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第25講　磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用
知識(shí)內(nèi)容 考試要求 說明
運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的力 c 1.不要求計(jì)算電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向不垂直情況下的洛倫茲力． 2.不要求推導(dǎo)洛倫茲力公式.
帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) d
一、運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的力
1．洛倫茲力
磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用力．
2．洛倫茲力的方向
(1)判定方法
左手定則：掌心——磁感線從掌心進(jìn)入；
四指——指向正電荷運(yùn)動(dòng)的方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向；
拇指——指向洛倫茲力的方向．
(2)方向特點(diǎn)：F⊥B，F(xiàn)⊥v，即F垂直于B和v決定的平面．
3．洛倫茲力的大小
(1)v∥B時(shí)，洛倫茲力F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B時(shí)，洛倫茲力F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0時(shí)，洛倫茲力F＝0.
二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
1．洛倫茲力的特點(diǎn)：洛倫茲力不改變帶電粒子速度的大小，或者說，洛倫茲力對(duì)帶電粒子不做功．
2．粒子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：
(1)若v0∥B，則粒子不受洛倫茲力，在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
(2)若v0⊥B，則帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
3．半徑和周期公式：
(1)由qvB＝m，得r＝.
(2)由v＝，得T＝.
命題點(diǎn)一　對(duì)洛倫茲力的理解
1．洛倫茲力的特點(diǎn)
(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷．
(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化．
(3)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中不一定受洛倫茲力作用．
(4)洛倫茲力一定不做功．
2．洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別
(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場(chǎng)力．
(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功．
（2023 廣西模擬）帶正電的粒子在外力F作用下沿虛線做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O，a、b、c、d是圓上的4個(gè)等分點(diǎn)。通有電流大小為I的長(zhǎng)直導(dǎo)線垂直圓平面放置，電流方向如圖所示，導(dǎo)線位于a、O連線上，垂直于圓面。不考慮粒子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，則（　　）
A．粒子在a點(diǎn)受到的外力F垂直于紙面向外
B．粒子在b點(diǎn)受到的外力F垂直于紙面向里
C．粒子從a運(yùn)動(dòng)到c，洛倫茲力一直變小
D．粒子從a出發(fā)運(yùn)動(dòng)一周，洛倫茲力不做功
（2023 重慶模擬）如圖所示，光滑水平桌面上有一輕質(zhì)光滑絕緣管道，空間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，絕緣管道在水平外力F（圖中未畫出）的作用下以速度u向右勻速運(yùn)動(dòng)。管道內(nèi)有一帶正電小球，初始位于管道M端且相對(duì)管道速度為0，一段時(shí)間后，小球運(yùn)動(dòng)到管道N端，小球質(zhì)量為m，電量為q，管道長(zhǎng)度為l，小球直徑略小于管道內(nèi)徑，則小球從M端運(yùn)動(dòng)到N端過程有（　?。?br/>A．時(shí)間為
B．小球所受洛倫茲力做功為quBl
C．外力F的平均功率為
D．外力F的沖量為qBl
（2023 滁州一模）粗糙絕緣水平面上垂直穿過兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線，兩根導(dǎo)線中通有相同的電流，電流方向豎直向上。水平面上一帶正電滑塊靜止于兩導(dǎo)線連線的中垂線上，俯視圖如圖所示，某時(shí)刻給滑塊一初速度，滑塊沿中垂線向連線中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，滑塊始終未脫離水平面。則在運(yùn)動(dòng)過程中（　?。?br/>A．滑塊一定做曲線運(yùn)動(dòng)
B．滑塊可能做勻速直線運(yùn)動(dòng)
C．滑塊的加速度一直增大
D．滑塊的速度一直減小
命題點(diǎn)二　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)
帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的分析思路
模型1　直線邊界磁場(chǎng)
直線邊界，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性(如圖所示)
圖a中t＝＝
圖b中t＝(1－)T＝(1－)＝
圖c中t＝T＝
（多選）（2024 鏡湖區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，在x軸及其上方存在垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一粒子源，可向x軸和x軸上方的各個(gè)方向不斷地發(fā)射速度大小均為v＝1×106m/s，質(zhì)量為m＝1×10﹣15kg，帶電量為q＝1×10﹣9C的同種帶電正離子。在x軸上距離原點(diǎn)1m處垂直于x軸放置一個(gè)長(zhǎng)度為1m，厚度不計(jì)且能接收帶電粒子的薄金屬板P（粒子一旦打在金屬板P上立即被接收）?，F(xiàn)觀察到沿x軸負(fù)方向射出的粒子恰好打在薄金屬板的上端。不計(jì)帶電粒子的重力和粒子間相互作用力。取π＝3，則被薄金屬板接收的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為（　　）
A．1.1×10﹣6s B．1.4×10﹣6s C．2.5×10﹣6s D．4.6×10﹣6s
（2024 浉河區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，空間存在垂直紙面向里的兩磁場(chǎng)，以直線AB為界，直線上方存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1＝B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，直線下方存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2的磁場(chǎng)。與AB間距離為L(zhǎng)處有一粒子源O，該粒子源可沿垂直AB方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子。不計(jì)粒子的重力。
（1）若B2＝B，粒子軌跡在AB下方距離AB最大值為L(zhǎng)，求粒子的速度v1及粒子在AB下方的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）若B2＝2B，粒子軌跡在AB下方距離AB最大值為，求粒子的速度v2。
模型2　平行邊界磁場(chǎng)
平行邊界存在臨界條件(如圖所示)
圖a中t1＝，t2＝＝
圖b中t＝
圖c中t＝(1－)T＝(1－)＝
圖d中t＝T＝
（多選）（2023 青羊區(qū)校級(jí)二模）如圖為一除塵裝置的截面圖，平板M、N的長(zhǎng)度及其間距均為d，兩板間存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。工作時(shí)，大量質(zhì)量為m、帶電量為q的帶電塵埃，以平行極板的相同速度進(jìn)入兩板間，在磁場(chǎng)作用下就會(huì)被平板吸附。當(dāng)帶電塵埃以速度v0進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，貼近N板入射的塵埃恰好打在M板右邊緣，塵埃全部被平板吸附，即除塵效率為100%，不計(jì)塵埃的重力，求（　?。?br/>A．帶電塵埃帶正電
B．帶電塵埃進(jìn)入磁場(chǎng)速度
C．若塵埃速度變?yōu)榱?，該裝置的除塵效率是66.7%
D．若塵埃速度變?yōu)榱耍撗b置的除塵效率是33.3%
（多選）（2023 湖南模擬）如圖所示，長(zhǎng)方形abcd區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)O處有一粒子源，O點(diǎn)離ab邊距離為0.25L，離bc邊距離為L(zhǎng)，粒子源以垂直ab邊指向dc邊的速度向磁場(chǎng)內(nèi)發(fā)射不同速率帶正電的粒子，已知ab邊長(zhǎng)為2L、bc邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為q，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，下列說法正確的是（　?。?br/>A．從ab邊射出的粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相同
B．從bc邊射出的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)為
C．粒子有可能從c點(diǎn)離開磁場(chǎng)
D．粒子要想離開長(zhǎng)方形區(qū)域，速率至少要大于
（2024 云南一模）如圖所示，矩形區(qū)域abcd平面內(nèi)有垂直于平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，ab邊長(zhǎng)為4L，bc邊長(zhǎng)為L(zhǎng)。在矩形中心O處有一粒子源，在平面內(nèi)向各方向均勻發(fā)射出速度大小相等的帶電粒子，粒子帶電量均為+q，質(zhì)量均為m。若初速度平行于ab邊的粒子離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)了60°角，不計(jì)粒子之間的相互作用及粒子重力，取sin14.5°＝0.25。求
