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第10講　圓周運動
知識內容 考試要求 說明
圓周運動、向心加速度、向心力 d 1.不要求分析變速圓周運動的加速度問題． 2.不要求掌握向心加速度公式的推導方法． 3.不要求用“等效圓”處理一般曲線運動． 4.變速圓周運動和曲線運動的切向分力和切向加速度不作定量計算要求． 5.不要求求解提供向心力的各力不在同一直線上的圓周運動問題． 6.不要求對離心運動進行定量計算． 7.不要求分析與計算兩個物體聯結在一起(包括不接觸)做圓周運動時的問題.
生活中的圓周運動 c
一、圓周運動、向心加速度、向心力
1．勻速圓周運動
(1)定義：物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等．
(2)性質：加速度大小不變，方向總是指向圓心的變加速曲線運動．
2．描述勻速圓周運動的物理量
(1)線速度：描述物體圓周運動快慢的物理量．
v＝＝.單位：m/s.
(2)角速度：描述物體繞圓心轉動快慢的物理量．
ω＝＝.單位：rad/s.
(3)周期和頻率：描述物體繞圓心轉動快慢的物理量．
T＝.
(4)轉速：物體單位時間內所轉過的圈數．符號為n，單位：r/s(或r/min)．
(5)相互關系：v＝ωr＝r＝2πrf＝2πnr.
3．向心加速度：描述速度方向變化快慢的物理量．
an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
二、勻速圓周運動的向心力
1．作用效果
向心力產生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始終沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力．
4．來源
向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的合力提供，還可以由一個力的分力提供．
三、生活中的圓周運動
1．火車轉彎
特點：重力與支持力的合力提供向心力．(火車應按設計速度轉彎，否則將擠壓內軌或外軌)
2．豎直面內的圓周運動
(1)汽車過弧形橋
特點：重力和橋面支持力的合力提供向心力．
(2)水流星、繩模型、內軌道
最高點：當v≥時，能在豎直平面內做圓周運動；當v<時，不能到達最高點．
3．離心運動定義
做勻速圓周運動的物體，在所受的合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需的向心力的情況下，就會做逐漸遠離圓心的運動，即離心運動．
4．受力特點
當F合＝mω2r時，物體做勻速圓周運動；
當F合＝0時，物體沿切線方向飛出；
當F合當F合＞mω2r時，物體做近心運動．
命題點一　描述圓周運動的物理量間的關系
1．對公式v＝ωr的理解
當r一定時，v與ω成正比；
當ω一定時，v與r成正比；
當v一定時，ω與r成反比．
2．對a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定時，a與r成反比；在ω一定時，a與r成正比．
3．常見的傳動方式及特點
(1)皮帶傳動：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦傳動和齒輪傳動：如圖甲、乙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點無打滑現象時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同軸轉動：如圖甲、乙所示，繞同一轉軸轉動的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比．
（2024 齊齊哈爾一模）機動車檢測站進行車輛尾氣檢測的原理如下：車的主動輪壓在兩個相同粗細的有固定轉動軸的滾筒上，可使車輪在原地轉動，然后把檢測傳感器放入尾氣出口，操作員將車輪加速一段時間，在與傳感器相連的電腦上顯示出一系列相關參數，現有如下簡化圖：車內輪A的半徑為rA，車外輪B的半徑為rB，滾筒C的半徑為rC，車輪與滾筒間不打滑，當車輪以恒定速度運行時，下列說法正確的是（　　）
A．A、B輪的角速度大小之比為rA：rB
B．A、B輪邊緣的線速度大小之比為rA：rB
C．B、C的角速度之比為rB：rC
D．B、C輪邊緣的向心加速度大小之比為rB：rC
【解答】解：A、A、B為同軸轉動，角速度大小相等，A錯誤；
B、根據v＝ωr可知，A、B輪邊緣的線速度大小之比為vA：vB＝rA：rB，B正確；
C、B、C的線速度大小相同，根據v＝ωr可知，B、C的角速度之比為ωB：ωC＝rC：rB，C錯誤；
D、根據可得B、C輪邊緣的向心加速度大小之比為aB：aC＝rC：rB，D錯誤。
故選：B。
（2024 重慶模擬）小明同學站在原地，將圓形雨傘繞豎直傘柄以角速度ω勻速轉動，使附在雨傘表面的雨滴均沿雨傘邊緣的切線方向水平飛出，最終落至地面成一圓形區域，已知雨傘邊緣距地面的高度為h，到傘柄的垂直距離為R。忽略空氣阻力，以下關于圓形區域半徑的表達式正確的是（　　）
A． B． C． D．R
【解答】解：由題意可知，傘邊緣的雨滴做圓周運動的角速度為ω，半徑為R，所以雨滴的線速度為
v＝ωR
雨滴脫離雨傘后沿傘邊緣的切線方向做平拋運動，豎直方向的高度為h，設落地時間為t，則有
因為在水平方向做勻速直線運動，設水平方向的位移為x，則有
x＝vt
雨滴脫離雨傘后，落點形成的圓形區域下圖虛線所示：
設落點形成的圓形區域半徑為r，根據幾何知識有
r
代入數據可得：r＝R，故BCD錯誤，A正確。
故選：A。
（2023 綿陽模擬）如圖，帶車牌自動識別系統的直桿道閘，離地面高為1m的細直桿可繞O在豎直面內勻速轉動。汽車從自動識別線ab處到達直桿處的時間為2.3s，自動識別系統的反應時間為0.3s；汽車可看成高1.6m的長方體，其左側面底邊在aa′直線上，且O到汽車左側面的距離為0.6m，要使汽車安全通過道閘，直桿轉動的角速度至少為（　　）
A．rad/s B．rad/s C．rad/s D．rad/s
【解答】解：設汽車恰好能通過道閘時直桿轉過的角度為θ，
由幾何知識得：tanθ1，
解得：θ，
直桿轉動的時間：t＝t汽車﹣t反應時間＝（2.3﹣0.3）s＝2s
直桿轉動的角速度至少為：ωrad/srad/s，故ABD錯誤，C正確。
故選：C。
命題點二　水平面內的圓周運動
解決圓周運動問題的主要步驟：
1．審清題意，確定研究對象，明確物體做圓周運動的平面是至關重要的一環；
