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第二章 一元二次方程章末總復習十大題型02
【浙教版】
題型一：增長率問題
【例題1】一間花店因舉行七周年店慶：現將原價每支元的A種玫瑰花，連續兩次降價后每支以元的價格銷售，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)將A、B兩種玫瑰花（現售價和進價如下表格）共支包成一束整體銷售，若此花束的成本不超過元，如何搭配A、B兩種玫瑰花的數量，才能使此花束的利潤最大？
種玫瑰花 種玫瑰花
進價（元）
售價（元）
【變式訓練1-1】某種植戶2016年投資20萬元種植中藥材，到2018年3年共累計投資95萬元，若在這兩年內每年投資的增長率相同．
(1)求該種植戶每年投資的增長率；
(2)按這樣的投資增長率，請你預測2019年該種植戶投資多少萬元種植中藥材．
【變式訓練1-2】某水果商店經銷一種名為“陽光玫瑰”水果，現進行春日促銷，原價每千克50元，連續兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當的漲價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少10千克，現該商場要保證每天盈利3000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應漲價多少元？
【變式訓練1-3】隨著粵港澳大灣區建設的加速推進，廣東省正加速布局以等為代表的戰略性新興產業，據統計，截止到2022年底廣東基站的數量約25萬座，計劃到2024年底，全省基站數量將達到36萬座．
(1)按照計劃，求2022年底到2024年底，全省基站數量的年平均增長率；
(2)按照這個年平均增長率，到2025年底，全省基站的數量是多少萬座？
【變式訓練1-4】某合作社2021年到2023年每年種植土豆100畝，2021年土豆的平均畝產量為1000千克，2022年到2023年引進先進的種植技術，2023年土豆的平均畝產量達到1440千克．
(1)若2022年和2023年土豆的平均畝產量的年增長率相同，求土豆平均畝產量的年增長率為多少？
(2)2024年該合作社計劃在保證土豆種植的總成本不變的情況下，增加土豆的種植面積，經過統計調查發現，2023年每畝土豆的種植成本為1200元，若土豆的種植面積每增加1畝，則每畝土豆的種植成本將下降10元，求該合作社增加土豆種植面積多少畝，才能保證土豆種植的總成本不變？
【變式訓練1-5】2022年北京冬奧會吉祥物深受大家的喜歡，某特許零售店的冬奧會吉祥物銷售量日益火爆．據統計，該店2022年1月的“冰墩墩”銷量為1萬件，2022年3月的“冰墩墩”銷量為1.21萬件．
(1)求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；
(2)該零售店4月將采用提高售價的方法增加利潤，根據市場調研得出結論：如果將進價80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可銷售500件，在此基礎上售價每漲0.5元，則每天的銷售量就會減少5件，該零售店要想每天獲得12000元的利潤，且銷量盡可能大，則每件商品的售價應該定為多少元？
題型二：一元二次方程之利潤問題
【例題2】某商場以每件元的價格購進一批商品，當每件商品售價為元時，每月可售出件．為了擴大銷售，商場決定采取適當降價的方式促銷，經調查發現，如果每件商品降價元，那么商場每月就可以多售出件．
(1)降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？
(2)要使商場每月銷售這種商品的利潤達到元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價多少元？
(3)該商場月份銷售量為件，月和月的月平均增長率為，若前三個月的總銷量為件，求該季度的總利潤．
【變式訓練2-1】在霍邱萬達附近某盆栽銷售處發現：進貨價為每盆50元，銷售價為每盆80元的某種盆栽平均每天可售出20盆．現此店決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利．經市場調查發現：如果每盆降價3元，那么平均每天就可多售出4盆，設每盆降價元．
(1)現在每天賣出______盆，每盆盈利______元（用含的代數式表示）；
(2)求當為何值時，平均每天銷售這種盆栽能盈利672元，同時又要使顧客得到較多的實惠；
(3)要想平均每天盈利1000元，可能嗎？請說明理由．
【變式訓練2-2】第十九屆亞運會在杭州舉行．某網絡經銷商購進了一批以杭州亞運會為主題的文化衫進行銷售，文化衫的進價每件30元．根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是45元時，每日銷售量是550件；銷售單價每漲1元，每日文化衫就會少售出10件．設該批文化衫的銷售單價為x元（）．
(1)請你寫出銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數關系式 ．
(2)若經銷商獲得了10000元銷售利潤，則該文化衫單價x應為多少元？
【變式訓練2-3】某水果店以每千克2元的價格購進某種水果，然后以每千克4元的價格出售，每天可銷售100千克．經市場調研發現，這種水果每千克的售價每降低0.1元，每天可多售出20千克．為了保證每天至少售出260千克該種水果，水果店店主決定降價銷售．
(1)若將該種水果每千克的售價降價x元，則每天的銷售量是 千克（用含x的代數式表示）；
(2)若銷售這種水果要想每天盈利300元，則應將每千克的售價降低多少元？
【變式訓練2-4】某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內，每部汽車的進價與銷售量有如下關系：若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低萬元/部，月底廠家根據銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10部以內（含10部），每部返利萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元．（盈利＝銷售利潤+返利）
(1)若該公司當月售出5部汽車，則每部汽車的進價為______萬元；
(2)如果汽車的售價為28萬元/部，該公司計劃當月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？
【變式訓練2-5】某汽車銷售公司4月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內，每部汽車的進價與銷售量之間有如下關系：若當月僅售出1輛汽車，則該部汽車的進價為萬元，每多售出輛，所有售出的汽車進價每輛均降低萬元，月底汽車生產廠家根據銷售公司的銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在輛以內含輛，每輛返利萬元；若當月銷售量在輛以上，每輛返利萬元．
(1)若該公司當月售出輛汽車，則每輛汽車的進價為 萬元；
(2)如果該公司把該品牌汽車的售價定為萬元輛，并計劃當月盈利萬元，那么需要銷售多少輛汽車？提示：盈利=銷售利潤+返利)
題型三：一元二次方程之傳播問題
【例題3】某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪就會有64臺電腦被感染．設每輪感染中平均一臺電腦可感染臺，下面所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-1】某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發現一種植物的主干長出若干數目的枝干，每個枝干又長出同樣數目的小分支．已知1個主干長出的枝干和小分支的總數是56，則這種植物每個枝干長出小分支的個數是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【變式訓練3-2】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感。
(1)每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
(2)如果按照這樣的傳染速度，經過三輪傳染后共有多少人患流感？
【變式訓練3-3】有一種傳染病傳染性很強，研究發現，在某地區如果有一個人染上該病，那么經過兩輪傳染后，理論上就共有121人染上該病，請問該傳染病在每輪傳染中平均一個人會傳染幾個人？如果疫情不能得到有效控制，那么經過三輪傳染后將會有多少人染上這種病？
【變式訓練3-4】某名同學參加了學校統一組織的某項實驗培訓，回到班上后，第一節課他教會了若干名同學，第二節課會做的同學每人又教會了同樣多的同學，這樣全班共有36名同學會做這項實驗．求每節課每名同學教會多少名同學做實驗？
【變式訓練3-5】某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發現一種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是31，則這種植物每個支干長出多少個小分支？
題型四：一元二次方程之與圖形有關的問題
【例題4】如圖，一個四周寬相等的長方形鏡框，外框長為，寬為，且鏡框的面積（不包括陰影部分）為整個大長方形面積的，求這個長方形鏡框的框邊寬是多少厘米？
【變式訓練4-1】燕幾（即宴幾）是世界上最早的一套組合桌，設計者是北宋進士黃伯思．全套燕幾一共有七張桌子，每張桌子高度相同．其桌面共有三種尺寸，包括張長桌、張中桌和張小桌，它們的寬都相同．七張桌面可以拼成一個大的長方形，或者分開組合成不同的圖形，其方式豐富多樣，燕幾也被認為是現代七巧板的前身．右圖給出了《燕幾圖》中列出的名稱為“函三”和“回文”的兩種桌面拼合方式．若全套七張桌子桌面的總面積為平方尺，則長桌的長為多少尺？

【變式訓練4-2】某水產養殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊長方形區域，而且這三塊長方形區域的面積相等，設的長度為．
(1)______；
(2)的長度為______m（用含有的代數式表示）；
(3)當長方形區域的面積為時，求的長度．
【變式訓練4-3】如圖，有一塊矩形紙板，長為，寬為，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周沿虛線折起就能制作一個無蓋方盒，如果要制作的無蓋方盒的底面積為，那么在矩形紙板四角切去的正方形邊長是多少？
【變式訓練4-4】已知如圖所示，學校準備在教學樓后面搭建兩個連在一起的簡易矩形的自行車車棚（如圖），一邊利用教學樓的后墻（可利用的增長為），另外的邊利用學校現有總長的鐵欄圍成，開有兩個長為1米的木質門．
(1)求線段的取值范圍；
(2)若圍成的面積為，試求出自行車車棚的長和寬．
(3)能圍成面積為的自行車車棚嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．
