資源簡介

專題3 數列的實際應用和綜合問題
【必備知識】
1.公式法
（1）等差數列{an}的前n項和為：，推導方法為倒序相加法.
（2）等比數列{an}的前n項和為：，推導方法為乘公比與錯位相減法.
（3）一些常見的數列的前n項和：
①；.
②；
③；
④.
2.幾種數列求和的常用方法
（1）分組轉化求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減.
（2）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和.
（3）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前n項和即可用錯位相減法求解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（4）倒序相加法：如果一個數列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解.
【必備技能】
常見的裂項技巧：
①；；；；
②；；
③；；
④；
⑤；
常見放縮公式：.
【考向總覽】
考向一：等差數列、等比數列的綜合運算（★★★★）
考向二：數列與不等式的交匯（★★★）
考向三：數列與函數的交匯（★★★）
【考向歸類】
考向一：等差數列、等比數列的綜合運算
【典例1-1】
（2022·遼寧遼陽·統考二模）
1．已知等差數列的公差為2，前項和為，且，，成等比數列.令，則數列的前50項和（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
（2022下·江蘇南通·高一統考期中）
2．已知是等差數列的前項和，公差，，若成等比數列，則的最小值為
A． B．2 C． D．
【備考提醒】
數列的綜合問題常將等差、等比數列結合，兩者相互聯系、相互轉化，解答這類問題的方法：尋找通項公式，利用性質進行轉化.
【舉一反三】
3．已知數列既是等差數列又是等比數列，首項a1=1，則它的前2020項的和等于（ ）
A． B． C．2020 D．0
4．等差數列的首項為5，公差不等于零．若，，成等比數列，則（ ）
A． B． C． D．-2014
考向二：數列與不等式的交匯
【典例2-1】
（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）
5．已知是各項均為正數的數列的前項和，，，若對恒成立，則實數的最大值為（ ）
A． B．16 C． D．32
【典例2-2】
（2023·河南駐馬店·統考二模）
6．設數列的前項和為，，且，若恒成立，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
【備考提醒】
數列與不等式的綜合問題及求解策略
①判斷數列問題的一些不等關系，可以利用數列的單調性比較大小或借助數列對應的函數的單調性比較大小.
②以數列為載體，考查不等式恒成立的問題，此類問題可轉化為函數的最值.
③考查與數列有關的不等式證明問題，此類問題一般采用放縮法進行證明，有時也可通過構造函數進行證明.
【舉一反三】
（2023下·遼寧鐵嶺·高二校聯考期中）
7．已知數列滿足，．設，若對于任意的，．恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學?？计谥校?br/>8．已知，，，．設，為數列的前項和，則（ ）
A． B．
C． D．
考向三：數列與函數的交匯
【典例3-1】
（2023·全國·模擬預測）
9．已知正項等比數列滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】
（2023·江蘇連云港·統考一模）
10．已知，，數列是公差為1的等差數列，若的值最小，則 ．
【備考提醒】
數列與函數交匯問題的主要類型及求解策略
①已知函數條件，解決數列問題，此類問題一般利用函數的性質、圖象研究數列問題.
②已知數列條件，解決函數問題，解決此類問題一般要利用數列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形.
【舉一反三】
（2023·四川成都·校聯考一模）
11．在等比數列中，，是方程兩根，若，則m的值為（ ）
A．3 B．9 C． D．
（2023·江蘇泰州·統考一模）
12．等比數列的首項，公比為，數列滿足（是正整數），若當且僅當時，的前項和取得最大值，則取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【必備知識】
1.等差數列的有關概念
（1）等差數列的定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示，定義表達式為（常數）.
（2）等差中項
若三個數，，成等差數列，則叫做與的等差中項，且有.
2.等差數列的有關公式
（1）等差數列的通項公式
如果等差數列的首項為，公差為，那么它的通項公式是.
（2）等差數列的前項和公式
設等差數列的公差為，其前項和.
3.等比數列的有關概念
（1）定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數（不為零），那么這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母表示，定義的表達式為.
（2）等比中項：如果，，成等比數列，那么叫做與的等比中項.
即是與的等比中項 ，，成等比數列 .
4.等比數列的有關公式
（1）等比數列的通項公式
設等比數列的首項為，公比為，則它的通項公式.
推廣形式：
（2）等比數列的前n項和公式
等比數列的公比為，其前項和為，則當時，；當時，
.