2．分析物體的運動情況，軌道平面、圓心位置、半徑大小以及物體的線速度是否變化；
3．分析物體的受力情況，畫出受力分析圖，確定向心力的來源；
4．根據牛頓運動定律及向心力公式列方程．
（2024春 永川區校級期中）如圖所示，內壁光滑半徑為r的豎直圓桶，繞中心軸做勻速圓周運動，一物塊用細繩系著，繩的另一端系于圓桶上表面圓心，繩與豎直方向的夾角為θ，物塊貼著圓桶內表面隨圓桶一起轉動，重力加速度取g，則（　　）
A．桶對物塊的彈力不可能為零
B．轉動的角速度的最小值為
C．隨著轉動的角速度增大，繩的張力保持不變
D．隨著轉動的角速度增大，繩的張力一定增大
【解答】解：AB、物塊在水平面內做勻速圓周運動，由于桶的內壁光滑，繩的拉力沿豎直向上的分力與重力平衡，若繩的拉力沿水平方向的分力恰好提供向心力，則桶對物塊的彈力恰好為零，由牛頓第二定律有mgtanθ＝mωmin2r，解得轉動的角速度的最小值為，故AB錯誤；
CD、由題圖知，若它們以更大的角速度一起轉動，則繩子與豎直方向的夾角θ不變，豎直方向滿足：Tcosθ＝mg，可知T不變，即繩子的張力保持不變，故C正確，D錯誤。
故選：C。
（多選）（2024 南明區校級一模）如圖所示，質量均為m的甲、乙、丙三個小物塊（均可看作質點）水平轉盤一起以角速度ω繞OO′軸做勻速圓周運動，物塊甲疊放在物塊乙的上面，所有接觸面間的動摩擦因數均為μ。已知甲、乙到轉軸的距離為r1，丙到轉軸的距離為r2，且r2＞r1。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．甲受到的摩擦力一定為μmg
B．乙受到轉盤的摩擦力一定為2mω2r1
C．若角速度增大，丙先達到滑動的臨界點
D．若角速度增大，甲先達到滑動的臨界點
【解答】解：A、對甲進行受力分析，水平方向上，摩擦力提供向心力，則，由于不是滑動摩擦力，不能用μmg來判斷摩擦力的大小，故A錯誤；
B、對甲和乙整體分析，水平方向上，靜摩擦力提供向心力，則，故B正確；
CD、因為三個物塊轉動的角速度一樣，且動摩擦因數也一樣，但物塊丙做圓周運動的半徑更大，所以若角速度增大的話，丙先達到滑動的臨界點，故C正確，D錯誤。
故選：BC。
（2023春 沙河口區校級期中）如圖所示，長為L的繩子下端連著一質量為m的小球，上端懸于天花板上。當把繩子拉直時，繩子與豎直線的夾角為60°，此時小球靜止于光滑的水平桌面上，重力加速度為g。則（　　）
A．當小球以角速度做圓錐擺運動時，繩子的張力大小為mg
B．當小球以角速度做圓錐擺運動時，桌面受到的壓力大小0
C．當小球以角速度做圓錐擺運動時，繩子的張力大小為5mg
D．當小球以角速度做圓錐擺運動時，桌面受到的壓力大小為0
【解答】解：AB、對小球受力分析，作出力圖如圖1。
當小球做圓錐擺運動時，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律得
mg＝N1+T1cos60°
依題
解得：，則由牛頓第三定律知桌面受到的壓力大小為mg，故AB錯誤；
CD、設小球對桌面恰好無壓力時角速度為ω0，可解得此時
由于，故小球離開桌面做勻速圓周運動，則N＝0，此時小球的受力如圖2：
設繩子與豎直方向的夾角為θ，則有mgtanθ＝mω2 Lsinθmg＝T2cosθ
聯立解得T2＝5mg，故C錯誤，D正確。
故選：D。
命題點三　豎直面內的圓周運動問題
繩、桿模型涉及的臨界問題
繩模型 桿模型
常見類型 均是沒有支撐的小球 均是有支撐的小球
過最高點的臨界條件 由mg＝m得v臨＝ 由小球恰能做圓周運動得v臨＝0
討論分析 (1)能過最高點時，v≥，FN＋mg＝m，繩、圓軌道對球產生彈力FN(FN≥0) (2)不能過最高點時，v<，在到達最高點前小球已經脫離了圓軌道 (1)當v＝0時，FN＝mg，FN為支持力，沿半徑背離圓心 (2)當0時，FN＋mg＝m，FN指向圓心并隨v的增大而增大
模型1　輕繩模型
（2024 西城區一模）如圖1所示，長為R且不可伸長的輕繩一端固定在O點，另一端系一小球，使小球在豎直面內做圓周運動。由于阻力的影響，小球每次通過最高點時速度大小不同。測量小球經過最高點時速度的大小v、繩子拉力的大小F，作出F與v2的關系圖線如圖2所示。下列說法中正確的是（　　）
A．根據圖線可以得出小球的質量
B．根據圖線可以得出重力加速度
C．繩長不變，用質量更小的球做實驗，得到的圖線斜率更大
D．用更長的繩做實驗，得到的圖線與橫軸交點的位置不變
【解答】解：AB、根據牛頓第二定律和向心力的計算公式，得到圖像的表達式為：F+mg，變形為：F
根據F﹣v2圖像的斜率可得：
根據F﹣v2圖像的橫軸截距可得：0
解得：m，g，故A正確，B錯誤；
C、根據斜率k，可知R不變，m減小，斜率減小，故C錯誤；
D、橫軸截距b＝gR，可知R變大，g不變，所以b會變大，可得圖線與橫軸交點的位置向右移動，故D錯誤。
故選：A。
（2023 越秀區校級模擬）滾筒洗衣機靜止于水平地面上，衣物隨著滾筒一起在豎直平面內做高速勻速圓周運動，以達到脫水的效果。滾筒截面如圖所示，A點為最高點，B點為最低點，CD為水平方向的直徑，下列說法正確的是（　　）
A．衣物運動到最高點A點時處于超重狀態
B．衣物運動到B點時脫水效果更好
C．衣物運動到C點或D點時洗衣機對地面的摩擦力最小
D．衣物從B點到A點的過程中洗衣機對地面的壓力逐漸變大
【解答】解：A、衣物運動到最高點A點時，加速度方向豎直向下，處于失重狀態，故A錯誤；
B、衣物及衣物上的水運動到最低點B點時，加速度方向豎直向上，處于超重狀態，衣物上的水根據牛頓第二定律，在最低點有，在B點受到衣物的附著力需最大，而水的附著力相同，衣物運動到最低點B點時脫水效果，故B正確；
C、在衣物運動中，衣物運動到C點或D點時，洗衣機對衣物的水平作用力為衣物的向心力，可知此時衣物對洗衣機在水平方向作用力最大，而洗衣機是靜止的，可知地面對其的摩擦力最大，根據牛頓第三定律可知，衣物運動到C點或D點時洗衣機對地面的摩擦力最大，故C錯誤；
D、由于衣物在運動中，加速度方向總是指向洗衣機滾筒的圓心，衣物從B點到A點的過程中，加速度方向由向上逐漸變成向下，將衣物與洗衣機視為整體，由牛頓第二定律可知，整體由超重變失重，可知，洗衣機對地面的壓力逐漸變小，故D錯誤。
故選：B。
（2023 嘉定區二模）2022年我國航天員在空間站太空艙開設“天宮課堂”，課堂演示了“水油分離”實驗。如圖所示，用細繩系住裝有水和油的瓶子，手持細繩的另一端，使瓶子在豎直平面內做圓周運動，則（　　）
A．只要瓶子有速度，就能通過圓周的最高點水油分離后，水在外側
B．只要瓶子有速度，就能通過圓周的最高點水油分離后，油在外側
