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第12講　功　功率
知識內容 考試要求 說明
追尋守恒量——能量 b 1.不要求用功的定義式計算變力的功． 2.不要求用功率、力和速度的關系式解決力與速度不在一條直線上的問題． 3.不要求結合力和運動關系定量求解機車以恒定功率啟動和勻加速啟動的問題.
功 c
功率 c
一、追尋守恒量
1．物體由于運動而具有的能量叫做動能；相互作用的物體憑借其位置而具有的能量叫做勢能．
2．無論經歷怎樣的運動變化，能量總和保持不變，稱之為守恒．
二、功
1．做功的必要因素
力和物體在力的方向上發生的位移．
2．計算公式
(1)當恒力F的方向與位移l的方向一致時：W＝Fl.
(2)當恒力F的方向與位移l的方向成某一夾角α時：W＝Flcos α.
3．功的正負
(1)當0≤α<時，W>0，力對物體做正功．
(2)當<α≤π時，W<0，力對物體做負功，或者說物體克服這個力做了功．
(3)當α＝時，W＝0，力對物體不做功．
三、功率
1．定義：功與完成這些功所用時間的比值．
2．物理意義：描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝，P為時間t內的平均功率．
(2)P＝Fv(力與速度在一條直線上)．
①v為平均速度，則P為平均功率．
②v為瞬時速度，則P為瞬時功率．
4．額定功率與實際功率
(1)額定功率：動力機械正常工作時輸出的最大功率．
(2)實際功率：動力機械實際工作時輸出的功率，要求小于或等于額定功率．
命題點一　正、負功的判斷
判斷力是否做功及做正、負功的方法
判斷根據 適用情況
根據力和位移的方向的夾角判斷 常用于恒力做功的判斷
根據力和瞬時速度方向的夾角判斷 常用于質點做曲線運動
根據功能關系或能量守恒定律判斷 常用于變力做功的判斷
（2024 寧波模擬）2023年9月30日，杭州亞運會男子100米決賽中，我國選手謝震業以9秒97的成績奪得金牌。下列說法正確的是（　　）
A．“9秒97”是指時刻
B．謝震業百米賽跑全程的平均速度是10.03m/s
C．起跑時助跑器對謝震業的作用力對他一定做正功
D．謝震業沖線時的加速度一定比起跑時大
（2022 閔行區二模）圖1為一男士站立在履帶式自動扶梯上勻速上樓，圖2為一女士站在臺階式自動扶梯上勻速上樓。下列關于兩人受到的力以及做功情況正確的是（　　）
A．圖1中支持力對人不做功
B．兩人受到電梯的作用力的方向不相同
C．圖2中支持力對人不做功
D．圖2中摩擦力對人做負功
（2024 順慶區校級一模）如圖所示，有一條寬度為800m的小河自西向東流淌，水流速度為v0，各點到較近河岸的距離為x，v0與x之間的關系為v0＝0.0075x（均采用國際單位）。讓小船船頭垂直河岸由南向北渡河，小船相對于河水的速度恒為v1＝4m/s，下列說法正確的選項是（　　）
A．小船在水中做類平拋運動
B．小船到達北岸時位移大小為
C．小船剛到達北岸時，相對于河岸的速度大小為5m/s
D．小船在行駛過程中，水流一直對小船做正功
命題點二　功的分析與計算
1．在求力做功時，首先要區分是求某個力的功還是合力的功，是求恒力的功還是變力的功．
2．恒力做功與物體的實際路徑無關，等于力與物體在力方向上的位移的乘積，或等于位移與在位移方向上的力的乘積．
3．若為變力做功，則要考慮應用動能定理或將變力做功轉化為恒力做功進行求解．
4．總功的計算：
(1)先求物體所受的合外力，再求合外力的功；
(2)先求每個力做的功，再求各功的代數和．
類型1　恒力功的分析與計算
（2024 天河區一模）圖甲中的轆轤是古代民間提水設施，由轆轤頭、支架、井繩、水桶等部分構成。圖乙為工作原理簡化圖，轆轤繞繩輪軸半徑r＝0.1m，水桶的質量M＝0.5kg，井足夠深，忽略井繩質量和因繩子纏繞導致輪軸的半徑變化。某次從井中汲取m＝2kg的水，輪軸由靜止開始繞中心軸轉動從而豎直向上提水桶，其角速度隨時間變化規律如圖丙所示，重力加速度g＝10m/s2，則（　　）
A．10s末水桶的速度大小為20m/s
B．水桶的速度大小隨時間變化規律為v＝2t
C．0～10s內水柚上升的高度為20m
D．0～10s內井繩拉力所做的功為255J
（多選）（2024 山東開學）如圖所示，光垂直照射斜面，把一個質量為0.2kg的小球從斜面頂端水平彈射出來做平拋運動，小球剛好落在木板底端。然后使用手機連續拍照功能，拍出多張照片記錄小球此運動過程。通過分析照片可以得到小球的飛行時間為0.6s，小球與其影子距離最大時，影子A距木板頂端和底端的距離之比約為7：9，重力加速度g＝10m/s2。下列說法正確的是（　　）
A．飛行過程中，重力對小球做的功為1.8J
B．小球與影子距離最大時，剛好是飛行的中間時刻
C．斜面的傾角θ＝30°
D．木板的長度為3.6m
（多選）（2024 烏魯木齊模擬）如圖所示，烏魯木齊機場在傳輸旅客行李的過程中，行李從一個斜面滑下。為防止行李下滑時速度過大，斜面上設置了一段“減速帶”（行李與“減速帶”間動摩擦因數較大）。小梁的行李箱質量為m、長度為L，“減速帶”的長度為2L，該行李箱與“減速帶”間的動摩擦因數為μ，斜面與水平面間的夾角為θ，重力加速度的大小為g，行李箱滑過“減速帶”的過程中，不會發生轉動且箱內物品相對行李箱靜止。設該行李箱質量分布均勻和不均勻的兩種情況下滑過“減速帶”的過程中，克服“減速帶”的摩擦力做的功分別為W1和W2。則（　　）
A．W1一定等于2μmgLcosθ
B．W1一定大于2μmgLcosθ
C．W2一定等于W1
D．W2可能大于W1
類型2　變力功的分析與計算
（2024 重慶模擬）如圖1所示，固定斜面的傾角θ＝37°，一物體（可視為質點）在沿斜面向上的恒定拉力F作用下，從斜面底端由靜止開始沿斜面向上滑動，經過距斜面底端x0處的A點時撤去拉力F。該物體的動能Ek與它到斜面底端的距離x的部分關系圖像如圖2所示。已知該物體的質量m＝1kg，該物體兩次經過A點時的動能之比為4：1，該物體與斜面間動摩擦因數處處相同，sin37°＝0.6，重力加速度g取10m/s2，不計空氣阻力。則拉力F的大小為（　　）
