資源簡介

專題5 導數在研究函數性質中的應用（2）
【必備知識】1.極值點與極值
如圖，函數y＝f（x）在點x＝a的函數值f（a）比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′（a）＝0；
而且在點x＝a附近的左側f′（x）<0，右側f′（x）>0.類似地，函數y＝f（x）在點x＝b的函數值f（b）比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′（b）＝0；而且在點x＝b附近的左側f′（x）>0，右側f′（x）<0.我們把a叫做函數y＝f（x）的極小值點，f（a）叫做函數y＝f（x）的極小值；b叫做函數y＝f（x）的極大值點，f（b）叫做函數y＝f（x）的極大值.極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.2.函數f（x）在閉區間[a，b]上的最值
一般地，如果在區間[a，b]上函數y＝f（x）的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.
【必備技能】1.求函數y＝f（x）的極值的方法
解方程f′（x）＝0，當f′（x0）＝0時：
（1）如果在x0附近的左側f′（x）>0，右側f′（x）<0，那么f（x0）是極大值；
（2）如果在x0附近的左側f′（x）<0，右側f′（x）>0，那么f（x0）是極小值.2.函數在區間[a，b]上最值的求法
一般地，求函數y＝f（x）在區間[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：
（1）求函數y＝f（x）在區間（a，b）上的極值；
（2）將函數y＝f（x）的各極值與端點處的函數值f（a），f（b）比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
【考向總覽】
考向一 求已知函數的極值點/極值（★★★★）
考向二 求已知函數的最值（★★★）
【考向歸類】
考向一 求已知函數的極值點/極值
【典例1-1】
（23-24高二下·江蘇無錫·期中）
1．已知在處取得極小值．
(1)求的解析式；
(2)求在處的切線方程；
(3)求的極值.
【典例1-2】
（22-23高二下·湖北·期中）
2．給定函數．
(1)求函數的單調區間，并求出的極值點；
(2)若關于的方程有兩個不同的解，求實數的范圍．
【備考提醒】1.利用導數求函數極值的主要步驟：
求y＝f′（x）→解方程f′（x）＝0→判斷f′（x）在各根左右兩側的符號，進一步確定函數的極值.如果在點x0兩側的單調性相反，則x0為極值點，否則x0不是極值點.
2.可導函數的極值點一定是導數為零的點，導數為零的點僅是該點為極值點的必要條件，其充分條件是該點兩側的導數異號.
3.一般地，列表分析x，y′，y的變化情況是求極值的有效方法，也可畫出導函數圖象判斷極值情況.
【舉一反三】
3．函數在區間上的極值點的個數為 ．
（23-24高二上·浙江寧波·期末）
4．已知函數（為常數），曲線在點處的切線平行于直線.
(1)求的值；
(2)求函數的極值.
考向二 求已知函數的最值
【典例2-1】
（23-24高二下·安徽六安·階段練習）
5．已知函數，是的極值點．
(1)求實數a的值；
(2)求在上的最值．
【典例2-2】
（22-23高二下·廣東揭陽·階段練習）
6．設函數.
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)若函數有兩個極值點，且，求的最小值.
【備考提醒】求函數f（x）在閉區間[a，b]上的最值的方法：
（1）求函數f（x）的導函數f′（x）；
（2）計算函數f（x）在區間（a，b）內使得f′（x）＝0的所有點以及端點的函數值f（a）與f（b）；
（3）比較以上各個函數值，其中最大的是函數的最大值，最小的是函數的最小值.
【舉一反三】
（23-24高二下·安徽淮南·開學考試）
7．已知函數，且當時，有極值．
(1)求的解析式；
(2)求在上的最大值和最小值．
（2024高二下·上海·專題練習）
8．已知函數.
(1)求函數的最小值；
(2)求函數過點的切線；
【必備知識】1.極值點與極值
如圖，函數y＝f（x）在點x＝a的函數值f（a）比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′（a）＝0；
而且在點x＝a附近的左側f′（x）<0，右側f′（x）>0.類似地，函數y＝f（x）在點x＝b的函數值f（b）比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′（b）＝0；而且在點x＝b附近的左側f′（x）>0，右側f′（x）<0.我們把a叫做函數y＝f（x）的極小值點，f（a）叫做函數y＝f（x）的極小值；b叫做函數y＝f（x）的極大值點，f（b）叫做函數y＝f（x）的極大值.極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.2.函數f（x）在閉區間[a，b]上的最值
一般地，如果在區間[a，b]上函數y＝f（x）的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.
【必備技能】求一個函數在無窮區間（或開區間）上的最值與在閉區間上的最值的方法是不同的.求函數在無窮區間（或開區間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.
【考向總覽】
考向一 含參討論函數的極值（★★★★）
考向二 含參討論函數的最值 （★★★★）
【考向歸類】
考向一 含參討論函數的極值
【典例1-1】
9．已知函數，.
(1)若函數在時取得極值，求的值；
(2)討論函數的極值.
【典例1-2】
（2023高二·全國·專題練習）
10．已知函數.討論函數的極值；
【備考提醒】根據題意選擇合適的分界點，逐一分類討論即可.