C．瓶子的速度需大于某一值才能通過圓周的最高點水油分離后，水在外側
D．瓶子的速度需大于某一值才能通過圓周的最高點水油分離后，油在外側
【解答】解：瓶子隨空間站做勻速圓周運動，處于完全失重狀態，由繩子拉力提供向心力，只要瓶子有速度，就能通過圓周的最高點。
水的密度比油大，單位體積水的質量大。瓶子中的油和水做勻速圓周運動的角速度相同，根據F＝mrω2，水做圓周運動所需的向心力大，當合力F不足以提供向心力時，水先做離心運動，所以瓶子通過圓周的最高點水油分離后，水在外側，油在內側，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
模型2　輕桿模型
（2024 西城區校級模擬）如圖甲所示，輕桿一端固定在轉軸O點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，小球在最高點受到桿的彈力大小為F，速度大小為v，其F﹣v2圖像如圖乙所示，不計空氣阻力，則（　　）
A．v2＝b時，桿對小球的彈力方向向上
B．當地的重力加速度大小為
C．小球的質量為
D．v2＝2a時，小球受到的彈力與重力大小不相等
【解答】解：A、當v2＝a時，桿子的彈力為零，v2＝b時，桿子出現拉力，桿對小球的彈力方向向下，故A錯誤；
B、當v2＝a時，桿子的彈力為零，有：mg＝m，解得：g，故B錯誤；
C、當小球的速度為零時，F＝c，則有：F＝mg＝c，解得小球的質量為m，故C正確；
D、當v2＝2a時，根據牛頓第二定律得，F+mg＝m，又由于g，解得：F＝mg，故D錯誤。
故選：C。
（2024 二模擬）武漢“東湖之眼”摩天輪，面朝東湖、背靠磨山，是武漢東湖風景區地標之一。摩天輪在豎直放置的圓軌道內圍繞其圓心O點做半徑為R的勻速圓周運動，角速度為ω，在勻速轉動的過程中轎廂地板總保持水平狀態。如圖所示，放置在地板上的物體，其與地板之間的動摩擦因數為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，為了保證物體在勻速轉動的過程中始終不相對于地板滑動，則角速度ω的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：物塊做勻速圓周運動的過程中，對其受力分析如圖1所示：
當角速度最大時，靜摩擦力達到最大，設地板對物塊的作用力為F，F與豎直方向的夾角為θ，且tanθ＝μ；物塊在勻速圓周運動過程中，向心力的大小總保持不變，畫出矢量三角形如圖2所示：
圖中虛線圓周的半徑大小為向心力的大小，F和mg的矢量和等于向心力，當F與mg的夾角為θ時，此時向心力達到最大；
最大的向心力
根據向心力公式
最大的角速度
綜上分析，故A正確；BCD錯誤。
故選：A。
（2024 烏魯木齊模擬）如圖所示為一電動打夯機的原理圖，電動機的轉軸上固定一輕桿，輕桿的另一端固定一鐵球。工作時電動機帶動桿上的鐵球在豎直平面內轉動。若調整轉速使打夯機恰好不離開地面，且勻速轉動一段時間后，切斷電力，鐵球繼續做圓周運動。整個過程中打夯機的底座始終與地面相對靜止。已知打夯機（包括鐵球）的總質量為M0，重力加速度為g，鐵球可視為質點，不計一切阻力。
（1）求切斷電力前，打夯機勻速轉動時對地面產生的最大壓力Fmax；
（2）若切斷電力后，打夯機對地面產生的最大壓力為3M0g，求鐵球的最小質量m。
【解答】解：（1）由題意可知，當鐵球轉到最高點時，根據牛頓第二定律有
機器恰好不離開地面，則有
F＝（M0﹣m）g
當鐵塊轉至最低點時，對地面的壓力最大，則有
Fmax＝（M﹣m）g+F′
聯立解得Fmax＝2M0g
（2）切斷電力后，打夯機對地面產生的最大壓力為3M0g，此時鐵球對桿的拉力為3M0g﹣（M0﹣m）g，則有
即
要求最小質量m，
聯立解得m＝2M0
答：（1）切斷電力前，打夯機勻速轉動時對地面產生的最大壓力為2M0g；
（2）鐵球的最小質量為2M0。
模型3　凹形橋與拱形橋模型
FN－mg＝ 概述 如圖所示為凹形橋模型．當汽車通過凹形橋的最低點時，向心力Fn＝FN－mg＝m
規律 橋對車的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽車處于超重狀態
mg－FN＝ 概述 如圖所示為拱形橋模型．當汽車通過拱形橋的最高點時，向心力Fn＝mg－FN＝m
規律 橋對車的支持力FN＝mg－m＜mg，汽車處于失重狀態．若v＝，則FN＝0，汽車將脫離橋面做平拋運動
（2021 金山區二模）如圖，同一條過山車軌道上，一輛小車與多輛相同小車連接在一起分別以初速度v0進入圓軌道，若滑行到重心最高時速度分別為v1和v2。不計軌道和空氣阻力，則v1、v2的大小關系是（　　）
A．v1＜v2
B．v1＞v2
C．v1＝v2
D．與小車數量有關，無法判斷
【解答】解：小車在運動過程中，只有重力做功，機械能守恒，動能轉化為重力勢能；但一輛小車其重心位置在圓的最高點，多輛小車其重心位置比圓的最高點低，根據mgh可得，h小，最高點的速度大，所以v1＜v2，故A正確，BCD錯誤；
故選：A。
（2023春 沙河口區校級期中）為了美觀和經濟，許多橋面建成拱形，為避免車速過快，造成安全隱患，拱橋上一般都會有限速標志，若汽車對拱橋的壓力是其自身重力的0.9倍時的速度為該橋的限速標志對應的速度，當拱橋圓弧對應的曲率半徑為100m時，g＝10m/s2，橋上的限速標志所示速度為（　　）
A．36km/h B．60km/h C．84km/h D．108km/h
【解答】解：汽車運動可看作圓周運動，在拱橋最高點，根據牛頓第二定律得
解得v＝10m/s＝36km/h
故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2023春 朝陽區校級期中）如圖所示，雜技演員騎著摩托車在豎直軌道平面內做圓周運動。已知圓軌道的半徑為R，重力加速度大小為g，人在軌道最高點的速度大小為，在軌道最低點的速度大小為，則摩托車在軌道最高點和最低點時對軌道的彈力大小之比為（　　）
A．1：3 B．1：6 C．1：8 D．2：7
【解答】解：人和摩托車過最高點時，向心力的方向為豎直向下，人和摩托車受向下的重力和向下的彈力作用，根據牛頓第二定律可得：F+mg＝m，解得F＝mmg＝mmg＝mg，方向豎直向下；
人和摩托車過最低點時，向心力的方向為豎直向上，人和摩托車受向下的重力和向上的彈力作用，根據牛頓第二定律可得：F′﹣mg＝m，解得F′＝mmg＝mmg＝8mg，方向豎直向上；