A．8N B．9.6N C．16N D．19.2N
（2023春 承德期末）一愛好輪滑的同學在輪滑場上練習輪滑時，有兩個用相同材料鋪設的輪滑軌道，高度相同，I軌道向外凸起，Ⅱ軌道向內凹進，如圖所示。該同學多次從兩軌道上等高的A、C兩點由靜止滑下，當到達軌道底端的等高點B、D時，速度大小總是一個大、另一個小，則下列說法正確的是（　　）
A．下滑的過程中在Ⅰ軌道上摩擦力對該同學做的功大于在Ⅱ軌道上摩擦力對該同學做的功
B．該同學到達B點時的速度總是大于到達D點時的速度
C．在經過兩軌道上某等高點時，I軌道受到該同學的壓力大
D．在Ⅱ軌道上下滑的過程中該同學克服重力做功的功率一定越來越大
（2023春 鐵嶺期末）如圖甲所示，在一無限大的光滑水平面上靜止放置著可視為質點的物體，以物體所在初始位置為坐標原點建立一維坐標系，現給物體施加一沿x軸正方向的作用力F，其加速度a與坐標x的關系如圖乙所示，則在x＝4m處，物體的速度大小為（　　）
A．4m/s B．2m/s C．2m/s D．無法計算
命題點三　功率的理解和計算
類型1　機車恒定加速度啟動
（2024 香坊區校級二模）2022年8月1日，中國東北地區首條智軌線路哈爾濱新區智軌有軌電車投入運營。假設有軌電車質量為m，某次測試中有軌電車由靜止出發在水平面做加速度為a的勻加速直線運動，有軌電車所受的阻力恒定為f，達到發動機的額定功率P后，有軌電車保持額定功率做變加速運動，再經時間t速度達到最大，然后以最大速度勻速運動，對此下列說法正確的是（　　）
A．有軌電車勻速運動的速度為
B．有軌電車做勻加速運動的時間為
C．從靜止到加速到速度最大的過程牽引力所做的功為Pt
D．有軌電車保持額定功率做變加速運動時間t內的位移為
（2024 二模擬）某實驗興趣小組對新能源車的加速性能進行探究。他們根據自制的電動模型車模擬汽車啟動狀態，并且通過傳感器，繪制了模型車從開始運動到剛獲得最大速度過程中速度的倒數和牽引力F之間的關系圖像，如圖所示。已知模型車的質量m＝1kg，行駛過程中受到的阻力恒定，整個過程時間持續5s，獲得最大速度為4m/s，則下列說法正確的是（　　）
A．模型車受到的阻力大小為1N
B．模型車勻加速運動的時間為2s
C．模型車牽引力的最大功率為6W
D．模型車運動的總位移為14m
（2024 天津模擬）2019年10月1日，在慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式上，習近平主席乘“紅旗”牌國產轎車依次檢閱15個徒步方隊和32個裝備方隊。檢閱車在水平路面上的啟動過程如圖所示，其中Oa為過原點的傾斜直線，ab段表示以額定功率P行駛時的加速階段，bc段是與ab段相切的水平直線，若檢閱車的質量為m，行駛過程中所受阻力恒為f，則下列說法正確的是（　　）
A．檢閱車在t1時刻的牽引力和功率都是最大值，t2～t3時間內其牽引力大于f
B．0～t1時間內檢閱車做變加速運動
C．0～t2時間內的平均速度等于
D．t1～t2時間內檢閱車牽引力所做功為P（t2﹣t1）
類型2　機車恒定功率啟動
（多選）（2024 天津一模）質量為m的汽車，啟動后沿平直路面行駛過程中發動機的功率恒定，受到恒定的阻力f，汽車速度能夠達到的最大值為v，那么當汽車的速度為時（　　）
A．汽車的牽引力大小為4f
B．汽車的牽引力大小為f
C．汽車的瞬時加速度大小為
D．汽車的瞬時加速度大小為
（2023 沈河區校級模擬）“碳中和”、“低碳化”、“綠色奧運”是北京冬奧會的幾個標簽。本次冬奧會運行超1000輛氫能源汽車，是全球最大的一次燃料電池汽車示范。某款質量為M的氫能源汽車（如圖所示）在一次測試中，沿平直公路以恒定功率P從靜止啟動做直線運動，行駛路程x，恰好達到最大速度vm。已知該車所受阻力恒定。下列判定正確的是（　　）
A．啟動過程中，車做勻加速直線運動
B．啟動過程中，牽引力對車做的功為
C．車速從0增至vm的加速時間為
D．車速為時，車的加速度大小為
（多選）（2023 濱海新區模擬）一輛額定功率800W的玩具賽車在水平直跑道上由靜止開始以恒定功率加速前進，玩具賽車瞬時加速度和瞬時速度的倒數的關系圖像如圖所示。假設在阻力大小不變的情況下，玩具賽車從起點到終點所用的時間為30s，玩具賽車到達終點前已達到最大速度。下列說法正確的是（　　）
A．玩具賽車所受的阻力大小為40N
B．玩具賽車的質量為10kg
C．玩具賽車的速度大小為10m/s時的加速度大小為1m/s2
D．起點到終點的距離為500m
（多選）（2023秋 天山區校級期末）漁業作業中，魚蝦捕撈上來后，通過“魚蝦分離裝置”，實現了機械化分離魚和蝦，大大地降低了人工成本。某科學小組將“魚蝦分離裝置”簡化為如圖所示模型，分離器出口與傳送帶有一定的高度差，魚蝦落在斜面時有沿著斜面向下的初速度。下列說法正確的是（　　）
A．“蝦”可能沿著傳送帶向下做勻加速直線運動
B．“魚”在傳送帶上一定做勻變速直線運動
C．“蝦”在傳送帶上運動時，摩擦力對“蝦”做負功
D．“魚”在傳送帶運動時，加速度方向沿傳送帶先向下后向上
（2023春 山東期中）如圖所示，若用輕繩拴一物體，使物體勻速向下運動，不考慮空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
A．重力做正功，拉力做正功，合力做正功
B．重力做負功，拉力做正功，合力做負功
C．重力做負功，拉力做正功，合力不做功
D．重力做正功，拉力做負功，合力不做功
（2023 慈溪市校級模擬）如圖所示，一位老人在輕繩的幫助下在斜面上保持靜止。設斜面與地面間的傾角為θ且固定，斜面與老人之間的動摩擦因數為μ，老人質量為m，重力加速度為g，假設輕繩方向為水平的，則下列說法正確的是（　　）
A．如果老人不受到斜面對其摩擦力，則斜面對其支持力FN大小滿足FN＝mgcosθ
B．老人受到的摩擦力可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下
C．輕繩對老人的拉力與老人對輕繩的拉力是一對作用力與反作用力，而斜面對老人的支持力與老人的重力則是一對平衡力
