資源簡介

高二數學
大單元整體學習學程
空間向量與立體幾何
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小組：
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【學科大概念】
向量方法研究圖形的位置關系和度量關系.
【課程大概念】
依托運用空間何中的直線、平面的位置關系、距離和夾角問題，對比向量方法和綜合幾何方法的共性和差異，發展直觀想象、數學抽象和邏輯推理能力，形成研究立體圖形的思路.
單元概述
【單元內容】
本單元主要學習空間向量的定義、坐標表示、線性運算、空間向量基本定理和利用空間向量解決立體幾何圖形.
【課標要求】
（1）空間直角坐標系
①在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置.
②借助特殊長方體（所有被分別與坐標軸平行)頂點的坐標.探索并得出空間兩點間的距離公式.
（2）空間向量及其運算
①經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.
②經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程.
（3）向量基本定理及坐標表示
①了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.
②掌握空間向量的線性運算、數量積及其坐標表示.
（4）空間向量的應用
①能用向量語言指述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.
②能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關系.
③能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面位置關系的判定定理.
④能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
【單元目標】
1.類比平面向量，猜測空間向量滿足的性質，區別平面向量與空間向量在解決幾何問題的不同，確定用向量研究空間圖形的基本思路；
2.借助空間向量基本定理用基底表示空間中的向量，用向量語言表述出空間點、線、面的位置關系和度量關系，說出向量的思想方法是如何體現的；
3.對比向量法與綜合幾何法的差異，對于不同的問題，選取恰當的方法解決夾角和距離問題；
4. 從空間中點線面的度量和位置關系重構單元結構，闡述立體幾何與平面幾何的邏輯關系，建立向量方法研究空間圖形的思路.
【評價預設】
水平一 ☆ 水平二 ☆☆ 水平三 ☆☆☆ 自我評價
說出空間向量的概念、會進行運算，借助空間向量基本定理選擇合適基底表示空間向量，寫出直線的方向向量、平面的法向量； 能在空間幾何體中運用向量判斷直線與平面間的位置關系；用向量法求解空間角； 將實際生活中的物體抽象為幾何體模型，并靈活運用空間向量解決立體幾何綜合問題；
【學習導航】
在本單元的學習中將分為四個階段，在整體感知部分，類比我們在平面向量所學過的內容，猜測空間向量會不會有類似的性質，又能用空間向量解決立體圖形中的哪些問題；在探究建構部分，類比平面向量基本定理，探究空間向量的坐標運算，并以此探究空間圖形中的有關“角”與“距離”的問題；在遷移應用部分利用向量方法與綜合幾何的方法求解空間中點、線、面之間的位置關系，發展空間想象能力運用向量的知識對于它們的度量問題作深入的研究；在重構拓展部分要重構向量的概念、性質，并分析向量方法和綜合幾何方法在解決空間幾何圖形的位置與度量關系時的差異性，根據不同的問題，能夠準確的對方法進行選取.
【課時建議】
學習過程 學習任務 課時安排
整體感知 類比平面向量認識空間向量 3
探究建構 運用空間向量研究空間中的位置關系和度量關系 6
遷移應用 運用空間向量解決生活中度量問題 3
重構拓展 重構單元結構，拓展單元內容，進行單元過關檢測 4
空間向量與立體幾何
【學習目標】
研讀文本，類比平面向量的性質，說出空間向量滿足的性質，指出平面向量與空間向量的共性與差異；
理順平面向量在解決平面圖形中的應用，猜測空間向量能夠解決哪些空間圖形問題，建立空間向量與圖形的關系；
借助具體實例，用數學語言表述生活中的現象，認識空間基本圖形的位置關系和度量關系.
【學習任務】類比平面向量認識空間向量
--類比平面向量認識空間向量
我們已經學面向量的概念、基本運算，那么平面向量滿足的性質是不是可以推廣到空間中呢？
問題1.梳理所學過的平面向量的核心概念和性質，你認為空間向量應該具有哪些核心概念和性質
問題2.在平面向量單元的學習中，我們能利用平面向量解決哪些平面圖形問題？以此猜測利用空間向量能解決空間幾何中的哪些問題呢？
--對比平面向量與空間向量的基本運算
我們知道，點、直線和平面是空間的基本圖形，是組成空間幾何體的基本元素.因此，為了用空間向量解決立體幾何圖形，首先要明確空間向量與平面向量的異同.
