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專題3 數列中的構造問題
【典例1-1】（23-24高二上·河北邯鄲·期末）
1．已知數列中，且，則數列的前項和（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2023高三·全國·專題練習）
2．已知正項數列中，，則數列的通項（　?。?br/>A． B．
C． D．
【題后反思】
利用構造法求通項時，形如的二項遞推式，一般可利用待定系數法：設，還原后對照原遞推式解關于的方程組
【舉一反三】
（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）
3．已知數列滿足，且，若，則（ ）
A．253 B．506 C．1012 D．2024
（21-22高一下·陜西榆林·期末）
4．已知數列的前n項和為，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【必備知識】
【典例2-1】
5．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（江蘇省蘇州市常熟中學2022-2023學年高二上學期一月學業質量校內調研數學試題）
6．已知數列滿足，且，則的值為 .
【題后反思】
在求三項遞推式的通項公式時，關鍵在于利用遞推式，將其構造成等差或等比數列，再利用二項遞推的方法得出所求通項公式.
【舉一反三】
7．數列滿足，且，求通項.
8．已知數列滿足，求數列的通項．
（2024·江蘇徐州·一模）
9．已知數列的前n項和為，且，．若，則正整數k的最小值為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
（23-24高三上·重慶·階段練習）
10．已知數列的前 n 項和 ，不等式 對任意恒成立， 則實數m的最大值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
（江蘇省2023-2024學年高二上學期期末迎考數學試題）
11．已知數列滿足，且，若表示不超過x的最大整數(例如)，則（ ）
A．4048 B．4046 C．2023 D．2024
（四川省成都市第七中學（高新校區）2023-2024學年高二下學期4月學科素養測試數學試卷）
12．在數列的首項為，且滿足，設數列的前項和，則 ， ．
（山東省淄博第五中學2022-2023學年高二下學期期中數學試題）
13．已知數列滿足，，則數列的通項公式為
（福建省泉州市部分中學2022-2023學年高二下期末聯考數學試題）
14．數列中，，，則的前項的和為 ．
（黑龍江省哈爾濱市第三中學校2022-2023學年高二下學期期中數學試題）
15．設數列的前n項和為，且，．
(1)設，求首項的值；
(2)設，
①求；
②若數列是遞減數列，求a的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】利用構造法、等比數列的定義和通項公式，結合數列求和中的分組求和法及等比數列的前項和公式即可求解.
【詳解】由得，
所以數列是首項為，公比為2的等比數列，
所以，所以，
所以，
故選：D.
2．D
【分析】解法一：給已知等式兩邊同除以，令則可得，從而得數列是等比數列，求出，進而可求出；解法二：設，化簡后與已知等式比較可得，從而可得數列是首項為，公比為2的等比數列，進而可求出.
【詳解】解法一：在遞推公式的兩邊同時除以，得①，
令，則①式變為，即，
所以數列是等比數列，其首項為，公比為，
所以，即，
所以，
所以，
解法二：設，則，
與比較可得，
所以，
所以數列是首項為，公比為2的等比數列，
所以，所以，
故選：D
3．B
【分析】將式子變形為,可得為常數列，即可求解.
【詳解】因為，所以.
因為，所以，故為常數列，
所以. 由，解得.
故選：B
4．D
【分析】利用構造法，結合與等差數列的定義即可得解.
【詳解】因為，則，整理得，
又，則，
因此數列是首項為1，公差為1的等差數列，
則，所以.
故選：D.
5．A
【分析】先由可得是等比數列，再用累加法求出數列的通項公式，再由可求出，即得。
【詳解】由題得，，則有，數列是等比數列，可得，，…，，，累加可得，，又，解得，那么.
故選：A
【點睛】本題的解題關系是從這個等式中得出等比數列，運用了累加法求通項公式，屬于中檔題。
6．2
【分析】首先判斷數列的周期，再根據周期求.
【詳解】由題意得，，，，，
，
∴數列是周期為6的周期數列，
∴.
故答案為：．
7．
【分析】構造法求證為等比數列并寫出通項公式，再應用累加法求數列通項公式.
【詳解】因為，所以，
又，所以，
由等比數列定義知，數列是以為首項，3為公比的等比數列，
所以，
累加法可得：，
所以，又符合該式，
故.
8．
【分析】根據構造等比數列的方法即可求解.
【詳解】因為所以
又
所以，
所以，
所以為首項是，公比為1的等比數列，
所以，
所以，
所以，
所以是首項為1，公比為2的等比數列，
所以，
整理得.
9．C
【分析】根據給定的遞推公式，構造等比數列求出，再求解不等式即得.
【詳解】數列中，，當時，，則，
整理得，即，而，即，
因此數列是以為首項，公比為的等比數列，，
則，由，知為奇數，此時是遞增的，
而，，
所以正整數k的最小值為13.
故選：C
10．B
【分析】利用的遞推公式，利用構造法求通項公式，然后將不等式恒成立問題轉化為求的最小值問題，然后分離常數，利用對勾函數性質求解即可.
【詳解】因為，
所以，整理得，
又得，，
所以是以2為首項，1為公差的等差數列，
所以，故，，
所以，
即，
因為，
令，由對勾函數性質可知，在上單調遞減，
在上單調遞增，
又，所以或時，，所以
所以，，解得.
所以實數m的最大值為6.
故選：B
11．D
【分析】由條件構造等差數列，結合累加法求，再得，利用高斯函數的定義計算即可.
【詳解】由題設知，
故是首項為4，公差為2的等差數列，則，
由累加法可知當時，
，
所以，又也符合該式，所以，
所以
又時，，時，，
所以.
故選：D
12．
【分析】借助所給條件可構造，即可得數列為等比數列，即可得，借助等比數列前項和公式即可得.
【詳解】由，即，
則，又，
故數列是以為公比、為首項的等比數列，
即，則，
.
故答案為：；.
13．
【分析】由已知可得，利用為等差數列求的通項公式.
【詳解】由得，
故為等差數列，公差為1，首項為1，
所以
所以.
故答案為：
14．
【分析】推導出數列是首項為，公比為的等比數列，求出數列的通項公式，利用分組求和法可求得數列的前項的和的值.
【詳解】在數列中，，，則，且，
所以，數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，，則，
所以，數列的前項和為
.
故答案為：.
15．(1)
(2)① ②
【分析】（1）根據遞推關系式求出,建立方程求解即可；
（2）①由轉化為關于的遞推關系，再由累加法求出；
②由①求出，再由數列為遞減數列，利用差小于0恒成立求解.
【詳解】（1），
，
，
，
解得.
（2）①,
，
即，
兩邊同除以，可得，
令，
則，
，
，
，
又，
，
，
.
②由①可知，
因為數列是遞減數列，
所以當時，
恒成立，
即恒成立，又為增函數，
所以只需，解得，
又，
綜上，當數列是遞減數列時，.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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