D．經過一段時間后老人會覺得疲勞，是因為繩子拉力對老人做了負功
（2023春 龍崗區校級期中）圖甲為游樂場中一種叫“魔盤”的娛樂設施，游客坐在轉動的魔盤上，當度盤轉速增大到一定值時，游客就會滑向盤邊緣，其裝置可以簡化為圖乙。若魔盤轉連緩慢增大，則游客在滑動之前（　　）
A．受到魔盤的摩擦力緩慢增大
B．受到魔盤的支持力緩慢增大
C．受到的合外力大小不變
D．受到的摩擦力做負功
（2023 吉安一模）一質量為m的小球用一根足夠長的輕繩懸掛于天花板上的O點，現用一光滑的輕質金屬掛鉤勾住輕繩，水平向右緩慢拉動輕繩（掛鉤與輕繩的接觸點A始終在同一條水平線上），下列說法正確的是（　　）
A．OA段輕繩的力逐漸增大
B．掛鉤對輕繩的作用力大小可能等于小球的重力大小
C．掛鉤對輕繩的作用力一定沿水平方向
D．掛鉤對輕繩做的功小于小球重力勢能的增加量
（多選）（2023 懷仁市校級三模）如圖所示，長度為R的輕桿上等距離固定質量均為m的n個小球，輕桿一端連接轉動點O，將輕桿撥動到與轉動點O等高的水平位置后自由釋放，忽略一切阻力，重力加速度為g，則從釋放到輕桿擺至豎直位置的過程中（　　）
A．n＝1時，輕桿對小球不做功
B．n＝2時，輕桿對第1個小球做功為mgR
C．n＝10時，輕桿對第7個小球不做功
D．當輕桿對第k個小球做正功時，應滿足k
（多選）（2023 汕頭校級一模）在地面以初速度v0豎直向上拋出一個小球，小球運動過程中受到的空氣阻力與其速率成正比，落地時速率為v1，且落地前已勻速，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．小球加速度在上升過程中逐漸減小，在下落過程中逐漸增加
B．小球拋出瞬間的加速度最大，且大小為
C．小球上升過程中機械能逐漸減小，在下落過程中機械能逐漸增加
D．小球上升過程中克服阻力做功的數值大于下落過程中克服阻力做功的數值
（多選）（2023 金鳳區校級一模）共享電動車已經成為日常生活中不可或缺的重要交通工具，某共享電動車和駕駛員的總質量為100kg，行駛時所受阻力大小為車和人所受總重力的，電動車從靜止開始以額定功率在水平公路上沿直線行駛，7s內行駛了20m，速度達到4m/s。取重力加速度大小g＝10m/s2。下列說法正確的是（　　）
A．該電動車的額定功率為560W
B．該電動車的額定功率為400W
C．在這次行駛中，該電動車行駛的最大速度為4m/s
D．在這次行駛中，該電動車行駛的最大速度為5.6m/s
（2023 撫州一模）為了更好適應市場需求，長安公司推出某新能源純電版汽車，該電動汽車的質量為2t、其電池每次充滿電后的總電能為60kW h。某次汽車電池電能耗盡時，采用直流充電樁對汽車進行充電，充電的平均電流為40A、平均電壓為400V，需要用時4h才能將電池充滿電。當汽車在平直道路上以90kW的額定輸出功率行駛，其最大車速為40m/s，重力加速度g取10m/s2，假設汽車所受阻力與汽車的速率成正比。根據以上信息，下列說法中正確的是（　　）
A．當汽車電池電能耗盡后，直流充電樁對汽車的充電效率為92%
B．當汽車的輸出功率減半，汽車在平直道路上行駛時的最大車速也會減半
C．若汽車以額定輸出功率行駛，當車速為20m/s時，汽車的加速度約為1.69m/s2
D．若汽車以額定輸出功率行駛，當車速為20m/s時，汽車的加速度為1.125m/s2
（2022 道里區校級模擬）復興號動車在世界上首次實現速度350km/h自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創新的又一重大標志性成果。一列質量為m的動車，初速度為v0，以恒定功率P在平直軌道上運動，經時間t達到該功率下的最大速度vm，設動車行駛過程所受到的阻力F保持不變。動車在時間t內（　　）
A．牽引力的功率P＝Fvm
B．做加速度逐漸增大的加速運動
C．做勻加速直線運動
D．牽引力做功Wmm
（2022 東城區三模）復興號動車在世界上首次實現速度350km/h自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創新的又一重大標志性成果。一列質量為m的動車，初速度為v0，以恒定功率P在平直軌道上運動，經時間t達到該功率下的最大速度vm，設動車行駛過程所受到的阻力F保持不變。列車在整個過程中，下列說法正確的是（　　）
A．做勻加速直線運動
B．牽引力的功率P＝Fvm
C．當動車速度為時，其加速度為
D．牽引力做功等于mv02
（2022 杭州二模）公交站點1與站點2之間的道路由水平路面AB段、CD段及傾角為15°的斜坡BC段組成，斜坡足夠長。一輛公交車額定功率為210kW，載人后總質量為8000kg。該車在AB段以54km/h的速率勻速行駛，此過程該車的實際功率為額定功率的一半。該車到達C點時的速率為21.6km/h，此后在大小恒為1.4×104N的牽引力作用下運動，直到速度達到54km/h時關閉發動機自由滑行，結果該車正好停在了D點（站點2）。若在整個行駛過程中，公交車的實際功率不超過額定功率，它在每一個路段的運動都可看成直線運動，它受到的由地面、空氣等產生的阻力F1大小不變。已知sin15°＝0.26，求：
（1）F1的大小；
（2）公交車上坡過程中能夠保持勻速行駛的最大速率；
（3）C點與D點之間的距離。第12講　功　功率
知識內容 考試要求 說明
追尋守恒量——能量 b 1.不要求用功的定義式計算變力的功． 2.不要求用功率、力和速度的關系式解決力與速度不在一條直線上的問題． 3.不要求結合力和運動關系定量求解機車以恒定功率啟動和勻加速啟動的問題.
功 c
功率 c
一、追尋守恒量
1．物體由于運動而具有的能量叫做動能；相互作用的物體憑借其位置而具有的能量叫做勢能．
2．無論經歷怎樣的運動變化，能量總和保持不變，稱之為守恒．
二、功
1．做功的必要因素
力和物體在力的方向上發生的位移．
2．計算公式
(1)當恒力F的方向與位移l的方向一致時：W＝Fl.
(2)當恒力F的方向與位移l的方向成某一夾角α時：W＝Flcos α.