問題1.在平面向量的運算中，我們知道平面向量中，我們證明了平面向量滿足交換律、結合律、分配律，那么在證明空間向量的這三種運算律時，與平面向量的證明過程完全一樣嗎？如果不一樣有什么不同？
問題2.在直線上建立數軸后，就可以用一個數來刻畫點在直線上的位置；在平面內建立平面直角坐標系之后，就可以用一對有序實數來刻畫點在平面內的位置，那么怎樣才能刻畫空間中點的位置呢？如何建立空間直角坐標系？它與平面直角坐標系有什么差異嗎？
問題3.平面向量基本定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是：存在唯一實數對，使.你認為空間向量基本定理的內容會是怎樣的？
--認識線面之間的度量關系
標槍運動員投擲標槍時，標槍所在直線與地面所在平面既不平行也不垂直，二者呈現出一定夾角的形象；在用太陽能板吸收太陽光時，太陽能光板所在平面與地面所在平面呈現出一定夾角的形象；一天中太陽光線所在直線與地面所在平面呈現一定的夾角；從高空墜落的物體給人一種空間一點到地面所在平面距離越來越近的形象，樓房的層高體現兩個平行平面距離的形象，地震時人們描述震源深度體現地下一點到地面距離的遠近，等等.
問題1.生活中經常會遇到“把門開大點”，“把球拋高點”這樣的語言，從數學的角度來分析，你認為可以用哪些量來衡量這種現象？
問題2.在立體幾何初步中，我們學習了直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，那么我們應該選擇哪些量來體現它們之間有的度量關系呢？
【形成性評價1】
分析平面向量與空間向量的異同，梳理空間向量的性質和運用.
空間向量與立體幾何
【學習目標】
1.類比平面向量基本定理解釋空間向量基本定理，建立空間直角坐標系，刻畫空間基本圖形；
2.借助空間幾何體找出空間角，總結向量法求空間角的思路，并比較幾何法和向量法之間的異同；
3.依托空間向量建立空間圖形及圖形關系的想象力，運用它解決立體幾何中的問題，說出向量的工具性作用是如何體現的.
【學習任務】利用向量探究空間中的位置關系和度量關系
--空間向量基本運算與基本定理
如圖1-1-21所示，已知,且OADB-CEGF是棱長為1的正方體，OF1E1A-A1D1C1B1是一個長方體，A1為OC的中點，F1O=2.
問題1.設選擇{}為一組基底，表示向量與；
問題2.設向量，類比平面向量的坐標表示，分別寫出，，，，向量的模、夾角的坐標表示.
類比平面向量基本定理，歸納總結出空間向量基本定理.
--用空間向量判斷空間中的位置關系
如圖，在長方體中，已知AB=2,BC=1,=1,E、M、N分別是的中點.
問題1.類比平面向量的性質，建立合適的直角坐標系，寫出空間中直線B與的方向向量，并用向量的方法證明B與不平行；
問題2.在問題1的前提下，用向量方法證明直線與B垂直;
問題3.在問題1的前提下，結合線面垂直判定定理，寫出平面的法向量，并用向量方法證明直線MN//面.
歸納用空間向量的思想判斷空間中的位置關系的方法與步驟.
---探究求空間角的方法
已知為直角梯形，垂直于平面，.
問題1.如圖，選擇恰當的方法，求異面直線SB與AD、SB與CD的夾角大小；
問題2.從圖中找出SD與面SAB的夾角，并計算其余弦值；若是改為直線SD與面SBC的夾角，又該如何計算？
問題3.根據二面角的概念，從圖中找出二面角的平面角.
問題4.用向量法求平面、平面所成的夾角的余弦值.該夾角與兩平面的法向量的夾角有什么關系？
歸納總結求空間角的方法與步驟.
學習評測
如圖，在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°.
（1）求PB與AC所成角的余弦值；
（2）求PD與平面PAC所成角的余弦值；
（3）求平面PDC與平面PAC所成角的余弦值．
--探究空間中的距離
如圖所示，已知是平行六面體， 如何求的長度.
問題1.若是長方體，如何求的長度.
問題2.在問題1的條件上，如何求到直線的距離 如何求到直線的距離
問題3.在問題1的條件上，如何求到平面的距離 如何求到平面的距離
歸納用向量法求點、直線、平面之間的距離的方法.
