資源簡介

第11講　萬有引力與航天
知識內容 考試要求 說明
行星的運動 a 1.不要求掌握人類對行星運動規律認識的細節． 2.不要求用開普勒三個定律求解實際問題． 3.不要求掌握太陽與行星間引力表達式的推導方法． 4.不要求計算空心球體與質點間的萬有引力． 5.不要求分析重力隨緯度變化的原因． 6.不要求計算與引力勢能有關的問題.
太陽與行星間的引力 a
萬有引力定律 c
萬有引力理論的成就 c
宇宙航行 c
經典力學的局限性 a
一、開普勒行星運動三定律
1．開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上．
2．開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積．
3．開普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等．
二、萬有引力定律
1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比．
2．表達式：F＝G.
3．適用條件：萬有引力定律的公式只適用于計算質點間的相互作用．
4．引力常量是由英國物理學家卡文迪許利用扭秤實驗測得的，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、萬有引力理論的成就
1．預言未知天體
2．計算天體質量
四、宇宙航行
1．第一宇宙速度是物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，大小為7.9 km/s，第一宇宙速度是衛星最大的環繞速度，也是發射衛星的最小發射速度．
2．第二宇宙速度是指將衛星發射出去，掙脫地球的束縛所需要的最小發射速度，其大小為11.2 km/s.
3．第三宇宙速度是指使發射出去的衛星掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系外所需要的最小發射速度，其大小為16.7 km/s.
命題點一　開普勒三定律的理解和應用
1．行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理．
2．開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動．
3．開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同．該定律只能用在繞同一中心天體運行的星體之間．
（2024 徐州二模）地球和哈雷彗星繞太陽運行的軌道如圖所示，哈雷彗星最近出現在地球附近是1986年，預計下次將在2061年飛近地球。則哈雷彗星軌道的半長軸約為地球公轉半徑的（　　）
A．8倍 B．18倍 C．28倍 D．38倍
（2024 廣東模擬）如圖所示為太陽系主要天體的分布示意圖，下列關于太陽系行星運動規律的描述正確的是（　　）
A．所有行星均以太陽為中心做勻速圓周運動
B．地球與太陽的連線、火星與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等
C．所有行星運行軌道半長軸的二次方與其公轉周期的三次方之比都相等
D．地球和火星圍繞太陽運行的軌道都是橢圓，且這兩個橢圓必定有公共的焦點
（2024 遼寧模擬）北京時間2023年9月21日15時48分，“天宮課堂”第四課在中國空間站開講，新晉“太空教師”景海鵬、朱楊柱、桂海潮為廣大青少年帶來了一場精彩的太空科普課，這是中國航天員首次在夢天實驗艙內進行授課。已知中國空間站繞地球做勻速圓周運動的周期約為90分鐘，則其公轉軌道半徑和地球同步衛星的公轉軌道半徑之比約為（　　）
A．8： B．：8 C．1：4 D．4：1
命題點二　萬有引力定律的理解和應用
1．解決天體(衛星)運動問題的基本思路
(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．
2．天體質量和密度的估算
(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.
由于G＝mg，故天體質量M＝，
天體的平均密度ρ＝＝＝.
(2)利用衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r.
①由萬有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天體質量M＝；
②若已知天體半徑R，則天體的平均密度：
ρ＝＝＝.
（2024 合肥二模）2024年3月，我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發射升空。鵲橋二號入軌后，通過軌道修正、近月制動等系列操作，最終進入近月點約200km、遠月點約16000km、周期為24h的環月大橢圓凍結軌道。已知月球半徑約1800km，萬有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。由上述數據可知月球的質量接近于（　　）
A．7.5×1018kg B．7.5×1020kg
C．7.5×1022kg D．7.5×1024kg
（2024 棗莊一模）地球與月球之間有一種有趣的“潮汐鎖定”現象，即月球永遠以同一面朝向著地球。如圖所示，太陽光平行照射到地球上，月球繞地球做勻速圓周運動的半徑為r。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，設從月球上正對地球的P點看向地球的視角為α。在月球繞地球運動一周的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．地球的密度為 B．月球自轉的角速度為
C．太陽光照射月球的時間為 D．月球上的P點被照亮的時間為
（2024 錦州一模）2022年10月9日，我國綜合性太陽探測衛星“夸父一號”成功發射，實現了對太陽探測的跨越式突破。“夸父一號”衛星繞地球做勻速圓周運動，距地面高度約為720km，運行一圈所用時間約為100分鐘。如圖所示，為了隨時跟蹤和觀測太陽的活動，“夸父一號”在隨地球繞太陽公轉的過程中，需要其軌道平面始終與太陽保持固定的取向，使太陽光能照射到“夸父一號”。下列說法正確的是（　　）
A．“夸父一號”繞地球做圓周運動的速度大于7.9km/s
B．“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度大于地球表面的重力加速度
C．給出萬有引力常量和地球半徑再結合題干信息，可以估算出地球的質量
D．由題干信息，根據開普勒第三定律，可求出日地間平均距離
命題點三　宇宙航行和衛星問題
1．第一宇宙速度
(1)推導方法：①由G＝m得v1＝ ＝7.9×103 m/s.