3．功的正負
(1)當0≤α<時，W>0，力對物體做正功．
(2)當<α≤π時，W<0，力對物體做負功，或者說物體克服這個力做了功．
(3)當α＝時，W＝0，力對物體不做功．
三、功率
1．定義：功與完成這些功所用時間的比值．
2．物理意義：描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝，P為時間t內的平均功率．
(2)P＝Fv(力與速度在一條直線上)．
①v為平均速度，則P為平均功率．
②v為瞬時速度，則P為瞬時功率．
4．額定功率與實際功率
(1)額定功率：動力機械正常工作時輸出的最大功率．
(2)實際功率：動力機械實際工作時輸出的功率，要求小于或等于額定功率．
命題點一　正、負功的判斷
判斷力是否做功及做正、負功的方法
判斷根據 適用情況
根據力和位移的方向的夾角判斷 常用于恒力做功的判斷
根據力和瞬時速度方向的夾角判斷 常用于質點做曲線運動
根據功能關系或能量守恒定律判斷 常用于變力做功的判斷
（2024 寧波模擬）2023年9月30日，杭州亞運會男子100米決賽中，我國選手謝震業以9秒97的成績奪得金牌。下列說法正確的是（　　）
A．“9秒97”是指時刻
B．謝震業百米賽跑全程的平均速度是10.03m/s
C．起跑時助跑器對謝震業的作用力對他一定做正功
D．謝震業沖線時的加速度一定比起跑時大
【解答】解：A．“9秒97”是一個時間段而不是一個時間點，故指的是時間而不是時刻，故A錯誤；
B．謝震業百米賽跑全程的平均速度是
故B正確；
C．起跑時助跑器對謝震業的作用力沒有位移，故助跑器不做功，故C錯誤；
D．謝震業沖線時的速度一定比起跑時速度大，但是沖線時的加速度不一定比起跑時大，故D錯誤。
故選：B。
（2022 閔行區二模）圖1為一男士站立在履帶式自動扶梯上勻速上樓，圖2為一女士站在臺階式自動扶梯上勻速上樓。下列關于兩人受到的力以及做功情況正確的是（　　）
A．圖1中支持力對人不做功
B．兩人受到電梯的作用力的方向不相同
C．圖2中支持力對人不做功
D．圖2中摩擦力對人做負功
【解答】解：A、圖中，支持力與速度方向垂直，支持力不做功，故A正確；
B、兩人均做勻速運動，故電梯對人的作用力與重力等大反向，故方向均為豎直向上的，故B錯誤；
C、圖2中，人勻速上樓，支持力向上，與速度方向為銳角，則支持力做正功，故C錯誤；
D、由于人受力平衡，支持力與重力平衡，人不受靜摩擦力，摩擦力不做功，故D錯誤。
故選：A。
（2024 順慶區校級一模）如圖所示，有一條寬度為800m的小河自西向東流淌，水流速度為v0，各點到較近河岸的距離為x，v0與x之間的關系為v0＝0.0075x（均采用國際單位）。讓小船船頭垂直河岸由南向北渡河，小船相對于河水的速度恒為v1＝4m/s，下列說法正確的選項是（　　）
A．小船在水中做類平拋運動
B．小船到達北岸時位移大小為
C．小船剛到達北岸時，相對于河岸的速度大小為5m/s
D．小船在行駛過程中，水流一直對小船做正功
【解答】解：A、小船的運動可以分解為垂直于河岸的速度為v1＝4m/s的勻速直線運動和沿水流的分運動，
則垂直于河岸的方向上有x＝v1t
沿水流方向上有v0＝0.0075x
解得
v0＝0.0075v1t
可知，沿水流方向上的分速度與時間成正比，即加速度大小為
由于x為各點到較近河岸的距離，即小船沿水流方向先做勻加速直線運動，后做勻減速直線運動，所以小船先做類平拋運動，后做類斜拋運動，故A錯誤；
B、小船到達河中央前做類平拋運動，根據運動規律可知：
，
解得小船到達北岸時位移大小為
故B正確；
C、小船先做類平拋運動，后做類斜拋運動，根據對運動的稱性可知，小船剛到達北岸時，沿水流方向的分速度恰好等于0，所以相對于河岸的速度大小為v1＝4m/s，方向垂直于河岸，故C錯誤；
D、根據上述可知，沿水流方向做勻加速直線運動，后做勻減速直線運動，即小船在行駛過程中，水流對小船先做正功后做負功，故D錯誤。
故選：B。
命題點二　功的分析與計算
1．在求力做功時，首先要區分是求某個力的功還是合力的功，是求恒力的功還是變力的功．
2．恒力做功與物體的實際路徑無關，等于力與物體在力方向上的位移的乘積，或等于位移與在位移方向上的力的乘積．
3．若為變力做功，則要考慮應用動能定理或將變力做功轉化為恒力做功進行求解．
4．總功的計算：
(1)先求物體所受的合外力，再求合外力的功；
(2)先求每個力做的功，再求各功的代數和．
類型1　恒力功的分析與計算
（2024 天河區一模）圖甲中的轆轤是古代民間提水設施，由轆轤頭、支架、井繩、水桶等部分構成。圖乙為工作原理簡化圖，轆轤繞繩輪軸半徑r＝0.1m，水桶的質量M＝0.5kg，井足夠深，忽略井繩質量和因繩子纏繞導致輪軸的半徑變化。某次從井中汲取m＝2kg的水，輪軸由靜止開始繞中心軸轉動從而豎直向上提水桶，其角速度隨時間變化規律如圖丙所示，重力加速度g＝10m/s2，則（　　）
A．10s末水桶的速度大小為20m/s
B．水桶的速度大小隨時間變化規律為v＝2t
C．0～10s內水柚上升的高度為20m
D．0～10s內井繩拉力所做的功為255J
【解答】解：AB．由圖丙可知
ω＝2t
所以水桶速度隨時間變化規律為
v＝ωr＝2t×0.1＝0.2t
則10s末水桶的速度大小為2m/s，故AB錯誤；
CD．水桶勻加速上升，加速度
a0.2m/s2
由牛頓第二定律
F （m+M）g＝（m+M）a
代入數據解得
F＝25.5N
水桶勻加速上升，0～10s內它上升的高度為
hat2
代入數據解得
h＝10m
則0～10s內井繩拉力所做的功為
W＝Fh
代入數據解得
W＝255J
故C錯誤，D正確。
故選：D。
（多選）（2024 山東開學）如圖所示，光垂直照射斜面，把一個質量為0.2kg的小球從斜面頂端水平彈射出來做平拋運動，小球剛好落在木板底端。然后使用手機連續拍照功能，拍出多張照片記錄小球此運動過程。通過分析照片可以得到小球的飛行時間為0.6s，小球與其影子距離最大時，影子A距木板頂端和底端的距離之比約為7：9，重力加速度g＝10m/s2。下列說法正確的是（　　）
A．飛行過程中，重力對小球做的功為1.8J
B．小球與影子距離最大時，剛好是飛行的中間時刻
C．斜面的傾角θ＝30°
D．木板的長度為3.6m
【解答】解：A、小球做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，根據勻變速直線運動位移—時間公式有：
飛行過程重力對小球做的功為：WG＝mgh＝0.2×10×1.8J＝3.6J，故A錯誤；
B、經過分析可知，當小球與影子距離最大時，此時小球的速度方向與斜面平行，即速度方向與水平方向的夾角為θ，此時豎直方向的速度為：vy＝v0tanθ
當小球落到斜面底端時，此時小球位移與水平方向的夾角為θ，令此時速度方向與水平方向的夾角為α，則有：
落底端時，豎直方向的速度為：vy1＝v0tanα＝2v0tanθ