【舉一反三】
（22-23高二下·甘肅金昌·期中）
11．已知函數，，討論函數的極值.
（22-23高二下·天津南開·期中）
12．已知函數，討論其單調區間與極值.
考向二 含參討論函數的最值
【典例2-1】
（22-23高二下·全國·課時練習）
13．已知函數，求函數在區間上的最小值．
【典例2-2】
（23-24高二下·河北·開學考試）
14．已知函數．
(1)討論的極值；
(2)求在上的最小值．
【備考提醒】含參函數在區間上的最值通常有兩類：一是動極值點定區間；二是定極值點動區間，這兩類問題一般根據區間與極值點的位置關系來分類討論.
【舉一反三】
15．已知函數．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)當時，求函數在上的最小值．
（23-24高二下·全國·課前預習）
16．已知函數，，.
(1)求的值；
(2)求在區間上的最大值.
【必備知識】函數極值的定義：如圖，函數y＝f （x）在點x＝a的函數值f （a）比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f ′（a）＝0；而且在點x＝a附近的左側f ′（x）<0，右側f ′（x）>0.類似地，函數y＝f （x）在點x＝b的函數值f （b）比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f ′（b）＝0；而且在點x＝b附近的左側f ′（x）>0，右側f ′（x）<0.我們把a叫做函數y＝f （x）的極小值點，f （a）叫做函數y＝f （x）的極小值；b叫做函數y＝f （x）的極大值點，f （b）叫做函數y＝f （x）的極大值.極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.
【必備技能】已知極值情況求參數問題時要注意：①f ′（x0）＝0是x0為函數極值點的必要不充分條件，故而要注意檢驗；②若函數y＝f （x）在區間（a，b）內有極值，那么y＝f （x）在（a，b）內一定不是單調函數，反之，若函數在某區間上單調，則函數沒有極值.
【考向總覽】
考向一 根據函數極值點求參數 （★★★★）
考向二 根據函數極值/最值求參數（★★★）
【考向歸類】
考向一 根據函數極值點求參數
【典例1-1】
（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）
17．若函數有兩個不同的極值點，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
（23-24高三上·江蘇揚州·期中）
18．已知函數，其中．
(1)若是函數的極值點，求a的值；
(2)若，討論函數的單調性．
【備考提醒】根據函數極值的定義可知，如果一個函數是可導函數，那么在極值點處的導數必然為零，即對于可導函數y＝f（x），f′（x0）＝0是x0為極值點的必要條件.其充分條件是這點兩側的導數異號，當可導函數在某一點處取得極值時，該點處的導數值一定為零，據此可建立關于參數的方程進行求解.但導數值為0的點不一定是極值點.
【舉一反三】
（22-23高二下·河南·期中）
19．若函數有兩個極值點，則非負實數的取值范圍是（　　）
A． B．
C．或 D．或
（22-23高二下·陜西榆林·期中）
20．已知函數存在兩個極值點，，且．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求正實數的取值范圍．
考向二 根據函數極值/最值求參數
【典例2-1】
（23-24高二上·江蘇泰州·期末）
21．已知函數在處取得極小值1，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】
（2024高二下·全國·專題練習）
22．若函數在上的最小值為4，則 ．
【備考提醒】（1）已知函數最值求參數，可先求出函數在給定區間上的極值及函數在區間端點處的函數值，通過比較它們的大小，判斷出哪個是最大值，哪個是最小值.結合已知求出參數，進而使問題得以解決.要注意極值點是否在區間內.
（2）當函數多項式的次數大于2或用傳統方法不易求最值時，可考慮用導數的方法求解.
【舉一反三】
（23-24高二上·陜西西安·期末）
23．已知函數在時取得極大值4，則 ．
（22-23高二下·黑龍江鶴崗·期中）
24．函數，的最大值為，最小值為，則（ ）
A．或 B．若，則
C．若，可得 D．或
【必備知識】生活、生產和科研中會遇到許多實際問題，要善于用數學的觀點和方法去分析問題.求實際問題的最大（小）值，主要步驟如下：
（1）找關系：分析實際問題中各量之間的關系.
（2）列模型：列出實際問題的數學模型.
（3）寫關系：寫出實際問題中變量之間的函數關系y＝f（x）.
（4）求導：求函數的導數f′（x），解方程f′（x）＝0.
（5）比較：比較函數在區間端點和使f′（x）＝0的點的數值的大小，最大（小）者為最大（小）值.
（6）結論：根據比較值寫出答案.
【必備技能】極值問題的綜合運用主要涉及極值的正用和逆用，根據函數的極值畫函數圖象，以及函數的單調性問題.注意已知與未知的轉化以及函數與方程、分類討論思想在解題中的應用，解題的關鍵是掌握求單調區間和極值的基本解題策略.
