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第二章 一元二次方程章末總復習十大題型01
【浙教版】
題型一：利用定義判斷一元二次方程
【例題1-1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【例題1-2】若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．為任意實數(shù)
【變式訓練1-1】下列關(guān)于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-2】下列方程中屬于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a滿足（ ）
A． B．
C． D．為任意實數(shù)
題型二：一元二次方程的一般式形式
【例題2】方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（ ）
A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9
【變式訓練2-1】將方程改寫成的形式，則，，的值分別為（　　）
A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，
【變式訓練2-2】將一元二次方程化成一般式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（ ）
A．2，3 B．3，1 C． D．
【變式訓練2-3】用公式法解一元二次方程時，首先要確定a、b、c的值，下列敘述正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-4】把一元二次方程化成的形式，問轉(zhuǎn)化后的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（ ）
A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2，
【變式訓練2-5】將方程化為后，的值是（ ）
A．，1， B．，1，
C．，， D．，1，
題型三：一元二次方程的解
【例題3】關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，則的值為（ ）
A．0.5 B．1 C．1或-1 D．
【變式訓練3-1】已知a是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為（ ）
A．4 B．8 C． D．
【變式訓練3-2】已知a是方程 的一個根，求代數(shù)式 的值（ ）
A． B．1 C． D．3
【變式訓練3-3】已知是方程的一個根，則代數(shù)式的值為（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【變式訓練3-4】若方程的根也是方程的根，則（ ）
A． B． C． D．無法確定
【變式訓練3-5】關(guān)于x的一元二次方程一個實數(shù)根為2024，則方程一定有實數(shù)根（ ）
A．2024 B． C．－2024 D．
題型四：利用降次求代數(shù)式的值
【例題4】若a是方程的一個根，則的值為（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
【變式訓練4-1】已知m是方程的根，則式子 的值為（ ）
A．2015 B．2014 C．2013 D．2012
【變式訓練4-2】已知實數(shù)a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，則a4+a3+8a﹣1的值為（　　）
A．62 B．63 C．64 D．65
【變式訓練4-3】若關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則方程必有一根為（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【變式訓練4-4】已知是一元二次方程的一個根，則的值是（　　）．
A． B． C． D．
【變式訓練4-5】已知m是方程x2﹣2016x+1＝0的一個根，則m+﹣2015+的值為（　　）
A．2016 B．2015 C． D．
題型五：一元二次方程的解法
【例題5】解下列一元二次方程
(1) ；
(2)；
(3)（配方法）；
(4)（公式法）．
【變式訓練5-1】選擇合適的方法解方程：
(1)
(2)
【變式訓練5-2】用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>(1)．
(2)．
【變式訓練5-3】用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>(1)；
(2)．
【變式訓練5-4】解方程：
(1)；
(2)．
【變式訓練5-5】用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>(1)；
(2)．
題型六：根的判別式
【例題6】已知關(guān)于的一元二次方程，則該一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
【變式訓練6-1】若關(guān)于x的方程． 有兩個不相等的實數(shù)根，則下列選項中，滿足條件的實數(shù)a，c的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-2】已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；
(2)若m為整數(shù)，當此方程有兩個互不相等的負整數(shù)根時，直接寫出m的值．
【變式訓練6-3】已知關(guān)于的一元二次方程，其中a，b，c分別是的三邊的長度．
(1)如果是等邊三角形，求這個一元二次方程的根；
(2)如果是以為斜邊的直角三角形，判斷這個一元二次方程根的情況，并說明理由．
【變式訓練6-4】已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若的兩邊、的長是方程的兩個實數(shù)根，第三邊的長為4，當是等腰三角形時，求k的值．
【變式訓練6-5】已知關(guān)于x的方程．
(1)求證：無論x取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程的一個實數(shù)根是1，求p的值及方程的另一個實數(shù)根．
【變式訓練6-6】已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若該方程有一個根是，求m的值；