學習評測
1.的兩條直角邊平面，，則到斜邊的距離 .
已知平面的一個法向量，點在平面內，則點到的距離為
A.10 B.3 C. D.
【形成性評價2】
評價標準1：說出用向量判斷線線、線面、面面間的平行、垂直的方法及依據；
評價問題：
設，分別是平面的法向量，判斷兩個平面是否平行.
評價標準2：說出求空間角的方法及步驟
評價問題：（多選）正三棱柱中，，則（ ）
A．與底面的成角的正弦值為 B．與底面的成角的正弦值為
C．與側面的成角的正弦值為 D．與側面的成角的正弦值為
評價標準3：說出求空間距離的方法及步驟
評價問題：若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且滿足，則點到平面的距離是（ ）
A． B． C． D．
空間向量與立體幾何
【學習目標】
1.結合實例，能用向量語言表述直線、平面之間的夾角以及垂直平行關系，建立空間觀念；
2.借助常見空間幾何體找出空間角，總結向量法求空間角的思路，并比較總結幾何法和向量法之間的差異；
3.通過研究生活中幾何體的結構，抽象出幾何圖形，形成研究立體圖形的基本思路.
【學習任務】 用向量解決立體幾何中的綜合問題
———探究空間中位置關系與度量關系的綜合問題
如圖，在三棱錐P ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D，E分別為線段AB，BC上的點，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.
(1)求證：PD⊥平面ABC；
(2)若直線PA與平面ABC所成的角為45°，求平面PAC與平面PDE所成的銳二面角大小．
實踐生成
歸納總結求空間角的方法與步驟.
學習評測
1．如圖，在三棱錐P ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點．
(1)證明：PO⊥平面ABC；
(2)若點M在棱BC上，且二面角M PA C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．
——解決生活中的度量問題
1.陽馬和鱉臑(biē nào)是《九章算術·商功》里對兩種錐體的稱謂.如下圖所示，取一個長方休，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵．
長方體 塹堵 塹堵
再沿其中一個塹堵的一個頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個,以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬(四棱錐E-ABCD)，余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體（三棱錐E-FCD）稱為鱉臑.
塹堵 陽馬 鱉臑
(1)在陽馬（四棱錐E-ABCD）中，連接BD，若AB=AD，證明:EC⊥BD;
(2)若AB=2,AD=2,EA=1,求鱉臑（三棱錐E-FCD）中二面角F-EC-D余弦值的大小．
2.石墨和金剛石都是由碳元素組成的，但是她們的性質差異很大，石墨是一種有金屬光澤且不透明的細鱗片狀固體，石墨很軟；純凈的金剛石是無色透明的正八面體形狀的固體，金剛石是天然存在的最硬的物質.為什么會這樣呢？這是因為組成這兩種物質的碳原子在空間中的排列方式不同，圖1所示是組成石墨的碳原子在空間排列的結構示意圖，圖2是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結構示意圖.
事實上，組成金剛石的每個碳原子，都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接，從立體幾何的角度來看，可以認為4個碳原子分布在一個所有棱長都相等的正三棱錐的4個頂點處，而中間的碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置（如圖3）.這就是說，圖3中有
求直線與的夾角；
求二面角的大小.
學習評測
1.在直三棱柱中，，，是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求直線到平面的距離.
【形成性評價3】
評價標準1：會用向量解決立體幾何中的綜合問題
評價問題：如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是的交點，，且.
（1）求證：；
（2）求直線AB與平面所成角的大小；
（3）求二面角的大小.
評價標準2：會用向量解決立體幾何中的動態問題
評價問題：已知直三棱柱中，側面為正方形，分別為和的中點，為棱上的點，.
（1）證明：;
（2）當為何值時，面與面所成的二面角正弦值最小？
空間向量與立體幾何
【學習目標】
1. 以“空間向量與立體幾何”為核心，復盤學習過程，整體重構本單元思維導圖；
2. 自主糾錯，從必備知識、思維提升、學習過程等方面做好反思總結，總結空間向量解決問題的思路和方法；
3.進行二次過關，在具體情境中運用綜合幾何與向量法解決數學問題和實際問題.
【單元重構】
從以下兩個重構方式中選取一種，進行重構。
方式一：再次研讀文本，從平面向量與空間向量，立體幾何的位置關系與度量關系之間的知識與邏輯、思想與方法、核心素養、與現實生活的關系等方面進行梳理，畫出向量和立體幾何的思維導圖.