（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大小；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間和最長(zhǎng)時(shí)間的比值；
（3）某時(shí)刻發(fā)射出的粒子中，當(dāng)初速度方向平行于ab邊的粒子離開磁場(chǎng)時(shí)，這些粒子中未離開磁場(chǎng)的粒子數(shù)與已經(jīng)離開磁場(chǎng)的粒子數(shù)之比。
模型3　圓形邊界磁場(chǎng)
沿徑向射入圓形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)必沿徑向射出，運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性(如圖所示)
r＝
t＝T＝
θ＋α＝90°
（多選）（2024 廣東一模）如圖為晶圓摻雜機(jī)的簡(jiǎn)圖，O是晶圓面（設(shè)其半徑足夠大）的圓心，上、下豎直放置的圓柱形電磁線圈可在中間圓柱形區(qū)域形成勻強(qiáng)磁場(chǎng)；圓柱形磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面半徑為L(zhǎng)、圓心為O1，OO1水平且垂直于晶圓面；若線圈中通入如圖所示的電流，比荷為k的正離子以速度v、沿O1O射入，且全部摻雜在晶圓上，則（　　）
A．離子摻雜在x軸的負(fù)半軸上
B．離子摻雜在x軸的正半軸上
C．圓柱形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度必須小于
D．圓柱形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度必須小于
（2024 重慶模擬）如圖，在直角坐標(biāo)xOy平面內(nèi)，存在半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)邊界與x、y軸分別相切于a、b兩點(diǎn)，ac為圓形邊界的直徑。質(zhì)量為m、電荷量為﹣q的帶電粒子從b點(diǎn)以某一初速度v0沿平行于x軸方向射入磁場(chǎng)，粒子從a點(diǎn)垂直于x軸離開磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力。
（1）求初速度v0；
（2）若粒子以某一初速率v1在xOy平面內(nèi)從b點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，粒子從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)時(shí)離b點(diǎn)最遠(yuǎn)，求粒子初速率v1的大??；
（3）若粒子以大小v2v0的速率在xOy平面內(nèi)從b點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tm。
模型4　三角形邊界磁場(chǎng)
（2023 蘭州模擬）如圖所示，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，∠B＝90°，∠C＝30°。某種帶電粒子（重力不計(jì)）以不同速率從BC邊上D點(diǎn)垂直BC邊射入磁場(chǎng)，速率為v1時(shí)粒子垂直AC邊射出磁場(chǎng)，速率為v2時(shí)粒子從BC邊射出磁場(chǎng)，且運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與AC邊相切，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r1、r2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1、t2。下列說法正確的是（　?。?br/>A．粒子帶正電 B．r1：r2＝2：1
C．v1：v2＝3：1 D．t1：t2＝1：4
（多選）（2023 重慶模擬）如題圖，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），AC邊長(zhǎng)為l，∠B為，一群比荷為的帶負(fù)電粒子以相同速度從C點(diǎn)開始一定范圍垂直AC邊射入，射入的粒子恰好不從AB邊射出，已知從BC邊垂直射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子所用時(shí)間為2t0，則（　?。?br/>A．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為
B．粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為
C．粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為
D．粒子在磁場(chǎng)中掃過的面積為
（2023 沙河口區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，M、N為兩平行金屬板，其間電壓為U。質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，從M板由靜止開始經(jīng)電場(chǎng)加速后，從N板上的小孔射出，并沿與ab垂直的方向由d點(diǎn)進(jìn)入△abc區(qū)域，不計(jì)粒子重力，已知bc＝l，∠c＝60°，∠b＝90°，adl。
（1）求粒子從N板射出時(shí)的速度v0；
（2）若△abc區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要使粒子不從ac邊界射出，則磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為多大？
（3）若△abc區(qū)域內(nèi)存在平行紙面且垂直bc方向向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，要使粒子不從ac邊界射出，電場(chǎng)強(qiáng)度最小為多大？
命題點(diǎn)三　帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解和臨界極值問題
1．多解的幾種情況
(1)帶電粒子電性不確定形成多解：受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在相同的初速度條件下，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡不同而形成多解．
(2)磁場(chǎng)方向不確定形成多解：帶電粒子垂直進(jìn)入方向不確定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，其偏轉(zhuǎn)方向不同而形成多解．
(3)運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解：帶電粒子在交變的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有周期性而形成多解．
(4)臨界條件不唯一形成多解：帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，因軌道半徑不同而形成多解．
2．臨界極值問題
(1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切．
(2)當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，則該帶電粒子(不計(jì)重力)在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)．
(3)一帶電粒子(不計(jì)重力)在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其速率v變化時(shí)，圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)．
（2024 揭陽(yáng)二模）如圖所示，垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，邊界分別是半徑為R和2R的同心圓，O為圓心。在圓心O處有一粒子源（圖中未畫出），在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向發(fā)射出比荷為的帶負(fù)電的粒子，速度連續(xù)分布且粒子間的相互作用力可忽略不計(jì)，這些帶電粒子受到的重力也可以忽略不計(jì)，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁場(chǎng)，則下列說法正確的是（　　）
A．某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場(chǎng)，其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（不考慮粒子再次進(jìn)入磁場(chǎng)的情況）
B．某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場(chǎng)，其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（不考慮粒子再次進(jìn)入磁場(chǎng)的情況）
C．粒子速度的最大值為
D．粒子速度的最大值為
（2024 海淀區(qū)一模）如圖所示，真空區(qū)域內(nèi)有寬度為d、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，MN、PQ是磁場(chǎng)的邊界。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（不計(jì)重力），沿著與MN夾角θ為30°的方向以某一速度射入磁場(chǎng)中，粒子恰好未能從PQ邊界射出磁場(chǎng)。下列說法不正確的是（　　）
A．可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑
B．可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大小
C．若僅減小射入速度，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定變短
D．若僅增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定變短
（2024 西城區(qū)一模）如圖所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向均水平向右。一個(gè)正離子在某時(shí)刻速度的大小為v，方向與電場(chǎng)磁場(chǎng)方向夾角為θ。當(dāng)速度方向與磁場(chǎng)不垂直時(shí)，可以將速度分解為平行于磁場(chǎng)方向的分量v1和垂直于磁場(chǎng)方向的分量v2來(lái)進(jìn)行研究。不計(jì)離子重力，此后一段時(shí)間內(nèi)，下列說法正確的是（　　）