(2)求證：無論m取什么值，該方程總有兩個實數(shù)根．
題型七：利用直接開方求方程的解
【例題7】已知關(guān)于x的方程（a，b，m均為常數(shù)，且）的兩個解是，則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-1】若關(guān)于的方程（，，均為常數(shù)，）的解是，，則方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式訓練7-2】關(guān)于x的方程（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）的解是，則方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓練7-3】關(guān)于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，則方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2
【變式訓練7-4】關(guān)于x的方程的解是，、m、b均為常數(shù)，，則方程的解是　　
A．， B．，
C．， D．，
【變式訓練7-5】若關(guān)于x的一元二次方程的解是，（a，b，m均為常數(shù)，a≠0），則方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
題型八：利用特殊法解一元二次方程
【例題8】若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練8-1】若關(guān)于x的一元二次方程的一個根是，則一元二次方程必有一根為（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【變式訓練8-2】若關(guān)于的一元二次方程有一根為2022，則方程必有根為（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【變式訓練8-3】已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若4a﹣2b十c＝0，則它的一個根是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝ C．x＝﹣4 D．x＝2
【變式訓練8-4】若a﹣b+c＝0，則一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．無法確定
【變式訓練8-5】根據(jù)下列表格的對應值，由此可判斷方程+12x﹣15=0必有一個解x滿足（ 　 ）
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
A．﹣1題型九：根與系數(shù)的關(guān)系
【例題9】已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：無論取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程的兩實數(shù)根為，且滿足，試求出的值．
【變式訓練9-1】關(guān)于的一元二次方程．
(1)如果方程有實數(shù)根，求的取值范圍；
(2)如果是這個方程的兩個根，且，求的值．
【變式訓練9-2】已知關(guān)于x的一元二次方程.
(1)求證：無論m取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
(2)若一元二次方程的兩根為，，且滿足，求m的值.
【變式訓練9-3】已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：這個一元二次方程一定有兩個實數(shù)根；
(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且2，a，b分別是一個直角三角形的三邊長，求m的值．
【變式訓練9-4】已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．
(1)求n的取值范圍；
(2)若n為符合條件的最小整數(shù)，且該方程的兩個根的乘積大于1，求m的取值范圍．
【變式訓練9-5】已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根．
(1)若，求的值；
(2)已知等腰的一邊長為7，若，恰好是另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．
【變式訓練9-6】已知關(guān)于x的方程．
(1)求證：無論k取什么實數(shù)值，方程總有實數(shù)根．
(2)若等腰的一邊長，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，求的周長？
題型十：配方法的應用
【例題10】小慧在學習配方法的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：關(guān)于的多項式，由于，所以當時，多項式有最小值；多項式，由于，所以當時，多項式有最大值． 于是小慧給出一個定義：關(guān)于的二次多項式，當時，該多項式有最值，就稱該多項式關(guān)于對稱．例如關(guān)于對稱． 請結(jié)合小慧的思考過程，運用此定義解決下列問題：
(1)多項式關(guān)于 對稱；
(2)若關(guān)于的多項式關(guān)于對稱，則 ；
(3)關(guān)于的多項式關(guān)于對稱，且最小值為3，求方程的解．
【變式訓練10-1】將代數(shù)式通過配方得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性這一性質(zhì)解決問題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題等都有廣泛的應用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，
因為不論a取何值，總是非負數(shù)，即，所以，
所以當時，有最小值．
根據(jù)上述材料，解答下列問題．
(1)求式子的最大值．
(2)若，比較M、N的大小．(寫出比較過程)
(3)若等腰三角形的兩邊a，b滿足，求這個三角形的周長．
【變式訓練10-2】如果關(guān)于的一元二次方程有一個根是1，那么我們稱這個方程為“和美方程”．
(1)判斷一元二次方程是否為“和美方程”，請說明理由．
(2)已知關(guān)于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值．