②由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
(2)第一宇宙速度是發射人造衛星的最小速度，也是人造衛星的最大環繞速度．
2．衛星運行參量的分析
衛星運行參量 相關方程 結論
線速度v G＝m v＝ r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω G＝mω2r ω＝
周期T G＝m2r T＝2π
向心加速度a G＝ma a＝
3.利用萬有引力定律解決衛星運動問題的技巧
(1)一個模型
天體(包括衛星)的運動可簡化為質點的勻速圓周運動模型．
(2)兩組公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g為天體表面處的重力加速度)
（2024春 蘇州期中）一繞地球做勻速圓周運動的人造衛星經變軌后軌道半徑增大到原來的2倍，仍做勻速圓周運動，則（　　）
A．衛星所需的向心力將減小到原來的
B．衛星運動的線速度將增大到原來的2倍
C．衛星所受的萬有引力將減小到原來的
D．衛星運動的周期增大到原來的4倍
（2024春 蘇州期中）如圖所示，運載火箭運行至P點時分別將A、B兩顆衛星送入預定橢圓軌道1和橢圓軌道2。P點為橢圓軌道的近地點，B衛星在遠地點Q處變軌至橢圓軌道3運動，下列說法正確的是（　　）
A．兩衛星在橢圓軌道上運動過程中經過P點時加速度大小相等
B．兩衛星在橢圓軌道上運動過程中經過P點時速度大小相等
C．B衛星在橢圓軌道上經過P點時速度小于經過Q點速度
D．B衛星在P點的動能小于其在軌道3上Q點的動能
（2024 龍崗區校級三模）神舟十六號是中國“神舟”系列飛船的第十六次任務，也是中國空間站運營階段的首次飛行任務。如圖所示，神舟十六號載人飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ、空間站組合體處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ，兩者都在其軌道上做勻速圓周運動。通過變軌操作后，飛船從A點沿橢圓軌道Ⅱ運動到B點與空間站組合體對接，已知地球的半徑為R、地球表面重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．飛船在軌道Ⅰ上的運行速度大于地球的第一宇宙速度
B．飛船沿軌道Ⅱ運行的周期大于空間站組合體沿軌道Ⅲ運行的周期
C．飛船在軌道Ⅰ上A點的加速度小于在軌道Ⅱ上A點的加速度
D．空間站組合體在軌道Ⅲ運行的周期
拓展點　地球同步衛星
同步衛星的六個“一定”
（2024 深圳校級模擬）2023年10月26日11時14分，“神舟十七號”載人飛船發射成功，10月26日17時46分，“神舟十七號”載人飛船與空間站組合體完成自主快速交會對接，我國空間站在離地球表面高約400km的軌道上運行，已知同步衛星距離地球表面的高度約為36000km。下列說法正確的是（　　）
A．我國空間站的運行周期為24h
B．我國空間站運行的角速度小于地球自轉的角速度
C．我國空間站運行的線速度比地球同步衛星的線速度大
D．我國空間站的發射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度
（2024 雨花區校級模擬）據統計，我國發射的衛星已近600顆，位居世界第二位，這些衛星以導航、遙感、通信為主要類別，尤其是北斗導航衛星的發射使我國具備了全球精確導航定位、授時和短報文通信等能力。如圖，A、B、C為我國發射的3顆衛星，其軌道皆為圓形，其中衛星A、B的軌道在赤道平面內，衛星C的軌道為極地軌道，軌道半徑rC＜rA＜rB，下列說法正確的是（　　）
A．衛星B一定與地球自轉同步
B．衛星A的動能比衛星B的動能大
C．衛星C的線速度大小可能為8.0km/s
D．衛星A的加速度比衛星B的加速度大
（2023秋 江岸區期末）我國將一顆失效的北斗二號G2，從地球同步圓軌道經橢圓軌道運行到“基地軌道”上，該過程的簡化示意圖如圖所示，已知同步衛星軌道半徑為R1，“基地軌道”半徑為R2，轉移軌道與同步軌道和“基地軌道”分別相切于P、Q兩點，衛星在轉移軌道上從P點運動到Q點所需的最短時間為t，已知萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　　）
A．在轉移軌道上Q點的加速度小于在“基地軌道”上Q點的加速度
B．在轉移軌道上P點的速度與Q點速度之比為
C．地球的自轉周期T為
D．地球質量等于
（2024春 長寧區校級期中）“天舟一號”貨運飛船與“天宮二號”空間實驗室交會對接形成的組合體仍沿“天宮二號”原來的軌道（可視為圓周）運行。與“天宮二號”單獨運行時相比，組合體運行的（　　）
A．周期變大 B．角速度變小
C．速率不變 D．向心加速度變大
（2024春 南京期中）中國計劃于2020年登陸火星。已知火星質量為地球的0.1，火星半徑為地球半徑的0.5，火星公轉半徑約為地球公轉半徑的1.5倍，地球表面的重力加速度約為10m/s2，則火星（　　）
A．公轉周期約為3.8年
B．公轉周期約為1.1年
C．表面的重力加速度約為4m/s2
D．第一宇宙速度約為12km/s
（2024春 南京期中）2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發射升空，準確進入預定軌道。6月17日，神舟十二號載人飛船與天和核心艙及天舟二號組合體成功交會對接，三名宇航員順利進入天和核心艙開展工作。核心艙繞地球飛行的軌道可視為圓軌道，軌道離地面的高度約為地球半徑的。下列說法正確的是（　　）
A．核心艙在軌道上飛行的周期大于24h
B．核心艙在軌道上飛行的速度小于7.9km/s
C．神舟十二號載人飛船與組合體成功對接后，空間站由于質量增大，軌道半徑將明顯變小
D．核心艙進入軌道后所受地球的萬有引力大小約為它在地面時的（）2倍
（2024 西城區一模）2023年，我國首顆超低軌道實驗衛星“乾坤一號”發射成功。“乾坤一號”是一顆繞地球做圓周運動的近地衛星。關于它的運動，下列說法正確的是（　　）
A．角速度大于地球自轉的角速度
B．線速度大于地球的第一宇宙速度
C．線速度小于地球表面物體隨地球自轉的線速度
D．向心加速度小于地球表面的物體隨地球自轉的向心加速度
（2024春 渝中區校級月考）下列說法中正確的是（　　）
A．火星與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等
B．牛頓發現萬有引力定律，被譽為“第一個稱出地球質量的人”
C．所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽在橢圓軌道的中心