A．離子受到的洛倫茲力變大
B．離子加速度的大小不變
C．電場(chǎng)力的瞬時(shí)功率不變
D．速度與電場(chǎng)方向的夾角θ變大
（2024 深圳校級(jí)模擬）2023年4月，我國(guó)有“人造太陽(yáng)”之稱的托卡馬克核聚變實(shí)驗(yàn)裝置創(chuàng)造了新的世界紀(jì)錄。其中磁約束的簡(jiǎn)化原理如圖：在半徑為R1和R2的真空同軸圓柱面之間，加有與軸線平行的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，R2＝2R1。假設(shè)氘核H沿內(nèi)環(huán)切線向左進(jìn)入磁場(chǎng)，氚核H沿內(nèi)環(huán)切線向右進(jìn)入磁場(chǎng)，二者均恰好不從外環(huán)射出。不計(jì)重力及二者之間的相互作用，則H和H的速度之比為（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
（2024 蘇州模擬）一重力不計(jì)的帶電粒子以初速度v0先后穿過寬度相同且緊鄰在一起的有明顯邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，如圖甲所示，電場(chǎng)和磁場(chǎng)對(duì)粒子總共做功W1；若把電場(chǎng)和磁場(chǎng)正交疊加，如圖乙所示，粒子仍以的初速度穿過疊加場(chǎng)區(qū)對(duì)粒子總共做功W2，比較W1、W2的絕對(duì)值大?。ā　。?br/>A．W1＝W2
B．W1＞W(wǎng)2
C．W1＜W2
D．可能W1＞W(wǎng)2也可能W1＜W2
（2024 包頭一模）如圖，一直角三角形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，其中ac＝2d，bc＝d，c點(diǎn)有一發(fā)射帶正電粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子比荷為k，不計(jì)粒子重力及粒子之間的相互作用，下列說法正確的是（　?。?br/>A．a(chǎn)b邊有粒子出射的區(qū)域長(zhǎng)度為0.5d
B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為
C．若粒子從ac邊出射，入射速度v＞kBd
D．若某粒子，則粒子可以恰好從a點(diǎn)飛出
（2024 貴州模擬）如圖，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有一方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN、PQ是相互垂直的兩條直徑。兩質(zhì)量相等且?guī)У攘慨惙N電荷的粒子從M點(diǎn)先后以相同速率v射入磁場(chǎng)，其中粒子甲沿MN射入，從Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)，粒子乙沿紙面與MN方向成30°角射入，兩粒子同時(shí)射出磁場(chǎng)。不計(jì)粒子重力及兩粒子間的相互作用，則兩粒子射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔為（　?。?br/>A． B． C． D．
（2024 景德鎮(zhèn)二模）如圖所示，水平虛線MN上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。大量帶正電的相同粒子，以相同的速率沿位于紙面內(nèi)水平向右到豎直向上90°范圍內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域，做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 西城區(qū)一模）如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一帶電粒子從圓周上的P點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v1，運(yùn)動(dòng)軌跡為PN；若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v2，運(yùn)動(dòng)軌跡為PM。不計(jì)粒子的重力，下列判斷正確的是（　?。?br/>A．粒子帶負(fù)電
B．速度v1大于速度v2
C．粒子以速度v1射入時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)
D．粒子以速度v1射入時(shí)，在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力較大
（2024 天津模擬）如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，固定一內(nèi)部真空且內(nèi)壁光滑的圓柱形薄壁絕緣管道，其軸線與磁場(chǎng)垂直。管道橫截面半徑為a，長(zhǎng)度為l（l a）。帶電粒子束持續(xù)以某一速度v沿軸線進(jìn)入管道，粒子在磁場(chǎng)力作用下經(jīng)過一段圓弧垂直打到管壁上，與管壁發(fā)生彈性碰撞，多次碰撞后從另一端射出。單位時(shí)間進(jìn)入管道的粒子數(shù)為n，粒子電荷量為+q，不計(jì)粒子的重力、粒子間的相互作用。下列說法不正確的是（　?。?br/>A．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧半徑為a
B．粒子質(zhì)量為
C．管道內(nèi)的等效電流為nqπa2v
D．粒子束對(duì)管道的平均作用力大小為Bnql
（2024 南寧二模）如圖所示，xOy平面內(nèi)，x軸下方充滿垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，x軸上方充滿豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出），其他部分無(wú)電場(chǎng)。從P點(diǎn)水平向右向電場(chǎng)內(nèi)發(fā)射一個(gè)比荷為的帶電粒子，粒子的速度大小為v0，僅在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，從x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成α角（未知）斜向下進(jìn)入磁場(chǎng)，之后從原點(diǎn)O第一次回到電場(chǎng)。已知P、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UPN，忽略邊界效應(yīng)，不計(jì)粒子受到的重力。求：
（1）粒子第一次通過N點(diǎn)的速度大小v及角度α；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E及勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（3）粒子從P點(diǎn)發(fā)射到第2024次從x軸上方進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間t2024。
（2024 天津模擬）如圖所示，L1、L2為兩平行的直線，間距為d，兩直線之間為真空區(qū)域，L1下方和L2上方的無(wú)限大空間有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，以速度v0從L1上的M點(diǎn)入射兩直線之間的真空區(qū)域，速度方向與L1成θ＝30°角，不計(jì)粒子所受的重力，試求：
（1）粒子從M點(diǎn)出發(fā)后，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間第一次回到直線L1上；
（2）若在直線L1、L2之間的平面內(nèi)，存在與v0方向垂直斜向下，場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則粒子無(wú)法進(jìn)入L2上方區(qū)域，粒子經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間第一次回到直線L1；
（3）若直線L1、L2之間無(wú)電場(chǎng)，v0滿足什么條件時(shí)，粒子恰好能回到M點(diǎn)。第25講　磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用
知識(shí)內(nèi)容 考試要求 說明
運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的力 c 1.不要求計(jì)算電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向不垂直情況下的洛倫茲力． 2.不要求推導(dǎo)洛倫茲力公式.
帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) d
一、運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的力
1．洛倫茲力
磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用力．
2．洛倫茲力的方向
(1)判定方法
左手定則：掌心——磁感線從掌心進(jìn)入；
四指——指向正電荷運(yùn)動(dòng)的方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向；
拇指——指向洛倫茲力的方向．
(2)方向特點(diǎn)：F⊥B，F(xiàn)⊥v，即F垂直于B和v決定的平面．
3．洛倫茲力的大小
(1)v∥B時(shí)，洛倫茲力F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B時(shí)，洛倫茲力F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0時(shí)，洛倫茲力F＝0.
二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
1．洛倫茲力的特點(diǎn)：洛倫茲力不改變帶電粒子速度的大小，或者說，洛倫茲力對(duì)帶電粒子不做功．
2．粒子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：
(1)若v0∥B，則粒子不受洛倫茲力，在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
(2)若v0⊥B，則帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
3．半徑和周期公式：
(1)由qvB＝m，得r＝.
(2)由v＝，得T＝.