【變式訓練10-3】小明在學習有關(guān)整式的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：對于關(guān)于的多項式，由于，所以當取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項式的值是相等的，例如，當，即或0時，的值均為3；當，即或時，的值均為6．
于是小明給出一個定義：對于關(guān)于的多項式，若當取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，就稱該多項式關(guān)于對稱．例如關(guān)于對稱．
請結(jié)合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：
(1)多項式關(guān)于　　對稱；若關(guān)于的多項式關(guān)于對稱，則　　；
(2)關(guān)于的多項式關(guān)于對稱，且當時，多項式的值為5，求時，多項式的值．
【變式訓練10-4】閱讀材料：
利用公式法，可以將一些形如 的多項式變形為 的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式 的配方法． 運用多項式的配方法和平方差公式可以解決很多數(shù)學問題． 下面給出例子：
[例]分解因式： ．
．
根據(jù)以上材料，解答下列問題．
(1)分解因式： ．
(2)請你運用上述配方法分解因式 ．
(3)已知 的三邊長 都是正整數(shù)，且滿足 ，求 周長的最大值
【變式訓練10-5】仔細閱讀材料，再嘗試解決問題：完全平方式 以及的值為非負數(shù)的特點在數(shù)學學習中有廣泛的應用．比如：已知滿足，求的值．我們可以這樣處理：
解：∵（拆項），
∴，
∴（配方），
又∵，
∴，，
∴
上面主要是采用了拆項后配成完全平方式的方法，再利用非負數(shù)的性
質(zhì)來解決問題．
請利用拆項配方解題思路，解答下列問題：
(1)若，則___________ ， ___________ ；
(2)已知滿足，求，的值；
(3)直接寫出的最大值．
題型梳理
知識點1
一元二次方程定義：通過化簡后，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
知識點2
一元二次方程的一般形式是（，、、為常數(shù)），其中是二次項，是二次項系數(shù)；是一次項，是一次項系數(shù)；是常數(shù)項。
知識點3
一元二次方程解的定義
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根
知識點4
直接開平方法：一般地，對于方程（是最簡單的一元二次方程）
配方法：一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成的形式；
公式法：任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式
因式分解法：一般地，對于方程。
知識點5
根的判別式
一元二次方程：（，、、為常數(shù)）
當△＞0時，方程有2個不相等的實數(shù)根；
當△=0時，方程有2個相等的實數(shù)根；
當△＜0時，方程沒有實數(shù)根。
知識點6
一元二次方程：（，、、為常數(shù)）的兩個根是、
注意：用根與系數(shù)的關(guān)系的前提是一元二次方程要有根。
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第二章 一元二次方程章末總復習十大題型01
【浙教版】
題型一：利用定義判斷一元二次方程
【例題1-1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、未知數(shù)的次數(shù)為1，不是一元二次方程，不符合題意；
B、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
C、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
D、,是一元二次方程，符合題意．
故選：D．
【例題1-2】若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．為任意實數(shù)
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義得出求解即可．
【詳解】解：∵方程是關(guān)于的一元二次方程，
∴，
解得：，
故選：A．
【變式訓練1-1】下列關(guān)于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：A．，
整理得：，是一元一次方程，故此選項不符合題意；
B．，是一元二次方程，故此選項符合題意；
C．當時，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；
D．，不是整式方程，故此選項不符合題意．
故選：B．
【變式訓練1-2】下列方程中屬于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A中，有2個未知數(shù)，不屬于一元二次方程，故不符要求；
B中，不是整式，不屬于一元二次方程，故不符要求；
C中，屬于一元二次方程，故符要求；
D中，當時，不屬于一元二次方程，故不符要求；
故選：C．
【變式訓練1-3】關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a滿足（ ）
A． B．
C． D．為任意實數(shù)
【答案】C
【詳解】將原方程化為一般式得：，
∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故選：C．
題型二：一元二次方程的一般式形式
【例題2】方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（ ）
A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9
【答案】B
【詳解】解：方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為3；；，
故選；B．
【變式訓練2-1】將方程改寫成的形式，則，，的值分別為（　　）
A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，
【答案】C
【詳解】解：∵可化為，
∴它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為2，，7，
故選：C．