D．開普勒第三定律指出，所有行星運動的周期和半長軸成正比
（2024春 武漢期中）2023年華為隆重推出搭載我國自主研發的麒麟9000s芯片的Mate60手機，該手機可以與地球同步軌道的“天通一號01”實現衛星通信。已知地球半徑為R，“天通一號01”離地高度約為6R，以下關于該衛星的說法正確的是（　　）
A．衛星在地球同步軌道上處于平衡狀態
B．衛星的發射速度小于近地衛星的環繞速度
C．衛星的加速度約為靜止在赤道上物體加速度的36倍
D．若地球自轉加快，衛星為保持與地面同步，軌道高度應降低
（2024春 渝中區校級月考）最新觀測到一顆與地球相似的M星球，觀測發現M星球有一顆近地衛星，當地球的近地衛星轉了5圈時，M星球的近地衛星只轉了1圈，M星球的半徑約為地球半徑的，設地球和M星球的密度、表面的重力加速度分別用，ρ1、ρ2、g1、g2表示。則下列說法正確的是（　　）
A．地球與M星球的第一宇宙速度之比為5：1
B．地球和M星球的密度之比ρ1：ρ2＝1：25
C．M星球的自轉角速度增加到（R1為地球半徑）時，會發生解體
D．地球和M星球表面的重力加速度之比g1：g2＝50：1
（2024 鹿城區校級模擬）研究發現，銀河系中有一種看不見但很重的物體，促使這些恒星在其周圍轉圈。其中一顆恒星S2完整軌道如圖所示，它繞銀河系中心的周期約16年。橢圓的半短軸約400AU（太陽到地球的距離為1AU），根據離心率可以判斷軌道的長軸約為短軸的2.5倍，研究中可忽略其他星體對S2的引力，則銀河系中心質量與太陽質量之比約為（　　）
A．3×107 B．6×107 C．4×106 D．6×109
（2024 開福區校級模擬）地球北極上的物體重力加速度為g，物體在赤道上隨地球自轉的重力加速度為g0，要使赤道上的物體“飄”起來，則地球轉動的角速度應為原來的（　　）
A． B． C． D．
（2024 鹽城一模）如圖是神舟十七號載人飛船與天和核心艙對接過程示意圖，神舟十七號飛船先在軌道Ⅰ上做周期為T1的圓周運動，在A點變軌后，沿橢圓軌道Ⅱ運動，在B點再次變軌與天和核心艙對接，此后共同在圓軌道Ⅲ上運行，下列說法正確的是（　　）
A．飛船沿軌道Ⅱ的運行周期小于飛船沿軌道Ⅰ的運行周期
B．飛船在軌道Ⅱ上經過A點時的加速度大于在軌道Ⅰ上經過A點時的加速度
C．飛船在軌道Ⅱ上經過B點時的速度大于在軌道Ⅲ上經過B點時的速度
D．相等時間內，在軌道Ⅰ上飛船與地心連線掃過的面積小于在軌道Ⅲ上掃過的面積
（2024 湖南模擬）2023年10月26日，神舟十七號載人飛船與天和核心艙進行了對接，“太空之家”迎來湯洪波、唐勝杰、江新林3名中國航天史上最年輕的乘組入駐。如圖為飛船運行與交會對接過程示意圖，橢圓軌道1為飛船對接前的運行軌道，Q點是軌道1的近地點，離地高度可忽略不計。圓形軌道2距地面高度為H，是天和核心艙的運行軌道，P點是1、2軌道的切點，也是交會點。地球半徑為R，表面重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．飛船從軌道1變軌到軌道2需要在交會點P點點火減速
B．天和核心艙在軌道2上的速度一定大于
C．交會對接前天和核心艙的向心加速度為
D．飛船在軌道1上與在軌道2上運動的周期之比為
（2024 下城區校級模擬）繼在文昌發射站發射了首顆火星探測器“天問一號”后，“天問二號”即將在2025年發射。已知火星公轉半徑是地球公轉半徑的1.5倍，天問二號發射后沿霍曼轉移軌道運動，可認為地球和火星在同一平面沿同一方向繞太陽做勻速圓周運動，如圖所示。則下列說法正確的是（　　）
A．地球繞太陽運動的加速度小于火星繞太陽運動的加速度
B．探測器沿霍曼軌道飛往火星過程中做減速運動
C．火星探測器“天問一號”的發射速度v應滿足7.9km/s＜v＜11.2km/s
D．探測器沿霍曼轉移軌道運動的周期為個月
（2024 海淀區一模）1610年，伽利略用他制作的望遠鏡發現了木星的四顆主要衛星。根據觀察，他將其中一顆衛星P的運動視為一個振幅為A、周期為T的簡諧運動，并據此推測，他觀察到的衛星振動是衛星圓運動在某方向上的投影。
如圖所示，是伽利略推測的衛星P運動的示意圖，在xOy平面內，質量為m的衛星P繞坐標原點O做勻速圓周運動。已知引力常量為G，不考慮各衛星之間的相互作用。
（1）若認為木星位于坐標原點O，根據伽利略的觀察和推測結果：
①寫出衛星P做圓周運動的向心力大小F的表達式。
②求木星的質量M。
③物體做簡諧運動時，回復力應該滿足F＝﹣kx。請據此證明：衛星P繞木星做勻速圓周運動在x軸上的投影是簡諧運動。
（2）若將木星與衛星P視為雙星系統，彼此圍繞其連線上的某一點做勻速圓周運動，計算出的木星質量為M'。請分析比較（1）②中得出的質量M與M'的大小關系。第11講　萬有引力與航天
知識內容 考試要求 說明
行星的運動 a 1.不要求掌握人類對行星運動規律認識的細節． 2.不要求用開普勒三個定律求解實際問題． 3.不要求掌握太陽與行星間引力表達式的推導方法． 4.不要求計算空心球體與質點間的萬有引力． 5.不要求分析重力隨緯度變化的原因． 6.不要求計算與引力勢能有關的問題.
太陽與行星間的引力 a
萬有引力定律 c
萬有引力理論的成就 c
宇宙航行 c
經典力學的局限性 a
一、開普勒行星運動三定律
1．開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上．
2．開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積．
3．開普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等．
二、萬有引力定律
1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比．
2．表達式：F＝G.
3．適用條件：萬有引力定律的公式只適用于計算質點間的相互作用．
4．引力常量是由英國物理學家卡文迪許利用扭秤實驗測得的，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、萬有引力理論的成就
1．預言未知天體
2．計算天體質量
四、宇宙航行
1．第一宇宙速度是物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，大小為7.9 km/s，第一宇宙速度是衛星最大的環繞速度，也是發射衛星的最小發射速度．
2．第二宇宙速度是指將衛星發射出去，掙脫地球的束縛所需要的最小發射速度，其大小為11.2 km/s.
3．第三宇宙速度是指使發射出去的衛星掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系外所需要的最小發射速度，其大小為16.7 km/s.