方式二：利用向量能夠解決空間圖形中的哪些問題 都有哪些解決方法，選擇一到兩個角度進行分析.
【單元拓展】
由本章內容可以看出，立體幾何中的一些問題，即可以借助空間向量求解，也可以直接利用有關定義、判定定理、性質定理等求解.請結合必修中的立體幾何內容，借助具體實例總結綜合幾何法與向量思想方法在解決幾何問題中的優缺點，指出每一類方法的一般步驟（用實例加以說明）.
----探究空間向量的概念及運算
1．以下四個命題中正確的是
A．空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示；
B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構成空間向
量的另一組基底；
C．△ABC為直角三角形的充要條件是·＝0；
D．任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一組基底.
2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝
A．－4 B．－2 C．4 D．2
3．若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項中，能構成基底的一組向量是
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
4.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為
A．0 　 B. C. 　　　 D.
5．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
6．如圖，在大小為45°的二面角中，四邊形都是邊長為1的正方形，則兩點間的距離是
A. B. C．1 D.
7. 設R，向量，且，則
8. 在空間四邊形中，________.
9．如圖，空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則OA與BC所成角的余弦值等于________．
——探究立體圖形中的位置與度量關系
10.如圖所示，四邊形為菱形，是平面同一側的兩點，平面，平面，
證明：平面平面.
求直線與直線所成角的余弦值.
11．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.
（1）證明：；
（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
12．把邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折起成直二面角，點E、F分別是AD、BC的中點，點O是原正方形的中心，求：
(1)EF的長；
(2)折起后∠EOF的大小．
13.在三棱錐中，是邊長為4的正三角形，平面平面，，分別為的中點.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求點到平面的距離.
形成性評價4
水平劃分 水平標準 自我評價
水平一 重構向量與立體幾何單元結構，會進行向量的基本運算；
水平二 能用空間向量解決空間角和空間距離等有關的度量問題；
水平三 對比幾何法與向量法的異同，選擇合適的方法求解立體幾何中的位置判斷及度量問題.
【過關要求】
1.獨立完成，限時100分鐘，合理安排時間；
2.認真審題，分析問題蘊含的條件，注意書寫步驟的規范，條理工整，注意數學語言的正確使用。
單元檢測
一．單選題
1．已知平面α的一個法向量是，，則下列向量可作為平面β的一個法向量的是
A． B． C． D．
2．若是平面內的兩個向量，則
A．內任一向量 B．若存在使＝，則
C．若不共線，則空間任一向量
D．若不共線，則α內任一向量
3．已知給出下列等式：
①； ②； ③
④.其中正確的個數是
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．在平形六面體，其中，，，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1與B1C相交于點O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，則線段AO的長度為（ ）
A． B． C． D．
6．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值，則在單位正方體中，直線與之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．在以下命題中，不正確的命題有（ ）
A．是、共線的充要條件 B．若，則存在唯一的實數，使
C．對空間任一點和不共線的三點，若，則四點共面
D．若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底
8．如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．的最小值為 C．平面
D．異面直線與，所成角的取值范圍是
9．已知直四棱柱，底面為矩形，，，側棱長為，設為側面所在平面內且與不重合的任意一點，則直線與直線所成角的余弦值可能為（ ）
A． B． C． D．
填空題
10．已知空間四邊形，其對角線為分別是的中點，點在線段上，且，現用基底{}表示向量，有，則的值分別為 ．
11．下列關于空間向量的命題中，正確的有______．
①若向量，與空間任意向量都不能構成基底，則；
②若非零向量，，滿足，，則有；
③若是空間的一組基底，且，則四點共面；
④若向量是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底．
12．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點，則直線與平面所成角的正弦值為__________．
四．解答題
13．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，平面，且，點在棱上，，點為中點.
（1）證明：直線平面；
（2）求二面角的正弦值.
14．如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且．
（1）若點F為上一點且，證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
15．如圖，在直四棱柱中，
（1）求二面角的余弦值；
（2）若點P為棱的中點，點Q在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長．
16．在正六棱柱中，.
（1）求到平面的距離；
（2）求二面角的余弦值.
17．在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，.
（1）求證：平面平面；
（2）若，求直線與所成角的余弦值；
（3）若二面角大小為，求的長.

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