【變式訓練4-5】小欣想要硬化自己家的院內的一塊空地，經測量后設計了如右圖的圖紙（單位：厘米），陰影區域為寬度相等的一條“L”形的健身鵝卵石小路，空白部分為地磚鋪設區域．要使地磚鋪設區域的面積為14平方米，求地磚鋪設區域的長和寬．
題型五：一元二次方程之數字問題
【例題5】【閱讀與理解】已知整數a與b的平方之和可以表示為，現有兩個連續的正整數：
(1)若這兩個連續的正整數中，較小的數是3，求它們的平方之和是多少？
(2)若這兩個連續正整數的平方之和是41，求這兩個正整數分別是多少？
【變式訓練5-1】2014年2月27日，第十二屆全國人大常委會第七次會議通過決定，將每年的12月13日設立為南京大屠殺死難者國家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年開始的第10個公祭日，在今年12月的日歷表上可以用一個方框圈出4個數（如圖所示），若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為65，求這個最大數（請用方程知識解答）．
【變式訓練5-2】2022年10月1日是我國建國73周年紀念日．如圖，在10月份月歷表上用一個方框圈出四個數．若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為，求這個最小數．
【變式訓練5-3】下圖是某一個月的日歷表，在表上可以用一個方框圈出4個數（如圖所示）．請用方程知識解答下列問題：
(1)若在圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為84，求最小數．
(2)在圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積能為33嗎？請說明理由．
【變式訓練5-4】一個數字和為的兩位數，把個位與十位數字對調后得到一個兩位數，這兩個兩位數之積是，則這個兩位數是多少？
【變式訓練5-5】一個兩位數，個位數字比十位數字大4，把這個數的個位數字和十位數字對調后，得到新的兩位數，原兩位數與其十位數字的乘積加上10正好等于新的兩位數，求原來的兩位數．
題型六：一元二次方程之工程問題
【例題6】全球疫情爆發時，口罩極度匱乏，中國許多企業都積極地生產口罩以應對疫情，經調查發現：1條口罩生產線最大產能是78000個/天，每增加1條生產線，每條生產線減少2000個/天，工廠的產線共x條
（1）該工廠最大產能是_____個/天（用含x的代數式表示）．
（2）若該工廠引進的生產線每天恰好能生產口702000個，該工廠引進了多少條生產線？
【變式訓練6-1】問題：“某工程隊準備修建一條長3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任務，求原計劃每天修建下水管道的長度？”
條件：（1）實際每天修建的長度比原計劃多；
（2）原計劃每天修建的長度比實際少75米．
在上述的2個條件中選擇1個________________（僅填序號）補充在問題的橫線上，并完成解答．
【變式訓練6-2】甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，計劃每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共萬元．因地質情況不同，甲每合格完成米橋梁施工成本比乙每合格完成米的橋梁施工成本多萬元．
(1)分別求出甲，乙每合格完成米的橋梁施工成本；
(2)實際施工開始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加萬元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加萬元，且每天多挖米．若最終每天實際總成本比計劃多萬元，求的值．
【變式訓練6-3】某工程隊采用A，B兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務．
(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；
(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．
【變式訓練6-4】某工程隊采用A、B兩種設備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務．
(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；
(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了米，而使用時間增加了小時，求的值．
【變式訓練6-5】甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工．計劃每天各施工5米，因地質情況不同，兩支隊伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬．
(1)若工程結算時，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)實際施工開始后，因地質情況及實際條件比預估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖米．若最終每天實際總成本在少于150萬的情況下比計劃多萬元．求a的值．
題型七：一元二次方程之行程問題
【例題7】運動創造美好生活！一天小美和小麗相約一起去沿河步道跑步．若兩人同時從A地出發，勻速跑向距離9000米處的B地，小美的跑步速度是小麗跑步速度的1.2倍，那么小美比小麗早5分鐘到達B地．
(1)求小美每分鐘跑多少米？
(2)若從A地到達B地后，小美以跑步形式繼續前進到C地．從小美跑步開始，前20分鐘內，平均每分鐘消耗熱量15卡，超過20分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡，在整個鍛煉過程中，小美共消耗1650卡的熱量，小美從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．
【變式訓練7-1】月日，重慶在除夕夜舉行了首屆重慶都市藝術節跨年焰火表演，以跨年整點焰火的形式辭舊迎新，為感受喜慶、熱烈的現場氛圍，甲、乙兩人從各自家前往朝天門廣場觀看焰火表演、由于當晚觀看焰火表演的人較多，甲先將車開到距離自己家千米的停車場后，再步行千米到達目的地，共花了小時，此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？
(2)乙先將車開到停車場后，再步行前往目的地，總路程為千米，此期間，已知乙開車的平均速度比甲開車的平均速度快千米/小時，乙開車時間比甲開車時間少小時；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小時，乙步行了小時后到達目的地，求的值．
【變式訓練7-2】為鼓勵廣大鳳中學子走向操場、走進大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，初三年級某班組織同學們周末共跑沙濱路，其中，小鳳和小鳴兩人同時從A地出發，勻速跑向距離處的B地，小鳳的跑步速度是小鳴跑步速度的1.2倍，那么小鳳比小鳴早5分鐘到達B地．
根據以上信息，解答下列問題：
(1)小鳳每分鐘跑多少米？
(2)若從A地到達B地后，小鳳以跑步形式繼續前進到C地（整個過程不休息）．據了解，從他跑步開始，前30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小鳳共消耗2300卡路里的熱量，小鳳從A地到C地鍛煉共用多少分鐘？
【變式訓練7-3】隨著人們對健康生活的追求，全民健身意識日益增強，徒步走成為人們鍛煉的日常，中老年人尤為喜愛．
(1)張大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，張大伯走分鐘，李大伯走分鐘，共走米，求張大伯和李大伯每分鐘各走多少米？
(2)天氣好，天色早，張大伯和李大伯鍛煉興致很濃，又繼續走，與（1）中相比，張大伯的速度不變，李大伯的速度每分鐘提高了米，時間都各自多走了分鐘，結果兩人又共走了米，求的值．
【變式訓練7-4】勻變速直線運動中，每個時間段內的平均速度（初始速度與末速度的算術平均數）與路程，時間的關系為．現有一個小球以的速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止運動．
(1)小球的滾動速度平均每秒減少多少？
(2)小球滾動約用了多少秒（結果保留小數點后一位，參考數據：）
【變式訓練7-5】甲、乙兩個機器人分別從相距70m的A、B兩個位置同時相向運動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．
(1)甲、乙開始運動后多少分鐘第一次同時到達同一位置？
(2)如果甲、乙到達A或B后立即折返，甲繼續每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續按照每分鐘5m的速度行走，那么開始運動后多少分鐘第二次同時到達同一位置？
題型八：一元二次方程之電費水費等問題
【例題8】某市為鼓勵居民節約用水，對居民用水實行階梯收費，每戶居民用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費．
（1）若a＝12，某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應繳納水費多少元？
（2）若如表是某戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況：
月份 用水量（噸） 交水費總金額（元）
4 18 62
5 24 86
根據上表數據，求規定用水量a的值
【變式訓練8-1】某電廠規定，該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過度，那么這個月這戶居民只交10元電費；如果超過度，這個月除了交10元電費外，超過部分按每度元交費．
(1)該廠某戶居民1月份用電90度，超過了度的規定，試寫出超過部分應交的電費．（用含的代數式表示）
(2)下表是這戶居民2月、3月的用電情況，請根據其中的數據，求電廠規定的度是多少．
月份 用電量/度 交電費總數/元
2月 80 25
3月 45 10
【變式訓練8-2】近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環境保護局協同自來水公司為鼓勵居民節約用水，減少污水排放，規定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取水費（水費＋污水處理費）．
（1）某市區居民2018年3月份用水量為8噸，超過規定水量，用a的代數式表示該用戶應交水費多少元；
（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；