命題點一　開普勒三定律的理解和應用
1．行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理．
2．開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動．
3．開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同．該定律只能用在繞同一中心天體運行的星體之間．
（2024 徐州二模）地球和哈雷彗星繞太陽運行的軌道如圖所示，哈雷彗星最近出現在地球附近是1986年，預計下次將在2061年飛近地球。則哈雷彗星軌道的半長軸約為地球公轉半徑的（　　）
A．8倍 B．18倍 C．28倍 D．38倍
【解答】解：地球公轉周期為T＝1年，哈雷彗星的周期為T’＝（2061﹣1986）年＝75年，
根據開普勒第三定律有：，解得518，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2024 廣東模擬）如圖所示為太陽系主要天體的分布示意圖，下列關于太陽系行星運動規律的描述正確的是（　　）
A．所有行星均以太陽為中心做勻速圓周運動
B．地球與太陽的連線、火星與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等
C．所有行星運行軌道半長軸的二次方與其公轉周期的三次方之比都相等
D．地球和火星圍繞太陽運行的軌道都是橢圓，且這兩個橢圓必定有公共的焦點
【解答】解：A.根據開普勒第一定律可知：所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，故A錯誤；
B..根據開普勒第二定律可知：對每一個行星而言，太陽行星的連線在相同時間內掃過的面積相等，相同時間內，不同行星與太陽連線掃過的面積不等，故B錯誤；
C.根據開普勒第三定律可知：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等，故C錯誤；
D.根據開普勒第一定律可知：所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上，故地球和火星圍繞太陽運行的軌道都是橢圓，且這兩個橢圓必定有公共的焦點，故D正確。
故選：D。
（2024 遼寧模擬）北京時間2023年9月21日15時48分，“天宮課堂”第四課在中國空間站開講，新晉“太空教師”景海鵬、朱楊柱、桂海潮為廣大青少年帶來了一場精彩的太空科普課，這是中國航天員首次在夢天實驗艙內進行授課。已知中國空間站繞地球做勻速圓周運動的周期約為90分鐘，則其公轉軌道半徑和地球同步衛星的公轉軌道半徑之比約為（　　）
A．8： B．：8 C．1：4 D．4：1
【解答】解：空間站的周期：T1＝90min＝1.5h，地球同步衛星的周期T2＝24h，根據開普勒第三定律可得：
解得空間站的公轉軌道半徑和地球同步衛星的公轉軌道半徑之比約為：r1：r2：8，故ACD錯誤，故B正確。
故選：B。
命題點二　萬有引力定律的理解和應用
1．解決天體(衛星)運動問題的基本思路
(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．
2．天體質量和密度的估算
(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.
由于G＝mg，故天體質量M＝，
天體的平均密度ρ＝＝＝.
(2)利用衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r.
①由萬有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天體質量M＝；
②若已知天體半徑R，則天體的平均密度：
ρ＝＝＝.
（2024 合肥二模）2024年3月，我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發射升空。鵲橋二號入軌后，通過軌道修正、近月制動等系列操作，最終進入近月點約200km、遠月點約16000km、周期為24h的環月大橢圓凍結軌道。已知月球半徑約1800km，萬有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。由上述數據可知月球的質量接近于（　　）
A．7.5×1018kg B．7.5×1020kg
C．7.5×1022kg D．7.5×1024kg
【解答】解：環月大橢圓凍結軌道的周期與半長軸分別為T1＝24h
R1km＝9900km
令近月圓軌道衛星的周期為T2，則有Gm
解得M≈7.67×1022kg
可知月球的質量接近于7.67×1022kg，故C正確，ABD錯誤；
故選：C。
（2024 棗莊一模）地球與月球之間有一種有趣的“潮汐鎖定”現象，即月球永遠以同一面朝向著地球。如圖所示，太陽光平行照射到地球上，月球繞地球做勻速圓周運動的半徑為r。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，設從月球上正對地球的P點看向地球的視角為α。在月球繞地球運動一周的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．地球的密度為 B．月球自轉的角速度為
C．太陽光照射月球的時間為 D．月球上的P點被照亮的時間為
【解答】解：A、根據萬有引力提供重力可得：
根據密度計算公式可得：
聯立得地球的密度：，故A錯誤；
B、根據萬有引力提供向心力可得：
聯立解得月球繞地球公轉的角速度為：，地球與月球之間有一種有趣的“潮汐鎖定”現象，可知月球的公轉和自轉的角速度相同，故月球自轉的角速度為，故B錯誤；
C、根據幾何關系可知，太陽光照射月球的時間為：，代入可得：，故C錯誤；
D、因為月球永遠以同一面朝向著地球，則月球上的P點被照亮的時間為：，代入數據可得：，故D正確。
故選：D。
（2024 錦州一模）2022年10月9日，我國綜合性太陽探測衛星“夸父一號”成功發射，實現了對太陽探測的跨越式突破。“夸父一號”衛星繞地球做勻速圓周運動，距地面高度約為720km，運行一圈所用時間約為100分鐘。如圖所示，為了隨時跟蹤和觀測太陽的活動，“夸父一號”在隨地球繞太陽公轉的過程中，需要其軌道平面始終與太陽保持固定的取向，使太陽光能照射到“夸父一號”。下列說法正確的是（　　）
A．“夸父一號”繞地球做圓周運動的速度大于7.9km/s
B．“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度大于地球表面的重力加速度
C．給出萬有引力常量和地球半徑再結合題干信息，可以估算出地球的質量
D．由題干信息，根據開普勒第三定律，可求出日地間平均距離
【解答】解：A．7.9km/s是第一宇宙速度，也是最大的環繞速度，所以“夸父一號”繞地球做圓周運動的速度一定小于7.9km/s，故A錯誤；
B．根據萬有引力與向心力和重力的關系有
，
解得向心加速度以及重力加速度為
，
可知“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故B錯誤；
C．由萬有引力提供向心力，結合向心力公式可得
解得地球的質量滿足
所以給出萬有引力常量和地球半徑再結合題干信息，可以估算出地球的質量，故C正確；
D．“夸父一號”繞地球公轉，根據開普勒第三定律，并不知道跟太陽的軌道情況，故無法求出日地間平均距離，故D錯誤。
故選：C。
命題點三　宇宙航行和衛星問題
1．第一宇宙速度
(1)推導方法：①由G＝m得v1＝ ＝7.9×103 m/s.