【考向總覽】
考向一 實際問題中的極值與最值（★★★）
考向二 利用導數研究函數零點或方程的根（★★★★★）
考向三 利用導數研究函數圖象（★★★★★）
考向四 利用導數研究極值點偏移問題（★★★★★）
考向五 導數圖象與函數極值點/極值的關系（★★★）
【考向歸類】
考向一 實際問題中的極值與最值
【典例1-1】
（23-24高二下·上海·階段練習）
25．如圖，將一根直徑為的圓木鋸成截面為矩形的梁．矩形的高為，寬為．已知梁的抗彎強度為．
(1)將表示為的函數，并寫出定義域；
(2)求的值使得抗彎強度最大．
【典例1-2】
（23-24高二上·江蘇南京·期末）
26．某個體戶計劃同時銷售A，B兩種商品，當投資額為x千元時，在銷售A，B商品中所獲收益分別為千元與千元，其中，，如果該個體戶準備共投入5千元銷售A，B兩種商品，為使總收益最大，則B商品需投 千元．
【備考提醒】1.求面積與體積的最值問題是實際生產生活中的常見問題.解決這類問題的關鍵是熟練掌握相關的面積、體積公式，能夠依據題意確定出自變量的取值范圍，建立準確的函數關系式，然后利用導數的方法加以解決.必要時，可選擇建立坐標系，通過點的坐標建立函數關系式或曲線方程，以便于問題的解決.
2.利用導數解決利潤（收益）最大問題，關鍵是靈活運用題設條件，建立利潤（收益）的函數解析式，然后再利用導數方法求出該函數的最大值，即可得到最大利潤（收益）.常見的基本等量關系如下：
（1）利潤（收益）＝收入－成本；
（2）利潤（收益）＝每件產品的利潤（收益）×銷售量.
【舉一反三】
（2024高二下·全國·專題練習）
27．某工廠需要建一個面積為的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，則要使砌墻所用材料最省，則堆料場的長和寬各為（ ）
A．16 m，16m B．32m，16m
C．32 m，8m D．16m，8m
28．福州某公園有一個半圓形荷花池（如圖所示），為了讓游客深入花叢中體驗荷花美景，公園管理處計劃在半圓形荷花池中設計棧道觀景臺和棧道、、、，觀景臺在半圓形的中軸線上（如圖，與直徑垂直，與不重合），通過棧道把荷花池連接起來，使人行其中有置身花海之感．已知米，，棧道總長度為．

(1)求關于的函數關系式．
(2)若棧道的造價為每米千元，問：棧道長度是多少時，棧道的建設費用最小？并求出該最小值．
考向二 利用導數研究函數零點或方程的根
【典例2-1】
（23-24高二上·山西呂梁·期末）
29．函數的零點個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2-2】
（23-24高二上·全國·期末）
30．若直線與存在兩個公共點，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】1.函數零點個數的討論問題實質是研究函數圖象的變化趨勢，通過變化趨勢看是否與x軸存在公共點，以此確定零點個數；在利用函數零點存在定理時，一般不使用極限語言，故常常需要“取點”，可借助ex≥x＋1，ln x≤x－1等結構放縮，必要時可構造函數證明所取點的符號.
2.根據函數零點的情況求參數值或取值范圍的基本方法：①利用零點存在定理構建不等式求解；②分離參數后轉化為函數的值域（最值）問題求解；③轉化為兩個熟悉的函數圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解.
【舉一反三】
（23-24高二上·甘肅隴南·期末）
31．關于的方程有三個不同的實數解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高二下·廣西玉林·階段練習）
32．已知函數，關于的性質，以下四個結論中正確的是（ ）
A．是奇函數 B．函數在區間上是增函數
C．有兩個零點 D．函數在處取得極小值
考向三 利用導數研究函數圖象
【典例3-1】
（22-23高二上·江西宜春·期中）
33．已知函數，是函數的導函數，則的圖像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】
（23-24高二上·廣東深圳·期末）
34．過點可以做三條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【備考提醒】導數可以研究函數單調性、極值與最值，進而研究函數圖象的變化趨勢，值域等基本特征，再根據數形結合的方法可以解決公共點等問題.
【舉一反三】
（22-23高二下·四川遂寧·期中）
35．已知函數，若函數恰有一個實根，則實數的取值范圍是
（23-24高二上·寧夏銀川·期末）
36．已知函數.
(1)求函數的單調區間和最小值；
(2)畫出函數的草圖，并根據草圖求函數的單調區間.
考向四 利用導數研究極值點偏移問題
【典例4-1】
（22-23高二下·陜西安康·期中）
37．已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數有兩個不同零點，求的取值范圍，并證明.
【典例4-2】
（23-24高二下·安徽宿州·開學考試）
38．已知函數（其中為自然對數的底數）.
(1)求函數的單調區間；
(2)若為兩個不相等的實數，且滿足，求證：.
【備考提醒】極值點偏移問題的常用策略：首先進行變量的轉化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關系式，或者通過比值代換，利用關系式將其中一個變量用另一個變量表示，代入要證明的不等式，化簡后根據其結構特點構造函數，再借助導數，判斷函數的單調性，從而求其最值，并把最值應用到所證不等式.除了上述方法外，也常通過構造關聯（對稱）函數求解，常見步驟如下：①構造奇函數F （x）＝f （x0－x）－f （x0＋x）；②對F （x）求導，判斷F ′（x）的符號，確定F （x）的單調性；③結合F （0）＝0，得到f （x0－x）>f （x0＋x）（或f （x0－x）（或<）f （x0＋（x0－x2））＝f （2x0－x2）得f （x1）>（或<）f （2x0－x2）；⑤結合f （x）的單調性，得x1>（或<）2x0－x2，得x1＋x2>（或<）2x0.其中也可考慮構造F （x）＝f （x）－f （2x0－x）等，具體視已知條件“執果索因”.