故摩托車在軌道最高點和最低點時對軌道的彈力大小之比F：F′＝1：8，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2024春 蘇州期中）如圖甲是“向心力大小演示儀”，圖乙是其傳動部分側視圖，某次實驗時，小球擺放位置如圖甲所示，皮帶安裝在兩側中間塔輪上，此時左右兩側塔輪的半徑之比為2：1，則（　　）
A．圖乙中A、C兩點角速度之比為1：2
B．左右兩球線速度大小之比為2：1
C．左右兩球向心力加速度大小之比為4：1
D．若左右兩球質量之比為2：1，兩球所需要的向心力大小之比為1：1
【解答】解：A、皮帶傳動時輪邊緣上各點的線速度相等，左右兩側塔輪的半徑之比為2：1，根據
v＝ωr
角速度之比為
ω左：ω右＝1：2
而C點位于右側塔輪上，所以圖乙中A、C兩點角速度之比為1：2，故A正確；
B、左右兩球圓周運動半徑相等，根據
v＝ωr
線速度比值等于角速度比值，所以左右兩球線速度大小之比為1：2，故B錯誤；
C、根據
a＝ω2r
左右兩球向心力加速度大小之比為1：4，故C錯誤；
D、若左右兩球質量之比為2：1，根據
F＝mω2r
兩球所需要的向心力大小之比為1：2，故D錯誤；
故選：A。
（2024春 張家港市期中）如圖為自行車氣嘴燈及其內部結構示意圖，彈簧一端固定在A端，另一端拴接重物，當車輪高速旋轉時，觸點M、N接觸，從而接通電路，LED燈就會發光。下列說法正確的是（　　）
A．氣嘴燈的A端靠近輪毅
B．自行車勻速行駛時，若LED燈轉到最高點時能發光，則在最低點時也一定能發光
C．自行車勻速行駛時，重物做勻速圓周運動
D．增大彈簧勁度系數可使LED燈在較低轉速下也能發光
【解答】解：A、當車輪高速旋轉時，要使觸點M、N接觸，重物要遠離A端做離心運動，因此氣嘴燈的A端靠近圓心，B端靠近輪轂，故A錯誤；
B、由氣嘴燈的工作原理可知，彈簧拉伸越長，觸點M、N越容易接觸，因此自行車勻速行駛時，由于重物重力的作用，若LED燈轉到最高點時能發光則在最低點時也一定能發光，故B正確；
C、自行車勻速行駛時，在最高點時則有F彈1+mg＝m，在最低點時則有F彈2﹣mg＝m，由以上兩式可知，氣嘴燈在不同位置時，彈簧的形變量不同，則有重物的位置不同，即重物轉動的半徑不同，由于自行車勻速行駛，則角速度不變，由v＝ωr可知，則重物的線速度隨轉動的位置而變化，不是勻速圓周運動，故C錯誤；
D.由以上解析可知，若增大彈簧勁度系數，只有在較高轉速下，重物做較大離心運動，可有使觸點M、N接觸，因此增大彈簧勁度系數LED燈在較低轉速下，重物會做較小的離心運動，觸點M、N不會接觸，LED燈不能發光，故D錯誤。
故選：B。
（2024春 南京期中）在東北嚴寒的冬天，人們經常玩一項“潑水成冰”的游戲．圖甲所示是某人玩“潑水成冰”游戲的瞬間，其示意圖如圖乙所示，P為最高點，在最高點時杯口朝上．潑水過程中杯子的運動可看成圓周運動，人的手臂伸直，臂長約為0.6m．下列說法正確的是（　　）
A．潑水時杯子的旋轉方向為順時針方向
B．P位置飛出的小水珠初速度沿1方向
C．若要將水從P點潑出，杯子的速度不能小于
D．杯子內裝的水越多，水的慣性越大，因此越容易被甩出
【解答】解：AB．由圖中的虛線切線方向可知，潑水時杯子的旋轉方向為逆時針方向，則P位置飛出的小水珠初速度沿2方向，故AB錯誤；
CD．水從P點潑出時，設水的質量為m，當水的重力剛好提供其所需的向心力時，根據牛頓第二定律有
解得
可知水被甩出與水的質量無關，要將水從P點潑出，杯子的速度不能小于，故C正確，D錯誤。
故選：C。
（2024春 南京期中）如圖，某公路急轉彎處是一圓弧，路面外高內低，當轎車行駛的速率為vc時，轎車恰好沒有向公路內、外兩側滑動的趨勢。則當汽車在該彎道處（　　）
A．質量更大的卡車經過時，與轎車相比，vc的值變小
B．路面結冰時，與未結冰時相比，vc的值變小
C．車速高于vc時，車輛就會向外側滑動
D．當車速高于vc時，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側滑動
【解答】解：A、路面應建成外高內低，此時重力和支持力的合力指向內側，可以提供汽車做圓周運動向心力，即mgtanθ＝m
解得vc
與質量無關，故A錯誤；
B、當路面結冰時與未結冰時相比，由于支持力和重力不變，則vc的值不變，故B錯誤；
CD、車速雖然高于vc，汽車有向外滑動的趨勢，此時汽車受到一個向內的靜摩擦力作用，它們共同提供向心力，只要靜摩擦力不超過最大靜摩擦力這個限度，車輛便不會向外側滑動，故C錯誤，D正確。
故選：D。
（2024 瓊山區校級模擬）一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替，如圖（a）所示，曲線上的A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一圓。在極限情況下，這個圓就叫做A點的曲率圓，其半徑ρ叫做A點的曲率半徑。現將一物體沿與水平面成α角的方向以速度v0拋出，如圖（b）所示，則在其軌跡最高點P處的曲率半徑是（　　）X
A． B．
C． D．
【解答】解：物體在其軌跡最高點P處只有水平速度，其水平速度大小為v0cosα，
在最高點，把物體的運動看成圓周運動的一部分，物體的重力作為向心力，
由向心力的公式得：mg＝m，
所以在其軌跡最高點P處的曲率半徑是：ρ，故C正確。
故選：C。
（2024 濟南模擬）如圖所示，MN為半徑為r的圓弧路線，NP為長度13.5r的直線路線，MN'為半徑為4r的圓弧路線，N'P'為長度10.5r的直線路線。賽車從M點以最大安全速度通過圓弧路段后立即以最大加速度沿直線加速至最大速度vm并保持vm勻速行駛。已知賽車勻速轉彎時徑向最大靜摩擦力和加速時的最大合外力均為車重的n倍，最大速度vm＝5，g為重力加速度，賽車從M點按照MNP路線到P點與按照MN'P'路線運動到P'點的時間差為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：賽車在半徑為r的圓弧勻速轉彎時，由牛頓第二定律有：，可得
賽車在圓弧運動的時間：，其中
代入數據可得：
賽車在NP段從v1加速到vm過程，由牛頓第二定律有：nmg＝ma，可得a＝ng，這一過程需要的時間：
代入數據可得：
賽車在NP段加速過程運動的位移：
代入數據可得：x＝12r
x＜13.5r，賽車到達最大速度后，勻速運動，勻速運動的時間：
代入數據可得：
賽車在半徑為4r的圓弧勻速轉彎時，由牛頓第二定律有：，可得
賽車在半徑為4r的圓弧運動的時間：，其中
代入數據可得：
賽車在N′P′段從v2加速到vm過程，加速度大小與在NP段加速度大小相等，這一過程需要的時間：
代入數據可得：
賽車在N′P′段加速過程運動的位移：