【變式訓練2-2】將一元二次方程化成一般式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（ ）
A．2，3 B．3，1 C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵
∴
∴二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為
故選：D
【變式訓練2-3】用公式法解一元二次方程時，首先要確定a、b、c的值，下列敘述正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
解：，
移項，得，
這里，
故選：D．
【變式訓練2-4】把一元二次方程化成的形式，問轉(zhuǎn)化后的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（ ）
A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2，
【答案】A
【詳解】解：一元二次方程的一般形式為，
的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為3，，1，
故選：A
【變式訓練2-5】將方程化為后，的值是（ ）
A．，1， B．，1，
C．，， D．，1，
【答案】C
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故選；C．
題型三：一元二次方程的解
【例題3】關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，則的值為（ ）
A．0.5 B．1 C．1或-1 D．
【答案】D
【詳解】把代入方程中，得
，
解得，
當時，原方程二次項系數(shù)，舍去，
故選：D．
【變式訓練3-1】已知a是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【詳解】解：依題意得：，
即：，
故選A．
【變式訓練3-2】已知a是方程 的一個根，求代數(shù)式 的值（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【詳解】解：
，
∵a是方程的一個根，
∴，
即．
∴原式．
故選：D．
【變式訓練3-3】已知是方程的一個根，則代數(shù)式的值為（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【詳解】解：是方程的一個根，
，即，
，
【變式訓練3-4】若方程的根也是方程的根，則（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】C
【詳解】解：∵方程的根也是方程的根，
∴存在實數(shù)m，n，使得，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故選：C．
【變式訓練3-5】關(guān)于x的一元二次方程一個實數(shù)根為2024，則方程一定有實數(shù)根（ ）
A．2024 B． C．－2024 D．
【答案】D
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程一個實數(shù)根為2024，
∴，
∴，
∴，
∴是方程一定有實數(shù)根．
故選：D
故選：A．
題型四：利用降次求代數(shù)式的值
【例題4】若a是方程的一個根，則的值為（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
【答案】A
【詳解】解：∵a是方程的一個根，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：A．
【變式訓練4-1】已知m是方程的根，則式子 的值為（ ）
A．2015 B．2014 C．2013 D．2012
【答案】A
【詳解】解：∵m是方程的根，
∴，
∴，
∴
；
故選：A
【變式訓練4-2】已知實數(shù)a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，則a4+a3+8a﹣1的值為（　　）
A．62 B．63 C．64 D．65
【答案】B
【詳解】∵是一元二次方程的一個根，
∴
∴
∴
故選：
【變式訓練4-3】若關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則方程必有一根為（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【詳解】解：可化為：
關(guān)于的一元二次方程有一個根為，
把看作是整體未知數(shù)，則
即有一根為
故選D
【變式訓練4-4】已知是一元二次方程的一個根，則的值是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】∵是一元二次方程的一個根
∴
∴
∴
故選：B．
【變式訓練4-5】已知m是方程x2﹣2016x+1＝0的一個根，則m+﹣2015+的值為（　　）
A．2016 B．2015 C． D．
【答案】C
【詳解】∵m是方程x2﹣2016x+1＝0的一個不為0的根，
∴m2﹣2016m+1＝0，
∴m2+1＝2016m，
∴m+＝2016
∴原式＝2016﹣2015+＝，
故選：C．
題型五：一元二次方程的解法
【例題5】解下列一元二次方程
(1) ；
(2)；
(3)（配方法）；
(4)（公式法）．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【詳解】（1）解：，
，
解得．
（2）解：，
，
，
解得；
（3）解：，
，
，
∴
∴，
解得；
（4）解：，
，
，
解得．
【變式訓練5-1】選擇合適的方法解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；(2)，．
【詳解】（1）解：，
整理得，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
∴，
即，
∴或者，
∴，．
【變式訓練5-2】用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：
∴
∴
∴或
解得：
（2）解：
∴
∴
∴
∴或
解得：
【變式訓練5-3】用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：，
即，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
【變式訓練5-4】解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：，
，