月份 用水量（噸） 交水費總金額（元）
4 7 70
5 5 40
根據上表數據，求規定用水量a的值．
【變式訓練8-3】為了節約用水，不少城市對用水大戶作出了兩段收費的規定．某市規定：月用水量不超過規定標準a噸時，按每噸1.6元的價格交費，如果超過了標準，超標部分每噸還要加收元的附加費用．據統計，某戶7、8兩月的用水量和交費情況如下表：
月份 用水量（噸） 交費總數（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出該市規定標準用水量a的值；
（2）寫出交費總數y（元）與用水量x（噸）的函數關系式，并利用函數關系計算，當某月份用水量為150噸時，應交水費多少元？
【變式訓練8-4】根據紹興市某風景區的旅游信息：
旅游人數 收費標準
不超過30人 人均收費80元
超過30人 每增加1人，人均收費降低1元，但人均收費不低于55元
A公司組織一批員工到該風景區旅游，支付給旅行社2800元．A公司參加這次旅游的員工有多少人？
【變式訓練8-5】近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環境保護局協同自來水公司為鼓勵居民節約用水，減少污水排放，規定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取水費（水費+污水處理費）．
（1）某市區居民2018年3月份用水量為8噸，超過規定水量，用a的代數式表示該用戶應交水費多少元；
（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；
月份 用水量（噸） 交水費總金額（元）
4 7 70
5 5 40
根據上表數據，求規定用水量a的值．
（3）結合當地水資源狀況，談談如何開展水資源環境保護？如何節約用水？
題型九：一元二次方程之素材問題
【例題9】根據以下素材，探索完成任務．
如何計算工廠生產線數量？
素材1 科學研究表明接種疫苗是戰勝新冠病毒的最有效途徑．當前居民接種疫苗迎來高峰期，導致相應醫療物資匱乏．某工廠及時引進了一條一次性注射器生產線生產一次性注射器．開工第一天生產400萬個．
素材2 經調查發現，1條生產線的最大產量與生產線數量有關，若每增加1條生產線，每條生產線的最大產量將減少20萬個/天．
問題解決
任務1 確定最大產量 為了新生產線的適應，前三天1條生產線的產量按日平均增長率50%增加至最大產量，求1條生產線的最大產量
任務2 擬定初方案 現該廠要保證每天生產一次性注射器4100萬個，在增加一定數量生產線的同時又要節省投入（生產線越多，投入越大），求增加的生產線數量．
任務3 優化方案 該廠想使每天生產一次性注射器達到10900萬個，若能，應該增加幾條生產線？若不能，請說明理由．
【變式訓練9-1】如何利用閑置紙板箱制作儲物盒
如何利用閑置紙板箱制作儲物盒
素材 如圖，圖中是小琴家需要設置儲物盒的區域，該區域可以近似看成一個長方體，底面尺寸如圖所示．
素材 如圖是利用閑置紙板箱拆解出的①，②兩種均為長方形紙板．
長方形紙板① 長方形紙板②

小琴分別將長方形紙板①和②以不同的方式制作儲物盒．
長方形紙板①的制作方式 長方形紙板②制作方式
裁去角上個相同的小正方形，折成一個無蓋長方體儲物盒． 將紙片四個角裁去個相同的小長方形，折成一個有蓋的長方體儲物盒．
目標 熟悉材料 熟悉按照長方形紙板①的制作方式制成的儲物盒能夠無縫障的放入儲物區域，則長方形紙板寬為______．
目標 利用目標計算所得的數據，進行進一步探究．
初步應用 （1）按照長方形紙板①的制作方式，為了更方便地放入或取出儲物盒，盒子四周需要留出一定的空間，當儲物盒的底面積是，求儲物盒的容積．
儲物收納 （2）按照長方形紙板②的制作方式制作儲物盒，若和兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為．如圖，是家里一個玩具機械狗的實物圖和尺寸大小，請通過計算判斷玩具機械狗能否完全放入該儲物盒．
【變式訓練9-2】根據以下素材，探索完成任務．
如何改造硬紙板制作無蓋紙盒？
背景 學校手工社團小組想把一張長，寬的矩形硬紙板，制作成一個高，容積的無蓋長方體紙盒，且紙盒的長不小于（紙板的厚度忽略不計）．
方案 初始方案：將矩形硬紙板豎著裁剪（陰影部分），剩余紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形．
改進方案：將矩形硬紙板豎著裁剪，橫著裁剪（陰影部分），剩余紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形．
問題解決
任務1 判斷方案 請通過計算判斷初始方案是否可行？
任務2 改進方案 改進方案中，當時，求x的值．
任務3 探究方案 當裁剪后能制作成符合要求的紙盒時，求出y與x的等量關系，并寫出y的取值范圍．
【變式訓練9-3】根據以下素材，完成探索任務．
探索果園土地規劃和銷售利潤問題
素材1 某農戶承包了一塊長方形果園，圖1是果園的平面圖，其中米，米．準備在它的四周鋪設道路，上下兩條橫向道路的寬度都為米，左右兩條縱向道路的寬度都為x米，中間部分種植水果．已知道路的路面造價是50元/ ；出于貨車通行等因素的考慮，道路寬度不超過12米，且不小于5米．
素材2 該農戶發現某一種草莓銷售前景比較不錯，經市場調查，草莓培育一年可產果，已知每平方米的草莓銷售平均利潤為100元；果園每年的承包費為25萬元，期間需一次性投入33萬元購進新苗，每年還需25萬元的養護、施肥、運輸等其余費用．
問題解決
任務1 解決果園中路面寬度的設計對種植面積的影響． （1）請直接寫出縱向道路寬度x的取值范圍．（2）若中間種植的面積是，則路面設置的寬度是否符合要求．
任務2 解決果園種植的預期利潤問題．（凈利潤＝草莓銷售的總利潤一路面造價費用一果園承包費用一新苗購置費用一其余費用， （3）經過l年后，農戶是否可以達到預期凈利潤400萬元？請說明理由．
【變式訓練9-4】根據以下素材，探索完成任務．
如何設計實體店背景下的網上銷售價格方案？
素材1 某公司在網上和實體店同時銷售一種自主研發的小商品，成本價為40元/件．
素材2 該商品的網上銷售價定為60元/件，平均每天銷售量是200件，在實體店的銷售價定為80元/件，平均每天銷售量是100件．按公司規定，實體店的銷售價保持不變，網上銷售價可按實際情況進行適當調整，需確保網上銷售價始終高于成本價．
素材3 據調查，網上銷售價每降低1元，網上銷售每天平均多售出20件，實體店的銷售受網上影響，平均每天銷售量減少2件．
問題解決
任務1 計算所獲利潤 當該商品網上銷售價為50 元/件時，求公司在網上銷售該商品每天的毛利潤與實體店銷售該商品每天的毛利潤各是多少元？
任務2 擬定價格方案 公司要求每天的總毛利潤（總毛利潤＝網上毛利潤＋實體店毛利潤）達到8160元，求每件商品的網上銷售價是多少元？
任務3 探究最大利潤 該商品的網上銷售價每件______元時，該公司每天銷售這種小商品的總毛利潤最大．
題型十：一元二次方程之函數問題
【例題10】5某店一型號臺燈成本價為30元，若40元出售，平均每月能售出600個，經過一周試銷售發現，售價在40元至60元范圍內，平均每天售出的臺燈數量（個）與售價上漲（元）之間存在如圖所示的函數關系．
(1)求出與的函數表達式；
(2)為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少？
(3)正式銷售后每個臺燈的利潤率不得高于，該店每天能否獲得12250元的利潤？若能，求出臺燈的售價應定為多少；若不能，請說明理由．
【變式訓練10-1】網絡銷售已經成為一種熱門的銷售方式，某果園在網絡平臺上直播銷售獼猴桃．已知該獼猴桃的成本為5元/，銷售價格不高于14元/，且每售賣需向網絡平臺支付1元的相關費用．該果園經過一段時間的直播銷售發現，每日銷售量與銷售價格x（元/）之間滿足如圖所示的一次函數關系．
(1)求y與x的函數解析式．
(2)當獼猴桃的銷售價格定為多少元/時，銷售這種獼猴桃的日利潤恰好為900元？
【變式訓練10-2】某工廠購買的原材料的單價從前年開始進行了調整．如圖，、分別表示該工廠前年和今年采購原材料的總價y（萬元）與數量x（噸）之間的關系，請根據函數圖象提供的信息回答下列問題：

(1)該廠前年采購原材料的單價是每噸 　　萬元；
(2)該廠今年采購原材料的總價y關于數量x的函數解析式是 　　；
(3)如果該原材料的單價從前年開始，每年的增長率都相同，那么這個增長率是 　　．
【變式訓練10-2】某超市以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到實惠，現決定降價銷售，已知這種干果銷售量（千克）與每千克降價（元）之間滿足一次函數關系，其圖像如圖所示．
(1)求與之間的函數表達式；
(2)若超市要想獲利2090元，且讓顧客獲得更大實惠，這種干果每千克應降價多少元？
【變式訓練10-3】某連鎖超市以每支3元的價格購進某品牌牙膏，規定牙膏銷售單價不低于進價又不高于5.5元，經市場調研發現，牙膏的日均銷售鹽（萬支）與銷售單價（元）之間存在著如圖所示關系．
(1)求牙膏的日均銷售量（萬支）關于銷售單價（元）的函數表達式（寫出的取值范圍）；
(2)該超市日均銷售利潤能否達到13萬元？請說明理由．
【變式訓練10-4】于年舉辦的杭州亞運會的吉祥物一經開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件元的價格出售．從月份起，商店決定采用降價促銷的方式回饋顧客，試銷了一段時間后，發現該款吉祥物的月銷售量（件）與每件售價（元）之間滿足一次函數關系，且部分數據如表所示．

元
件
(1)求y關于x的函數解析式；
(2)若商店希望每月銷售這款吉祥物所獲得的利潤是8400元．則售價應定為多少元？
【變式訓練10-5】某零食商店以20元/千克的價格購進一種餅干，計劃以30元/千克的價格銷售，遇國慶促銷，現決定降價銷售，已知這種餅干銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（）之間滿足的函數關系圖像如下：

(1)求與之間的函數關系式；
(2)若這種餅干定價為元/千克時，則商店獲利 ；（直接填空）
(3)若商店要想獲利元，且讓顧客獲得更大實惠，這種餅干的銷售價應定為每千克多少元？
題型梳理
知識點1
一元二次方程平均增長率問題
其中為增長前的基數，為增長后的基數，為平均增長率。
知識點2
一元二次方程銷售問題
利潤=售價－成本
利潤率＝利潤÷成本×100%
總利潤=總售價-總成本=一件的利潤×銷售量
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第二章 一元二次方程章末總復習十大題型02
【浙教版】
題型一：增長率問題
【例題1】一間花店因舉行七周年店慶：現將原價每支元的A種玫瑰花，連續兩次降價后每支以元的價格銷售，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)將A、B兩種玫瑰花（現售價和進價如下表格）共支包成一束整體銷售，若此花束的成本不超過元，如何搭配A、B兩種玫瑰花的數量，才能使此花束的利潤最大？
種玫瑰花 種玫瑰花
進價（元）
售價（元）