則有：
則有：
所以小球與影子距離最大時，剛好是飛行的中間時刻，故B正確；
CD、將小球的運動沿斜面與垂直于斜面分解，建立直角坐標系如圖所示
根據題設條件可知：OA：AB＝7：9
則變形后有：OA：OB＝7：16
可得沿斜面方向的位移：，
又由于：vy＝v0sinθ﹣gcosθ t1
由上式可以求得沿y方向速度減為零需要的時間為：
再根據上一選項結論有：t2＝2t1
聯立可得：，
分析兩式可得：，所以θ＝30°
那么傾斜木板的長度為：OBm＝3.6m，故CD正確。
故選：BCD。
（多選）（2024 烏魯木齊模擬）如圖所示，烏魯木齊機場在傳輸旅客行李的過程中，行李從一個斜面滑下。為防止行李下滑時速度過大，斜面上設置了一段“減速帶”（行李與“減速帶”間動摩擦因數較大）。小梁的行李箱質量為m、長度為L，“減速帶”的長度為2L，該行李箱與“減速帶”間的動摩擦因數為μ，斜面與水平面間的夾角為θ，重力加速度的大小為g，行李箱滑過“減速帶”的過程中，不會發生轉動且箱內物品相對行李箱靜止。設該行李箱質量分布均勻和不均勻的兩種情況下滑過“減速帶”的過程中，克服“減速帶”的摩擦力做的功分別為W1和W2。則（　　）
A．W1一定等于2μmgLcosθ
B．W1一定大于2μmgLcosθ
C．W2一定等于W1
D．W2可能大于W1
【解答】解：將行李箱看成無數段距離很小的質量微元，每段質量微元在“減速帶”中受到的摩擦力為
Δf＝μΔmgcosθ
每段質量微元經過“減速帶”時，摩擦力的作用距離均為2L，則克服“減速帶”的摩擦力做的功
可得
W1＝W2＝W＝2μmgLcosθ
故AC正確，BD錯誤。
故選：AC。
類型2　變力功的分析與計算
（2024 重慶模擬）如圖1所示，固定斜面的傾角θ＝37°，一物體（可視為質點）在沿斜面向上的恒定拉力F作用下，從斜面底端由靜止開始沿斜面向上滑動，經過距斜面底端x0處的A點時撤去拉力F。該物體的動能Ek與它到斜面底端的距離x的部分關系圖像如圖2所示。已知該物體的質量m＝1kg，該物體兩次經過A點時的動能之比為4：1，該物體與斜面間動摩擦因數處處相同，sin37°＝0.6，重力加速度g取10m/s2，不計空氣阻力。則拉力F的大小為（　　）
A．8N B．9.6N C．16N D．19.2N
【解答】解：依題意，設物體在運動過程中受到的滑動摩擦力大小為f，
當物體沿斜面向上運動到x0處時，根據動能定理有
（F﹣Gsinθ﹣f）x0＝E0
運動到2x0處時，根據動能定理有
Fx0﹣（Gsinθ+f） 2x0＝0
當物體沿斜面向下運動到x0處時，根據動能定理有
聯立方程，代入數據解得：F＝19.2N，故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
（2023春 承德期末）一愛好輪滑的同學在輪滑場上練習輪滑時，有兩個用相同材料鋪設的輪滑軌道，高度相同，I軌道向外凸起，Ⅱ軌道向內凹進，如圖所示。該同學多次從兩軌道上等高的A、C兩點由靜止滑下，當到達軌道底端的等高點B、D時，速度大小總是一個大、另一個小，則下列說法正確的是（　　）
A．下滑的過程中在Ⅰ軌道上摩擦力對該同學做的功大于在Ⅱ軌道上摩擦力對該同學做的功
B．該同學到達B點時的速度總是大于到達D點時的速度
C．在經過兩軌道上某等高點時，I軌道受到該同學的壓力大
D．在Ⅱ軌道上下滑的過程中該同學克服重力做功的功率一定越來越大
【解答】解：ABC、由題意可知兩軌道的動摩擦因數相同，由微元法可知，若不考慮向心力，每一小段上克服摩擦力做的功都可以表示為：Wf＝μmglcosθ
由于lcosθ等于對應長度l在地面上的投影，所以在不考慮向心力的情況下，兩軌道摩擦力做的功相等。
由于在兩軌道上運動時做圓周運動，Ⅰ軌道圓心在軌跡下方，向心加速度有豎直向下的分量，因此I軌道上同學對軌道的壓力小于Ⅱ軌道上同學對軌道的壓力，所以在Ⅰ軌道上摩擦力做的功小于在Ⅱ軌道上摩擦力做的功，由動能定理可知，該同學滑到最低點時，到達B點時的速度總是大于到達D點時的速度，故AC錯誤，B正確；
D、在Ⅱ軌道下滑的過程中該同學重力做功的功率WG＝mgvcosα，由于v越來越大，而cosα越來越小，因此可以確定的是重力功率是先增大后減小的，故D錯誤。
故選：B。
（2023春 鐵嶺期末）如圖甲所示，在一無限大的光滑水平面上靜止放置著可視為質點的物體，以物體所在初始位置為坐標原點建立一維坐標系，現給物體施加一沿x軸正方向的作用力F，其加速度a與坐標x的關系如圖乙所示，則在x＝4m處，物體的速度大小為（　　）
A．4m/s B．2m/s C．2m/s D．無法計算
【解答】解：由圖乙可知加速度a＝3+0.5x，由牛頓第二定律可得合力F＝ma＝（3+0.5x）m，物體的質量不變，可知合力F與x成線性關系，F與x的圖像如下圖所示：
根據F與x的圖像圖線與橫軸所夾的面積表示力F做的功，可得
由動能定理有：
代入數據可得：，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
命題點三　功率的理解和計算
類型1　機車恒定加速度啟動
（2024 香坊區校級二模）2022年8月1日，中國東北地區首條智軌線路哈爾濱新區智軌有軌電車投入運營。假設有軌電車質量為m，某次測試中有軌電車由靜止出發在水平面做加速度為a的勻加速直線運動，有軌電車所受的阻力恒定為f，達到發動機的額定功率P后，有軌電車保持額定功率做變加速運動，再經時間t速度達到最大，然后以最大速度勻速運動，對此下列說法正確的是（　　）
A．有軌電車勻速運動的速度為
B．有軌電車做勻加速運動的時間為
C．從靜止到加速到速度最大的過程牽引力所做的功為Pt
D．有軌電車保持額定功率做變加速運動時間t內的位移為
【解答】解：A、有軌電車勻速運動時，牽引力和阻力大小相等，即F＝f，由P＝Fv可得有軌電車勻速運動的速度：，故A錯誤；
B、設有軌電車勻加速過程牽引力大小為F1，由牛頓第二定律有：F1﹣f＝ma，可得牽引力大小F1＝f+ma
設勻加速運動結束時有軌電車的速度大小為v1，由P＝Fv可得
有軌電車做勻加速運動的時間：，故B正確；
C、勻加速過程，汽車的功率P＝Fv＝Fat，F和a恒定不變，所以P與t成正比，勻加速運動結束時，汽車達到額定功率，之后汽車保持額定功率不變，P﹣t圖像如下圖所示：
圖中紅色陰影部分面積表示從靜止到加速到速度最大的過程牽引力所做的功W，圖中綠色陰影部分面積表示從勻加速結束到加速到速度最大的過程牽引力所做的功，即：W′＝Pt，由圖可知：W＜W′，故C錯誤；
D、有軌電車保持額定功率做變加速運動過程，由動能定理有：
代入數據可得：，故D錯誤。
故選：B。
（2024 二模擬）某實驗興趣小組對新能源車的加速性能進行探究。他們根據自制的電動模型車模擬汽車啟動狀態，并且通過傳感器，繪制了模型車從開始運動到剛獲得最大速度過程中速度的倒數和牽引力F之間的關系圖像，如圖所示。已知模型車的質量m＝1kg，行駛過程中受到的阻力恒定，整個過程時間持續5s，獲得最大速度為4m/s，則下列說法正確的是（　　）