∴，
則；
（2）解：，
，
，
，
，
解得．
【變式訓練5-5】用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【詳解】（1）解：直接開平方得：，
∴或，
解得：，；
（2）解：移項得：，
因式分解得：，即，
∴或，
解得：，．
題型六：根的判別式
【例題6】已知關(guān)于的一元二次方程，則該一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
【答案】A
【詳解】解：
∵
∴即
∴該一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：A．
【變式訓練6-1】若關(guān)于x的方程． 有兩個不相等的實數(shù)根，則下列選項中，滿足條件的實數(shù)a，c的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
A、若，，不符合題意；
B、若，，不符合題意；
C、若，，符合題意；
D、若，，不符合題意．
故選：C．
【變式訓練6-2】已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；
(2)若m為整數(shù)，當此方程有兩個互不相等的負整數(shù)根時，直接寫出m的值．
【答案】(1)見解析
(2)或
【詳解】（1）解：∵；
∴方程總有兩個實數(shù)根；
（2）∵，
∴，
∴，
∵方程有兩個互不相等的負整數(shù)根，
∴或．
【變式訓練6-3】已知關(guān)于的一元二次方程，其中a，b，c分別是的三邊的長度．
(1)如果是等邊三角形，求這個一元二次方程的根；
(2)如果是以為斜邊的直角三角形，判斷這個一元二次方程根的情況，并說明理由．
【答案】(1)
(2)原方程有兩個不相等的實數(shù)解，理由見解析
【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴
即，
解得：；
（2）解：原方程有兩個不相等的實數(shù)解
理由：∵是以為斜邊的直角三角形，
∴，，
∴
∵，
∴
∴原方程有兩個不相等的實數(shù)解
【變式訓練6-4】已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若的兩邊、的長是方程的兩個實數(shù)根，第三邊的長為4，當是等腰三角形時，求k的值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)或
【詳解】（1）證明：．
方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解：由，
得，
即、的長為，
當時，即 ，滿足三角形構(gòu)成條件；
當時，，解得 ，滿足三角形構(gòu)成條件．
綜上所述，或 ．
【變式訓練6-5】已知關(guān)于x的方程．
(1)求證：無論x取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程的一個實數(shù)根是1，求p的值及方程的另一個實數(shù)根．
【答案】(1)見解析
(2)，另一個實數(shù)根為
【詳解】（1）解：由得，
∵，
∴無論x取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）把代入得，，
解得
∴，
∴，
即
∴
∴
【變式訓練6-6】已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若該方程有一個根是，求m的值；
(2)求證：無論m取什么值，該方程總有兩個實數(shù)根．
【答案】(1)
(2)見解析
【詳解】（1）解：把代入中得：，
解得；
（2）證明：由題意得，，
∴無論m取什么值，該方程總有兩個實數(shù)根．
題型七：利用直接開方求方程的解
【例題7】已知關(guān)于x的方程（a，b，m均為常數(shù)，且）的兩個解是，則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴則方程的解是
故選：D
【變式訓練7-1】若關(guān)于的方程（，，均為常數(shù)，）的解是，，則方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【詳解】解：解方程（，，均為常數(shù)，），
得：，
關(guān)于的方程（，，均為常數(shù)，）的解是，，
，，
方程的解為，
，，
故選：．
【變式訓練7-2】關(guān)于x的方程（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）的解是，則方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：（m，h，k均為常數(shù)，m≠0），
解得，
而關(guān)于x的方程（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）的解是，
所以，
方程的解為，
所以 ．
故選：C．
【變式訓練7-3】關(guān)于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，則方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2
【答案】B
【詳解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）得x=-h±，
而關(guān)于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，
所以-h-=-3，-h+=2，
方程m（x+h-3）2+k=0的解為x=3-h±，
所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．
故選：B．
【變式訓練7-4】關(guān)于x的方程的解是，、m、b均為常數(shù)，，則方程的解是　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【詳解】把方程看作關(guān)于的一元二次方程，
而關(guān)于x的方程的解是，，
所以，，
所以，．
故選A．
【變式訓練7-5】若關(guān)于x的一元二次方程的解是，（a，b，m均為常數(shù)，a≠0），則方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】∵方程a（x＋m）2＋b＝0的解為x1＝﹣3，x2＝1，∴x＝﹣m±＝﹣3或1. a（x＋m－2）2＋b＝0可變形為x＝2－m±，所以方程a（x＋m－2）2＋b＝0的兩根分別為x1＝2－3＝﹣1，x2＝2＋1＝3.故選C.