命題點(diǎn)一　對(duì)洛倫茲力的理解
1．洛倫茲力的特點(diǎn)
(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷．
(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化．
(3)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中不一定受洛倫茲力作用．
(4)洛倫茲力一定不做功．
2．洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別
(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場(chǎng)力．
(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功．
（2023 廣西模擬）帶正電的粒子在外力F作用下沿虛線做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O，a、b、c、d是圓上的4個(gè)等分點(diǎn)。通有電流大小為I的長(zhǎng)直導(dǎo)線垂直圓平面放置，電流方向如圖所示，導(dǎo)線位于a、O連線上，垂直于圓面。不考慮粒子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，則（　?。?br/>A．粒子在a點(diǎn)受到的外力F垂直于紙面向外
B．粒子在b點(diǎn)受到的外力F垂直于紙面向里
C．粒子從a運(yùn)動(dòng)到c，洛倫茲力一直變小
D．粒子從a出發(fā)運(yùn)動(dòng)一周，洛倫茲力不做功
【解答】解：A、粒子在外力F作用下沿虛線做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力為向心力，大小不變，方向始終指向圓心，由安培定則可知，a點(diǎn)時(shí)速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向平行，粒子受到的洛倫茲力大小為0，所以外力F指向圓心，故A錯(cuò)誤；
B、粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力為向心力，大小不變，方向始終指向圓心，b點(diǎn)時(shí)速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向夾θ且在同一平面，由安培定則可知，粒子受到的洛倫茲力垂直于紙面向外，外力垂直于紙面向里錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；
C、粒子在a點(diǎn)時(shí)速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向平行，粒子受到的洛倫茲力大小為0，同理粒子在c點(diǎn)受到的洛倫茲力也為0，而粒子在d點(diǎn)時(shí)，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度與速度之間不平行，所以安培力不為0，由此定性分析可知，從a到c粒子所受的洛倫茲力先變大再變小，故C錯(cuò)誤；
D、因?yàn)槁鍌惼澚偸桥c速度方向垂直，所以洛倫茲力永不做功，故D正確。
故選：D。
（2023 重慶模擬）如圖所示，光滑水平桌面上有一輕質(zhì)光滑絕緣管道，空間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，絕緣管道在水平外力F（圖中未畫出）的作用下以速度u向右勻速運(yùn)動(dòng)。管道內(nèi)有一帶正電小球，初始位于管道M端且相對(duì)管道速度為0，一段時(shí)間后，小球運(yùn)動(dòng)到管道N端，小球質(zhì)量為m，電量為q，管道長(zhǎng)度為l，小球直徑略小于管道內(nèi)徑，則小球從M端運(yùn)動(dòng)到N端過程有（　　）
A．時(shí)間為
B．小球所受洛倫茲力做功為quBl
C．外力F的平均功率為
D．外力F的沖量為qBl
【解答】解：A．小球在水平外力F的作用下以速度u向右勻速運(yùn)動(dòng)，由F＝qvB可知，小球受到的洛倫茲力沿管道方向，且大小保持不變，根據(jù)牛頓第二定律得quB＝ma，由初速度為零的位移公式，解得，故A錯(cuò)誤；
B．小球所受洛倫茲力始終和運(yùn)動(dòng)方向相互垂直，故洛倫茲力不做功，故B錯(cuò)誤；
C．小球所受洛倫茲力不做功，故在沿管道方向分力做正功的大小等于垂直于管道向左的分力做負(fù)功的大小，外力始終與洛倫茲力的垂直管道的分力平衡，則有WF＝Wy＝Wx＝quBl，外力F的平均功率為，故C錯(cuò)誤；
D．外力始終與洛倫茲力的垂直管道的分力平衡，外力F的沖量大小等于，故D正確。
故選：D。
（2023 滁州一模）粗糙絕緣水平面上垂直穿過兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線，兩根導(dǎo)線中通有相同的電流，電流方向豎直向上。水平面上一帶正電滑塊靜止于兩導(dǎo)線連線的中垂線上，俯視圖如圖所示，某時(shí)刻給滑塊一初速度，滑塊沿中垂線向連線中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，滑塊始終未脫離水平面。則在運(yùn)動(dòng)過程中（　?。?br/>A．滑塊一定做曲線運(yùn)動(dòng)
B．滑塊可能做勻速直線運(yùn)動(dòng)
C．滑塊的加速度一直增大
D．滑塊的速度一直減小
【解答】解：根據(jù)右手螺旋定則，知兩導(dǎo)線連線上的垂直平分線上，上方的磁場(chǎng)方向水平向左，而下方的磁場(chǎng)方向水平向右，
根據(jù)左手定則，可知，在上半部分的運(yùn)動(dòng)過程中，滑塊受到的洛倫茲力方向垂直于紙面向里，在下半部分的運(yùn)動(dòng)過程中，滑塊受到的洛倫茲力方向垂直于紙面向外，滑塊所受的支持力減小或增大，則滑塊所受的摩擦力也隨之變小或變大，
根據(jù)牛頓第二定律可知滑塊的加速度也會(huì)變大或者變小，滑塊所受的滑動(dòng)摩擦力與速度反向，滑塊一定做減速直線運(yùn)動(dòng)，故ABC錯(cuò)誤，D正確。
故選：D。
命題點(diǎn)二　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)
帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的分析思路
模型1　直線邊界磁場(chǎng)
直線邊界，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性(如圖所示)
圖a中t＝＝
圖b中t＝(1－)T＝(1－)＝
圖c中t＝T＝
（多選）（2024 鏡湖區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，在x軸及其上方存在垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一粒子源，可向x軸和x軸上方的各個(gè)方向不斷地發(fā)射速度大小均為v＝1×106m/s，質(zhì)量為m＝1×10﹣15kg，帶電量為q＝1×10﹣9C的同種帶電正離子。在x軸上距離原點(diǎn)1m處垂直于x軸放置一個(gè)長(zhǎng)度為1m，厚度不計(jì)且能接收帶電粒子的薄金屬板P（粒子一旦打在金屬板P上立即被接收）?，F(xiàn)觀察到沿x軸負(fù)方向射出的粒子恰好打在薄金屬板的上端。不計(jì)帶電粒子的重力和粒子間相互作用力。取π＝3，則被薄金屬板接收的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為（　　）
A．1.1×10﹣6s B．1.4×10﹣6s C．2.5×10﹣6s D．4.6×10﹣6s
【解答】解：由觀察到沿x軸負(fù)方向射出的粒子恰好打在薄金屬板的上端，可知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為1m
qvB
解得B＝1T
打在P左側(cè)下端的粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度是60°，此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，如圖1所示
1×10﹣6s
被P左側(cè)接收到的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，此時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間
t2
解得t2＝1.5×10﹣6s
被P右側(cè)接收到的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最短時(shí)間粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為270°，此時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間
t3
解得t3＝4.5×10﹣6s
打在P右側(cè)下端的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，此時(shí)粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為300°，如圖2所示，最長(zhǎng)時(shí)間
tmax
解得tmax＝5×10﹣6s
粒子能被P接收時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間應(yīng)滿足
tmin≤t≤t2，或t3≤t≤tmax
故選：ABD。
（2024 浉河區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，空間存在垂直紙面向里的兩磁場(chǎng)，以直線AB為界，直線上方存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1＝B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，直線下方存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2的磁場(chǎng)。與AB間距離為L(zhǎng)處有一粒子源O，該粒子源可沿垂直AB方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子。不計(jì)粒子的重力。
（1）若B2＝B，粒子軌跡在AB下方距離AB最大值為L(zhǎng)，求粒子的速度v1及粒子在AB下方的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）若B2＝2B，粒子軌跡在AB下方距離AB最大值為，求粒子的速度v2。
【解答】解：（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為r1，當(dāng)粒子距AB的最大距離為L(zhǎng)，由幾何關(guān)系可知：r1＝2L
根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)力學(xué)關(guān)系可得：
解得：
由幾何關(guān)系：
可得：θ＝60°
則帶電粒子在AB下方運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為：
代入數(shù)據(jù)解得：
（2）若B2＝2B，設(shè)粒子在直線下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為r2，根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律：
可知：r1＝2r2
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，
設(shè)O1O2與磁場(chǎng)邊界夾角為α，由幾何關(guān)系：r1sinα＝L
聯(lián)立解得：r2＝L，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力有：
解得：v2