A．模型車受到的阻力大小為1N
B．模型車勻加速運動的時間為2s
C．模型車牽引力的最大功率為6W
D．模型車運動的總位移為14m
【解答】解：A、由圖像可知，模型車受到的最小的牽引力為2N，此時加速度為0，模型車受力平衡，所以車所受到的阻力大小f＝2N，故A錯誤；
B、由圖像可知，模型車先做勻加速運動，勻加速運動的末速度v1＝2m/s，此過程的牽引力為F＝4N，根據牛頓第二定律得：F﹣f＝ma，解得勻加速運動的加速度為a＝2m/s2，故勻加速運動的時間t1s＝1s，故B錯誤；
C、當速度達到2m/s時，模型車開始以額定功率行駛，圖像斜率的倒數為功率，故模型車牽引力的最大功率P＝Fv1＝4×2W＝8W，故C錯誤；
D、模型車變加速運動所需時間t2＝t﹣t1＝5s﹣1s＝4s，對于變加速運動，根據動能定理有：Pt2﹣fx2，由圖可知最大速度vm＝4m/s，解得變加速運動的位移x2＝13m，勻加速階段位移x1m＝1m，故總位移x＝x1+x2＝13m+1m＝14m，故D正確。
故選：D。
（2024 天津模擬）2019年10月1日，在慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式上，習近平主席乘“紅旗”牌國產轎車依次檢閱15個徒步方隊和32個裝備方隊。檢閱車在水平路面上的啟動過程如圖所示，其中Oa為過原點的傾斜直線，ab段表示以額定功率P行駛時的加速階段，bc段是與ab段相切的水平直線，若檢閱車的質量為m，行駛過程中所受阻力恒為f，則下列說法正確的是（　　）
A．檢閱車在t1時刻的牽引力和功率都是最大值，t2～t3時間內其牽引力大于f
B．0～t1時間內檢閱車做變加速運動
C．0～t2時間內的平均速度等于
D．t1～t2時間內檢閱車牽引力所做功為P（t2﹣t1）
【解答】解：A、由圖像可知，檢閱車的運動過程為：Oa為勻加速直線運動，ab是恒定功率運動，且加速度在逐漸減小，可知t1時刻牽引力和功率都是最大值，bc是勻速直線運動，t2～t3時間內其牽引力等于f，故A錯誤；
B、在0～t1時間內，由v﹣t圖像可知檢閱車做勻加速直線運動，故B錯誤；
C、在0～t2時間內，若檢閱車做初速度為零、末速度為v2的勻加速直線運動，其平均速度為，而實際上檢閱車先做勻加速運動再做變加速運動，結合v﹣t圖像與時間軸所圍的面積表示位移可知，檢閱車實際位移大于勻加速直線運動的位移，所以此段時間內平均速度大于，故C錯誤；
D、t1～t2時間內檢閱車的功率為額定功率P，由可得牽引力做功為W＝P（t2﹣t1），故D正確。
故選：D。
類型2　機車恒定功率啟動
（多選）（2024 天津一模）質量為m的汽車，啟動后沿平直路面行駛過程中發動機的功率恒定，受到恒定的阻力f，汽車速度能夠達到的最大值為v，那么當汽車的速度為時（　　）
A．汽車的牽引力大小為4f
B．汽車的牽引力大小為f
C．汽車的瞬時加速度大小為
D．汽車的瞬時加速度大小為
【解答】解：AB、汽車速度達到最大時做勻速運動，此時汽車受到的牽引力大小為F＝f，則汽車的功率為P＝Fv＝fv
當汽車的速度為時，汽車的牽引力大小為F′4f，故A正確，B錯誤；
CD、根據牛頓第二定律得：F′﹣f＝ma，解得：a，故C正確，D錯誤。
故選：AC。
（2023 沈河區校級模擬）“碳中和”、“低碳化”、“綠色奧運”是北京冬奧會的幾個標簽。本次冬奧會運行超1000輛氫能源汽車，是全球最大的一次燃料電池汽車示范。某款質量為M的氫能源汽車（如圖所示）在一次測試中，沿平直公路以恒定功率P從靜止啟動做直線運動，行駛路程x，恰好達到最大速度vm。已知該車所受阻力恒定。下列判定正確的是（　　）
A．啟動過程中，車做勻加速直線運動
B．啟動過程中，牽引力對車做的功為
C．車速從0增至vm的加速時間為
D．車速為時，車的加速度大小為
【解答】解：A、根據牛頓第二定律得：a，可知汽車以恒定功率啟動，隨著速度的增加，加速度逐漸減小，即汽車做加速度逐漸減小的加速運動，故A錯誤；
B、汽車從靜止開始加速至vm的過程，假設汽車受到的阻力為f，達到最大速度時牽引力F等于阻力f，功率p＝Fvm＝fvm，根據動能定理可得：W﹣fxM0，
解得：W＝fxMxM，故B錯誤；
C、汽車從靜止開始加速至vm的過程，假設汽車受到的阻力為f，W＝fxMpt，
達到最大速度時牽引力F等于阻力f，功率p＝Fvm＝fvm，解得車速從0增至vm的加速時間為t，故C正確；
D、車速為時，車的加速度大小為a，故D錯誤。
故選：C。
（多選）（2023 濱海新區模擬）一輛額定功率800W的玩具賽車在水平直跑道上由靜止開始以恒定功率加速前進，玩具賽車瞬時加速度和瞬時速度的倒數的關系圖像如圖所示。假設在阻力大小不變的情況下，玩具賽車從起點到終點所用的時間為30s，玩具賽車到達終點前已達到最大速度。下列說法正確的是（　　）
A．玩具賽車所受的阻力大小為40N
B．玩具賽車的質量為10kg
C．玩具賽車的速度大小為10m/s時的加速度大小為1m/s2
D．起點到終點的距離為500m
【解答】解：A．由圖可知橫軸交點a＝0時玩具車的速度最大，此時v﹣1＝0.05（s/m），則最大速度為：
解得：vm＝20m/s
則阻力為：
代入數據得：f＝40N，故A正確；
B．由牛頓第二定律得玩具車的加速度為：
又P＝Fv
聯立解得：
所以 ①
由圖像可知
其中Δa＝20m/s2，Δv﹣1＝（0.55﹣0.05）s/m＝0.5s/m
代入數據得：k＝40 ②
聯立①②解得：m＝20kg，故B錯誤；
C．根據
整理得：
可知玩具賽車的速度大小為10 m/s時的加速度大小為2m/s2，故C錯誤；
D．從起點到終點由動能定理得：
解得：x＝500m，故D正確；
故選：AD。
（多選）（2023秋 天山區校級期末）漁業作業中，魚蝦捕撈上來后，通過“魚蝦分離裝置”，實現了機械化分離魚和蝦，大大地降低了人工成本。某科學小組將“魚蝦分離裝置”簡化為如圖所示模型，分離器出口與傳送帶有一定的高度差，魚蝦落在斜面時有沿著斜面向下的初速度。下列說法正確的是（　　）
A．“蝦”可能沿著傳送帶向下做勻加速直線運動
B．“魚”在傳送帶上一定做勻變速直線運動
C．“蝦”在傳送帶上運動時，摩擦力對“蝦”做負功
D．“魚”在傳送帶運動時，加速度方向沿傳送帶先向下后向上
【解答】解：A．蝦落在斜面時有沿著斜面向下的初速度，若滑動摩擦力小于蝦重力沿傳送帶向下的分力，則蝦向下做勻加速直線運動，故A正確；
B．根據圖像，魚最終向上運動，表明傳送帶對魚的滑動摩擦力大小大于魚重力沿傳送帶向下的分力，魚先向下做勻減速直線運動，減速至0后，又沿傳送帶向上做勻加速直線運動，若魚的初速度大于傳送帶的速度，則魚加速至傳送帶速度相等后與傳送帶保持相對靜止，魚最后向上做勻速直線運動，若魚的初速度小于傳送帶的速度，魚可能一直向上做勻加速直線運動，即魚可能做勻變速直線運動，也可能先做勻變速直線運動，后做勻速直線運動，故B錯誤；