題型八：利用特殊法解一元二次方程
【例題8】若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵，
∴，
設(shè)，
∴，
而關(guān)于的一元二次方程有一根為，
∴有一個根為，
則，
解得，
∴一元二次方程必有一根為．
故選：D．
【變式訓練8-1】若關(guān)于x的一元二次方程的一個根是，則一元二次方程必有一根為（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】A
【詳解】解：對于一元二次方程即，
設(shè)t＝x＋2，則可得，
而關(guān)于x的一元二次方程的一個根是，
所以有一個根為t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程必有一根為x＝2020，
故選：A．
【變式訓練8-2】若關(guān)于的一元二次方程有一根為2022，則方程必有根為（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【答案】D
【詳解】由得到，
對于一元二次方程，
設(shè)，
所以，
而關(guān)于x的一元二次方程有一根為，
所以有一個根為，
則，
解得，
所以一元二次方程有一根為．
故選：D．
【變式訓練8-3】已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若4a﹣2b十c＝0，則它的一個根是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝ C．x＝﹣4 D．x＝2
【答案】A
【詳解】解：A.把x=-2代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得4a﹣2b十c＝0，所以，x=-2是方程的一個根，故選項A符合題意；
B.把x＝代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得a﹣b十c＝0，所以，x=-不是方程的一個根，故選項B不符合題意；
C.把x＝-4代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得16a﹣4b十c＝0，所以，x=-4不是方程的一個根，故選項C不符合題意；
D.把x＝2代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得4a+2b十c＝0，所以，x=2不是方程的一個根，故選項D不符合題意；
故選：A．
【變式訓練8-4】若a﹣b+c＝0，則一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．無法確定
【答案】B
【詳解】解：∵a﹣b+c＝0，
∴a×12﹣b×1+c＝0，
∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根為1．
故選：B．
【變式訓練8-5】根據(jù)下列表格的對應值，由此可判斷方程+12x﹣15=0必有一個解x滿足（ 　 ）
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
A．﹣1【答案】C
【詳解】∵x=1.1時，x2 +12x﹣15=-0.59<0，
x=1.2時，x2 +12x﹣15=0.84>0，
∴ 1.1即方程x2 +12x﹣15=0必有一個解x滿足1.1故選C．
題型九：根與系數(shù)的關(guān)系
【例題9】已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：無論取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程的兩實數(shù)根為，且滿足，試求出的值．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）證明：方程為：，
方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解：由（1）得，
解得：，
實數(shù)的值為．
【變式訓練9-1】關(guān)于的一元二次方程．
(1)如果方程有實數(shù)根，求的取值范圍；
(2)如果是這個方程的兩個根，且，求的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：∵，
∴，
解得，；
（2）解：由題意知，，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴的值為．
【變式訓練9-2】已知關(guān)于x的一元二次方程.
(1)求證：無論m取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
(2)若一元二次方程的兩根為，，且滿足，求m的值.
