建立合適的數列模型，再結合學過的函數、不等式的相關知識，解決相關問題.
問題1：今年“五一”期間，北京十家重點公園舉行免費游園活動，北海公園免費開放一天，早晨6時30分有2人進入公園，接下來的第一個30分鐘內有4人進去1人出來，第二個30分鐘內有8人進去2人出來，第三個30分鐘內有16人進去3人出來，第四個30分鐘內有32人進去4人出來…，按照這種規律進行下去，到上午11時30分公園內的人數是___
問題2：二次函數
（1）求并求的解析式；
（2）若求數列
（3）若求符合最小自然數n．
【實踐生成】
總結如何應用數列解決不等式、函數和生活中的問題.
【學習檢測】
黃河被稱為我國的母親河，它的得名據說來自于河水的顏色，黃河因攜帶大量泥沙所以河水呈現黃色， 黃河的水源來自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流經黃土高原，又有太多攜帶有大量泥沙的河流匯入才造成黃河的河水逐漸變得渾濁.在劉家峽水庫附近，清澈的黃河和攜帶大量泥沙的洮河匯合，在兩條河流的交匯處，水的顏色一清一濁，互不交融，涇渭分明，形成了一條奇特的水中分界線，設黃河和洮河在汛期的水流量均為2000，黃河水的含沙量為，洮河水的含沙量為，假設從交匯處開始沿岸設有若干個觀測點，兩股河水在流經相鄰的觀測點的過程中，其混合效果相當于兩股河水在1秒內交換的水量，即從洮河流入黃河的水混合后，又從黃河流入的水到洮河再混合.
（1）求經過第二個觀測點時，兩股河水的含沙量；
（2）從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于 （不考慮泥沙沉淀）
【形成性評價3】
評價標準1：能夠求數列的通項公式和前n項和公式
評價問題：已知{an}是各項均為正數的等比數列，a1＝2，a3＝2a2＋16.
(1) 求{an}的通項公式；
(2) 設bn＝log2 an，求數列{bn}的前n項和．
評價標準2：靈活運用數列的相關知識解決生活中的問題
評價問題：已知斐波那契數列的前七項為：，大多數植物的花，其花瓣數按層從內向外都恰是斐波那契數．現有層次相同的“雅蘇娜”玫瑰花3朵，花瓣總數為99，假設這種“雅蘇娜”玫瑰花每層花瓣數由內向外構成斐波那契數列，則一朵該種玫瑰花最可能有（ ）層．
A．5 B．6 C．7 D．8
(
重構拓展
)
數列
【學習目標】
1.梳理本章學習內容，圍繞數列概念，重構數列知識和能力體系。
2.人人參與過關，自主糾錯，反思錯因，總結用數列解決與不等式、函數有關問題的注意事項和規律。
3.深度探究數列與函數、不等式和生活的關系，建立數列模型，解決實際生活問題，并舉例說明數列在實際生活中的應用。
【學習任務】應用數列解決數列不等式問題、函數問題等綜合問題。
【單元重構】
從數列概念、數列通項公式及前n項和等方面層層深入，再次閱讀《數列》的課本內容及271BAY相關資源，梳理本單元的核心知識和它們邏輯體系，重構思維導圖.
【單元拓展】
將一個數列{an}按照一定的規律分組，得到的就是原數列的分組數列，也叫分群數列或群數列.例如，將正整數數列依次按第一組1個，第二組2個，……，第k組k個的規律分組得到的分群數列：（1），（2,3），（4,5,6），（7,8,9,10）……對于群數列來說，原數列如果成等差（或等比）數列，那么群數列中每群的中的數是否也是等差（或等比）數列呢？
把奇數數列按下面方法寫成群數列：（1），（3,5），（7,9,11），（13,15,17,19），……
（1）第20群中的第10個數是多少？
（2）第20群中所有數的和是多少？
（3）1003這個數被分在第幾群中的第幾個數？
【單元過關】
(
基礎過關
)——數列通項公式及其前n項和
1.已知等差數列{an}中，a1＝5，a2＝7，則a17的值是（　?。?br/>A．35 B．37 C．39 D．41
2.數列1，3，7，15，……的通項可以是（　?。?br/>A．2n﹣1 B．n2﹣1 C．2n﹣1 D．n2﹣n+1
3.已知數列{an}的前n項和Sn滿足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.