代入數據可得：x′＝10.5r，可知賽車到達P′點時，恰好到達最大速度vm
賽車從M點按照MNP路線到P點與按照MN'P'路線運動到P'點的時間差Δt＝t1′+t2′﹣（t1+t2+t3）
代入數據可得：，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2024 重慶模擬）在水平面內繞中心軸旋轉的圓盤上固定有甲、乙兩個木馬，各自到中心軸的距離之比為1：2，圓盤從開始運動到停止過程中的角速度ω隨時間t的變化關系如圖所示。則（　　）
A．在0～t0內任意時刻，乙的線速度大小是甲的4倍
B．在t0～2t0內，乙的向心加速度大小是甲的4倍
C．乙在t0～2t0內的旋轉角度是甲在2t0～4t0內的2倍
D．乙在2t0～4t0內的運動路程是甲在0～t0內的4倍
【解答】解：A、在0～t0內任意時刻，甲乙的角速度相等，根據v＝ωr，乙的線速度大小是甲的兩倍，故A錯誤；
B、在t0～2t0內，甲乙的角速度相等，根據a＝rω2知，乙的向心加速度大小是甲的兩倍，故B錯誤；
C、由θ＝ωt知，直線與x軸圍成面積表示加速度，可知它們圍成面積相等，所以角度相等，故C錯誤；
D、由s＝θr，
θ甲：θ乙＝2：1，r甲：r乙＝2：1
代入數據解得s甲：s乙＝4：1。
故D正確，ABC錯誤。
故選：D。
（2024 平谷區模擬）如圖所示，細線的下端系著一個小鋼球，用手拿著細線的上端，使小鋼球在水平面內做勻速圓周運動。當小球的角速度為ω1時，小球在較低的圓周1上做勻速圓周運動，此時細線對小球的拉力為T1，小球的向心力為F1，小球的線速度為v1；當小球的角速度為ω2時，小球在較高的圓周2上做勻速圓周運動，此時細線對小球的拉力為T2，小球的向心力為F2，小球的線速度為v2。則（　　）
A．ω1＞ω2 B．T1＞T2 C．F1＜F2 D．v1＝v2
【解答】解：C、小球在圓周上的受力如圖，設細線與水平方向之間的夾角為θ，繩子的長度為l，則小球做圓周運動的半徑r＝lcosθ。
小球在圓周1上運動時，向心力：
同理可得：
由于：θ1＞θ2
則：F1＜F2，故C正確；
A、小球在圓周1上運動時：
可得：
同理可得：
由于：θ1＞θ2
則：ω1＜ω2，故A錯誤；
B、根據豎直方向受力平衡得：T1sinθ1＝mg
得：T1
同理可得：T2
由于：θ1＞θ2
則：T1＜T2，故B錯誤；
D、根據牛頓第二定律：
得：v1
同理可得：
由于：θ1＞θ2
則：v1＜v2，故D錯誤。
故選：C。
（2024 西安校級模擬）2023年3月23日，山西省考古研究院發布消息，考古專家證實山西運城董家營西漢墓出土墨書題銘陶罐，從中可以窺見漢代河東地區豐富多樣的飲食生活。現有一半徑Rm的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合，如圖所示。轉臺靜止不轉動時，將一質量m＝0.3kg的物塊（視為質點）放入陶罐內，物塊恰能靜止于陶罐內壁的A點，且A點與陶罐球心O的連線與對稱軸OO′的夾角θ＝37°。取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。
（1）求物塊與陶罐內壁之間的動摩擦因數μ；
（2）若物塊位于與O點等高的陶罐上且與陶罐一起繞OO′軸轉動，求轉臺轉動的最小角速度ωmin。
【解答】解：（1）對物塊受力分析，由平衡條件有：mgsinθ＝μmgcosθ，解得：μ＝0.75；
（2）物塊與陶罐一起繞OO′軸轉動，物塊位于陶罐右端，設平臺轉動的角速度最小時，物塊所受摩擦力和彈力大小分別為f和FN，有：f＝mg
f＝μFN
聯立代入數據解得：。
答：（1）物塊與陶罐內壁之間的動摩擦因數為0.75；
（2）求轉臺轉動的最小角速度為。
（2024春 南京期中）用蛙式打夯機（如圖1）對路面進行打平、夯實，其結構可以簡化為如圖2。質量為m的鐵球通過輕桿與轉輪1相連，轉輪1與底座總質量為M，工作過程中，底座保持靜止。轉輪2在電動機作用下轉動，通過輕質皮帶使轉輪1一起轉動，轉輪1帶著鐵球繞軸做圓周運動，球的轉動半徑為L，轉輪1與轉輪2的半徑之比為1：2，重力加速度為g。則：
（1）當轉輪2以角速度ω勻速轉動時，求小球轉動的線速度大小v1；
（2）若小球轉動到最高點時底座恰好對地面無壓力，求此時小球的線速度大小v2；
（3）當小球以（2）中的線速度大小勻速轉動，求底座對地面的最大壓力。
【解答】解：（1）轉輪1、2皮帶傳動，輪緣各點線速度大小相等，根據v＝ωr，ω與r成反比，所以ω1＝2ω，小球與轉輪1同軸轉運，角速度相等，可得：v1＝2ωL
（2）底座對地無壓力可知桿中彈力豎直向上，且F＝Mg
由牛頓第三定律可知，桿對鐵球向下的彈力FN＝F＝Mg
對于鐵球有
解得
（3）當小球運動到最低點時底座對地面壓力最大，對小球由牛頓第二定律可得
解得T＝（2m+M）g
根據牛頓第三定律可知，輕桿對底座的作用力大小為（2m+M）g，方向向下，
對底座由平衡條件可知，地面對滾筒的支持力大小為2（m+M）g
所以最大壓力為Fm＝2（m+M）g
答：（1）當轉輪2以角速度ω勻速轉動時，小球轉動的線速度大小v1為2ωL；
（2）若小球轉動到最高點時底座恰好對地面無壓力，此時小球的線速度大小v2為；
（3）當小球以（2）中的線速度大小勻速轉動，底座對地面的最大壓力為2（m+M）g。
（2024 德州模擬）如圖所示，細桿MN傾斜固定，與水平方夾角為30o，輕繩OA＝OB＝l，一端分別固定在固定在桿MN上的A、B兩點，另一端系在質量為m的小球O上，且AB＝l，現使小球繞MN桿在傾斜平面內轉動，兩根繩始終處于伸直狀態，若恰好通過最高點。
（1）小球在最高點的速度；
（2）在通過最低點時兩根繩的拉力大小。
【解答】解：（1）恰好經過最高點時，OB繩恰好豎直，經分析可知，OB繩拉力為零，合力恰好指向旋轉的圓形o′，根據由受力分析列方程得
①
②
聯立可得
③
（2）從最高點運動到最低點時，OA恰好豎直，根據機械能守恒
④
根據受力分析列方程得
⑤
⑥
聯立得
T′A＝4mg，T′B＝3mg ⑦
答：（1）小球在最高點的速度大小
（2）在通過最低點時A繩的拉力大小為4mg，B繩的拉力大小為3mg。第10講　圓周運動
知識內容 考試要求 說明
圓周運動、向心加速度、向心力 d 1.不要求分析變速圓周運動的加速度問題． 2.不要求掌握向心加速度公式的推導方法． 3.不要求用“等效圓”處理一般曲線運動． 4.變速圓周運動和曲線運動的切向分力和切向加速度不作定量計算要求． 5.不要求求解提供向心力的各力不在同一直線上的圓周運動問題． 6.不要求對離心運動進行定量計算． 7.不要求分析與計算兩個物體聯結在一起(包括不接觸)做圓周運動時的問題.