【答案】(1)(2)搭配A、B兩種玫瑰花的數量各為5支時，利潤最大
【詳解】（1）解：設每次下降的百分率為，
依題意得，，
解得，或（舍去），
∴每次下降的百分率為；
（2）解：設A種玫瑰花的數量為，利潤為，則B種玫瑰花的數量為，
依題意得，，
解得，，
，
∵，
∴當時，利潤最大，
∴，
∴搭配A、B兩種玫瑰花的數量各為5支時，利潤最大．
【變式訓練1-1】某種植戶2016年投資20萬元種植中藥材，到2018年3年共累計投資95萬元，若在這兩年內每年投資的增長率相同．
(1)求該種植戶每年投資的增長率；
(2)按這樣的投資增長率，請你預測2019年該種植戶投資多少萬元種植中藥材．
【答案】(1)
(2)67.5萬元
【詳解】（1）解：設這兩年該種植戶每年投資的年平均增長率為，則2017年種植投資為萬元，2018年種植投資為萬元，
根題意得：，
解得：（舍去）或．
該種植戶每年投資的增長率為；
（2）解：2019年該種植戶投資額為：（萬元）．
答：預測2019年該種植戶投資67.5萬元種植中藥材．
【變式訓練1-2】某水果商店經銷一種名為“陽光玫瑰”水果，現進行春日促銷，原價每千克50元，連續兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當的漲價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少10千克，現該商場要保證每天盈利3000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應漲價多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率為；
(2)每千克應漲價5元
【詳解】（1）解：設每次降價的百分率為a，則兩次降價后的百分率為，
或（舍去），
答：每次下降的百分率為；
（2）解：設每千克漲價x元，
依題意得：
解得：，，
要盡快減少庫存，
則，
答：每千克應漲價5元，
【變式訓練1-3】隨著粵港澳大灣區建設的加速推進，廣東省正加速布局以等為代表的戰略性新興產業，據統計，截止到2022年底廣東基站的數量約25萬座，計劃到2024年底，全省基站數量將達到36萬座．
(1)按照計劃，求2022年底到2024年底，全省基站數量的年平均增長率；
(2)按照這個年平均增長率，到2025年底，全省基站的數量是多少萬座？
【答案】(1)全省基站數量的年平均增長率為
(2)全省基站的數量是43.2萬座
【詳解】（1）解：設全省基站數量的年平均增長率為，
有：．
解得：，（舍）．
∴全省基站數量的年平均增長率為．
（2）按照這個年平均增長率，到2025年底，全省基站的數量為萬座，
答：全省基站的數量是43.2萬座．
【變式訓練1-4】某合作社2021年到2023年每年種植土豆100畝，2021年土豆的平均畝產量為1000千克，2022年到2023年引進先進的種植技術，2023年土豆的平均畝產量達到1440千克．
(1)若2022年和2023年土豆的平均畝產量的年增長率相同，求土豆平均畝產量的年增長率為多少？
(2)2024年該合作社計劃在保證土豆種植的總成本不變的情況下，增加土豆的種植面積，經過統計調查發現，2023年每畝土豆的種植成本為1200元，若土豆的種植面積每增加1畝，則每畝土豆的種植成本將下降10元，求該合作社增加土豆種植面積多少畝，才能保證土豆種植的總成本不變？
【答案】(1)土豆平均畝產量的年增長率為
(2)該合作社增加土豆的種植面積20畝時，才能保證土豆種植的總成本保持不變
【詳解】（1）解：設2022年和2023年土豆平均畝產量的年增長率為x．
根據題意，得．
解得，．（不合題意，舍去）
答：土豆平均畝產量的年增長率為．
（2）解：設增加土豆種植面積a畝．
根據題意，得．
解得（不合題意，舍去），．
答：該合作社增加土豆的種植面積20畝時，才能保證土豆種植的總成本保持不變．
【變式訓練1-5】2022年北京冬奧會吉祥物深受大家的喜歡，某特許零售店的冬奧會吉祥物銷售量日益火爆．據統計，該店2022年1月的“冰墩墩”銷量為1萬件，2022年3月的“冰墩墩”銷量為1.21萬件．
(1)求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；
(2)該零售店4月將采用提高售價的方法增加利潤，根據市場調研得出結論：如果將進價80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可銷售500件，在此基礎上售價每漲0.5元，則每天的銷售量就會減少5件，該零售店要想每天獲得12000元的利潤，且銷量盡可能大，則每件商品的售價應該定為多少元？
【答案】(1)
(2)110元
【詳解】（1）解：設該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為，
由題意可得，，
解得，（舍去），
答：該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為．
（2）解：設每件商品的售價應該定為元，則每件商品的銷售利潤為元，
每天的銷售量為（件），
依題意可得，
解得，
∵要使銷量盡可能大，
∴，
答：每件商品的售價應該定為110元．
題型二：一元二次方程之利潤問題
【例題2】某商場以每件元的價格購進一批商品，當每件商品售價為元時，每月可售出件．為了擴大銷售，商場決定采取適當降價的方式促銷，經調查發現，如果每件商品降價元，那么商場每月就可以多售出件．
(1)降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？
(2)要使商場每月銷售這種商品的利潤達到元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價多少元？
(3)該商場月份銷售量為件，月和月的月平均增長率為，若前三個月的總銷量為件，求該季度的總利潤．
【答案】(1)元(2)元(3)元
【詳解】（1）解：由題意，得
元．
答：降價前商場每月銷售該商品的利潤是元；
（2）解：設每件商品應降價元，由題意，得，
化簡為
解得，
∵要更有利于減少庫存，
∴
答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達到元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價元
（3）解：由題意，得
化簡為
解得（舍）
∴月件，每件利潤元；月件，每件利潤元；月件，每件利潤元
∴總利潤為元．
【變式訓練2-1】在霍邱萬達附近某盆栽銷售處發現：進貨價為每盆50元，銷售價為每盆80元的某種盆栽平均每天可售出20盆．現此店決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利．經市場調查發現：如果每盆降價3元，那么平均每天就可多售出4盆，設每盆降價元．
(1)現在每天賣出______盆，每盆盈利______元（用含的代數式表示）；
(2)求當為何值時，平均每天銷售這種盆栽能盈利672元，同時又要使顧客得到較多的實惠；
(3)要想平均每天盈利1000元，可能嗎？請說明理由．
【答案】(1)；(2)(3)不可能每天盈利1000元，理由見解析
【詳解】（1）解：由題意得，現在每天賣出盆，每盆盈利元，
故答案為：；；
（2）解：由題意得，
整理得，
解得或，
又∵要使顧客得到較多的實惠，
∴；
（3）解：不可能每天盈利1000元，理由如下：
假設能每天盈利1000元，則
整理得，
此時，則原方程無實數根，
∴不可能每天盈利1000元．
【變式訓練2-2】第十九屆亞運會在杭州舉行．某網絡經銷商購進了一批以杭州亞運會為主題的文化衫進行銷售，文化衫的進價每件30元．根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是45元時，每日銷售量是550件；銷售單價每漲1元，每日文化衫就會少售出10件．設該批文化衫的銷售單價為x元（）．
(1)請你寫出銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數關系式 ．
(2)若經銷商獲得了10000元銷售利潤，則該文化衫單價x應為多少元？
【答案】(1)(2)80
【詳解】（1）解： 銷售單價是45元時，每日銷售量是550件；銷售單價每漲1元，每日文化衫就會少售出10件；
當銷售單價x元時，，即，
（2）解：由題意得，，
整理得，，
解得：，（因，舍去）
故文化衫單價應為80元．
答：該文化衫單價應為80元．
【變式訓練2-3】某水果店以每千克2元的價格購進某種水果，然后以每千克4元的價格出售，每天可銷售100千克．經市場調研發現，這種水果每千克的售價每降低0.1元，每天可多售出20千克．為了保證每天至少售出260千克該種水果，水果店店主決定降價銷售．
(1)若將該種水果每千克的售價降價x元，則每天的銷售量是 千克（用含x的代數式表示）；
(2)若銷售這種水果要想每天盈利300元，則應將每千克的售價降低多少元？
【答案】(1)
(2)1元
【詳解】（1）解：設水果店將每千克的售價降低元，
所以每天可售出(千克)．
（2）解：根據題意，得，
整理得：，
解得：，，
當時，，不符合題意，舍去；
當時，，符合題意．
答：水果店需將每千克的售價降低1元．
【變式訓練2-4】某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內，每部汽車的進價與銷售量有如下關系：若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低萬元/部，月底廠家根據銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10部以內（含10部），每部返利萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元．（盈利＝銷售利潤+返利）
(1)若該公司當月售出5部汽車，則每部汽車的進價為______萬元；
(2)如果汽車的售價為28萬元/部，該公司計劃當月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？
【答案】(1)
(2)當銷售6部汽車時，當月可盈利12萬元
【詳解】（1）解：（萬元），
故答案為：．
（2）設需要售出x部汽車，
①當銷售10部以內（含10部）時，
依題意可得：，
可化為：，
解得：（不合題意，舍去），
當銷售6部汽車時，當月可盈利12萬元；
②當銷售10部以上時，
依題意可得：，
可化為：，
解得：，均不合題意，應舍去
答：當銷售6部汽車時，當月可盈利12萬元．
【變式訓練2-5】某汽車銷售公司4月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內，每部汽車的進價與銷售量之間有如下關系：若當月僅售出1輛汽車，則該部汽車的進價為萬元，每多售出輛，所有售出的汽車進價每輛均降低萬元，月底汽車生產廠家根據銷售公司的銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在輛以內含輛，每輛返利萬元；若當月銷售量在輛以上，每輛返利萬元．
(1)若該公司當月售出輛汽車，則每輛汽車的進價為 萬元；