【舉一反三】
（22-23高二下·遼寧·期末）
39．已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)若（e是自然對數的底數），且，，，證明：.
（22-23高二下·河北張家口·期末）
40．已知函數.
(1)求函數的單調區間和極值；
(2)若方程的兩個解為、，求證：.
考向五 導數圖象與函數極值點/極值的關系
【典例5-1】
（23-24高二下·湖南益陽·階段練習）
41．已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．有4個極值點，其中有2個極大值點 B．有4個極值點，其中有2個極小值點
C．有3個極值點，其中有2個極大值點 D．有3個極值點，其中有2個極小值點
【典例5-2】
（23-24高二下·重慶·階段練習）
42．若函數的導函數圖象如圖所示，則（ ）
A．的解集為 B．函數有兩個極值點
C．函數的單調遞減區間為 D．是函數的極小值點
【備考提醒】本類題型務必看清題目中給出的是導函數圖象求解原函數的基本性質，還是給出了原函數圖象求解導函數的基本性質！
【舉一反三】
（23-24高二上·山西忻州·期末）
43．已知函數的導函數的圖象如圖所示，則（ ）
A．在上單調遞減
B．在上單調遞增
C．有2個極大值點
D．只有1個極小值點
（22-23高二·全國·隨堂練習）
44．已知函數的定義域為，且其導函數的圖象如圖所示，試找出函數在區間內的極大值點和極小值點．

試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
(3)極大值為，極小值為
【分析】（1）借助極值點與極值的定義可得，計算即可得；
（2）借助導數的幾何意義分別計算出切點與斜率即可得；
（3）借助導數得到函數的單調性即可得函數的極值.
【詳解】（1）由題意知，
因為在處取得極小值，
則，解得，
當時，
，
當時，，當時，，
故在、上單調遞增，在上單調遞減，
故是函數的極小值點，
滿足題意，所以，
所以；
（2）由題意知，，
所以，，所以切點坐標為，斜率，
所以切線方程為：，即；
（3），
當時，，當時，，
故在、上單調遞增，在上單調遞減，
故有極大值，
有極小值.
2．(1)答案見解析；
(2)
【分析】（1）由題可得，解不等式可得單調區間，即可得極值點；
（2）方程有兩個不同的解相當于圖象與有兩個不同交點，由（1）做出圖象，即可得答案.
【詳解】（1）.
在上單調遞增；
在上單調遞減；
則在處取極小值，則的極小值點為；
所以函數的單調增區間為，單調減區間為；的極小值點為；
（2）由（1）可知單調性，極小值為.
注意到當時，，；時，，據此可做圖象如圖，
則方程有兩個不同的解相當于圖象與有兩個不同交點，則由圖可得.
3．3
【分析】根據給定函數及區間，利用導數、零點存在性定理，結合極值點的意義求解即得.
【詳解】函數，求導得，且，
令，求導得，當時，，
則函數在區間上單調遞增，又，，
則使得，當時，，當時，，
于是，即在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
則，而，從而，使得，
當時，，當時，，
因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得極小值，
又，即函數為上的偶函數，
則在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，在處取得極小值，
顯然函數在處取得極大值，所以在區間上共有3個極值點.
故答案為：3
4．(1)
(2)極大值為，極小值為
【分析】（1）求導得，由此即可求解；
（2）求導得，根據導數與極值的關系列表即可得解.
【詳解】（1），
∵在點處的切線平行于直線，
∴，∴；
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
3
+ 0 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
∴極大值為，極小值為.
5．(1)
(2)最大值為，最小值為
【分析】（1）利用導數與函數極值點的關系求得，再代入檢驗的單調性與極值點情況，從而得解；
（2）利用（1）中結論，結合函數最值的求法即可得解.
【詳解】（1）易得的定義域為，
而，
因為是的極值點，所以，即，則，
當時，，
令，解得或；令，解得，
在和上單調遞增，在上單調遞減，
所以是的極小值點，故.
（2）由（1）知，
且在和上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上的最小值為，
所以要求在上的最大值，只要比較，的值即可，
又，，而，
所以在上的最大值為，最小值為.
6．(1)調遞增區間為，；單調遞減區間為
(2)
【分析】（1）求導后，根據的正負可確定單調區間；
（2）根據函數有兩個極值點可得方程在上有兩個不等實根，由此可得韋達定理的結論，將表示為關于的函數的形式，構造函數，利用導數求得即可.
【詳解】（1）當時，，則定義域為，，
當時，；當時，；
的單調遞增區間為，；單調遞減區間為.
（2）定義域為，，
有兩個極值點等價于在上有兩個不等實根，
，，，，
；
設，
則，
在上單調遞減，，
即，
的最小值為.