答：（1）粒子的速度v1為，粒子在AB下方的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為；
（2）粒子的速度v2為。
模型2　平行邊界磁場(chǎng)
平行邊界存在臨界條件(如圖所示)
圖a中t1＝，t2＝＝
圖b中t＝
圖c中t＝(1－)T＝(1－)＝
圖d中t＝T＝
（多選）（2023 青羊區(qū)校級(jí)二模）如圖為一除塵裝置的截面圖，平板M、N的長(zhǎng)度及其間距均為d，兩板間存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。工作時(shí)，大量質(zhì)量為m、帶電量為q的帶電塵埃，以平行極板的相同速度進(jìn)入兩板間，在磁場(chǎng)作用下就會(huì)被平板吸附。當(dāng)帶電塵埃以速度v0進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，貼近N板入射的塵埃恰好打在M板右邊緣，塵埃全部被平板吸附，即除塵效率為100%，不計(jì)塵埃的重力，求（　?。?br/>A．帶電塵埃帶正電
B．帶電塵埃進(jìn)入磁場(chǎng)速度
C．若塵埃速度變?yōu)榱耍撗b置的除塵效率是66.7%
D．若塵埃速度變?yōu)榱?，該裝置的除塵效率是33.3%
【解答】解：AB、貼近N板入射的塵埃恰好打在M板右邊緣，可知帶電塵埃向上偏轉(zhuǎn)，此塵埃在入射點(diǎn)的洛倫茲力豎直向上，由左手定則可知，帶電塵埃帶負(fù)電，貼近N板入射的塵埃運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示：
由圖可知，塵埃運(yùn)動(dòng)半徑r＝d，塵埃洛倫茲力提供向心力，則有，可得，故A錯(cuò)誤，B正確；
CD、若塵埃速度變?yōu)?，則塵埃運(yùn)動(dòng)的半徑，運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示
設(shè)打在M板右邊緣的塵埃入射點(diǎn)到M板的距離為L(zhǎng)，由勾股定理有：（r′﹣L）2+d2＝r′2，代入數(shù)據(jù)，解得，則在此點(diǎn)上方的帶電塵埃打在M板上，此點(diǎn)下方的帶電塵埃射出磁場(chǎng)，所以當(dāng)帶電塵埃的速度變?yōu)?，該裝置的除塵效率為，故C錯(cuò)誤，D正確。
故選：BD。
（多選）（2023 湖南模擬）如圖所示，長(zhǎng)方形abcd區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)O處有一粒子源，O點(diǎn)離ab邊距離為0.25L，離bc邊距離為L(zhǎng)，粒子源以垂直ab邊指向dc邊的速度向磁場(chǎng)內(nèi)發(fā)射不同速率帶正電的粒子，已知ab邊長(zhǎng)為2L、bc邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為q，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，下列說法正確的是（　　）
A．從ab邊射出的粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相同
B．從bc邊射出的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)為
C．粒子有可能從c點(diǎn)離開磁場(chǎng)
D．粒子要想離開長(zhǎng)方形區(qū)域，速率至少要大于
【解答】解：A．粒子在磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的可能運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示
從ab邊射出的粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同，由T可知，粒子運(yùn)動(dòng)周期相同，但粒子對(duì)應(yīng)的圓心角不相同，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間也不同，故A錯(cuò)誤；
B．從bc邊射出的粒子，最大圓心角即與bc邊相切的軌跡2，切點(diǎn)處對(duì)應(yīng)圓心角為180°，時(shí)間為
，其余粒子圓心角均小于此值，故B正確；
C．粒子與cd邊相切的軌跡如4，由幾何關(guān)系知其軌跡半徑為0.75L，切點(diǎn)在c點(diǎn)左側(cè)，故粒子不可能過c點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
D．粒子要想離開長(zhǎng)方形區(qū)域的臨界軌跡如1，由幾何關(guān)系得其軌跡半徑為0.25L，設(shè)此時(shí)速率為v，則有
解得
粒子要離開長(zhǎng)方形區(qū)域，速率至少為，故D正確。
故選：BD。
（2024 云南一模）如圖所示，矩形區(qū)域abcd平面內(nèi)有垂直于平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，ab邊長(zhǎng)為4L，bc邊長(zhǎng)為L(zhǎng)。在矩形中心O處有一粒子源，在平面內(nèi)向各方向均勻發(fā)射出速度大小相等的帶電粒子，粒子帶電量均為+q，質(zhì)量均為m。若初速度平行于ab邊的粒子離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)了60°角，不計(jì)粒子之間的相互作用及粒子重力，取sin14.5°＝0.25。求
（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大??；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間和最長(zhǎng)時(shí)間的比值；
（3）某時(shí)刻發(fā)射出的粒子中，當(dāng)初速度方向平行于ab邊的粒子離開磁場(chǎng)時(shí)，這些粒子中未離開磁場(chǎng)的粒子數(shù)與已經(jīng)離開磁場(chǎng)的粒子數(shù)之比。
【解答】解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。
由幾何關(guān)系得
解得粒子運(yùn)動(dòng)半徑為：r＝L
根據(jù)洛倫茲力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律得
解得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大小為：
（2）如圖所示。
當(dāng)粒子與ab交于O點(diǎn)正上方時(shí)，弦長(zhǎng)最短，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最小，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，由幾何關(guān)系有
說明圓心角為29°，則最短時(shí)間為
當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與cd邊相切時(shí)，圓心角最大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)。由幾何關(guān)系可知，粒子垂直ab邊射出磁場(chǎng)，圓心角為150°，則最長(zhǎng)時(shí)間為
（3）同一時(shí)刻在磁場(chǎng)中的粒子與O的距離相等，以O(shè)為圓心，以O(shè)到（1）問中射出點(diǎn)的距離為半徑作圓，如圖
當(dāng)初速度方向平行于ab邊的粒子離開磁場(chǎng)時(shí)，仍在磁場(chǎng)中的粒子在磁場(chǎng)內(nèi)部的圓弧上，圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角總和為120°，則未離開磁場(chǎng)的粒子數(shù)與已經(jīng)離開磁場(chǎng)的粒子數(shù)之比為
n1：n2＝120°：（360°﹣120°）＝1：2
模型3　圓形邊界磁場(chǎng)
沿徑向射入圓形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)必沿徑向射出，運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性(如圖所示)
r＝
t＝T＝
θ＋α＝90°
（多選）（2024 廣東一模）如圖為晶圓摻雜機(jī)的簡(jiǎn)圖，O是晶圓面（設(shè)其半徑足夠大）的圓心，上、下豎直放置的圓柱形電磁線圈可在中間圓柱形區(qū)域形成勻強(qiáng)磁場(chǎng)；圓柱形磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面半徑為L(zhǎng)、圓心為O1，OO1水平且垂直于晶圓面；若線圈中通入如圖所示的電流，比荷為k的正離子以速度v、沿O1O射入，且全部摻雜在晶圓上，則（　　）
A．離子摻雜在x軸的負(fù)半軸上
B．離子摻雜在x軸的正半軸上
C．圓柱形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度必須小于
D．圓柱形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度必須小于
【解答】解：AB．由安培定則可得，兩圓柱形電磁線圈中間的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向豎直向上，正離子剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)左手定則，正離子受到的洛倫茲力方向沿x軸正方向，所以離子摻雜在x軸的正半軸上，故A錯(cuò)誤，B正確；
CD．若所有的離子都在晶圓上
則離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑為
r＝L
根據(jù)牛頓第二定律
解得，故C正確，D錯(cuò)誤。
故選：BC。
（2024 重慶模擬）如圖，在直角坐標(biāo)xOy平面內(nèi)，存在半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)邊界與x、y軸分別相切于a、b兩點(diǎn)，ac為圓形邊界的直徑。質(zhì)量為m、電荷量為﹣q的帶電粒子從b點(diǎn)以某一初速度v0沿平行于x軸方向射入磁場(chǎng)，粒子從a點(diǎn)垂直于x軸離開磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力。
（1）求初速度v0；
（2）若粒子以某一初速率v1在xOy平面內(nèi)從b點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，粒子從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)時(shí)離b點(diǎn)最遠(yuǎn)，求粒子初速率v1的大??；
（3）若粒子以大小v2v0的速率在xOy平面內(nèi)從b點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tm。
【解答】解：（1）粒子從b點(diǎn)以某一初速度v0沿平行于x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，從a點(diǎn)垂直于x軸離開磁場(chǎng)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
由洛倫茲力提供向心力可得：qv0B＝m
由幾何關(guān)系可得軌跡半徑：r＝R
聯(lián)立解得進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小為：v0；
C．若粒子以某一初速率v1在xOy平面內(nèi)從b點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，粒子從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)時(shí)離b點(diǎn)最遠(yuǎn)，則ab之間的距離為粒子軌跡的直徑，如圖所示：