【答案】(1)詳見解析(2)
【詳解】（1）證明：∵
，
∵，
∴，
∴無論m取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
（2）解：∵，，，
∴，
解得，
故m的值為．
【變式訓練9-3】已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：這個一元二次方程一定有兩個實數(shù)根；
(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a，b，且2，a，b分別是一個直角三角形的三邊長，求m的值．
【答案】(1)詳見解析(2)或
【詳解】（1）證明：
，
這個一元二次方程一定有兩個實數(shù)根；
（2）解：解方程得，，
即，或，，
，，分別是一個直角三角形的三邊長，
或，
解方程得，（舍去），
解方程得，（舍去）．
即的值為或．
【變式訓練9-4】已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．
(1)求n的取值范圍；
(2)若n為符合條件的最小整數(shù)，且該方程的兩個根的乘積大于1，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：由題意知，，
解得，，
∴n的取值范圍為；
（2）解：由題意知，，
設(shè)方程的兩根為，
依題意得，，即，
解得，或，
∴m的取值范圍為或．
【變式訓練9-5】已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根．
(1)若，求的值；
(2)已知等腰的一邊長為7，若，恰好是另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．
【答案】(1)m的值為6
(2)這個三角形的周長為17
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得判別式，解得，
，，
，即，
，
整理得，解得，，
而，
的值為6；
（2）解：當腰長為7時，則是一元二次方程的一個解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
當時，，解得，而，故舍去；
當時，，解得，則三角形周長為；
當7為等腰三角形的底邊時，則，所以，方程化為，解得，則，故舍去，
所以這個三角形的周長為17．
【變式訓練9-6】已知關(guān)于x的方程．
(1)求證：無論k取什么實數(shù)值，方程總有實數(shù)根．
(2)若等腰的一邊長，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，求的周長？
【答案】(1)見詳解(2)5
【詳解】（1）證明：
，
∵無論取什么實數(shù)值，，
，
所以無論取什么實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；
（2）
∵恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，
設(shè)
當、為腰，則，而，所以這種情況不成立，
當、為腰，則，解得，
此時三角形的周長．
題型十：配方法的應用
【例題10】小慧在學習配方法的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：關(guān)于的多項式，由于，所以當時，多項式有最小值；多項式，由于，所以當時，多項式有最大值． 于是小慧給出一個定義：關(guān)于的二次多項式，當時，該多項式有最值，就稱該多項式關(guān)于對稱．例如關(guān)于對稱． 請結(jié)合小慧的思考過程，運用此定義解決下列問題：
(1)多項式關(guān)于 對稱；
(2)若關(guān)于的多項式關(guān)于對稱，則 ；
(3)關(guān)于的多項式關(guān)于對稱，且最小值為3，求方程的解．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【詳解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴當，即時，多項式有最小值，
∴多項式關(guān)于對稱，
故答案為：；
（2）解：
，
同理可得當，即時，多項式有最小值，
∴關(guān)于的多項式關(guān)于對稱，
又∵關(guān)于的多項式關(guān)于對稱，
∴，
故答案為：4；
（3）解：
，
同理可得當，即時，多項式有最小值，最小值為，
∵關(guān)于的多項式關(guān)于對稱，且最小值為3，
∴，
∴，
∴方程即為方程，
∴，
解得．
【變式訓練10-1】將代數(shù)式通過配方得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性這一性質(zhì)解決問題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題等都有廣泛的應用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，
因為不論a取何值，總是非負數(shù)，即，所以，
所以當時，有最小值．
根據(jù)上述材料，解答下列問題．
(1)求式子的最大值．
(2)若，比較M、N的大小．(寫出比較過程)
(3)若等腰三角形的兩邊a，b滿足，求這個三角形的周長．
【答案】(1)有最大值
(2)，見解析
(3)這個三角形的周長為17