C．蝦向下運動，傳送帶對蝦的摩擦力方向沿皮帶向上，可知，“蝦”在傳送帶上運動時，摩擦力對“蝦”做負功，故C正確；
D．魚的加速度方向不可能向下，魚的加速度方向可能一直沿傳送帶向上，也可能先沿傳送帶向上，后為0，故D錯誤。
故選：AC。
（2023春 山東期中）如圖所示，若用輕繩拴一物體，使物體勻速向下運動，不考慮空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
A．重力做正功，拉力做正功，合力做正功
B．重力做負功，拉力做正功，合力做負功
C．重力做負功，拉力做正功，合力不做功
D．重力做正功，拉力做負功，合力不做功
【解答】解：物體勻速向下運動，重力的方向豎直向下，則重力做正功；拉力向上，則拉力做負功；因物體勻速向下運動，則合力為零，所以合力不做功。故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
（2023 慈溪市校級模擬）如圖所示，一位老人在輕繩的幫助下在斜面上保持靜止。設斜面與地面間的傾角為θ且固定，斜面與老人之間的動摩擦因數為μ，老人質量為m，重力加速度為g，假設輕繩方向為水平的，則下列說法正確的是（　　）
A．如果老人不受到斜面對其摩擦力，則斜面對其支持力FN大小滿足FN＝mgcosθ
B．老人受到的摩擦力可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下
C．輕繩對老人的拉力與老人對輕繩的拉力是一對作用力與反作用力，而斜面對老人的支持力與老人的重力則是一對平衡力
D．經過一段時間后老人會覺得疲勞，是因為繩子拉力對老人做了負功
【解答】解：A、對人受力分析如圖所示。
根據平衡條件可知，斜面對人的支持力FN應該等于重力沿垂直斜面的分力mgcosθ和繩子拉力在垂直斜面的分力之和，因此FN與mgcosθ不相等，故A錯誤；
B、因不清楚重力沿斜面的分力和繩子拉力在沿斜面的分力大小關系，所以摩擦力方向不能確定，若重力沿斜面的分力大于繩子拉力在沿斜面的分力大小，人有沿斜面向下運動的趨勢，人受到的摩擦力沿斜面向上。若重力沿斜面的分力小于繩子拉力在沿斜面的分力大小，人有沿斜面向上運動的趨勢，人受到的摩擦力沿斜面向下，故B正確；
C、輕繩對老人的拉力與老人對輕繩的拉力是一對作用力與反作用力，而斜面對老人的支持力與老人的重力方向不在一條線上，因此不是一對平衡力，故C錯誤；
D、老人保持靜止，沒有發生位移，因此繩子拉力沒有做功，故D錯誤。
故選：B。
（2023春 龍崗區校級期中）圖甲為游樂場中一種叫“魔盤”的娛樂設施，游客坐在轉動的魔盤上，當度盤轉速增大到一定值時，游客就會滑向盤邊緣，其裝置可以簡化為圖乙。若魔盤轉連緩慢增大，則游客在滑動之前（　　）
A．受到魔盤的摩擦力緩慢增大
B．受到魔盤的支持力緩慢增大
C．受到的合外力大小不變
D．受到的摩擦力做負功
【解答】解：A、游客受力分析如圖所示，列出水平方向和豎直方向的方程，水平方向：；豎直方向：fy+Ny＝mg，隨著轉速的增大，在游客滑動前，向心力（物體所受的合力）變大，但是游客的重力mg不變，所以只能摩擦力變大，支持力減小，故A正確；
B、游客受力分析如圖所示，列出水平方向和豎直方向的方程，水平方向：；豎直方向：fy+Ny＝mg，隨著轉速的增大，在游客滑動前，向心力（物體所受的合力）變大，但是游客的重力mg不變，所以只能摩擦力變大，支持力減小，故B錯誤；
C、游客受力分析如圖所示，列出水平方向和豎直方向的方程，水平方向：；豎直方向：fy+Ny＝mg，隨著轉速的增大，在游客滑動前，向心力（物體所受的合力）變大，故C錯誤；
D、因為摩擦力沿著斜面向上，人的位移是沿著軌跡的切線方向，即力與位移垂直，所以摩擦力不做功，故D錯誤；
故選：A。
（2023 吉安一模）一質量為m的小球用一根足夠長的輕繩懸掛于天花板上的O點，現用一光滑的輕質金屬掛鉤勾住輕繩，水平向右緩慢拉動輕繩（掛鉤與輕繩的接觸點A始終在同一條水平線上），下列說法正確的是（　　）
A．OA段輕繩的力逐漸增大
B．掛鉤對輕繩的作用力大小可能等于小球的重力大小
C．掛鉤對輕繩的作用力一定沿水平方向
D．掛鉤對輕繩做的功小于小球重力勢能的增加量
【解答】解：A．掛鉤光滑，同一根輕繩上的張力處處相等，故OA段輕繩的拉力大小一直為mg，故A錯誤；
B．由題意，輕繩與掛鉤的接觸點A始終處于動態平衡狀態，故A點合力始終為零，當兩段輕繩與掛鉤三者之間的夾角均為120°時，掛鉤對輕繩的作用力大小等于mg，故B正確；
C．輕繩對A點的兩個拉力的合力指向左下方，A點合力為零，故掛鉤對輕繩的作用力與兩段輕繩對A點的合力等大反向，方向應指向右上方，故C錯誤；
D．小球緩慢移動，動能可視為不變，根據功能關系可知，掛鉤對輕繩做的功用來增加小球重力勢能，故D錯誤。
故選：B。
（多選）（2023 懷仁市校級三模）如圖所示，長度為R的輕桿上等距離固定質量均為m的n個小球，輕桿一端連接轉動點O，將輕桿撥動到與轉動點O等高的水平位置后自由釋放，忽略一切阻力，重力加速度為g，則從釋放到輕桿擺至豎直位置的過程中（　　）
A．n＝1時，輕桿對小球不做功
B．n＝2時，輕桿對第1個小球做功為mgR
C．n＝10時，輕桿對第7個小球不做功
D．當輕桿對第k個小球做正功時，應滿足k
【解答】解：對整體由機械能守恒有nmgR＝mgR（）
根據線速度關系可得：v1＝ω ，v2＝ω vn＝ω
對第k個小球由動能定理有：mgR W桿0
聯立解得：W桿＝mgR [3k﹣（2n+1）]
A、當n＝1時，W桿＝0，故A正確；
B、當n＝2、k＝1時，W桿＝mgRmgR，故B錯誤；
C、n＝10、k＝7時，W桿＝mgR0，故C正確；
D、當輕桿對第k個小球做正功時，應滿足W桿＝mgR [3k﹣（2n+1）]＞0，解得k，故D正確。
故選：ACD。
（多選）（2023 汕頭校級一模）在地面以初速度v0豎直向上拋出一個小球，小球運動過程中受到的空氣阻力與其速率成正比，落地時速率為v1，且落地前已勻速，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．小球加速度在上升過程中逐漸減小，在下落過程中逐漸增加
B．小球拋出瞬間的加速度最大，且大小為
C．小球上升過程中機械能逐漸減小，在下落過程中機械能逐漸增加
D．小球上升過程中克服阻力做功的數值大于下落過程中克服阻力做功的數值
【解答】解：A、上升過程，受重力和阻力，合力向下，根據牛頓第二定律，有：f+mg＝ma
變形解得：
由于是減速上升，阻力逐漸減小，故加速度不斷減小；
下降過程，受重力和阻力，根據牛頓第二定律，有：mg﹣f＝ma′
變形解得：