根據(jù)幾何關(guān)系可得軌跡半徑：r1
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qv1B＝m
聯(lián)立解得：v1
解得：v1；
（3）以從b點(diǎn)沿各個(gè)方向垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中的半徑為：r2
當(dāng)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)最大時(shí)，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，如圖所示：
由幾何關(guān)系可知，最大圓心角為90°，則粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為：tm。
模型4　三角形邊界磁場(chǎng)
（2023 蘭州模擬）如圖所示，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，∠B＝90°，∠C＝30°。某種帶電粒子（重力不計(jì)）以不同速率從BC邊上D點(diǎn)垂直BC邊射入磁場(chǎng)，速率為v1時(shí)粒子垂直AC邊射出磁場(chǎng)，速率為v2時(shí)粒子從BC邊射出磁場(chǎng)，且運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與AC邊相切，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r1、r2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1、t2。下列說法正確的是（　?。?br/>A．粒子帶正電 B．r1：r2＝2：1
C．v1：v2＝3：1 D．t1：t2＝1：4
【解答】解：A、由題意可知粒子在磁場(chǎng)中順時(shí)針偏轉(zhuǎn)，由左手定則判斷可知粒子帶負(fù)電，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)題意做出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如下圖所示：
由圖中幾何關(guān)系可得：r1＝r2
解得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)得半徑之比：r1：r2＝3：1，故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力有：，解得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度：
由此可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度之比等于軌跡半徑之比，即v1：v2＝r1：r2＝3：1，故C正確；
D、根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)得軌跡可知，速率為v1時(shí)粒子在場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)了30°，速率為v2時(shí)粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)了180°，而同一種粒子在相同磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)得周期相同均為：，則可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比等于偏轉(zhuǎn)角度之比，即t1：t2＝30°：180°＝1：6，故D錯(cuò)誤。
故選：C。
（多選）（2023 重慶模擬）如題圖，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），AC邊長(zhǎng)為l，∠B為，一群比荷為的帶負(fù)電粒子以相同速度從C點(diǎn)開始一定范圍垂直AC邊射入，射入的粒子恰好不從AB邊射出，已知從BC邊垂直射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子所用時(shí)間為2t0，則（　?。?br/>A．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為
B．粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為
C．粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為
D．粒子在磁場(chǎng)中掃過的面積為
【解答】解：A、帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，垂直BC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡為圓周，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是周期。
由洛倫茲力提供向心力得：qvB，周期T
可得：，解得：，故A正確；
B、設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為θ，則有：
，解得150°
畫出該粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示，其軌跡與AB邊相切。
設(shè)軌道半徑為R，由幾何知識(shí)得：
可得，故B錯(cuò)誤；
C、粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為：，故C正確；
D、射入的粒子恰好不從AB邊射出，粒子在磁場(chǎng)中掃過的面積為（圖中陰影部分），故D正確。
故選：ACD。
（2023 沙河口區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，M、N為兩平行金屬板，其間電壓為U。質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，從M板由靜止開始經(jīng)電場(chǎng)加速后，從N板上的小孔射出，并沿與ab垂直的方向由d點(diǎn)進(jìn)入△abc區(qū)域，不計(jì)粒子重力，已知bc＝l，∠c＝60°，∠b＝90°，adl。
（1）求粒子從N板射出時(shí)的速度v0；
（2）若△abc區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要使粒子不從ac邊界射出，則磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為多大？
（3）若△abc區(qū)域內(nèi)存在平行紙面且垂直bc方向向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，要使粒子不從ac邊界射出，電場(chǎng)強(qiáng)度最小為多大？
【解答】解：（1）帶電粒子在MN間加速，由動(dòng)能定理可得：
0
可得粒子從N射出時(shí)的速度v0
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度越大，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越小，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度最小時(shí)，恰不從ac邊界射出粒子到達(dá)ac邊界時(shí)，速度方向沿ac方向，此時(shí)粒子不從ac邊界射出做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑為rm
據(jù)洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
由幾何關(guān)系可得，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑
代入解得Bmin
（3）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)強(qiáng)度最小為E0時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)到ac界面的速度方向沿ac方向，設(shè)ab和bc方向的位移大小分別為y和x，
到達(dá)界面時(shí)沿ab方向分速度大小為vy，則
x＝v0t
vy＝v0tan60°
解得：
粒子到達(dá)ac邊界時(shí)的速度大小為v
v
據(jù)動(dòng)能定理有：
解得：E0
命題點(diǎn)三　帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解和臨界極值問題
1．多解的幾種情況
(1)帶電粒子電性不確定形成多解：受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在相同的初速度條件下，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡不同而形成多解．
(2)磁場(chǎng)方向不確定形成多解：帶電粒子垂直進(jìn)入方向不確定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，其偏轉(zhuǎn)方向不同而形成多解．
(3)運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解：帶電粒子在交變的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有周期性而形成多解．
(4)臨界條件不唯一形成多解：帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，因軌道半徑不同而形成多解．
2．臨界極值問題
(1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切．
(2)當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，則該帶電粒子(不計(jì)重力)在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)．
(3)一帶電粒子(不計(jì)重力)在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其速率v變化時(shí)，圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)．
（2024 揭陽(yáng)二模）如圖所示，垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，邊界分別是半徑為R和2R的同心圓，O為圓心。在圓心O處有一粒子源（圖中未畫出），在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向發(fā)射出比荷為的帶負(fù)電的粒子，速度連續(xù)分布且粒子間的相互作用力可忽略不計(jì)，這些帶電粒子受到的重力也可以忽略不計(jì)，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁場(chǎng)，則下列說法正確的是（　　）
A．某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場(chǎng)，其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（不考慮粒子再次進(jìn)入磁場(chǎng)的情況）
B．某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場(chǎng)，其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（不考慮粒子再次進(jìn)入磁場(chǎng)的情況）
C．粒子速度的最大值為
D．粒子速度的最大值為
【解答】解：AB、粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子恰好不從大圓邊界射出磁場(chǎng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡與大圓相切，畫出軌跡如圖所示。