②由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
(2)第一宇宙速度是發射人造衛星的最小速度，也是人造衛星的最大環繞速度．
2．衛星運行參量的分析
衛星運行參量 相關方程 結論
線速度v G＝m v＝ r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω G＝mω2r ω＝
周期T G＝m2r T＝2π
向心加速度a G＝ma a＝
3.利用萬有引力定律解決衛星運動問題的技巧
(1)一個模型
天體(包括衛星)的運動可簡化為質點的勻速圓周運動模型．
(2)兩組公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g為天體表面處的重力加速度)
（2024春 蘇州期中）一繞地球做勻速圓周運動的人造衛星經變軌后軌道半徑增大到原來的2倍，仍做勻速圓周運動，則（　　）
A．衛星所需的向心力將減小到原來的
B．衛星運動的線速度將增大到原來的2倍
C．衛星所受的萬有引力將減小到原來的
D．衛星運動的周期增大到原來的4倍
【解答】解：根據萬有引力提供向心力可知，Fn＝F萬＝Gmmr，解得v，T，衛星需要的向心力和衛星所收到的萬有引力均減為原來的，線速度v減為原來的倍，周期增大為原來的2倍，故C正確，ABD錯誤；
故選：C。
（2024春 蘇州期中）如圖所示，運載火箭運行至P點時分別將A、B兩顆衛星送入預定橢圓軌道1和橢圓軌道2。P點為橢圓軌道的近地點，B衛星在遠地點Q處變軌至橢圓軌道3運動，下列說法正確的是（　　）
A．兩衛星在橢圓軌道上運動過程中經過P點時加速度大小相等
B．兩衛星在橢圓軌道上運動過程中經過P點時速度大小相等
C．B衛星在橢圓軌道上經過P點時速度小于經過Q點速度
D．B衛星在P點的動能小于其在軌道3上Q點的動能
【解答】解：A．由萬有引力充當向心力ma
解得a，由此可知，兩衛星在橢圓軌道上運動過程中經過P點時加速度大小相等，故A正確；
B．根據衛星變軌的知識可知兩衛星在橢圓軌道上運動過程中經過P點時，2軌道的線速度較大，故B錯誤；
C．根據開普勒第二定律可知，B衛星在橢圓軌道上經過P點時速度大于經過Q點速度，故C錯誤；
D．由萬有引力充當向心力m
可得v
可知軌道半徑越大，線速度越小，由此可知vP2＞vQ3＞vQ2，則B衛星在P點的動能大于其在軌道3上Q點的動能，故D錯誤。
故選：A。
（2024 龍崗區校級三模）神舟十六號是中國“神舟”系列飛船的第十六次任務，也是中國空間站運營階段的首次飛行任務。如圖所示，神舟十六號載人飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ、空間站組合體處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ，兩者都在其軌道上做勻速圓周運動。通過變軌操作后，飛船從A點沿橢圓軌道Ⅱ運動到B點與空間站組合體對接，已知地球的半徑為R、地球表面重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．飛船在軌道Ⅰ上的運行速度大于地球的第一宇宙速度
B．飛船沿軌道Ⅱ運行的周期大于空間站組合體沿軌道Ⅲ運行的周期
C．飛船在軌道Ⅰ上A點的加速度小于在軌道Ⅱ上A點的加速度
D．空間站組合體在軌道Ⅲ運行的周期
【解答】解：A、衛星繞地球做勻速圓周運動時，根據萬有引力提供向心力，有
解得：，可知衛星的軌道半徑越大，速度越小。因為r1＞R，所以飛船在軌道Ⅰ上的運行速度小于近地衛星的速度，即小于地球的第一宇宙速度，故A錯誤；
B、飛船在軌道Ⅱ上運動的半長軸小于在軌道Ⅲ上運動的軌道半徑，根據開普勒第三定律k可知，衛星在軌道Ⅱ上運動的周期小于在軌道Ⅲ上運行的周期，故B錯誤；
C、根據萬有引力提供向心力，有，解得：，可知飛船在軌道Ⅰ上A點的加速度等于飛船在軌道Ⅱ上A點的加速度，故C錯誤；
D、空間站組合體在軌道Ⅲ時，根據萬有引力提供向心力，有
且在地球表面上，有
聯立解得：，故D正確。
故選：D。
拓展點　地球同步衛星
同步衛星的六個“一定”
（2024 深圳校級模擬）2023年10月26日11時14分，“神舟十七號”載人飛船發射成功，10月26日17時46分，“神舟十七號”載人飛船與空間站組合體完成自主快速交會對接，我國空間站在離地球表面高約400km的軌道上運行，已知同步衛星距離地球表面的高度約為36000km。下列說法正確的是（　　）
A．我國空間站的運行周期為24h
B．我國空間站運行的角速度小于地球自轉的角速度
C．我國空間站運行的線速度比地球同步衛星的線速度大
D．我國空間站的發射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度
【解答】解：ABC、衛星繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力可得：
分別變形可知：，，
由于空間站的軌道半徑小于同步衛星的軌道半徑，根據，可知空間站的運行周期小于24小時；
根據，可知空間站的角速度大于同步衛星的角速度，即大于地球自轉角速度；
根據，可知空間站的線速度大于地球同步衛星的線速度，故AB錯誤，C正確；
D、空間站的發射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故D錯誤。
故選：C。
（2024 雨花區校級模擬）據統計，我國發射的衛星已近600顆，位居世界第二位，這些衛星以導航、遙感、通信為主要類別，尤其是北斗導航衛星的發射使我國具備了全球精確導航定位、授時和短報文通信等能力。如圖，A、B、C為我國發射的3顆衛星，其軌道皆為圓形，其中衛星A、B的軌道在赤道平面內，衛星C的軌道為極地軌道，軌道半徑rC＜rA＜rB，下列說法正確的是（　　）