生活中的圓周運動 c
一、圓周運動、向心加速度、向心力
1．勻速圓周運動
(1)定義：物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等．
(2)性質：加速度大小不變，方向總是指向圓心的變加速曲線運動．
2．描述勻速圓周運動的物理量
(1)線速度：描述物體圓周運動快慢的物理量．
v＝＝.單位：m/s.
(2)角速度：描述物體繞圓心轉動快慢的物理量．
ω＝＝.單位：rad/s.
(3)周期和頻率：描述物體繞圓心轉動快慢的物理量．
T＝.
(4)轉速：物體單位時間內所轉過的圈數．符號為n，單位：r/s(或r/min)．
(5)相互關系：v＝ωr＝r＝2πrf＝2πnr.
3．向心加速度：描述速度方向變化快慢的物理量．
an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
二、勻速圓周運動的向心力
1．作用效果
向心力產生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始終沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力．
4．來源
向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的合力提供，還可以由一個力的分力提供．
三、生活中的圓周運動
1．火車轉彎
特點：重力與支持力的合力提供向心力．(火車應按設計速度轉彎，否則將擠壓內軌或外軌)
2．豎直面內的圓周運動
(1)汽車過弧形橋
特點：重力和橋面支持力的合力提供向心力．
(2)水流星、繩模型、內軌道
最高點：當v≥時，能在豎直平面內做圓周運動；當v<時，不能到達最高點．
3．離心運動定義
做勻速圓周運動的物體，在所受的合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需的向心力的情況下，就會做逐漸遠離圓心的運動，即離心運動．
4．受力特點
當F合＝mω2r時，物體做勻速圓周運動；
當F合＝0時，物體沿切線方向飛出；
當F合當F合＞mω2r時，物體做近心運動．
命題點一　描述圓周運動的物理量間的關系
1．對公式v＝ωr的理解
當r一定時，v與ω成正比；
當ω一定時，v與r成正比；
當v一定時，ω與r成反比．
2．對a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定時，a與r成反比；在ω一定時，a與r成正比．
3．常見的傳動方式及特點
(1)皮帶傳動：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦傳動和齒輪傳動：如圖甲、乙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點無打滑現象時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同軸轉動：如圖甲、乙所示，繞同一轉軸轉動的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比．
（2024 齊齊哈爾一模）機動車檢測站進行車輛尾氣檢測的原理如下：車的主動輪壓在兩個相同粗細的有固定轉動軸的滾筒上，可使車輪在原地轉動，然后把檢測傳感器放入尾氣出口，操作員將車輪加速一段時間，在與傳感器相連的電腦上顯示出一系列相關參數，現有如下簡化圖：車內輪A的半徑為rA，車外輪B的半徑為rB，滾筒C的半徑為rC，車輪與滾筒間不打滑，當車輪以恒定速度運行時，下列說法正確的是（　　）
A．A、B輪的角速度大小之比為rA：rB
B．A、B輪邊緣的線速度大小之比為rA：rB
C．B、C的角速度之比為rB：rC
D．B、C輪邊緣的向心加速度大小之比為rB：rC
（2024 重慶模擬）小明同學站在原地，將圓形雨傘繞豎直傘柄以角速度ω勻速轉動，使附在雨傘表面的雨滴均沿雨傘邊緣的切線方向水平飛出，最終落至地面成一圓形區域，已知雨傘邊緣距地面的高度為h，到傘柄的垂直距離為R。忽略空氣阻力，以下關于圓形區域半徑的表達式正確的是（　　）
A． B． C． D．R
（2023 綿陽模擬）如圖，帶車牌自動識別系統的直桿道閘，離地面高為1m的細直桿可繞O在豎直面內勻速轉動。汽車從自動識別線ab處到達直桿處的時間為2.3s，自動識別系統的反應時間為0.3s；汽車可看成高1.6m的長方體，其左側面底邊在aa′直線上，且O到汽車左側面的距離為0.6m，要使汽車安全通過道閘，直桿轉動的角速度至少為（　　）
A．rad/s B．rad/s C．rad/s D．rad/s
命題點二　水平面內的圓周運動
解決圓周運動問題的主要步驟：
1．審清題意，確定研究對象，明確物體做圓周運動的平面是至關重要的一環；
2．分析物體的運動情況，軌道平面、圓心位置、半徑大小以及物體的線速度是否變化；
3．分析物體的受力情況，畫出受力分析圖，確定向心力的來源；
4．根據牛頓運動定律及向心力公式列方程．
（2024春 永川區校級期中）如圖所示，內壁光滑半徑為r的豎直圓桶，繞中心軸做勻速圓周運動，一物塊用細繩系著，繩的另一端系于圓桶上表面圓心，繩與豎直方向的夾角為θ，物塊貼著圓桶內表面隨圓桶一起轉動，重力加速度取g，則（　　）
A．桶對物塊的彈力不可能為零
B．轉動的角速度的最小值為
C．隨著轉動的角速度增大，繩的張力保持不變
D．隨著轉動的角速度增大，繩的張力一定增大
（多選）（2024 南明區校級一模）如圖所示，質量均為m的甲、乙、丙三個小物塊（均可看作質點）水平轉盤一起以角速度ω繞OO′軸做勻速圓周運動，物塊甲疊放在物塊乙的上面，所有接觸面間的動摩擦因數均為μ。已知甲、乙到轉軸的距離為r1，丙到轉軸的距離為r2，且r2＞r1。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．甲受到的摩擦力一定為μmg
B．乙受到轉盤的摩擦力一定為2mω2r1