設(shè)軌跡半徑為r，由幾何關(guān)系可知
R2+r2＝（2R﹣r）2
解得：
則tan∠OCA，得∠OCA＝53°，∠ACD＝2∠OCA＝2×53°＝106°
該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
，故A錯(cuò)誤，B正確；
CD、由洛倫茲力提供向心力，有，解得最大速度為：，故CD錯(cuò)誤。
故選：B。
（2024 海淀區(qū)一模）如圖所示，真空區(qū)域內(nèi)有寬度為d、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，MN、PQ是磁場(chǎng)的邊界。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（不計(jì)重力），沿著與MN夾角θ為30°的方向以某一速度射入磁場(chǎng)中，粒子恰好未能從PQ邊界射出磁場(chǎng)。下列說法不正確的是（　　）
A．可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑
B．可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大小
C．若僅減小射入速度，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定變短
D．若僅增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定變短
【解答】解：A、粒子恰好未能從PQ邊界射出磁場(chǎng)，其在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡與PQ邊界相切，如下圖所示。
由幾何關(guān)系可得圓周運(yùn)動(dòng)半徑r滿足：r+rcosθ＝d，據(jù)此關(guān)系式可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，故A正確；
B、粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，則有：qvB，據(jù)此關(guān)系式可求出線速度v，根據(jù)牛頓第二定律得：qvB＝ma，據(jù)此可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大小，故B正確；
C、由qvB，可得：r，若僅減小射入速度，粒子運(yùn)動(dòng)半徑變小，如上圖所示，粒子從MN邊界離開磁場(chǎng)，軌跡圓心角不變（設(shè)為α）。
粒子運(yùn)動(dòng)周期為T，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，因周期T與圓心角α均不變，故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不變，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)C的分析，若僅增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子運(yùn)動(dòng)半徑變小，軌跡圓心角不變，運(yùn)動(dòng)周期變小，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定變短，故D正確。
本題選擇錯(cuò)誤的選項(xiàng)，故選：C。
（2024 西城區(qū)一模）如圖所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向均水平向右。一個(gè)正離子在某時(shí)刻速度的大小為v，方向與電場(chǎng)磁場(chǎng)方向夾角為θ。當(dāng)速度方向與磁場(chǎng)不垂直時(shí)，可以將速度分解為平行于磁場(chǎng)方向的分量v1和垂直于磁場(chǎng)方向的分量v2來(lái)進(jìn)行研究。不計(jì)離子重力，此后一段時(shí)間內(nèi)，下列說法正確的是（　?。?br/>A．離子受到的洛倫茲力變大
B．離子加速度的大小不變
C．電場(chǎng)力的瞬時(shí)功率不變
D．速度與電場(chǎng)方向的夾角θ變大
【解答】解：A.粒子在磁場(chǎng)中所受的洛倫茲力大小為f＝qv2B，洛倫茲力不做功，分速度v2大小不變，電場(chǎng)力做正功只會(huì)使分速度v1變大，故洛倫茲力大小不變，故A錯(cuò)誤；
B.粒子所受的洛倫茲力不變，電場(chǎng)力也不變，二者方向互相垂直，故合外力大小不變，根據(jù)牛頓第二定律，則加速度大小也不變，故B正確；
C.電場(chǎng)力的瞬時(shí)功率等于電場(chǎng)力和沿電場(chǎng)方向的分速度v1的乘積，即P＝qEv1，由于電場(chǎng)力做功，v1變大，所以電場(chǎng)力的瞬時(shí)功率變大，故C錯(cuò)誤；
D.根據(jù)速度的分速度與合速度的關(guān)系
當(dāng)v1變大時(shí)，可得θ逐漸變小，故D錯(cuò)誤。
故選：B。
（2024 深圳校級(jí)模擬）2023年4月，我國(guó)有“人造太陽(yáng)”之稱的托卡馬克核聚變實(shí)驗(yàn)裝置創(chuàng)造了新的世界紀(jì)錄。其中磁約束的簡(jiǎn)化原理如圖：在半徑為R1和R2的真空同軸圓柱面之間，加有與軸線平行的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，R2＝2R1。假設(shè)氘核H沿內(nèi)環(huán)切線向左進(jìn)入磁場(chǎng)，氚核H沿內(nèi)環(huán)切線向右進(jìn)入磁場(chǎng)，二者均恰好不從外環(huán)射出。不計(jì)重力及二者之間的相互作用，則H和H的速度之比為（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
【解答】解：由題意可知，根據(jù)左手定則，作圖如圖所示
由幾何關(guān)系可知，氘核的半徑為r1，根據(jù)幾何關(guān)系有
2r1＝R2﹣R1＝R1
所以
由幾何關(guān)系可知，氚核的半徑為r2，有
2r2＝R2+R1＝3R1
所以
得到半徑之比滿足
根據(jù)洛倫茲力提供向心力
可得線速度的表達(dá)式為
根據(jù)題意可知，氘核和氚核的比荷之比為
所以和的速度之比為
，故A正確，BCD錯(cuò)誤。
故選：A。
（2024 蘇州模擬）一重力不計(jì)的帶電粒子以初速度v0先后穿過寬度相同且緊鄰在一起的有明顯邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，如圖甲所示，電場(chǎng)和磁場(chǎng)對(duì)粒子總共做功W1；若把電場(chǎng)和磁場(chǎng)正交疊加，如圖乙所示，粒子仍以的初速度穿過疊加場(chǎng)區(qū)對(duì)粒子總共做功W2，比較W1、W2的絕對(duì)值大?。ā　。?br/>A．W1＝W2
B．W1＞W(wǎng)2
C．W1＜W2
D．可能W1＞W(wǎng)2也可能W1＜W2
【解答】解：不論帶電粒子帶何種電荷，由于：
所以電場(chǎng)力qE大于洛倫茲力qBv0，根據(jù)左手定則判斷可知：開始進(jìn)入疊加場(chǎng)后，洛倫茲力存在與電場(chǎng)力方向相反的分力，所以帶電粒子在純電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)位移比重疊時(shí)的偏轉(zhuǎn)位移大，所以不論粒子帶何種電性，甲圖帶電粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)位移一定大于乙圖的偏轉(zhuǎn)位移，且洛倫茲力對(duì)帶電粒子不做功，只有電場(chǎng)力做功，所以一定是：W1＞W(wǎng)2。故ACD錯(cuò)誤，B正確。
故選：B。
（2024 包頭一模）如圖，一直角三角形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，其中ac＝2d，bc＝d，c點(diǎn)有一發(fā)射帶正電粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子比荷為k，不計(jì)粒子重力及粒子之間的相互作用，下列說法正確的是（　?。?br/>A．a(chǎn)b邊有粒子出射的區(qū)域長(zhǎng)度為0.5d
B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為
C．若粒子從ac邊出射，入射速度v＞kBd
D．若某粒子，則粒子可以恰好從a點(diǎn)飛出
【解答】解：A、粒子在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力可得：，可得粒子運(yùn)動(dòng)半徑R，因粒子以不同速率沿不同方向進(jìn)入磁場(chǎng)，故可以應(yīng)用極限思維，若粒子速度極大（比如接近光速），那么粒子運(yùn)動(dòng)半徑極大，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡趨于直線，那么在ab邊有粒子出射的區(qū)域長(zhǎng)度趨于ab邊的長(zhǎng)度，而ab的長(zhǎng)等于d＞0.5d，故A錯(cuò)誤；
B、粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期T
若粒子軌跡的圓心角為α，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t
可見粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間與軌跡的圓心角成正比，根據(jù)粒子速度偏轉(zhuǎn)角等于軌跡圓心角可知，粒子沿cd邊入射從ac邊射出時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角最大，軌跡圖如下圖所示
由幾何關(guān)系可得最大圓心角為α，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為，故B正確；
C、由R，可知粒子速率越小，運(yùn)動(dòng)半徑越小，如上圖所示，讓粒子速率逐漸變小，則出射點(diǎn)會(huì)逐漸靠近c(diǎn)點(diǎn)，故半徑可以小到趨近于零，即粒子速率可以小到趨近于零，仍可以從ac邊出射，故C錯(cuò)誤；
D、粒子恰好從a點(diǎn)飛出，則其軌跡恰好在a點(diǎn)與ab邊相切，軌跡圖如下圖所示
根據(jù)幾何關(guān)系可得△aOc為等邊三角形，易得軌跡半徑R＝2d，由R，可得粒子的速率為v＝2kBd，故D錯(cuò)誤。
故選：B。
（2024 貴州模擬）如圖，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有一方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN、PQ是相互垂直的兩條直徑。兩質(zhì)量相等且?guī)У攘慨惙N電荷的粒子從M點(diǎn)先后以相同速率v射入磁場(chǎng)，其中粒子甲沿MN射入，從Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)，粒子乙沿紙面與MN方向成30°角射入，兩粒子同時(shí)射出磁場(chǎng)。不計(jì)粒子重力及兩粒子間的相互作用，則兩粒子射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)情況作出輔助線，如圖所示
O1是粒子甲運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，由題意可知，四邊形OQO1M是正方形，所以甲乙運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑均為R，甲的運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心角為。而粒子乙往左偏轉(zhuǎn)飛出磁場(chǎng)，它的圓心角為。
甲運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