A．衛星B一定與地球自轉同步
B．衛星A的動能比衛星B的動能大
C．衛星C的線速度大小可能為8.0km/s
D．衛星A的加速度比衛星B的加速度大
【解答】解：A、地球同步衛星的其中一種情況是軌道與赤道成零度角，距離地面的高度、線速度和角速度的大小等參數都是固定的，而B不一定是同步衛星，故A錯誤；
B、根據萬有引力提供向心力有：，可得衛星的動能為：
三顆衛星的質量大小關系不知道，無法比較動能的大小，故B錯誤；
C、第一宇宙速度為7.9km/s，是衛星的最大軌道速度，衛星C的線速度大小一定小于7.9km/s，故C錯誤；
D．三顆衛星的軌道半徑rC＜rA＜rB，根據萬有引力產生加速度：，所以加速度：
則由半徑關系可知加速度關系為：aC＞aA＞aB，故D正確。
故選：D。
（2023秋 江岸區期末）我國將一顆失效的北斗二號G2，從地球同步圓軌道經橢圓軌道運行到“基地軌道”上，該過程的簡化示意圖如圖所示，已知同步衛星軌道半徑為R1，“基地軌道”半徑為R2，轉移軌道與同步軌道和“基地軌道”分別相切于P、Q兩點，衛星在轉移軌道上從P點運動到Q點所需的最短時間為t，已知萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　　）
A．在轉移軌道上Q點的加速度小于在“基地軌道”上Q點的加速度
B．在轉移軌道上P點的速度與Q點速度之比為
C．地球的自轉周期T為
D．地球質量等于
【解答】解：A.由牛頓第二定律有：Gma，在轉移軌道上Q點的加速度等于在“基地軌道”上Q點的加速度，故A錯誤；
B.根據開普勒第二定律有：R1vPΔtR2vQΔt，解得 vP：vQ＝R2：R1，故B錯誤；
C.設地球自轉周期為T，由開普勒第三定律得：，解得地球的自轉周期T＝2t，故C錯誤；
D.由萬有引力提供向心力，對同步衛星有：GmR1，解得地球質量M，故D正確。
故選：D。
（2024春 長寧區校級期中）“天舟一號”貨運飛船與“天宮二號”空間實驗室交會對接形成的組合體仍沿“天宮二號”原來的軌道（可視為圓周）運行。與“天宮二號”單獨運行時相比，組合體運行的（　　）
A．周期變大 B．角速度變小
C．速率不變 D．向心加速度變大
【解答】解：“天舟一號”貨運飛船與“天宮二號”空間實驗室交會對接形成的組合體仍沿“天宮二號”原來的軌道（可視為圓周）運行，與“天宮二號”單獨運行時相比，組合體運行的軌道半徑不變。
A、根據開普勒第三定律可得k，則組合體運行的周期不變，故A錯誤；
B、衛星繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力有：mrω2，解得：ω，組合體運行的角速度不變，故B錯誤；
C、衛星繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力有：m，解得：v，則組合體運行的速率不變，故C正確；
D、根據牛頓第二定律可得ma，解得a，則組合體運行的向心加速度不變，故D錯誤。
故選：C。
（2024春 南京期中）中國計劃于2020年登陸火星。已知火星質量為地球的0.1，火星半徑為地球半徑的0.5，火星公轉半徑約為地球公轉半徑的1.5倍，地球表面的重力加速度約為10m/s2，則火星（　　）
A．公轉周期約為3.8年
B．公轉周期約為1.1年
C．表面的重力加速度約為4m/s2
D．第一宇宙速度約為12km/s
【解答】解：AB，由開普勒第三定律可得，r′＝1.5r，T＝1年，解得年，故AB錯誤；
C.地球表面：
火星表面：
根據題意可知
故，
故C正確；
D.地球的第一宇宙速度：，得
火星的第一宇宙速度：，的
根據題意可知，g＝10m/s2，
解得，故D錯誤。
故選：C。
（2024春 南京期中）2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發射升空，準確進入預定軌道。6月17日，神舟十二號載人飛船與天和核心艙及天舟二號組合體成功交會對接，三名宇航員順利進入天和核心艙開展工作。核心艙繞地球飛行的軌道可視為圓軌道，軌道離地面的高度約為地球半徑的。下列說法正確的是（　　）
A．核心艙在軌道上飛行的周期大于24h
B．核心艙在軌道上飛行的速度小于7.9km/s
C．神舟十二號載人飛船與組合體成功對接后，空間站由于質量增大，軌道半徑將明顯變小
D．核心艙進入軌道后所受地球的萬有引力大小約為它在地面時的（）2倍
【解答】解：A、核心艙繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，得：Gmr，可得T＝2π，由于核心艙的軌道半徑小于地球同步衛星的軌道半徑，而地球同步衛星的周期為24h，所以核心艙在軌道上飛行的周期小于24h，故A錯誤；
B、由萬有引力提供向心力有：Gm，解得：v，所以核心艙在軌道上飛行的速度小于近地衛星的速度，即小于地球的第一宇宙速度7.9km/s，故B正確；
C、由上述分析可知，根據萬有引力提供向心力列方程進行計算時，核心艙的質量m約去，即核心艙做勻速圓周運動的軌道半徑與其質量無關，同理可知，空間站的軌道半徑與其質量無關，所以神舟十二號載人飛船與組合體成功對接后，空間站軌道半徑不變，故C錯誤；
D、設地球的半徑為R，質量為M，核心艙的質量為m，軌道半徑為r＝RRR，根據萬有引力定律可得F＝G，核心艙進入軌道后所受地球的萬有引力大小與在地面的萬有引力大小之比為：，即核心艙進入軌道后所受地球的萬有引力大小約為它在地面時的倍，故D錯誤。
故選：B。
（2024 西城區一模）2023年，我國首顆超低軌道實驗衛星“乾坤一號”發射成功。“乾坤一號”是一顆繞地球做圓周運動的近地衛星。關于它的運動，下列說法正確的是（　　）
A．角速度大于地球自轉的角速度
B．線速度大于地球的第一宇宙速度