(2)如果該公司把該品牌汽車的售價定為萬元輛，并計劃當月盈利萬元，那么需要銷售多少輛汽車？提示：盈利=銷售利潤+返利)
【答案】(1)(2)輛
【詳解】（1）解：根據題意得：
萬元，
每輛汽車的進價為萬元．
故答案為：；
（2）設需要銷售輛汽車，則每輛的銷售利潤為萬元．
當時，，
整理得：，
解得： (不符合題意，舍去)；
當時，，
整理得：，
解得： (不符合題意，舍去)， (不符合題意，舍去)．
答：需要銷售輛汽車．
題型三：一元二次方程之傳播問題
【例題3】某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪就會有64臺電腦被感染．設每輪感染中平均一臺電腦可感染臺，下面所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：每輪感染中平均一臺電腦會感染臺電腦，
列方程得：，
即．
故選：C．
【變式訓練3-1】某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發現一種植物的主干長出若干數目的枝干，每個枝干又長出同樣數目的小分支．已知1個主干長出的枝干和小分支的總數是56，則這種植物每個枝干長出小分支的個數是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【詳解】解：設這種植物每個支干長出的小分支個數是x，
依題意得：，
解得：（不合題意，舍去），，
∴這種植物每個支干長出的小分支個數是8．
故選：C．
【變式訓練3-2】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感。
(1)每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
(2)如果按照這樣的傳染速度，經過三輪傳染后共有多少人患流感？
【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染個人．(2)．
【詳解】（1）
解：設每輪傳染中平均一個人傳染個人，
由題意得：，
解得：，，
，
不合題意，舍去，
，
答：每輪傳染中平均一個人傳染個人．
（2）
則第三輪的患病人數為：．
故答案為：．
【變式訓練3-3】有一種傳染病傳染性很強，研究發現，在某地區如果有一個人染上該病，那么經過兩輪傳染后，理論上就共有121人染上該病，請問該傳染病在每輪傳染中平均一個人會傳染幾個人？如果疫情不能得到有效控制，那么經過三輪傳染后將會有多少人染上這種病？
【答案】1331人
【詳解】解：設該傳染病在每輪傳染中平均一個人會傳染個人，則
，
解得（舍），或，
∴經過三輪傳染后染上這種病的人數為：
（人）．
答：經過三輪傳染后將會有1331人染上這種病．
【變式訓練3-4】某名同學參加了學校統一組織的某項實驗培訓，回到班上后，第一節課他教會了若干名同學，第二節課會做的同學每人又教會了同樣多的同學，這樣全班共有36名同學會做這項實驗．求每節課每名同學教會多少名同學做實驗？
【答案】5
【詳解】解：設每節課一人教會x人，根據題意可得：
，
解得：（不合題意舍去）
答：每節課一人教會5人．
【變式訓練3-5】某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發現一種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是31，則這種植物每個支干長出多少個小分支？
【答案】5個
【詳解】解：設這種植物每個支干長出x個小分支，依題意得
，
解這個方程得，（不合題意，舍去）
答：這種植物每個支干長出5個小分支．
題型四：一元二次方程之與圖形有關的問題
【例題4】如圖，一個四周寬相等的長方形鏡框，外框長為，寬為，且鏡框的面積（不包括陰影部分）為整個大長方形面積的，求這個長方形鏡框的框邊寬是多少厘米？
【答案】框邊寬為2厘米
【詳解】解：設框邊寬為厘米．
，（不合題意，舍去）
答：框邊寬為2厘米．
【變式訓練4-1】燕幾（即宴幾）是世界上最早的一套組合桌，設計者是北宋進士黃伯思．全套燕幾一共有七張桌子，每張桌子高度相同．其桌面共有三種尺寸，包括張長桌、張中桌和張小桌，它們的寬都相同．七張桌面可以拼成一個大的長方形，或者分開組合成不同的圖形，其方式豐富多樣，燕幾也被認為是現代七巧板的前身．右圖給出了《燕幾圖》中列出的名稱為“函三”和“回文”的兩種桌面拼合方式．若全套七張桌子桌面的總面積為平方尺，則長桌的長為多少尺？

【答案】
【詳解】解：設每張桌面的寬為尺，
根據圖形可得：小桌的長為尺，中桌的長為尺，長桌的長為尺，
故可得，
解得：，（舍去），
∴，
答：長桌的長為尺．
【變式訓練4-2】某水產養殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊長方形區域，而且這三塊長方形區域的面積相等，設的長度為．
(1)______；
(2)的長度為______m（用含有的代數式表示）；
(3)當長方形區域的面積為時，求的長度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）設，根據題意，
得四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，
設，，
根據題意，得，，
∴,
∴,
解得，
故
故答案為：．
（2）根據(1),得，，，
∴，
∴，
故答案為：．
（3）根據題意，得，
整理，得，
解得，
答：的長度為．
【變式訓練4-3】如圖，有一塊矩形紙板，長為，寬為，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周沿虛線折起就能制作一個無蓋方盒，如果要制作的無蓋方盒的底面積為，那么在矩形紙板四角切去的正方形邊長是多少？
【答案】在矩形紙板四角切去的正方形邊長是
【詳解】解：設在矩形紙板四角切去的正方形邊長是，根據題意得，
解得：（舍去）
答：在矩形紙板四角切去的正方形邊長是．
【變式訓練4-4】已知如圖所示，學校準備在教學樓后面搭建兩個連在一起的簡易矩形的自行車車棚（如圖），一邊利用教學樓的后墻（可利用的增長為），另外的邊利用學校現有總長的鐵欄圍成，開有兩個長為1米的木質門．
(1)求線段的取值范圍；
(2)若圍成的面積為，試求出自行車車棚的長和寬．
(3)能圍成面積為的自行車車棚嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．
【答案】(1)
(2)自行車車棚的長和寬分別為，
(3)不能圍成面積為的自行車車棚，見解析
【詳解】（1）解：設線段的長為，則的長為，
根據題意得，解得，
線段的取值范圍為；
（2）解：根據題意列方程，得，
解得，；
當時，，
當時，，而墻長，不合題意舍去，
答：若圍成的面積為，自行車車棚的長和寬分別為，；
（3）解：不能圍成面積為的自行車車棚．理由如下：
根據題意得，
整理得：，
，
方程無實數根，
不能圍成面積為的自行車車棚．
【變式訓練4-5】小欣想要硬化自己家的院內的一塊空地，經測量后設計了如右圖的圖紙（單位：厘米），陰影區域為寬度相等的一條“L”形的健身鵝卵石小路，空白部分為地磚鋪設區域．要使地磚鋪設區域的面積為14平方米，求地磚鋪設區域的長和寬．
【答案】地磚鋪設區域的長為4米，寬為米
【詳解】解：設小路的寬為x米，則地磚鋪設區域的長為米，寬為米，
由題意得：，
整理得：，
解得：（舍去），
∴（米），（米）；
答：地磚鋪設區域的長為4米，寬為米．
題型五：一元二次方程之數字問題
【例題5】【閱讀與理解】已知整數a與b的平方之和可以表示為，現有兩個連續的正整數：
(1)若這兩個連續的正整數中，較小的數是3，求它們的平方之和是多少？
(2)若這兩個連續正整數的平方之和是41，求這兩個正整數分別是多少？
【答案】(1)
(2)這兩個正整數分別是4和5
【詳解】（1）∵這兩個連續的正整數中，較小的數是3，
∴較大的數是4，
∴它們的平方之和為；
（2）設較小的整數是，則較大的整數是，
由題可得：，
方程可化為：，
把方程左邊因式分解，得：，
解得：，（舍去），
答：這兩個正整數分別是4和5．
【變式訓練5-1】2014年2月27日，第十二屆全國人大常委會第七次會議通過決定，將每年的12月13日設立為南京大屠殺死難者國家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年開始的第10個公祭日，在今年12月的日歷表上可以用一個方框圈出4個數（如圖所示），若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為65，求這個最大數（請用方程知識解答）．
【答案】這個最小數為5
【詳解】解：設這個最小數為x，則最大數為，根據題意，
得．
解得或（不符合題意，舍去）．
答：這個最小數為5．
【變式訓練5-2】2022年10月1日是我國建國73周年紀念日．如圖，在10月份月歷表上用一個方框圈出四個數．若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為，求這個最小數．
【答案】這個最小數是6
【詳解】設這個最小數為，則最大數為，
根據題意得：，
整理得：，
解得：， (不符合題意，舍去)．
答：這個最小數是6．
【變式訓練5-3】下圖是某一個月的日歷表，在表上可以用一個方框圈出4個數（如圖所示）．請用方程知識解答下列問題：
(1)若在圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為84，求最小數．
(2)在圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積能為33嗎？請說明理由．
【答案】(1)6
(2)不能，理由見解析
【詳解】（1）解：設左上角的數為x，則右下角的數為，
，
解得：（舍去），
∴最小的數為6．
（2）解：設左上角的數為x，則右下角的數為，
，
解得：（舍去），
由圖可知，當最小的數為3時，不能圈出4個數，
∴最小數與最大數的乘積不能為33．
【變式訓練5-4】一個數字和為的兩位數，把個位與十位數字對調后得到一個兩位數，這兩個兩位數之積是，則這個兩位數是多少？
【答案】或
【詳解】解：設原兩位數個位數字為，則十位數字為，
根據題意得：
，
解得：或，
這個兩位數是或．
【變式訓練5-5】一個兩位數，個位數字比十位數字大4，把這個數的個位數字和十位數字對調后，得到新的兩位數，原兩位數與其十位數字的乘積加上10正好等于新的兩位數，求原來的兩位數．
【答案】原來的兩位數為26．
【詳解】解：設原來的兩位數的十位數字為，
，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
，
答：原來的兩位數為26．
題型六：一元二次方程之工程問題
【例題6】全球疫情爆發時，口罩極度匱乏，中國許多企業都積極地生產口罩以應對疫情，經調查發現：1條口罩生產線最大產能是78000個/天，每增加1條生產線，每條生產線減少2000個/天，工廠的產線共x條
（1）該工廠最大產能是_____個/天（用含x的代數式表示）．
（2）若該工廠引進的生產線每天恰好能生產口702000個，該工廠引進了多少條生產線？