【詳解】（1）解：．
∵，
∴，
∴當時，有最大值．
（2）∵，
∴．
由（1）可得，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
∵a，b是等腰三角形的兩邊，且，
∴等腰三角形的三邊分別為3、7、7，
∴這個等腰三角形的周長為．
【變式訓練10-2】如果關(guān)于的一元二次方程有一個根是1，那么我們稱這個方程為“和美方程”．
(1)判斷一元二次方程是否為“和美方程”，請說明理由．
(2)已知關(guān)于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值．
【答案】(1)該方程是“和美方程”，見解析
(2)最小值為
【詳解】（1）解：該方程是“和美方程”，理由如下，
∵當時，方程左邊，右邊，
∴左邊=右邊，
∴是該方程的解，
∴該方程是“和美方程”；
（2）解：由題意得：，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值為．
【變式訓練10-3】小明在學習有關(guān)整式的知識時，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：對于關(guān)于的多項式，由于，所以當取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項式的值是相等的，例如，當，即或0時，的值均為3；當，即或時，的值均為6．
于是小明給出一個定義：對于關(guān)于的多項式，若當取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，就稱該多項式關(guān)于對稱．例如關(guān)于對稱．
請結(jié)合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：
(1)多項式關(guān)于　　對稱；若關(guān)于的多項式關(guān)于對稱，則　　；
(2)關(guān)于的多項式關(guān)于對稱，且當時，多項式的值為5，求時，多項式的值．
【答案】(1)；．(2)17．
【詳解】（1）解：，
該多項式關(guān)于對稱；
，
關(guān)于對稱，
；
故答案為：；．
（2），
關(guān)于對稱，
，
，
當時，多項式的值為5，
，
，
時，
．
【變式訓練10-4】閱讀材料：
利用公式法，可以將一些形如 的多項式變形為 的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式 的配方法． 運用多項式的配方法和平方差公式可以解決很多數(shù)學問題． 下面給出例子：
[例]分解因式： ．
．
根據(jù)以上材料，解答下列問題．
(1)分解因式： ．
(2)請你運用上述配方法分解因式 ．
(3)已知 的三邊長 都是正整數(shù)，且滿足 ，求 周長的最大值
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）解：，
故答案為：；
（2）解：
．
（3），
，
，
，
，
．
又 為正整數(shù)，
時，的周長最大，最大值為 ．
答： 長的最大值為13．
【變式訓練10-5】仔細閱讀材料，再嘗試解決問題：完全平方式 以及的值為非負數(shù)的特點在數(shù)學學習中有廣泛的應用．比如：已知滿足，求的值．我們可以這樣處理：
解：∵（拆項），
∴，
∴（配方），
又∵，
∴，，
∴
上面主要是采用了拆項后配成完全平方式的方法，再利用非負數(shù)的性
質(zhì)來解決問題．
請利用拆項配方解題思路，解答下列問題：
(1)若，則___________ ， ___________ ；
(2)已知滿足，求，的值；
(3)直接寫出的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值
【詳解】（1）解：∵（拆項），
∴，
∴（配方），
又∵，
∴，，
∴．
故答案為：．
（2）∵（拆項），
∴，
∴（配方），
又∵，
∴，，
∴．
（3）解：∵，
∴的最大值為5．
題型梳理
知識點1
一元二次方程定義：通過化簡后，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
知識點2
一元二次方程的一般形式是（，、、為常數(shù)），其中是二次項，是二次項系數(shù)；是一次項，是一次項系數(shù)；是常數(shù)項。
知識點3
一元二次方程解的定義
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根
知識點4
直接開平方法：一般地，對于方程（是最簡單的一元二次方程）
配方法：一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成的形式；
公式法：任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式
因式分解法：一般地，對于方程。
知識點5
根的判別式
一元二次方程：（，、、為常數(shù)）
當△＞0時，方程有2個不相等的實數(shù)根；
當△=0時，方程有2個相等的實數(shù)根；
當△＜0時，方程沒有實數(shù)根。
知識點6
一元二次方程：（，、、為常數(shù)）的兩個根是、
注意：用根與系數(shù)的關(guān)系的前提是一元二次方程要有根。
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