C．線速度小于地球表面物體隨地球自轉的線速度
D．向心加速度小于地球表面的物體隨地球自轉的向心加速度
【解答】解：A、根據萬有引力提供向心力，得，近地衛星的軌道半徑小于地球同步衛星的軌道半徑，可知近地衛星的角速度大于地球同步衛星的角速度，又因地球同步衛星的角速度等于地球自轉的角速度；因此“乾坤一號”角速度大于地球自轉的角速度，故A正確；
B、根據萬有引力提供向心力m得，v，即為地球的第一宇宙速度，故B錯誤；
C、根據v＝ωr，又因為“乾坤一號”角速度大于地球自轉的角速度，可知“乾坤一號”的線速度大于地球表面物體隨地球自轉的線速度，故C錯誤；
D、根據a＝ω2r，又因為“乾坤一號”角速度大于地球自轉的角速度，可知“乾坤一號”的向心加速度大于地球表面的物體隨地球自轉的向心加速度，故D錯誤；
故選：A。
（2024春 渝中區校級月考）下列說法中正確的是（　　）
A．火星與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等
B．牛頓發現萬有引力定律，被譽為“第一個稱出地球質量的人”
C．所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽在橢圓軌道的中心
D．開普勒第三定律指出，所有行星運動的周期和半長軸成正比
【解答】解：A、根據開普勒第二定律可知，火星與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等，故A正確；
B、牛頓發現了萬有引力定律，卡文迪什測出了萬有引力常量G的值，被譽為“第一個稱出地球質量的人”，故B錯誤；
C、根據開普勒第一定律可知，所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上，故C錯誤；
D、開普勒第三定律指出，所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，故D錯誤。
故選：A。
（2024春 武漢期中）2023年華為隆重推出搭載我國自主研發的麒麟9000s芯片的Mate60手機，該手機可以與地球同步軌道的“天通一號01”實現衛星通信。已知地球半徑為R，“天通一號01”離地高度約為6R，以下關于該衛星的說法正確的是（　　）
A．衛星在地球同步軌道上處于平衡狀態
B．衛星的發射速度小于近地衛星的環繞速度
C．衛星的加速度約為靜止在赤道上物體加速度的36倍
D．若地球自轉加快，衛星為保持與地面同步，軌道高度應降低
【解答】解：A．衛星在地球同步軌道上做勻速圓周運動，所受合力不為零，不是處于平衡狀態，故A錯誤；
B．同步衛星軌道高于近地軌道衛星，故發射速度大于最小發射速度，即最大環繞速度，故B錯誤；
C．同步軌道上衛星與赤道上物體運動的角速度相同，由，衛星在同步軌道上的向心加速度約是赤道上物體向心加速度的7倍，故C錯誤；
D．若地球自轉加快，衛星為保持與地面同步，應當具有更大的角速度，更小的周期，根據萬有引力提供向心力有，可知軌道高度應降低，故D正確。
故選：D。
（2024春 渝中區校級月考）最新觀測到一顆與地球相似的M星球，觀測發現M星球有一顆近地衛星，當地球的近地衛星轉了5圈時，M星球的近地衛星只轉了1圈，M星球的半徑約為地球半徑的，設地球和M星球的密度、表面的重力加速度分別用，ρ1、ρ2、g1、g2表示。則下列說法正確的是（　　）
A．地球與M星球的第一宇宙速度之比為5：1
B．地球和M星球的密度之比ρ1：ρ2＝1：25
C．M星球的自轉角速度增加到（R1為地球半徑）時，會發生解體
D．地球和M星球表面的重力加速度之比g1：g2＝50：1
【解答】解：B、由題意可知：5T1＝T2，
對于近地衛星，在星球表面萬有引力提供向心力：
星球的體積為：
星球的密度為：
故地球和M星球的密度之比：，故B錯誤；
D、對于近地衛星，在星球表面有：
根據質量與密度關系式可知：M∝ρR3
可得：g∝ρR
地球和M星球表面的重力加速度之比：，故D正確；
A、對貼近地面的衛星，根據萬有引力提供向心力：
第一宇宙速度之比為：，故A錯誤；
C、設M星球最外端的一物體質量為m0，當角速度為ω時，若物體將要離開M星球：
解得此時M星球角速度的大小：，故C錯誤。
故選：D。
（2024 鹿城區校級模擬）研究發現，銀河系中有一種看不見但很重的物體，促使這些恒星在其周圍轉圈。其中一顆恒星S2完整軌道如圖所示，它繞銀河系中心的周期約16年。橢圓的半短軸約400AU（太陽到地球的距離為1AU），根據離心率可以判斷軌道的長軸約為短軸的2.5倍，研究中可忽略其他星體對S2的引力，則銀河系中心質量與太陽質量之比約為（　　）
A．3×107 B．6×107 C．4×106 D．6×109
【解答】解：根據萬有引力提供向心力有：，即：
所以M與成正比，設太陽質量為M1，銀河系中心質量為M2，
則有
將R1＝1AU，R2＝1000AU，T1＝1，T2＝16代入可得：M1：M2＝1：4000000
所以銀河系中心質量與太陽質量之比約為4×106，故ABD錯誤，C正確。
故選：C。
（2024 開福區校級模擬）地球北極上的物體重力加速度為g，物體在赤道上隨地球自轉的重力加速度為g0，要使赤道上的物體“飄”起來，則地球轉動的角速度應為原來的（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：設地球原來自轉的角速度為ω1，地球半徑為R，根據在極地和赤道上的重力加速度可得：，當赤道上的物體剛剛“飄起來”時，由萬有引力提供向心力，設此時地球轉動的角速度為ω2，則有，聯立可得，故BCD錯誤，A正確。
故選：A。
（2024 鹽城一模）如圖是神舟十七號載人飛船與天和核心艙對接過程示意圖，神舟十七號飛船先在軌道Ⅰ上做周期為T1的圓周運動，在A點變軌后，沿橢圓軌道Ⅱ運動，在B點再次變軌與天和核心艙對接，此后共同在圓軌道Ⅲ上運行，下列說法正確的是（　　）