乙運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
因?yàn)閮闪Ｗ油瑫r(shí)射出磁場(chǎng)，所以兩粒子射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔為
，故B正確，ACD錯(cuò)誤。
故選：B。
（2024 景德鎮(zhèn)二模）如圖所示，水平虛線MN上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。大量帶正電的相同粒子，以相同的速率沿位于紙面內(nèi)水平向右到豎直向上90°范圍內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域，做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解答】解：粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由左手定則可知，粒子垂直射入磁場(chǎng)后沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
粒子從O點(diǎn)垂直射出磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)然后再?gòu)拇艌?chǎng)邊界MN離開磁場(chǎng)，
粒子離開磁場(chǎng)時(shí)與MN的夾角大小等于粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與MN的夾角大小，
由牛頓第二定律得：qvB＝m
解得粒子軌道半徑：R，
水平向右射入磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)完整的圓，
豎直向上射入磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為半個(gè)圓周，
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
在兩圖形的相交的部分是粒子不經(jīng)過的地方，故B正確；
故選：B。
（2023 西城區(qū)一模）如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一帶電粒子從圓周上的P點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v1，運(yùn)動(dòng)軌跡為PN；若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v2，運(yùn)動(dòng)軌跡為PM。不計(jì)粒子的重力，下列判斷正確的是（　?。?br/>A．粒子帶負(fù)電
B．速度v1大于速度v2
C．粒子以速度v1射入時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)
D．粒子以速度v1射入時(shí)，在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力較大
【解答】解：A、根據(jù)左手定則可知粒子帶正電，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)牛頓第二定律有：，變形解得：，根據(jù)圖中軌跡可知，R1＜R2，則有v1＜v2，故B錯(cuò)誤；
D、粒子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力大小為：F＝qvB，由于v1＜v2，可知F1＜F2，故粒子以速度v1射入時(shí)，在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力較小，故D錯(cuò)誤。
C、粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為：，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：，畫出兩軌跡的圓心如下圖，
由圖可知運(yùn)動(dòng)軌跡為PN對(duì)應(yīng)的圓心角大于運(yùn)動(dòng)軌跡為PM對(duì)應(yīng)的圓心角，故粒子以速度v1射入時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)，故C正確；
故選：C。
（2024 天津模擬）如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，固定一內(nèi)部真空且內(nèi)壁光滑的圓柱形薄壁絕緣管道，其軸線與磁場(chǎng)垂直。管道橫截面半徑為a，長(zhǎng)度為l（l a）。帶電粒子束持續(xù)以某一速度v沿軸線進(jìn)入管道，粒子在磁場(chǎng)力作用下經(jīng)過一段圓弧垂直打到管壁上，與管壁發(fā)生彈性碰撞，多次碰撞后從另一端射出。單位時(shí)間進(jìn)入管道的粒子數(shù)為n，粒子電荷量為+q，不計(jì)粒子的重力、粒子間的相互作用。下列說法不正確的是（　　）
A．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧半徑為a
B．粒子質(zhì)量為
C．管道內(nèi)的等效電流為nqπa2v
D．粒子束對(duì)管道的平均作用力大小為Bnql
【解答】解：A.帶正電的粒子沿軸線射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧半徑為：r＝a，故A正確；
B.根據(jù)：qvB＝m，可得粒子的質(zhì)量為：m，故B正確；
C.管道內(nèi)的等效電流為：Inq，故C錯(cuò)誤；
D.粒子束對(duì)管道的平均作用力大小等于等效電流受的安培力，為：F＝BIl＝Bnql，故D正確。
本題選錯(cuò)誤的，故選：C。
（2024 南寧二模）如圖所示，xOy平面內(nèi)，x軸下方充滿垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，x軸上方充滿豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出），其他部分無(wú)電場(chǎng)。從P點(diǎn)水平向右向電場(chǎng)內(nèi)發(fā)射一個(gè)比荷為的帶電粒子，粒子的速度大小為v0，僅在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，從x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成α角（未知）斜向下進(jìn)入磁場(chǎng)，之后從原點(diǎn)O第一次回到電場(chǎng)。已知P、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UPN，忽略邊界效應(yīng)，不計(jì)粒子受到的重力。求：
（1）粒子第一次通過N點(diǎn)的速度大小v及角度α；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E及勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（3）粒子從P點(diǎn)發(fā)射到第2024次從x軸上方進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間t2024。
【解答】解：（1）對(duì)粒子從P點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)能定理有
解得：v＝2v0
粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡如圖所示，在電場(chǎng)中粒子沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在N點(diǎn)有
解得：α＝60°
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，粒子沿水平方向的分位移大小s1＝v0t
粒子在N點(diǎn)沿豎直方向的分速度大小為
v1＝vsinα＝2v0sin60°v0
在電場(chǎng)中，粒子在豎直方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的分位移大小為
電場(chǎng)強(qiáng)度大小為
解得：
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力有
由幾何關(guān)系有
解得：
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為
粒子每次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
結(jié)合周期性可得：t2024＝t+2023（2t+t′）
解得：
（2024 天津模擬）如圖所示，L1、L2為兩平行的直線，間距為d，兩直線之間為真空區(qū)域，L1下方和L2上方的無(wú)限大空間有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，以速度v0從L1上的M點(diǎn)入射兩直線之間的真空區(qū)域，速度方向與L1成θ＝30°角，不計(jì)粒子所受的重力，試求：
（1）粒子從M點(diǎn)出發(fā)后，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間第一次回到直線L1上；
（2）若在直線L1、L2之間的平面內(nèi)，存在與v0方向垂直斜向下，場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則粒子無(wú)法進(jìn)入L2上方區(qū)域，粒子經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間第一次回到直線L1；
（3）若直線L1、L2之間無(wú)電場(chǎng)，v0滿足什么條件時(shí)，粒子恰好能回到M點(diǎn)。
【解答】解：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示
粒子在真空區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，粒子在真空區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為
根據(jù)幾何知識(shí)可知，粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角α＝300°，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
粒子從M點(diǎn)出發(fā)第一次回到直線L1上需要的時(shí)間；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡如圖所示
根據(jù)牛頓第二定律，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大小為
設(shè)粒子經(jīng)過多長(zhǎng)t′時(shí)間第一次回到直線L1，沿電場(chǎng)方向的分速度為v1，根據(jù)幾何關(guān)系有
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有v1＝at′
聯(lián)立解得；
（3）粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示
粒子在磁場(chǎng)里做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有
由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑正好等于弦長(zhǎng)，要使經(jīng)過n次偏轉(zhuǎn)能回到M 點(diǎn)，粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑必須滿足 （n＝1，2，3……）
聯(lián)立解得 （n＝1，2，3……）。

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