C．若角速度增大，丙先達到滑動的臨界點
D．若角速度增大，甲先達到滑動的臨界點
（2023春 沙河口區校級期中）如圖所示，長為L的繩子下端連著一質量為m的小球，上端懸于天花板上。當把繩子拉直時，繩子與豎直線的夾角為60°，此時小球靜止于光滑的水平桌面上，重力加速度為g。則（　　）
A．當小球以角速度做圓錐擺運動時，繩子的張力大小為mg
B．當小球以角速度做圓錐擺運動時，桌面受到的壓力大小0
C．當小球以角速度做圓錐擺運動時，繩子的張力大小為5mg
D．當小球以角速度做圓錐擺運動時，桌面受到的壓力大小為0
命題點三　豎直面內的圓周運動問題
繩、桿模型涉及的臨界問題
繩模型 桿模型
常見類型 均是沒有支撐的小球 均是有支撐的小球
過最高點的臨界條件 由mg＝m得v臨＝ 由小球恰能做圓周運動得v臨＝0
討論分析 (1)能過最高點時，v≥，FN＋mg＝m，繩、圓軌道對球產生彈力FN(FN≥0) (2)不能過最高點時，v<，在到達最高點前小球已經脫離了圓軌道 (1)當v＝0時，FN＝mg，FN為支持力，沿半徑背離圓心 (2)當0時，FN＋mg＝m，FN指向圓心并隨v的增大而增大
模型1　輕繩模型
（2024 西城區一模）如圖1所示，長為R且不可伸長的輕繩一端固定在O點，另一端系一小球，使小球在豎直面內做圓周運動。由于阻力的影響，小球每次通過最高點時速度大小不同。測量小球經過最高點時速度的大小v、繩子拉力的大小F，作出F與v2的關系圖線如圖2所示。下列說法中正確的是（　　）
A．根據圖線可以得出小球的質量
B．根據圖線可以得出重力加速度
C．繩長不變，用質量更小的球做實驗，得到的圖線斜率更大
D．用更長的繩做實驗，得到的圖線與橫軸交點的位置不變
（2023 越秀區校級模擬）滾筒洗衣機靜止于水平地面上，衣物隨著滾筒一起在豎直平面內做高速勻速圓周運動，以達到脫水的效果。滾筒截面如圖所示，A點為最高點，B點為最低點，CD為水平方向的直徑，下列說法正確的是（　　）
A．衣物運動到最高點A點時處于超重狀態
B．衣物運動到B點時脫水效果更好
C．衣物運動到C點或D點時洗衣機對地面的摩擦力最小
D．衣物從B點到A點的過程中洗衣機對地面的壓力逐漸變大
（2023 嘉定區二模）2022年我國航天員在空間站太空艙開設“天宮課堂”，課堂演示了“水油分離”實驗。如圖所示，用細繩系住裝有水和油的瓶子，手持細繩的另一端，使瓶子在豎直平面內做圓周運動，則（　　）
A．只要瓶子有速度，就能通過圓周的最高點水油分離后，水在外側
B．只要瓶子有速度，就能通過圓周的最高點水油分離后，油在外側
C．瓶子的速度需大于某一值才能通過圓周的最高點水油分離后，水在外側
D．瓶子的速度需大于某一值才能通過圓周的最高點水油分離后，油在外側
模型2　輕桿模型
（2024 西城區校級模擬）如圖甲所示，輕桿一端固定在轉軸O點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，小球在最高點受到桿的彈力大小為F，速度大小為v，其F﹣v2圖像如圖乙所示，不計空氣阻力，則（　　）
A．v2＝b時，桿對小球的彈力方向向上
B．當地的重力加速度大小為
C．小球的質量為
D．v2＝2a時，小球受到的彈力與重力大小不相等
（2024 二模擬）武漢“東湖之眼”摩天輪，面朝東湖、背靠磨山，是武漢東湖風景區地標之一。摩天輪在豎直放置的圓軌道內圍繞其圓心O點做半徑為R的勻速圓周運動，角速度為ω，在勻速轉動的過程中轎廂地板總保持水平狀態。如圖所示，放置在地板上的物體，其與地板之間的動摩擦因數為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，為了保證物體在勻速轉動的過程中始終不相對于地板滑動，則角速度ω的最大值為（　　）
A． B． C． D．
（2024 烏魯木齊模擬）如圖所示為一電動打夯機的原理圖，電動機的轉軸上固定一輕桿，輕桿的另一端固定一鐵球。工作時電動機帶動桿上的鐵球在豎直平面內轉動。若調整轉速使打夯機恰好不離開地面，且勻速轉動一段時間后，切斷電力，鐵球繼續做圓周運動。整個過程中打夯機的底座始終與地面相對靜止。已知打夯機（包括鐵球）的總質量為M0，重力加速度為g，鐵球可視為質點，不計一切阻力。
（1）求切斷電力前，打夯機勻速轉動時對地面產生的最大壓力Fmax；
（2）若切斷電力后，打夯機對地面產生的最大壓力為3M0g，求鐵球的最小質量m。
模型3　凹形橋與拱形橋模型
FN－mg＝ 概述 如圖所示為凹形橋模型．當汽車通過凹形橋的最低點時，向心力Fn＝FN－mg＝m
規律 橋對車的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽車處于超重狀態
mg－FN＝ 概述 如圖所示為拱形橋模型．當汽車通過拱形橋的最高點時，向心力Fn＝mg－FN＝m
規律 橋對車的支持力FN＝mg－m＜mg，汽車處于失重狀態．若v＝，則FN＝0，汽車將脫離橋面做平拋運動
（2021 金山區二模）如圖，同一條過山車軌道上，一輛小車與多輛相同小車連接在一起分別以初速度v0進入圓軌道，若滑行到重心最高時速度分別為v1和v2。不計軌道和空氣阻力，則v1、v2的大小關系是（　　）
A．v1＜v2
B．v1＞v2
C．v1＝v2
D．與小車數量有關，無法判斷
（2023春 沙河口區校級期中）為了美觀和經濟，許多橋面建成拱形，為避免車速過快，造成安全隱患，拱橋上一般都會有限速標志，若汽車對拱橋的壓力是其自身重力的0.9倍時的速度為該橋的限速標志對應的速度，當拱橋圓弧對應的曲率半徑為100m時，g＝10m/s2，橋上的限速標志所示速度為（　　）
A．36km/h B．60km/h C．84km/h D．108km/h
（2023春 朝陽區校級期中）如圖所示，雜技演員騎著摩托車在豎直軌道平面內做圓周運動。已知圓軌道的半徑為R，重力加速度大小為g，人在軌道最高點的速度大小為，在軌道最低點的速度大小為，則摩托車在軌道最高點和最低點時對軌道的彈力大小之比為（　　）
A．1：3 B．1：6 C．1：8 D．2：7