【答案】（1）；（2）該工廠引進了27條或13條生產線．
【詳解】（1）根據題意，得該工廠最大產能是：個/天
故答案為：；
（2）根據題意，得，
解得，，
該工廠引進了27條或13條生產線．
【變式訓練6-1】問題：“某工程隊準備修建一條長3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任務，求原計劃每天修建下水管道的長度？”
條件：（1）實際每天修建的長度比原計劃多；
（2）原計劃每天修建的長度比實際少75米．
在上述的2個條件中選擇1個________________（僅填序號）補充在問題的橫線上，并完成解答．
【答案】選（1）或（2）；選（1）原計劃每天修建下水管道的長度為米；選（2）原計劃每天修建下水管道的長度為米
【詳解】選（1）或（2）
（1）解：設原計劃每天修建下水管道的長度為米
經檢驗：是所列方程的解
答：原計劃每天修建下水管道的長度為米．
（2）解：設原計劃每天修建下水管道的長度為米
（舍）
經檢驗：是所列方程的解．
答：原計劃每天修建下水管道的長度為米．
【變式訓練6-2】甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，計劃每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共萬元．因地質情況不同，甲每合格完成米橋梁施工成本比乙每合格完成米的橋梁施工成本多萬元．
(1)分別求出甲，乙每合格完成米的橋梁施工成本；
(2)實際施工開始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加萬元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加萬元，且每天多挖米．若最終每天實際總成本比計劃多萬元，求的值．
【答案】(1)甲每合格完成米橋梁施工成本為萬元，乙每合格完成米的橋梁施工成本為萬元
(2)的值為
【詳解】（1）解：設乙每合格完成米的橋梁施工成本為萬元，則甲每合格完成米橋梁施工成本為萬元，
∴，解得，，
∴甲每合格完成米橋梁施工成本為萬元，乙每合格完成米的橋梁施工成本為萬元．
（2）解：由（1）可知，甲每合格完成米橋梁施工成本為萬元，乙每合格完成米的橋梁施工成本為萬元，
∴實際施工開始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加萬元，則甲每合格完成米實際成本為萬元，且每天多挖，則甲每天實際完成量為米，乙每合格完成米隧道施工成本增加萬元，則乙每合格完成米實際成本為萬元，且每天多挖米，則乙每天實際完成量為米，終每天實際總成本比計劃多萬元，則最中每天的實際總成本為萬元，
∴，整理得，，解得，，（不符合題意，舍去），
∴的值為．
【變式訓練6-3】某工程隊采用A，B兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務．
(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；
(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．
【答案】(1)型設備每小時鋪設的路面長度為90米
(2)的值為10
【詳解】（1）解：設型設備每小時鋪設路面米，則型設備每小時鋪設路面米，
根據題意得，
，
解得：，
則，
答：型設備每小時鋪設的路面長度為90米；
（2）根據題意得，
，
整理得，，
解得：，（舍去），
∴的值為10．
【變式訓練6-4】某工程隊采用A、B兩種設備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務．
(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；
(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了米，而使用時間增加了小時，求的值．
【答案】(1)A型設備每小時鋪設的路面110米(2)18
【詳解】（1）設B型設備每小時鋪設的路面x米，則A型設備每小時鋪設路面米，由題意得
，
解得，
米，
所以A型設備每小時鋪設的路面110米；
（2）根據題意得：，
解得，（舍去），
答：m的值是18．
【變式訓練6-5】甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工．計劃每天各施工5米，因地質情況不同，兩支隊伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬．
(1)若工程結算時，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)實際施工開始后，因地質情況及實際條件比預估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖米．若最終每天實際總成本在少于150萬的情況下比計劃多萬元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值為6
【詳解】（1）解：設甲工程隊施工x米，則乙工程隊施工（5000-x）米，
依題意，得：12（5000-x）≥×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依題意，得： ，
整理，得：，
解得：，，
當時，總成本為：（萬元），
∵，
∴不符合題意舍去；
當時，總成本為：（萬元），
∵，
∴符合題意；
答：a的值為6．
題型七：一元二次方程之行程問題
【例題7】運動創造美好生活！一天小美和小麗相約一起去沿河步道跑步．若兩人同時從A地出發，勻速跑向距離9000米處的B地，小美的跑步速度是小麗跑步速度的1.2倍，那么小美比小麗早5分鐘到達B地．
(1)求小美每分鐘跑多少米？
(2)若從A地到達B地后，小美以跑步形式繼續前進到C地．從小美跑步開始，前20分鐘內，平均每分鐘消耗熱量15卡，超過20分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡，在整個鍛煉過程中，小美共消耗1650卡的熱量，小美從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．
【答案】(1)小美每分鐘跑360米
(2)小美從A地到C地鍛煉共用50分鐘
【詳解】（1）解：設小麗每分鐘跑x米，則小美每分鐘跑米，
根據題意，得，
解得：，
經檢驗，既是所列分式方程的解，也符合題意，
則，
答：小美每分鐘跑360米．
（2）設小美從A地到C地鍛煉共用y分鐘，
根據題意，得，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：小美從A地到C地鍛煉共用50分鐘．
【變式訓練7-1】月日，重慶在除夕夜舉行了首屆重慶都市藝術節跨年焰火表演，以跨年整點焰火的形式辭舊迎新，為感受喜慶、熱烈的現場氛圍，甲、乙兩人從各自家前往朝天門廣場觀看焰火表演、由于當晚觀看焰火表演的人較多，甲先將車開到距離自己家千米的停車場后，再步行千米到達目的地，共花了小時，此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？
(2)乙先將車開到停車場后，再步行前往目的地，總路程為千米，此期間，已知乙開車的平均速度比甲開車的平均速度快千米/小時，乙開車時間比甲開車時間少小時；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小時，乙步行了小時后到達目的地，求的值．
【答案】(1)甲開車的平均速度是千米/小時，步行的平均速度是千米/小時；(2)．
【詳解】（1）設甲步行的平均速度是千米小時，則甲開車的平均速度是千米小時，
由題意得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：甲開車的平均速度是千米小時，步行的平均速度是千米小時；
（2）由（）可知，甲開車的時間為小時，則乙開車的時間為小時，
由題意可知，乙開車的速度為千米小時，乙步行的速度為千米小時，
由題意得：，
整理得：，
解得：，不符合題意，舍去，
答：的值為．
【變式訓練7-2】為鼓勵廣大鳳中學子走向操場、走進大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，初三年級某班組織同學們周末共跑沙濱路，其中，小鳳和小鳴兩人同時從A地出發，勻速跑向距離處的B地，小鳳的跑步速度是小鳴跑步速度的1.2倍，那么小鳳比小鳴早5分鐘到達B地．
根據以上信息，解答下列問題：
(1)小鳳每分鐘跑多少米？
(2)若從A地到達B地后，小鳳以跑步形式繼續前進到C地（整個過程不休息）．據了解，從他跑步開始，前30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小鳳共消耗2300卡路里的熱量，小鳳從A地到C地鍛煉共用多少分鐘？
【答案】(1)小鳳的跑步速度為每分鐘；
(2)小鳳從地到地鍛煉共用70分鐘．
【詳解】（1）設小鳴的跑步速度為每分鐘，則小鳳的跑步速度為每分，
根據題意，得，
解得，
經檢驗是原方程的解，
原方程的解為，
∴小鳳的跑步速度為每分鐘，
答：小鳳的跑步速度為每分鐘；
（2）由（1）知，小鳳的跑步速度為每分，
則小鳳從地到地所用時間為（分鐘）．
設小鳳從地到地用時分鐘，
根據題意，得，
解得或（舍去），
則（分鐘）．
答：小鳳從地到地鍛煉共用70分鐘．
【變式訓練7-3】隨著人們對健康生活的追求，全民健身意識日益增強，徒步走成為人們鍛煉的日常，中老年人尤為喜愛．
(1)張大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，張大伯走分鐘，李大伯走分鐘，共走米，求張大伯和李大伯每分鐘各走多少米？
(2)天氣好，天色早，張大伯和李大伯鍛煉興致很濃，又繼續走，與（1）中相比，張大伯的速度不變，李大伯的速度每分鐘提高了米，時間都各自多走了分鐘，結果兩人又共走了米，求的值．
【答案】(1)張大伯每分鐘走米，李大伯每分鐘走米
(2)的值為
【詳解】（1）解：設李大伯徒步走的速度為每分鐘米，得
解得
∴（米）
所以，張大伯每分鐘走米，李大伯每分鐘走米；
（2）解：依題意，得
整理得
解得（舍），
答：的值為．
【變式訓練7-4】勻變速直線運動中，每個時間段內的平均速度（初始速度與末速度的算術平均數）與路程，時間的關系為．現有一個小球以的速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止運動．
(1)小球的滾動速度平均每秒減少多少？
(2)小球滾動約用了多少秒（結果保留小數點后一位，參考數據：）
【答案】(1)小球的滾動速度平均每秒減少
(2)小球滾動約用了秒
【詳解】（1）解：小球的滾動速度平均每秒減少，
答：小球的滾動速度平均每秒減少．
（2）解：設小球滾動約用了秒，
由題意得：，
整理得：，
解得：或，
當時，，不符題意，舍去，
，
答：小球滾動約用了秒．
【變式訓練7-5】甲、乙兩個機器人分別從相距70m的A、B兩個位置同時相向運動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．