7．(1)
(2)最大值和最小值分別為
【分析】（1）由極值的必要條件以及可列方程求解參數，由此即可得解；
（2）求導得出在的單調性，比較極值點與端點函數值即可得解.
【詳解】（1），由題意，
解得，所以的解析式為.
（2），，
當時，，在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
而，
，
所以在上的最大值和最小值分別為.
8．(1)
(2)或
【分析】（1）由題意對求導得函數單調性，由此即可求解；
（2）由題意設出切點，表示出切線方程（含參），從而，，由此可求得，，進一步即可得解.
【詳解】（1）由題意得，的定義域為，
，
令，解得，或（舍去）；，解得，所以，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以.
（2）設切點為，切線的斜率，
所以，
因為直線過點，所以，又，
解得或，
所以直線方程為或
9．(1)2
(2)答案見解析
【分析】（1）由求得的值.
（2）先求得，然后對進行分類討論，由此求得函數的極值.
【詳解】（1）∵，則，
∵在處取得極值，故，解得.
當時，.
由，可得或；由，可得.
故在上遞增，在上遞減，在上遞增，
故是函數的極大值點，符合題意；
（2）由（1）得，
令，則或，
①時，，此時在上單調遞增，無極值；
②時，，
當時，；當時，，
故的單調遞增區間為、，單調遞減區間為；
∴極小值點極大值點為－1，
故極小值極大值；
③當時，，
當時，；當時，，
此時，函數的單調遞增區間為、，單調遞減區間為.
∴極小值點－1，極大值點為，
故極小值，極大值為；
綜上所述，當時，極小值，極大值為；
當時，無極值；
當時，極小值，極大值為.
10．答案見解析
【分析】求出，分、討論可得答案.
【詳解】顯然的定義域為，
因為，所以，
若，則當時，，當時，，
故函數在上單調遞增，在上單調遞減；
故在處取得唯一的極大值，且極大值為1，無極小值；
若，則當時恒成立，故函數在上單調遞增，無極值.
綜上，當時，的極大值為，無極小值；當時，無極值.
11．答案見解析
【分析】求導，分類討論判斷單調性，進而確定極值.
【詳解】由題意可得：的定義域為，，
令，得，，
①當，即時，恒成立，
則函數在定義域內單調遞增，
所以函數在定義域內沒有極值；
②當，即時，
當和時，；當時，；
則函數在區間和上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以當時，函數有極大值，當時，函數有極小值；
③當，即時，
當和時，；當時，；
此時函數在區間和上單調遞增；在區間上單調遞減，
所以當時，函數有極小值；當時，函數有極大值；
綜上所述：當時，沒有極值；
當時，有極大值，極小值；
當時，有極小值，極大值.
12．答案見詳解
【分析】求導，討論的正負以及與0的大小，利用導數判斷原函數的單調性與極值.
【詳解】由題意可得：，
（i）當時，則，
令，解得；令，解得；
可得的單調遞增區間為，單調遞減區間為，有極大值，無極小值；
（ⅱ）當時，令，解得或，
①當，即時，令，解得或；令，解得；
可得的單調遞增區間為，單調遞減區間為，有極大值，極小值；
②當，即時，則，
可得的單調遞增區間為，無極值；
③當，即時，令，解得或；令，解得；
可得的單調遞增區間為，單調遞減區間為，有極大值，極小值；
綜上所述：當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，有極大值，無極小值；
當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，有極大值，極小值；
當時，的單調遞增區間為，無極值；
當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，有極大值，極小值.
13．答案見解析
【分析】先求得函數的導函數，再按a分類討論，分別求得函數在區間 上的單調性，進而求得函數在區間 上的最小值.
【詳解】，
令，得，.
①當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以.
②當時，，在區間 上單調遞增，
所以.
③當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以.
綜上所述，當時，；
當時，；
當時，.
14．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導后，分別在和的情況下，根據的正負可得單調性，由極值定義可求得結果；
（2）分別在、和的情況下，根據的正負可得單調性，由此可得最值點，代入可求得最值.
【詳解】（1）由題意知：的定義域為，；
當時，，恒成立，在上單調遞增，
無極值；
當時，若，；若，；
在上單調遞減，在上單調遞增；
的極小值為，無極大值；
綜上所述：當時，無極值；當時，的極小值為，無極大值.
（2）當時，在上恒成立，在上單調遞增，
；
當時，若，；若，；
在上單調遞減，在上單調遞增，
；
當時，在上單調遞減，；
綜上所述：在上的最小值.
15．(1)；
(2)答案見解析.
【分析】（1）把代入，求出函數的導數，利用導數的幾何意義求出切線方程.
（2）利用導數分類討論求出在上的最小值.
【詳解】（1）當時，函數，求導得，則，又，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）函數，求導得，，
令，解得，
①當，即時，，，函數在上單調遞減，
因此函數的最小值為；
②當，即時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
因此函數的最小值為；
③當，即時，，，函數在上單調遞增，
因此函數的最小值為，
所以當時，的最小值為；
當時，的最小值為；
當時，的最小值為.