(1)求數列{an}的通項公式an；(2)記bn＝，求數列{bn}的前n項和Tn.
(
應用過關
)——數列的應用
4.已知函數數列{}的前n項和為，若
求數列{}的通項公式；
設
5.據相關數據統計，2019年底全國已開通5G基站13萬個，部分省市的政府工作報告將“推進5G通信網絡建設”列入2020年的重點工作，2020年一月份全國共建基站3萬個．
（1）如果從2020年2月份起，以后的每個月比上一個月多建設2000個，那么，到2020年底全國共有基站多少萬個（精確到0.1萬個）；
（2）如果2020年新建基站60萬個，計劃到2022年底全國至少要800萬個，并且，從2021年起每年新建基站的數量比上一年以等比嚴格遞增，間2021年和2022年至少各建多少萬個才能完成計劃？（精確到1萬個）
形成性評價4
水平劃分 水平標準 自我評價
水平一 重構數列單元結構，能進行等差等比數列基本量的運算.
水平二 能夠根據所給條件選擇合適的方法求數列的通項公式和前n項和..
水平三 能夠解決數列與函數、不等式的綜合問題
(
過關檢測
)
(
- 1 -
)
單元檢測
一、單選題（每題只有一個選項為正確答案，每題5分，共40分）
1．已知數列中，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
2．等比數列的各項均為正實數，其前n項和為Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，則S5＝（ ）
A．32 B．31 C．64 D．63
3．在等比數列中，，則（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
4．在遞減等比數列中，是其前項和，若，，則（ ）．
A． B． C． D．
5．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比數列的前n項和為，若公比，則數列的前n項積的最大值為（ ）
A．16 B．64 C．128 D．256
7．已知等差數列的前n項的和為，且，有下面4個結論：
①；②；③；④數列中的最大項為，
其中正確結論的序號為（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①④
8．已知等差數列的前n項和為，若是一個確定的常數，則數列中是常數的項是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（每題有多個選項為正確答案，少選且正確得3分，每題5分，共20分）
9．設是等差數列，為其前項和，且，，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．、均為的最大值
10．已知數列滿足：，當時，，則關于數列說法正確的是（ ）
A． B．數列為遞增數列
C．數列為周期數列 D．
11．在《增減算法統宗》中有這樣一則故事：三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關．則下列說法正確的是（ ）
A．此人第三天走了二十四里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
12．已知兩個等差數列和的前項和分別為和，且，則使得為整數的正整數的值為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題（每題5分，共20分）
13．已知是等比數列，，，則______.
14．在各項都是正數的等比數列中，，，成等差數列，則的值是________.
15．各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S6＝30，S9＝70，則S3＝________.
16．已知等差數列的公差，前項之和為，若對任意正整數恒有，則的取值范圍是______.
四、解答題（17題10分，其余每題12分，共6題70分）
17．已知在等差數列中，，．
（1）求數列的通項公式：
（2）設，求數列的前n項和．
18．已知數列的前項和為，.
（1）求證：數列為等差數列；
（2）記數列的前項和為，求
19．已知各項均為正數的等差數列中，，且，，構成等比數列的前三項.
（1）求數列，的通項公式；
（2）求數列的前項和.
20．已知數列為等差數列，，，其前項和為，且數列也為等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
21．等比數列{an}的各項均為正數，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn＝log3a1+log3a2+…+log3an，求數列{}的前n項和．
22．已知等比數列的公比，且，是，的等差中項.
（1）求數列的通項公式；
（2）證明：，設的前項的和為，求證：.
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