(1)甲、乙開始運動后多少分鐘第一次同時到達同一位置？
(2)如果甲、乙到達A或B后立即折返，甲繼續每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續按照每分鐘5m的速度行走，那么開始運動后多少分鐘第二次同時到達同一位置？
【答案】(1)7分鐘
(2)15分鐘
【詳解】（1）解：設n分鐘后第1次相遇，依題意，有+5n＝70，
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合題意，舍去）
第1次相遇是在開始后7分鐘．
答：甲、乙開始運動后7分鐘第一次同時到達同一位置；
（2）解：設n分鐘后第2次相遇，依題意，有5n＝3×70，
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合題意，舍去）
故第2次相遇是在開始后15分鐘．
答：開始運動后15分鐘第二次同時到達同一位置．
題型八：一元二次方程之電費水費等問題
【例題8】某市為鼓勵居民節約用水，對居民用水實行階梯收費，每戶居民用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費．
（1）若a＝12，某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應繳納水費多少元？
（2）若如表是某戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況：
月份 用水量（噸） 交水費總金額（元）
4 18 62
5 24 86
根據上表數據，求規定用水量a的值
【答案】（1） ；（2）10
【詳解】解：（1）根據題意得：該用戶3月份用水量超過a噸，
元；
（2）若 ，有
，解得： ，即 ，不合題意，舍去，
∴ ，
根據題意得： ，
解得： （舍去），
答：規定用水量a的值為10噸．
【變式訓練8-1】某電廠規定，該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過度，那么這個月這戶居民只交10元電費；如果超過度，這個月除了交10元電費外，超過部分按每度元交費．
(1)該廠某戶居民1月份用電90度，超過了度的規定，試寫出超過部分應交的電費．（用含的代數式表示）
(2)下表是這戶居民2月、3月的用電情況，請根據其中的數據，求電廠規定的度是多少．
月份 用電量/度 交電費總數/元
2月 80 25
3月 45 10
【答案】(1)x（90－x）元
(2)50度
【詳解】（1）解：∵規定用電x度，
∴用電90度超過了規定度數（90－x）度，
∵超過部分按每度元交電費，
∴超過部分應交的電費為x（90－x）元．
（2）解∶2月份用電量超過x度，依題意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解這個方程得x1＝30，x2＝50．
根據題意得：3月份用電45度只交電費10元，
∴電廠規定的x≥45，
∴x1＝30不合題意，舍去．
∴x＝50．
答：電廠規定的x度為50度．
【變式訓練8-2】近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環境保護局協同自來水公司為鼓勵居民節約用水，減少污水排放，規定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取水費（水費＋污水處理費）．
（1）某市區居民2018年3月份用水量為8噸，超過規定水量，用a的代數式表示該用戶應交水費多少元；
（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；
月份 用水量（噸） 交水費總金額（元）
4 7 70
5 5 40
根據上表數據，求規定用水量a的值．
【答案】（1）用戶應交水費10+40a﹣5a2元；（2）a的值為3．
【詳解】解：（1）3月份應交水費10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；
（2）由題意得：5a（7﹣a）+10＝70，
解得：a＝3或a＝4
5a（5﹣a）+10＝40
解得：a＝3或a＝2，
綜上，規定用水量為3噸．
則規定用水量a的值為3．
【變式訓練8-3】為了節約用水，不少城市對用水大戶作出了兩段收費的規定．某市規定：月用水量不超過規定標準a噸時，按每噸1.6元的價格交費，如果超過了標準，超標部分每噸還要加收元的附加費用．據統計，某戶7、8兩月的用水量和交費情況如下表：
月份 用水量（噸） 交費總數（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出該市規定標準用水量a的值；
（2）寫出交費總數y（元）與用水量x（噸）的函數關系式，并利用函數關系計算，當某月份用水量為150噸時，應交水費多少元？
【答案】（1）a＝100；（2），當某月份用水量為150噸時，應交水費290元．
【詳解】解：（1）因七月份用水量為140噸，
1．6×140＝224＜264，
所以需加收:(元)，
即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，
又8月份用水量為95噸，1．6×95＝152，不超標
故答案為a＝100；
（2）當0≤x≤100時，則y＝1．6x；
當x＞100時，則y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100．
即y
用水量為150噸時，應交水費：y=2.6×150－100=290（元）．
答：當某月份用水量為150噸時，應交水費290元．
【變式訓練8-4】根據紹興市某風景區的旅游信息：
旅游人數 收費標準
不超過30人 人均收費80元
超過30人 每增加1人，人均收費降低1元，但人均收費不低于55元
A公司組織一批員工到該風景區旅游，支付給旅行社2800元．A公司參加這次旅游的員工有多少人？
【答案】A公司參加這次旅游的員工有40人．
【詳解】設參加這次旅游的員工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根據題意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．
當x=40時，80-（x-30）=70>55，
當x=70時，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司參加這次旅游的員工有40人．
【變式訓練8-5】近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環境保護局協同自來水公司為鼓勵居民節約用水，減少污水排放，規定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取水費（水費+污水處理費）．
（1）某市區居民2018年3月份用水量為8噸，超過規定水量，用a的代數式表示該用戶應交水費多少元；
（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；
月份 用水量（噸） 交水費總金額（元）
4 7 70
5 5 40
根據上表數據，求規定用水量a的值．
（3）結合當地水資源狀況，談談如何開展水資源環境保護？如何節約用水？
【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3噸；（3）見解析;
【詳解】（1）3月份應交水費10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；
（2）由題意得：5a（7-a）+10=70，
解得：a=3或a=4
5a（5-a）+10=40
解得：a=3或a=2，
綜上，規定用水量為3噸；
（3）既然我們的水資源比較缺乏，就要提高節水技術、防治水污染、植樹造林．
題型九：一元二次方程之素材問題
【例題9】根據以下素材，探索完成任務．
如何計算工廠生產線數量？
素材1 科學研究表明接種疫苗是戰勝新冠病毒的最有效途徑．當前居民接種疫苗迎來高峰期，導致相應醫療物資匱乏．某工廠及時引進了一條一次性注射器生產線生產一次性注射器．開工第一天生產400萬個．
素材2 經調查發現，1條生產線的最大產量與生產線數量有關，若每增加1條生產線，每條生產線的最大產量將減少20萬個/天．
問題解決
任務1 確定最大產量 為了新生產線的適應，前三天1條生產線的產量按日平均增長率50%增加至最大產量，求1條生產線的最大產量
任務2 擬定初方案 現該廠要保證每天生產一次性注射器4100萬個，在增加一定數量生產線的同時又要節省投入（生產線越多，投入越大），求增加的生產線數量．
任務3 優化方案 該廠想使每天生產一次性注射器達到10900萬個，若能，應該增加幾條生產線？若不能，請說明理由．
【答案】任務1：900萬個；任務2：增加的生產線數量為4條；任務3：每天生產一次性注射器不能達到10900萬個，理由見解析；
【詳解】解：任務1：（萬個），
答：1條生產線的最大產量為900萬個；
任務2：設增加的生產線數量為x條，根據題意得：
，
解得：，，
∵生產線越多，投入越大，
∴在增加一定數量生產線的同時又要節省投入，舍去，
答：增加的生產線數量為4條；
任務3：設增加的生產線數量為y條，根據題意得：
，
整理得：，
∵，
∴此方程無實數根，
∴每天生產一次性注射器不能達到10900萬個．
【變式訓練9-1】如何利用閑置紙板箱制作儲物盒
如何利用閑置紙板箱制作儲物盒
素材 如圖，圖中是小琴家需要設置儲物盒的區域，該區域可以近似看成一個長方體，底面尺寸如圖所示．
素材 如圖是利用閑置紙板箱拆解出的①，②兩種均為長方形紙板．
長方形紙板① 長方形紙板②

小琴分別將長方形紙板①和②以不同的方式制作儲物盒．
長方形紙板①的制作方式 長方形紙板②制作方式
裁去角上個相同的小正方形，折成一個無蓋長方體儲物盒． 將紙片四個角裁去個相同的小長方形，折成一個有蓋的長方體儲物盒．
目標 熟悉材料 熟悉按照長方形紙板①的制作方式制成的儲物盒能夠無縫障的放入儲物區域，則長方形紙板寬為______．
目標 利用目標計算所得的數據，進行進一步探究．
初步應用 （1）按照長方形紙板①的制作方式，為了更方便地放入或取出儲物盒，盒子四周需要留出一定的空間，當儲物盒的底面積是，求儲物盒的容積．
儲物收納 （2）按照長方形紙板②的制作方式制作儲物盒，若和兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為．如圖，是家里一個玩具機械狗的實物圖和尺寸大小，請通過計算判斷玩具機械狗能否完全放入該儲物盒．
【答案】目標1：，目標2：（1）儲物盒的容積為立方厘米（2）玩具機械狗不能完全放入該儲物
【詳解】（1）解：儲物區域的長為，由于收納盒可以完全放入儲物區域，
則圖中的四角裁去小正方形的邊長為，
則收納盒的寬小正方形的邊長，
由圖知，設上下寬為，左右寬為，
兩個長方形之間的部分為，
，，
則，
所以收納盒的高為，體積為，
答：儲物盒的容積為立方厘米；

設盒子的另一底邊長為，
盒子的底面積為，
，
，
收納盒的高為，
此時，之間還有一段空隙，在此種情況下
，
玩具機械狗不能完全放入該儲物；