16．(1)
(2)
【分析】（1）求出，代值計算可得出的值；
（2）求得，對實數的取值進行分類討論，利用導數分析函數在上的單調性，即可求得函數在區間上的最大值.
【詳解】（1）解：由得，所以.
（2）解：由得，
當時，對任意的恒成立，
故在區間上單調遞增，所以；
當時，令，可得.
（1）當時，即當時，對任意的恒成立，
此時，函數在上為減函數，則；
（2）當時，即當時，對任意的恒成立，
此時，函數在上為增函數，則；
（3）當時，即當時，列表如下：
增 極大值 減
此時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
則.
綜上可得：.
17．C
【分析】結合題意可將問題轉化為方程有兩個不同正實數根、，解出方程組即可得.
【詳解】，
由函數有兩個不同的極值點，故函數有兩個變號零點，
即當時，有兩個不同正實數根，
令方程有兩個不同正實數根為、，
則有，，則，解得，
即實數a的取值范圍是.
故選：C.
18．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）求導，由得出，再檢驗即可；
（2）討論的大小關系，根據導數得出單調性.
【詳解】（1） ，
因為是函數的極值點，所以，解得，
當時，，
若，則，若，則或.
即函數在上單調遞減，在上單調遞增，即是函數的極值點.
故．
（2），，
當時，令，解得或，
當，即時，
當時，，當或時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．
當時，
當時，，當或時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．
當，即時，，所以在上單調遞減.
綜上，
當時，在上遞減，在上遞增，在上遞減；
當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．
19．D
【分析】利用導數分析的單調性，畫出兩段函數的圖象，結合圖象分析即可求解.
【詳解】對于，，
令，可得.
當時，，所以為增函數，
當時，，所以為減函數，
當時，，所以為增函數，
所以在處有極大值為，
在處有極小值為，
所以在同一坐標系中作出的圖像，如圖所示：
若有兩個極值點，則或.
故選：D
20．(1)
(2)
【分析】（1）由題意，對函數進行求導，將函數存在兩個極值點轉化成方程在有兩個不同的解，列出不等式求解即可；
（2）結合（1）得到和之間的關系，對進行整理，根據，得到，通過構造新函數，將問題轉化成新函數的最值問題，進而即可求解．
【詳解】（1）∵，
又函數存在兩個極值點，，
∴在上有兩個不同的解，
∴即方程在有兩個不同的解，
∴解得．
∴實數的取值范圍為．
（2）由（1）知，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
又，，∴，
令，，
∴，
∵，∴，
由，得；由，得
∴在上單調遞減，在單調遞增，
則
令，則，解得，
∴
又因為,所以.
【點睛】不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 數形結合( 圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立
21．C
【分析】根據極值定義進行求解即可.
【詳解】由，
因為在處取得極小值1，
所以有，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以是函數的極小值點，故滿足題意，
于是有.
故選：C
22．##
【分析】求導，得到函數單調性，得到為在上的極小值和最小值，列出方程，求出答案.
【詳解】，，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以為在上的極小值，也是最小值，
故，解得.
故答案為：
23．
【分析】利用導數研究函數的極值，待定系數計算并驗證即可.
【詳解】由題意可知，
因為函數在時取得極大值4，所以，
解之得，
檢驗，此時，令或，
令，
即在上單調遞增，在上單調遞減，即滿足題意，
故.
故答案為：
24．AB
【分析】對實數的取值進行分類討論，利用導數分析函數在上的單調性，結合函數的最值可得出關于、的方程組，解出這兩個未知數的值，即可得出合適的選項.
【詳解】因為，，則，
當時，則為常值函數，不合乎題意；
當時，由可得，由可得，
所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
此時，，則，
又因為，，
因為，則，解得；
當時，由可得，由可得，
所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
此時，，解得，
又因為，，
因為，則，解得.
綜上所述，或，AB都對，CD都錯.
故選：AB.
25．(1)，定義域為
(2)
【分析】（1）由勾股定理可得出，即可得出關于的函數，結合實際情況寫出該函數的定義域；
（2）利用導數分析函數的單調性，即可得出該函數取最大值時對應的的值.
【詳解】（1）由勾股定理可得，則，
所以，，其中，即該函數的定義域為.
（2）對函數求導得，由可得，列表如下：
增 極大值 減
所以，當時，取得極大值，亦即最大值，且
26．##1.5
【分析】列出利潤關于投資B商品x千元的函數，利用導數判斷函數的單調性，再求函數的最大值及對應的x的值.
【詳解】設投入經銷B商品x千元，則投入經銷A商品的資金為千元，所獲得的收益千元，
則，
可得，
當時，可得，函數單調遞增；
當時，可得，函數單調遞減；
所以當時，函數取得最大值，最大值為.
故答案為：
27．B
【分析】求出新墻總長度的表達式，利用導數判斷其單調性，確定最小值點，即可求得答案.
【詳解】如圖所示，設場地一邊長為xm，則另一邊長為m，
因此新墻總長度，則，
令，得或(舍去)，
當時，，當時，，
則L在上單調遞減，在上單調遞增，
∴是L的最小值點，此時，
故當堆料場的寬為16 m，長為32 m時，可使砌墻所用的材料最省.