【必備技能】
數列在數學文化與實際問題中的應用
縱觀近幾年高考，數列以數學文化為背景的問題，層出不窮，讓人耳目一新.同時它也使考生們受困于背景陌生，閱讀受阻，使思路無法打開.本節通過對典型高考問題的剖析、數學文化的介紹、及精選模擬題的求解，讓考生提升審題能力，增加對數學文化的認識，進而加深對數學文化理解，發展數學核心素養.
【考向總覽】
考向一：數列的實際應用（★★★）
【考向歸類】
考向一：數列的實際應用
【典例2-1】
13．血藥濃度檢測可使給藥方案個體化，從而達到臨床用藥的安全、有效、合理.某醫學研究所研制的某種新藥進入了臨床試驗階段，經檢測，當患者A給藥3小時的時候血藥濃度達到峰值，此后每經過2小時檢測一次，每次檢測血藥濃度降低到上一次檢測血藥濃度的，當血藥濃度為峰值的時，給藥時間為（ ）
A．11小時 B．13小時 C．17小時 D．19小時
【典例2-2】
14．某科技創新公司投資萬元研發了一款網絡產品，產品上線第1個月的收入為40萬元，預計在今后若干個月內，該產品每月的收入平均比上一月增長，同時，該產品第1個月的維護費支出為萬元，以后每月的維護費支出平均比上一個月增加50萬元.
（1）分別求出第6個月該產品的收入和維護費支出，并判斷第6個月該產品的收入是否足夠支付第6個月的維護費支出？
（2）從第幾個月起，該產品的總收入首次超過總支出？（總支出包括維護費支出和研發投資支出）
【舉一反三】
（2022下·河北石家莊·高二校聯考期中）
15．如圖所示的三角形數陣滿足：其中第一行共有一項是 ，第二行共有二項是，第三行共有三項是 ，依此類推第行共有項，若該數陣的第15行中的第5個數是 ，則m=

A．105 B．109 C．110 D．215
（2023·全國·高三專題練習）
16．某工廠在2020年的“減員增效”中對部分人員實行分流，規定分流人員第一年可以到原單位領取工資的100％，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年工資的領取工資．該廠根據分流人員的技術特長，計劃創辦新的經濟實體，該經濟實體預計第一年屬投資階段，第二年每人可獲得b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎上遞增50％，如果某人分流前工資收入為每年a元，分流后進入新經濟實體，第n年的收入為元．
(1)求的通項公式．
(2)當時，這個人哪一年的收入最少？最少為多少？
(3)當時，是否一定可以保證這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據，，成等比數列結合公差為2，求得，得到，再利用裂項相消法求解.
【詳解】因為，，，
由題意得，
解得，
所以，
則，
則.
故選：D
【點睛】本題主要考查等差數列的基本運算以及裂項相消法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.
2．A
【解析】由成等比數列可得數列的公差，再利用等差數列的前項和公式及通項公式可得為關于的式子，再利用對勾函數求最小值.
【詳解】∵成等比數列，
∴，解得：，
∴，
令，令，其中的整數，
∵函數在遞減，在遞增，
∴當時，；當時，，
∴.
故選：A.
【點睛】本題考查等差數列與等比數列的基本量運算、函數的最值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意為整數，如果利用基本不等式求解，等號是取不到的.
3．C
【分析】根據既是等差數列又是等比數列，得到數列是常數列，再根據，寫出通項，然后求和.
【詳解】因為既是等差數列又是等比數列，且，
所以(常數數列)，
所以前2020項的和等于2020，
故選：C.
【點睛】本題主要考查數列的通項及數列求和，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.
4．D
【分析】先根據三項成等比數例求出的通項公式，進而求出的值.
【詳解】因為等差數列的首項為5，設公差為，
則，所以，
解得或者（舍），所以，
所以，
故選：D
5．D
【分析】根據，求出和的通項公式，代入不等式計算，再根據基本不等式即可求解得出.
【詳解】，
數列是首項為、公比為2的等比數列，
，解得或（舍），
，即恒成立，
，當且僅當即時取等號，.
故選：.
6．B
【分析】根據遞推公式構造數列，結合可得數列的通項公式，然后參變分離，利用對勾函數性質可解.
【詳解】因為，所以，所以數列是常數列，
又，所以，從而，
所以數列是以2為首項，1為公差的等差數列，故．
因為恒成立，所以恒成立，即恒成立．
設，則，從而．
記，由對勾函數性質可知，在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，且，
所以的最小值是，所以．
故選：B
7．A
【分析】根據給定條件，求出數列，的通項，再求出數列的最大項作答.
【詳解】由數列滿足，，得是首項為1，公比為的等比數列，，
于是，，
當，時，當且僅當時取等號，當時，，
因此當時，數列單調遞增，當時，數列單調遞減，
則當或時，，而任意的，恒成立，則，
所以實數的取值范圍是.