（2024春 蘇州期中）如圖甲是“向心力大小演示儀”，圖乙是其傳動部分側視圖，某次實驗時，小球擺放位置如圖甲所示，皮帶安裝在兩側中間塔輪上，此時左右兩側塔輪的半徑之比為2：1，則（　　）
A．圖乙中A、C兩點角速度之比為1：2
B．左右兩球線速度大小之比為2：1
C．左右兩球向心力加速度大小之比為4：1
D．若左右兩球質量之比為2：1，兩球所需要的向心力大小之比為1：1
（2024春 張家港市期中）如圖為自行車氣嘴燈及其內部結構示意圖，彈簧一端固定在A端，另一端拴接重物，當車輪高速旋轉時，觸點M、N接觸，從而接通電路，LED燈就會發光。下列說法正確的是（　　）
A．氣嘴燈的A端靠近輪毅
B．自行車勻速行駛時，若LED燈轉到最高點時能發光，則在最低點時也一定能發光
C．自行車勻速行駛時，重物做勻速圓周運動
D．增大彈簧勁度系數可使LED燈在較低轉速下也能發光
（2024春 南京期中）在東北嚴寒的冬天，人們經常玩一項“潑水成冰”的游戲．圖甲所示是某人玩“潑水成冰”游戲的瞬間，其示意圖如圖乙所示，P為最高點，在最高點時杯口朝上．潑水過程中杯子的運動可看成圓周運動，人的手臂伸直，臂長約為0.6m．下列說法正確的是（　　）
A．潑水時杯子的旋轉方向為順時針方向
B．P位置飛出的小水珠初速度沿1方向
C．若要將水從P點潑出，杯子的速度不能小于
D．杯子內裝的水越多，水的慣性越大，因此越容易被甩出
（2024春 南京期中）如圖，某公路急轉彎處是一圓弧，路面外高內低，當轎車行駛的速率為vc時，轎車恰好沒有向公路內、外兩側滑動的趨勢。則當汽車在該彎道處（　　）
A．質量更大的卡車經過時，與轎車相比，vc的值變小
B．路面結冰時，與未結冰時相比，vc的值變小
C．車速高于vc時，車輛就會向外側滑動
D．當車速高于vc時，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側滑動
（2024 瓊山區校級模擬）一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替，如圖（a）所示，曲線上的A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一圓。在極限情況下，這個圓就叫做A點的曲率圓，其半徑ρ叫做A點的曲率半徑。現將一物體沿與水平面成α角的方向以速度v0拋出，如圖（b）所示，則在其軌跡最高點P處的曲率半徑是（　　）X
A． B．
C． D．
（2024 濟南模擬）如圖所示，MN為半徑為r的圓弧路線，NP為長度13.5r的直線路線，MN'為半徑為4r的圓弧路線，N'P'為長度10.5r的直線路線。賽車從M點以最大安全速度通過圓弧路段后立即以最大加速度沿直線加速至最大速度vm并保持vm勻速行駛。已知賽車勻速轉彎時徑向最大靜摩擦力和加速時的最大合外力均為車重的n倍，最大速度vm＝5，g為重力加速度，賽車從M點按照MNP路線到P點與按照MN'P'路線運動到P'點的時間差為（　　）
A． B．
C． D．
（2024 重慶模擬）在水平面內繞中心軸旋轉的圓盤上固定有甲、乙兩個木馬，各自到中心軸的距離之比為1：2，圓盤從開始運動到停止過程中的角速度ω隨時間t的變化關系如圖所示。則（　　）
A．在0～t0內任意時刻，乙的線速度大小是甲的4倍
B．在t0～2t0內，乙的向心加速度大小是甲的4倍
C．乙在t0～2t0內的旋轉角度是甲在2t0～4t0內的2倍
D．乙在2t0～4t0內的運動路程是甲在0～t0內的4倍
（2024 平谷區模擬）如圖所示，細線的下端系著一個小鋼球，用手拿著細線的上端，使小鋼球在水平面內做勻速圓周運動。當小球的角速度為ω1時，小球在較低的圓周1上做勻速圓周運動，此時細線對小球的拉力為T1，小球的向心力為F1，小球的線速度為v1；當小球的角速度為ω2時，小球在較高的圓周2上做勻速圓周運動，此時細線對小球的拉力為T2，小球的向心力為F2，小球的線速度為v2。則（　　）
A．ω1＞ω2 B．T1＞T2 C．F1＜F2 D．v1＝v2
（2024 西安校級模擬）2023年3月23日，山西省考古研究院發布消息，考古專家證實山西運城董家營西漢墓出土墨書題銘陶罐，從中可以窺見漢代河東地區豐富多樣的飲食生活。現有一半徑Rm的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合，如圖所示。轉臺靜止不轉動時，將一質量m＝0.3kg的物塊（視為質點）放入陶罐內，物塊恰能靜止于陶罐內壁的A點，且A點與陶罐球心O的連線與對稱軸OO′的夾角θ＝37°。取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。
（1）求物塊與陶罐內壁之間的動摩擦因數μ；
（2）若物塊位于與O點等高的陶罐上且與陶罐一起繞OO′軸轉動，求轉臺轉動的最小角速度ωmin。
（2024春 南京期中）用蛙式打夯機（如圖1）對路面進行打平、夯實，其結構可以簡化為如圖2。質量為m的鐵球通過輕桿與轉輪1相連，轉輪1與底座總質量為M，工作過程中，底座保持靜止。轉輪2在電動機作用下轉動，通過輕質皮帶使轉輪1一起轉動，轉輪1帶著鐵球繞軸做圓周運動，球的轉動半徑為L，轉輪1與轉輪2的半徑之比為1：2，重力加速度為g。則：
（1）當轉輪2以角速度ω勻速轉動時，求小球轉動的線速度大小v1；
（2）若小球轉動到最高點時底座恰好對地面無壓力，求此時小球的線速度大小v2；
（3）當小球以（2）中的線速度大小勻速轉動，求底座對地面的最大壓力。
（2024 德州模擬）如圖所示，細桿MN傾斜固定，與水平方夾角為30o，輕繩OA＝OB＝l，一端分別固定在固定在桿MN上的A、B兩點，另一端系在質量為m的小球O上，且AB＝l，現使小球繞MN桿在傾斜平面內轉動，兩根繩始終處于伸直狀態，若恰好通過最高點。
（1）小球在最高點的速度；
（2）在通過最低點時兩根繩的拉力大小。

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