故選：B
28．(1)，
(2)棧道長度是時建設費用最小，最小值為千元
【分析】（1）根據三角函數的概念分別求、、的長度即可；
（2）求出的導函數，得到函數的單調性，進而即可求出最值.
【詳解】（1）因為在半圓形的中軸線上，，米，，
所以，，
所以，
所以棧道總長度
，.
（2）由（1）得，，
所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
所以當，即時，棧道的建設費用最小，
建設費用最小值為千元.
29．B
【分析】求導可得函數的單調性，進而結合零點存在性定理即可求.
【詳解】，令，則，令，解得，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
故當時取最小值，
又，，
所以=0在上各有一解，所以有兩個零點，
故選：B.
30．C
【分析】將原問題轉化為有兩個不等正根，再利用導數研究函數的增減性以及圖象特征，結合圖象即可得答案.
【詳解】由題可知有兩個不等正根,所以有兩個不等正根；
設，則；
由可得，單調遞增；
由可得，單調遞減且恒大于0，
且，作出函數和的大致圖象如圖所示，

由圖象可知當時，有兩個正根.
故選：C.
31．D
【分析】已知方程有三個不同的實數解可轉化為的圖象與的圖象有三個點,根據導數的幾何意義，數形結合可得參數范圍.
【詳解】
由已知方程有三個不同的實數解可轉化為的圖象與的圖象有三個點，
設直線的圖象與相切于點，
因為，
所以，解得：，
又函數在單調遞減，且，
函數在增，且，
所以函數與在所有且只有一個交點，
要使的圖象與的圖象有三個交點，
則需，
即實數的取值范圍是，
故選：D．
32．CD
【分析】A選項，由，A錯誤；BD選項，求導，得到函數單調性和極值情況，得到B錯誤，D正確；C選項，在求出函數單調性的基礎上，結合特殊點的函數值，畫出函數圖象，得到函數零點個數.
【詳解】A選項，定義域為R，且，故不是奇函數，A錯誤；
BD選項，，
令，解得或，單調遞增，
令，解得，單調遞減，
故在處取得極小值，B錯誤，D正確；
C選項，因為，，，
又當或時，，當時，，
畫出的圖象，如下，

所以有兩個零點，C正確.
故選：CD
33．C
【分析】對函數求導得，易知為奇函數，排除B、D選項；再對求導，易得在是遞減，即可求解.
【詳解】，為奇函數，則函數的圖像關于原點對稱，排除選項B、D，
令，，
當，，也就是在遞減，排除A，故C正確.
故選：C．
34．A
【分析】設切點坐標，寫出切線方程，過點，代入化簡得，將問題轉化為該方程有三個不等實根，結合導函數討論單調性數形結合求解.
【詳解】設切點為，∵，∴，
∴M處的切線斜率，則過點P的切線方程為，
代入點的坐標，化簡得，
∵過點可以作三條直線與曲線相切，
∴方程有三個不等實根.
令，求導得到，
可知在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
如圖所示，
故，即.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數的幾何意義，求切線方程，關鍵點在于將問題轉化為方程的根的問題，根據方程的根的個數，求解參數的取值范圍，考查導函數的綜合應用，涉及等價轉化，數形結合思想，屬于中檔題.
35．
【分析】利用導數求出的單調性，即可得到的取值情況，依題意函數與恰有一個交點，即可求出參數的取值范圍.
【詳解】因為，
當時，則，
所以當時，當時，所以在上單調遞增，
在上單調遞增，
即在處取得極大值，又，
且當時，當時，當時，，
當時，則，
所以在上單調遞減，且，當時，
因為函數恰有一個實根，即恰有一個實根，
即函數與恰有一個交點，
所以或，即實數的取值范圍是.
故答案為：
36．(1)在上單調遞減，在上單調遞增，
(2)圖象見解析，在單調遞減，在單調遞增
【分析】（1）求導，然后根據導函數的正負確定單調性和最值；
（2）根據單調性畫出圖象，然后對求導發現，觀察的圖象可以得答案.
【詳解】（1）函數的定義域為，，
令，解得；令，解得，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以；
（2）由（1）知函數在上單調遞減，在上單調遞增，并且，
作出草圖如圖所示，函數的定義域為，
由圖象知當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
37．(1)；
(2)，證明見解析.
【分析】（1）利用導數的幾何意義計算即可；
（2）利用導數研究函數單調性及最值，分類討論即可判定的取值范圍，構造差函數證明即可.
【詳解】（1）當時，，易知，
所以曲線在點處的切線方程為：；
（2）由已知可得，
①若，則，，
即在上單調遞增，上單調遞減，，
又時，，所以函數存在兩個零點；
②若時，，顯然不符合題意；
③若時，令，
當時，令或，令，
即在上單調遞減，和上單調遞增，
函數極小值為，函數極大值為，
此時函數至多有一個零點，不符合題意；
當時，，則單調遞增，至多一個零點，不符合題意；
當時，令或，令，
即在上單調遞減，和上單調遞增，
函數極大值為，函數極小值為，
此時函數至多有一個零點，不符合題意；
綜上所述，時函數有兩個零點，則一正一負，
不妨令，設，
令，即在R上單調遞增，
所以，，
故時，有，時，有，
即，所以，
則，
又因為在上單調遞減，故，證畢.