當，之間兩邊恰好重合且無重疊部分，收納盒的高為
玩具機械狗也不能完全放入該儲物；
綜上所述：玩具機械狗不能完全放入該儲物．
答：玩具機械狗不能完全放入該儲物．

【變式訓練9-2】根據以下素材，探索完成任務．
如何改造硬紙板制作無蓋紙盒？
背景 學校手工社團小組想把一張長，寬的矩形硬紙板，制作成一個高，容積的無蓋長方體紙盒，且紙盒的長不小于（紙板的厚度忽略不計）．
方案 初始方案：將矩形硬紙板豎著裁剪（陰影部分），剩余紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形．
改進方案：將矩形硬紙板豎著裁剪，橫著裁剪（陰影部分），剩余紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形．
問題解決
任務1 判斷方案 請通過計算判斷初始方案是否可行？
任務2 改進方案 改進方案中，當時，求x的值．
任務3 探究方案 當裁剪后能制作成符合要求的紙盒時，求出y與x的等量關系，并寫出y的取值范圍．
【答案】任務1：初始方案是不可行；任務2：x的值為4；任務3：；
【詳解】解：任務1：根據題意得：，
解得：，
此時長方體盒子的長為：，
∵，
∴初始方案是不可行；
任務2：當時，根據題意得：，
解得：或，
當時，盒子的長為，符合題意；
當時，盒子的長為，不符合題意；
∴x的值為4；
任務3：根據題意得：，
整理得：，
∵紙盒的長不小于，
∴，
解得：，
∴，
把代入得：，
把代入得：，
∴．
【變式訓練9-3】根據以下素材，完成探索任務．
探索果園土地規劃和銷售利潤問題
素材1 某農戶承包了一塊長方形果園，圖1是果園的平面圖，其中米，米．準備在它的四周鋪設道路，上下兩條橫向道路的寬度都為米，左右兩條縱向道路的寬度都為x米，中間部分種植水果．已知道路的路面造價是50元/ ；出于貨車通行等因素的考慮，道路寬度不超過12米，且不小于5米．
素材2 該農戶發現某一種草莓銷售前景比較不錯，經市場調查，草莓培育一年可產果，已知每平方米的草莓銷售平均利潤為100元；果園每年的承包費為25萬元，期間需一次性投入33萬元購進新苗，每年還需25萬元的養護、施肥、運輸等其余費用．
問題解決
任務1 解決果園中路面寬度的設計對種植面積的影響． （1）請直接寫出縱向道路寬度x的取值范圍．（2）若中間種植的面積是，則路面設置的寬度是否符合要求．
任務2 解決果園種植的預期利潤問題．（凈利潤＝草莓銷售的總利潤一路面造價費用一果園承包費用一新苗購置費用一其余費用， （3）經過l年后，農戶是否可以達到預期凈利潤400萬元？請說明理由．
【答案】（1）；（2）不符合，詳見解析；（3）可以達到預期，詳見解析
【詳解】（1）因為 ，且
所以
（2）當 時， ，
解得：，都不滿足 ，
所以不符合
（3）
化簡得：
解得：（舍去）
所以可以達到預期．
【變式訓練9-4】根據以下素材，探索完成任務．
如何設計實體店背景下的網上銷售價格方案？
素材1 某公司在網上和實體店同時銷售一種自主研發的小商品，成本價為40元/件．
素材2 該商品的網上銷售價定為60元/件，平均每天銷售量是200件，在實體店的銷售價定為80元/件，平均每天銷售量是100件．按公司規定，實體店的銷售價保持不變，網上銷售價可按實際情況進行適當調整，需確保網上銷售價始終高于成本價．
素材3 據調查，網上銷售價每降低1元，網上銷售每天平均多售出20件，實體店的銷售受網上影響，平均每天銷售量減少2件．
問題解決
任務1 計算所獲利潤 當該商品網上銷售價為50 元/件時，求公司在網上銷售該商品每天的毛利潤與實體店銷售該商品每天的毛利潤各是多少元？
任務2 擬定價格方案 公司要求每天的總毛利潤（總毛利潤＝網上毛利潤＋實體店毛利潤）達到8160元，求每件商品的網上銷售價是多少元？
任務3 探究最大利潤 該商品的網上銷售價每件______元時，該公司每天銷售這種小商品的總毛利潤最大．
【答案】任務1：網上毛利潤為元，實體店毛利潤為元；任務2：該商品的網上銷售價是每件58元或56元；任務3：57
【詳解】（1）網上毛利潤為：元
實體店毛利潤為：元
（2）設網上銷售價下降x元/件，則
網上毛利潤為：
實體店毛利潤為：
總毛利潤為：
根據題意得，
解得，；
∴或56
答：該商品的網上銷售價是每件58元或56元
（3）
∵
∴
∴網上銷售價每件下降3元，每天銷售這種小商品的總毛利潤最大
此時銷售價為：（元）
故答案為：57
題型十：一元二次方程之函數問題
【例題10】5某店一型號臺燈成本價為30元，若40元出售，平均每月能售出600個，經過一周試銷售發現，售價在40元至60元范圍內，平均每天售出的臺燈數量（個）與售價上漲（元）之間存在如圖所示的函數關系．
(1)求出與的函數表達式；
(2)為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少？
(3)正式銷售后每個臺燈的利潤率不得高于，該店每天能否獲得12250元的利潤？若能，求出臺燈的售價應定為多少；若不能，請說明理由．
【答案】(1)
(2)50元
(3)不能，理由見解析
【詳解】（1）解：由圖可知，平均每天售出的臺燈數量（個）與售價上漲（元）之間滿足的函數關系可設為，且過點和，
將點和代入可得，解得，
售價在40元至60元范圍內，
，
與的函數表達式為；
（2）解：由題意可得，即，則，解得或（超過，舍去），
元，
為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少元；
（3）解：不能，
理由如下：
由（2）可知，當該店每天獲得12250元的利潤時，，即，則，解得，
每個臺燈的利潤率不得高于成本價的，
，即，
，
不可能滿足題意．
【變式訓練10-1】網絡銷售已經成為一種熱門的銷售方式，某果園在網絡平臺上直播銷售獼猴桃．已知該獼猴桃的成本為5元/，銷售價格不高于14元/，且每售賣需向網絡平臺支付1元的相關費用．該果園經過一段時間的直播銷售發現，每日銷售量與銷售價格x（元/）之間滿足如圖所示的一次函數關系．
(1)求y與x的函數解析式．
(2)當獼猴桃的銷售價格定為多少元/時，銷售這種獼猴桃的日利潤恰好為900元？
【答案】(1)
(2)元/
【詳解】（1）解：設與的函數解析式為，
將代入得:
，解得：，
∴與的函數解析式為；
（2）根據題意得：，
整理得：，
解得：，
又∵銷售價格不高于元/，
∴．
答：當銷售單價定為元/時，銷售這種獼猴桃的日利潤恰好為元．
【變式訓練10-2】某工廠購買的原材料的單價從前年開始進行了調整．如圖，、分別表示該工廠前年和今年采購原材料的總價y（萬元）與數量x（噸）之間的關系，請根據函數圖象提供的信息回答下列問題：

(1)該廠前年采購原材料的單價是每噸 　　萬元；
(2)該廠今年采購原材料的總價y關于數量x的函數解析式是 　　；
(3)如果該原材料的單價從前年開始，每年的增長率都相同，那么這個增長率是 　　．
【答案】(1)3(2)(3)
【詳解】（1）解：由圖可知，該廠前年采購原材料的單價是每噸（萬元），
故答案為：3；
（2）解：設該廠今年采購原材料的價格y關于數量x的函數解析式是，
∵點在該函數圖象上，
∴，
解得，
即該廠今年采購原材料的價格y關于數量x的函數解析式是，
故答案為：；
（3）解：設每年的增長率是a，
根據題意得：，
解得，（舍去），
∴該原材料的單價從前年開始，每年的增長率是，
故答案為：．
【變式訓練10-2】某超市以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到實惠，現決定降價銷售，已知這種干果銷售量（千克）與每千克降價（元）之間滿足一次函數關系，其圖像如圖所示．
(1)求與之間的函數表達式；
(2)若超市要想獲利2090元，且讓顧客獲得更大實惠，這種干果每千克應降價多少元？
【答案】(1)
(2)9元
【詳解】（1）解：設與之間的函數關系式為：，
把和代入得，，
解得：，
∴設與之間的函數關系式為：．
（2）解：根據題意得：，
整理得：，
解得：，，
為了讓顧客獲得更大實惠，所以，
故這種干果每千克應降價9元．
【變式訓練10-3】某連鎖超市以每支3元的價格購進某品牌牙膏，規定牙膏銷售單價不低于進價又不高于5.5元，經市場調研發現，牙膏的日均銷售鹽（萬支）與銷售單價（元）之間存在著如圖所示關系．
(1)求牙膏的日均銷售量（萬支）關于銷售單價（元）的函數表達式（寫出的取值范圍）；
(2)該超市日均銷售利潤能否達到13萬元？請說明理由．
【答案】(1)
(2)達不到，理由見詳解．
【詳解】（1）解：設牙膏的日均銷售量y(萬支)關于銷售單價（元）的函數表達式為，
將，代入，
得∶
解得∶，
∴牙膏的日均銷售量y(萬支)關于銷售單價（元）的函數表達式為：
．
（2）該超市日均銷售利潤不可能達到13萬元，理由如下：
假設該超市日均銷售利潤能達到13萬元，
根據題意得：，
整理得：，
∵
∴原方程沒有實數根，
∴假設不成立，即該超市日均銷售利潤不可能達到13萬元．
【變式訓練10-4】于年舉辦的杭州亞運會的吉祥物一經開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件元的價格出售．從月份起，商店決定采用降價促銷的方式回饋顧客，試銷了一段時間后，發現該款吉祥物的月銷售量（件）與每件售價（元）之間滿足一次函數關系，且部分數據如表所示．

元
件
(1)求y關于x的函數解析式；
(2)若商店希望每月銷售這款吉祥物所獲得的利潤是8400元．則售價應定為多少元？
【答案】(1)
(2)商店希望每月銷售這款吉祥物所獲得的利潤是8400元，則售價應定為50元
【詳解】（1）解：設y關于x的函數解析式為，把，；，代入可得，
解得，
即y關于x的函數解析式為；
（2）依題意得，，
解得，（不合題意，舍去）
答：商店希望每月銷售這款吉祥物所獲得的利潤是元，則售價應定為元．
【變式訓練10-5】某零食商店以20元/千克的價格購進一種餅干，計劃以30元/千克的價格銷售，遇國慶促銷，現決定降價銷售，已知這種餅干銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（）之間滿足的函數關系圖像如下：

(1)求與之間的函數關系式；
(2)若這種餅干定價為元/千克時，則商店獲利 ；（直接填空）
(3)若商店要想獲利元，且讓顧客獲得更大實惠，這種餅干的銷售價應定為每千克多少元？
【答案】(1)；
(2)435元；
(3)餅干的銷售價應定為每千克24元．
【詳解】（1）解：設銷售量與每千克降價的函數關系式為：
將和代入得
解得
∴銷售量與每千克降價的函數關系式．
（2）解：當時，，
所以，若這種餅干定價為元/千克時，則商店獲利（元）
故答案為：元；
（3）解：設商店獲利元需降價元，則單件利潤為元，銷售量為千克．
由題意得：
解得，（舍去）．
∴（元）
∴餅干的銷售價應定為每千克元．
題型梳理
知識點1
一元二次方程平均增長率問題
其中為增長前的基數，為增長后的基數，為平均增長率。
知識點2
一元二次方程銷售問題
利潤=售價－成本
利潤率＝利潤÷成本×100%
總利潤=總售價-總成本=一件的利潤×銷售量
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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