故選：A
【點睛】關鍵點睛：涉及求數列最大項問題，探討數列的單調性是解題的關鍵，可以借助作差或作商的方法判斷單調性作答.
8．B
【分析】在等式兩邊同時除以得，推導出，，結合放縮法可判斷B選項；利用的值可判斷AD選項；利用的值可判斷C選項.
【詳解】由以及，可知，，，，
以此類推可知，對任意的，，
在等式兩邊同除得，即，則，
因為，則，
所以當時，，，所以，B對，
因為以及，，則，
，，
，所以，，，，
所以，不滿足AD選項，，
不滿足C選項，
故選：B.
9．A
【分析】設出等比數列的公比，利用求出，再由即可求出.
【詳解】設等比數列的公比為．
由，得，
解得，
又
得．
故選：A
10．3
【分析】結合等差數列的通項公式，轉化為二次函數的最值問題可解.
【詳解】∵數列是公差為1的等差數列，可設：.
∴
∴當時，的值最小.
故答案為：3
11．B
【分析】根據韋達定理可得，結合等比數列的性質即可求解.
【詳解】因為，是方程兩根，
所以，即，
在等比數列中，，又，
所以，因為，所以，所以.
故選：B.
12．C
【分析】求出的通項公式，分析出其為等差數列，然后由條件得出，代入通項公式即可求解.
【詳解】
所以是以為首項，為公差的等差數列，
若當且僅當時，的前項和取得最大值，
所以
即，，
故選：C.
13．B
【分析】利用題意，將給藥時間與檢測次數轉化為等差數列模型，將給藥時間與患者血藥濃度轉化為等比數列模型，則利用數列的通項公式求解即可.
【詳解】解：檢測第n次時，給藥時間為，則是以3為首項，2為公差的的等差數列，
所以，
設當給藥時間為小時的時候，患者血藥濃度為，血藥濃度峰值為a，
則數列是首項為a，公比為的等比數列，所以，
令，即，解得，
當血藥濃度為峰值的時，給藥時間為，
故選：B.
14．（1）收入約為303.75萬元，維護費為350萬元（2）第10月
【分析】（Ⅰ）根據題意可知月收入依次成首項為40萬元，公比為的等比數列，每月的維護費支出依次成首項為100萬元，公差為50的等差數列．進而利用等差與等比數列的通項公式求得an和bn，代入n=6可得結果.
（Ⅱ）設經過n個月的總收入為Sn萬元，總支出為Tn萬元，進而根據等比數列及等差數列的求和公式分別求得Sn和Tn．進而根據，即 ，
求得n的范圍．
【詳解】解：記產品從第一個月起，每個月的收入為數列，每個月的維護費支出為數列，
則， ，
(1) 第6個月的收入為：萬元，
第6個月的維護費為：萬元，
∴第6個月的收入還不足以支付第6個月的維護費 .
(2)到第個月，該產品的總收入為
該產品的總支出為
由題意知，只需，即 ，
由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數n=10.
∴從第10個月起，該產品的總收入首次超過總支出.
【點睛】本題主要考查了數列的實際應用，涉及了等差、等比數列的通項公式，求和公式．綜合性很強．
15．B
【詳解】分析：由題意，根據三角形數陣的數字的排列規律，利用等差數列的求和公式，可計算得出第14行的最后一個數字，從而求得第15行的第5個數字的值.
詳解：由題意，三角形數陣中可知，第一行有1個數字，第二行有2個數字，第三行由3個數字， ，第行有個數字，
由等差數列的前項和公式可得前共有個數字，
即第14行的最后一個數字為，
所以第15行的第1個數字為，第15行的第5個數字為，故選B.
點睛：本題主要考查了數表、數陣數列的應用，其中根據數表、數陣數列的數字排列規律，合理利用等差、等比數列的通項公式和前項和公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能，以及轉化與化歸思想的應用.
16．(1)
(2)這個人第三年的收入最少，為元
(3)當時，這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入
【分析】（1）根據題意得到時，，進而得到數列的通項公式；
（2）由時，，結合基本不等式，即可求解；
（3）由時，，結合基本不等式的等號成立的條件，即可得到結論.
【詳解】（1）解：由題意得，當時，，
當時，，
所以
（2）解：由，當時，，
當且僅當，上式的等號成立，即，解得，
所以這個人第三年的收入最少，最小值為元．
（3）解：當時，
，
當且僅當且，上式等號成立，
因此，等號不能取到，
當時，這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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