【點睛】第二問關鍵是分類討論，通過判斷單調性及極值、最值研究函數的零點個數，證明可利用構造差函數，通過證明來判定極值點偏移問題.
38．(1)增區間為，減區間為
(2)證明見解析
【分析】（1）求導，然后根據導函數的正負來判斷得單調性；
（2）將變形為得到，然后構造函數，根據得單調性和得到，最后根據和得單調性即可證明.
【詳解】（1），
令，解得，令，解得，
所以的增區間為，減區間為.
（2）證明：將兩邊同時除以得，即，
所以，
由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減，
又，，當時，，
設，則，
令，
則，
由得，所以，，
所以，在上單調遞增，
又，所以，
當時，，即，即，
又，所以，
又，，在上單調遞減，
所以，即.
【點睛】方法點睛：處理極值點偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下：
①求導確定的單調性，得到的范圍；
②構造函數，求導可得恒正或恒負；
③得到與的大小關系后，將置換為；
④根據與的范圍，結合的單調性，可得與的大小關系，由此證得結論.
39．(1)結論見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數的導數，再按分類探討的正負作答.
（2）等價變形給定等式，結合時函數的單調性，由，，再構造函數，，利用導數、均值不等式推理作答.
【詳解】（1）函數的定義域為，求導得則，由得，
若，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，
若，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減；
所以當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）由，兩邊取對數得，即，
由（1）知，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
，而，時，恒成立，
因此當時，存在且，滿足，
若，則成立；
若，則，記，，
則，
即有函數在上單調遞增，，即，
于是，
而，，，函數在上單調遞增，因此，即，
又，則有，則，
所以.
【點睛】思路點睛：涉及函數的雙零點問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導函數的值的不等式，都是把雙變量的等式或不等式轉化為一元變量問題求解，途徑都是構造一元函數.
40．(1)減區間為，增區間為，極小值為，無極大值；
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數的定義域與導數，利用函數的單調性、極值與導數的關系可得出結果；
（2）設，利用導數分析函數的單調性與極值，分析可知，要證，即證，構造函數，其中，利用導數分析函數在上的單調性，證明出對任意的恒成立，即可證得結論成立.
【詳解】（1）解：函數的定義域為，且，
令可得，列表如下：
減 極小值 增
所以，函數的減區間為，增區間為，極小值為，無極大值.
（2）解：設，其中，則，
令，可得，此時，函數在上單調遞減，
令，可得，此時，函數在上單調遞增，
所以，是函數的極小值點，
因為函數有兩個零點、，設，則，
即且，要證，即證，
因為函數在上單調遞增，
所以，只需證明：，即證，
令，其中，
則，
因為，則，
所以，，故函數在上為減函數，
又因為，所以，對任意的恒成立，
則，即，故成立.
【點睛】方法點睛：證明極值點偏移的相關問題，一般有以下幾種方法：
（1）證明（或）：
①首先構造函數，求導，確定函數和函數的單調性；
②確定兩個零點，且，由函數值與的大小關系，得與零進行大小比較；
③再由函數在區間上的單調性得到與的大小，從而證明相應問題；
（2）證明（或）（、都為正數）：
①首先構造函數，求導，確定函數和函數的單調性；
②確定兩個零點，且，由函數值與的大小關系，得與零進行大小比較；
③再由函數在區間上的單調性得到與的大小，從而證明相應問題；
（3）應用對數平均不等式證明極值點偏移：
①由題中等式中產生對數；
②將所得含對數的等式進行變形得到；
③利用對數平均不等式來證明相應的問題.
41．C
【分析】由圖象結合極值點以及極大值點的定義可得結果.
【詳解】函數的極值點由兩側異號的零點個數決定，
由圖象可知，的零點有4個，其中三個異號零點，所以極值點有3個；
兩側異號的零點中有2個先正后負的零點、1個先負后正的零點，所以極大值點有2個、極小值點有1個.
故選：C
42．D
【分析】根據導數與函數單調性和極值點的關系，即可判斷選項.
【詳解】A. 的解集為函數的單調遞減區間，為，故A錯誤；
B.函數只有1個變號零點，所以函數有1個極值點，故B錯誤；
C.當時，，所以函數的單調遞減區間為，故C錯誤；
D.當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以是函數的極小值點，故D正確.
故選：D
43．ABD
【分析】根據導函數圖象與函數單調性以及極值的關系一一分析即可.
【詳解】由圖可知，當時，，所以在上單調遞減，
當時，，所以在上單調遞增，A，B均正確.
當時，，當時，，當時，，
所以的極大值點為，的極小值點為，C錯誤，D正確.
故選：ABD.
44．極大值點有，極小值點有.
【分析】由極值點定義，根據的圖象判斷區間符號，即可確定極值點.
【詳解】由圖知：上，上，
所以，極大值有，極小值有，
故極大值點有，極小值點有.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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