A．飛船沿軌道Ⅱ的運行周期小于飛船沿軌道Ⅰ的運行周期
B．飛船在軌道Ⅱ上經過A點時的加速度大于在軌道Ⅰ上經過A點時的加速度
C．飛船在軌道Ⅱ上經過B點時的速度大于在軌道Ⅲ上經過B點時的速度
D．相等時間內，在軌道Ⅰ上飛船與地心連線掃過的面積小于在軌道Ⅲ上掃過的面積
【解答】解：A、根據圖像可知，飛船沿軌道Ⅱ的運行軌道半長軸大于飛船沿軌道Ⅰ的運行半徑，據開普勒第三定律可得k，所以飛船沿軌道Ⅱ的運行周期大于飛船沿軌道Ⅰ的運行周期，故A錯誤；
B、根據牛頓第二定律可得ma，解得a，所以飛船在軌道Ⅱ上經過A點時的加速度等于在軌道Ⅰ上經過A點時的加速度，故B錯誤；
C、飛船在軌道Ⅱ上經過B點加速做離心運動轉移到軌道Ⅲ，所以飛船在軌道Ⅱ上經過B點時的速度小于在軌道Ⅲ上經過B點時的速度，故C錯誤；
D、設衛星做勻速圓周運動的軌道半徑為r，在很短時間Δt內與地心連線掃過的面積為：S
由萬有引力提供向心力有：m，解得：v
聯立解得：S
所以相等時間內，在軌道Ⅰ上飛船與地心連線掃過的面積小于在軌道Ⅲ上掃過的面積，故D正確。
故選：D。
（2024 湖南模擬）2023年10月26日，神舟十七號載人飛船與天和核心艙進行了對接，“太空之家”迎來湯洪波、唐勝杰、江新林3名中國航天史上最年輕的乘組入駐。如圖為飛船運行與交會對接過程示意圖，橢圓軌道1為飛船對接前的運行軌道，Q點是軌道1的近地點，離地高度可忽略不計。圓形軌道2距地面高度為H，是天和核心艙的運行軌道，P點是1、2軌道的切點，也是交會點。地球半徑為R，表面重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．飛船從軌道1變軌到軌道2需要在交會點P點點火減速
B．天和核心艙在軌道2上的速度一定大于
C．交會對接前天和核心艙的向心加速度為
D．飛船在軌道1上與在軌道2上運動的周期之比為
【解答】解：A．從低軌道變軌到高軌道需加速，故飛船從軌道1變軌到軌道2需要在交會點 P 點點火加速，故A錯誤；
B．天和核心艙在軌道2上運動時，根據萬有引力提供向心力，結合在地球表面萬有引力約等于重力，即，
可得運動速度
故B錯誤；
C．設對接前天和核心艙的向心加速度為a2，根據牛頓第二定律有，
解得向心加速度：
故C正確；
D．設飛船在軌道1、軌道2運動周期分別為T1、T2，由開普勒第三定律有
可得
故D錯誤。
故選：C。
（2024 下城區校級模擬）繼在文昌發射站發射了首顆火星探測器“天問一號”后，“天問二號”即將在2025年發射。已知火星公轉半徑是地球公轉半徑的1.5倍，天問二號發射后沿霍曼轉移軌道運動，可認為地球和火星在同一平面沿同一方向繞太陽做勻速圓周運動，如圖所示。則下列說法正確的是（　　）
A．地球繞太陽運動的加速度小于火星繞太陽運動的加速度
B．探測器沿霍曼軌道飛往火星過程中做減速運動
C．火星探測器“天問一號”的發射速度v應滿足7.9km/s＜v＜11.2km/s
D．探測器沿霍曼轉移軌道運動的周期為個月
【解答】解：A、根據得，因為火星半徑大于地球半徑，所以地球繞太陽運動的加速度大于火星繞太陽運動的加速度，故A錯誤；
B、探測器沿霍曼軌道飛往火星過程中，受到的太陽引力方向與速度方向的夾角大于90°，則引力做負功，所以探測器的速度減小，做減速運動，故B正確；
C、火星探測器“天問一號”的發射速度v應大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度，所以應該滿足11.2km/s＜v＜16.7km/s，故C錯誤；
D、設地球的軌道半徑為R，則火星的軌道半徑為1.5R，根據幾何關系可知探測器的半長軸為R'＝1.25R，地球的周期T＝12個月，根據開普勒第三定律有，解得T'個月，故D錯誤。
故選：B。
（2024 海淀區一模）1610年，伽利略用他制作的望遠鏡發現了木星的四顆主要衛星。根據觀察，他將其中一顆衛星P的運動視為一個振幅為A、周期為T的簡諧運動，并據此推測，他觀察到的衛星振動是衛星圓運動在某方向上的投影。
如圖所示，是伽利略推測的衛星P運動的示意圖，在xOy平面內，質量為m的衛星P繞坐標原點O做勻速圓周運動。已知引力常量為G，不考慮各衛星之間的相互作用。
（1）若認為木星位于坐標原點O，根據伽利略的觀察和推測結果：
①寫出衛星P做圓周運動的向心力大小F的表達式。
②求木星的質量M。
③物體做簡諧運動時，回復力應該滿足F＝﹣kx。請據此證明：衛星P繞木星做勻速圓周運動在x軸上的投影是簡諧運動。
（2）若將木星與衛星P視為雙星系統，彼此圍繞其連線上的某一點做勻速圓周運動，計算出的木星質量為M'。請分析比較（1）②中得出的質量M與M'的大小關系。
【解答】解：（1）①簡諧運動是勻速圓周運動的投影，二者周期相同，簡諧運動的振幅等于圓周運動的半徑。依據牛頓第二定律有F＝mA
②木星與衛星間萬有引力提供了衛星繞其做圓周運動的向心力，設衛星的質量為m，依據牛頓第二定律有mA
解得木星質量M
③設衛星P做勻速圓周運動如圖中所示位置時，與x軸的夾角為θ。
則向心力向x軸的投影Fx＝﹣mAcosθ
位移在x軸方向上的投影為x＝Acosθ
滿足F＝﹣kx，其比例系數k＝m，這說明星P繞木星做勻速圓周運動向x軸的投影是簡諧運動。
（2）若木星與衛星為雙星模型，設木星質量為M'，木星與衛星的距離為L，衛星繞連線某點做圓周運動的半徑等于觀測到的簡諧運動的振幅A。
對衛星列牛頓第二定律，有mA
得木星質量M'
因為A＜L，所以M＜M'，即（2）問計算出的木星質量M偏小。
答：（1）①衛星P做圓周運動的向心力大小F的表達式為F＝mA。
②木星的質量為。
③見解析。
（2）質量M與M'的大小關系為M＜M'。

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