由于速度變大，阻力變大，故加速度變小；即上升和下降過程，加速度一直在減小，故A錯誤；
B、空氣阻力與其速率成正比，最終以v1勻速下降，有：mg＝kv1
小球拋出瞬間，有：mg+kv0＝ma0
聯立解得：，拋出瞬間加速度最大，故B正確；
C、全程一直存在空氣阻力做負功，根據功能原理可知機械能一直減小，故C錯誤；
D、由于阻力一直做負功，所以上升過程同樣位置的阻力大于下落過程同樣位置的阻力，因此小球上升克服阻力做功的數值大于小球下降克服阻力做功的數值，故D正確。
故選：BD。
（多選）（2023 金鳳區校級一模）共享電動車已經成為日常生活中不可或缺的重要交通工具，某共享電動車和駕駛員的總質量為100kg，行駛時所受阻力大小為車和人所受總重力的，電動車從靜止開始以額定功率在水平公路上沿直線行駛，7s內行駛了20m，速度達到4m/s。取重力加速度大小g＝10m/s2。下列說法正確的是（　　）
A．該電動車的額定功率為560W
B．該電動車的額定功率為400W
C．在這次行駛中，該電動車行駛的最大速度為4m/s
D．在這次行駛中，該電動車行駛的最大速度為5.6m/s
【解答】解：AB、在運動過程中，根據動能定理可得：
其中f
解得P＝400W，故A錯誤，B正確；
CD、當牽引力等于阻力時，速度達到最大，則，故D錯誤，C正確。
故選：BC。
（2023 撫州一模）為了更好適應市場需求，長安公司推出某新能源純電版汽車，該電動汽車的質量為2t、其電池每次充滿電后的總電能為60kW h。某次汽車電池電能耗盡時，采用直流充電樁對汽車進行充電，充電的平均電流為40A、平均電壓為400V，需要用時4h才能將電池充滿電。當汽車在平直道路上以90kW的額定輸出功率行駛，其最大車速為40m/s，重力加速度g取10m/s2，假設汽車所受阻力與汽車的速率成正比。根據以上信息，下列說法中正確的是（　　）
A．當汽車電池電能耗盡后，直流充電樁對汽車的充電效率為92%
B．當汽車的輸出功率減半，汽車在平直道路上行駛時的最大車速也會減半
C．若汽車以額定輸出功率行駛，當車速為20m/s時，汽車的加速度約為1.69m/s2
D．若汽車以額定輸出功率行駛，當車速為20m/s時，汽車的加速度為1.125m/s2
【解答】解：A、由題可知，電能為：E＝60kW h＝60×103W h，則由W＝UIt可知，充電效率為：η100%100%＝93.75%，故A錯誤；
B、達到最大車速時，阻力f＝F，P＝Fvm＝kv，輸出功率減半時，，解得：vm′，故B 錯誤；
CD、汽車以額定輸出功率行駛，P＝Fvm，p＝F′v，阻力f′＝kv，由牛頓第二定律F′﹣f′＝ma，聯立解得：a＝1.69m/s2，故C正確，D錯誤。
故選：C。
（2022 道里區校級模擬）復興號動車在世界上首次實現速度350km/h自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創新的又一重大標志性成果。一列質量為m的動車，初速度為v0，以恒定功率P在平直軌道上運動，經時間t達到該功率下的最大速度vm，設動車行駛過程所受到的阻力F保持不變。動車在時間t內（　　）
A．牽引力的功率P＝Fvm
B．做加速度逐漸增大的加速運動
C．做勻加速直線運動
D．牽引力做功Wmm
【解答】解：A、當加速度為零時，速度達到最大值為vm，此時牽引力的大小等于阻力F，故功率P＝Fvm，故A正確；
BC、根據牛頓第二定律得：F牽﹣F＝ma，而F牽v＝P，動車的速度在增大，則牽引力在減小，故加速度在減小，即動車做加速度減小的加速運動，故BC錯誤；
D、設牽引力做功為W，克服阻力做的功為Wf，根據動能定理W﹣Wf
W＝Wf
故D錯誤；
故選：A。
（2022 東城區三模）復興號動車在世界上首次實現速度350km/h自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創新的又一重大標志性成果。一列質量為m的動車，初速度為v0，以恒定功率P在平直軌道上運動，經時間t達到該功率下的最大速度vm，設動車行駛過程所受到的阻力F保持不變。列車在整個過程中，下列說法正確的是（　　）
A．做勻加速直線運動
B．牽引力的功率P＝Fvm
C．當動車速度為時，其加速度為
D．牽引力做功等于mv02
【解答】解：B、復興號動車做的是以初速度為v0恒定功率運動，功率始終保持不變，并且P額＝F牽v，隨著速度的增加，牽引力逐漸減小，當達到最大速度時候，動車處于平衡狀態，此時牽引力等于阻力F，所以此時的功率為Fvm，故B正確
A、隨著速度的逐漸增加，牽引力逐漸減小，所以動車做的是加速度逐漸減小的加速運動，故A錯誤；
C、當動車速度為時，根據P＝F′，解得F′＝3F，根據牛頓第二定律可得：F′﹣F＝ma，解得加速度為a，故C錯誤；
D、根據動能定理可以得知W牽﹣WFmvm2mv02，故D錯誤；
故選：B。
（2022 杭州二模）公交站點1與站點2之間的道路由水平路面AB段、CD段及傾角為15°的斜坡BC段組成，斜坡足夠長。一輛公交車額定功率為210kW，載人后總質量為8000kg。該車在AB段以54km/h的速率勻速行駛，此過程該車的實際功率為額定功率的一半。該車到達C點時的速率為21.6km/h，此后在大小恒為1.4×104N的牽引力作用下運動，直到速度達到54km/h時關閉發動機自由滑行，結果該車正好停在了D點（站點2）。若在整個行駛過程中，公交車的實際功率不超過額定功率，它在每一個路段的運動都可看成直線運動，它受到的由地面、空氣等產生的阻力F1大小不變。已知sin15°＝0.26，求：
（1）F1的大小；
（2）公交車上坡過程中能夠保持勻速行駛的最大速率；
（3）C點與D點之間的距離。
【解答】解：（1）AB段，已知v＝54km/h＝15m/s，
由于AB勻速行駛，根據P＝Fv，
可知F1N＝7000N，
（2）BC段，根據P＝Fv可知，當達到最大速度時F＝F1+mgsin15°
即P額＝（F1+mgsin15°）vmax，得vmaxm/s≈7.55m/s≈27.2km/h，
即公交車上坡過程中能夠保持勻速行駛的最大速率約為27.2km/h；
（3）CD段，已知21.6km/h＝6m/s
速度達到54km/h之前，應用動量定理（F﹣F1）t1＝mv﹣mvC，得t1s≈10.3s
關閉發動機自由滑行過程，應用動量定理﹣F1t2＝0﹣mv，得t2s＝17.1s
速度達到54km/h之前，m/s＝10.5m/s，
關閉發動機自由滑行過程，平均速度為m/s＝7.5m/s，
C點與D點之間的距離xt110.5×10.3m+7.5×17.1m＝236.4m
答：（1）F1的大小為7000N；
（2）公交車上坡過程中能夠保持勻速行駛的最大速率約為27.2km/h；
（3）C點與D點之間的距離為236.4m。

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