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第27講　微專題四 帶電粒子在疊加場(chǎng)和組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
命題點(diǎn)一　帶電粒子在疊加場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
1．帶電粒子在疊加場(chǎng)中無(wú)約束情況下的運(yùn)動(dòng)
(1)洛倫茲力、重力并存
①若重力和洛倫茲力平衡，則帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
②若重力和洛倫茲力不平衡，則帶電粒子將做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，因洛倫茲力不做功，故機(jī)械能守恒，可由此求解問(wèn)題．
(2)電場(chǎng)力、洛倫茲力并存(不計(jì)重力的微觀粒子)
①若電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡，則帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
②若電場(chǎng)力和洛倫茲力不平衡，則帶電粒子將做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，因洛倫茲力不做功，可用動(dòng)能定理求解問(wèn)題．
(3)電場(chǎng)力、洛倫茲力、重力并存
①若三力平衡，一定做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
②若重力與電場(chǎng)力平衡，一定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
③若合力不為零且與速度方向不垂直，將做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，因洛倫茲力不做功，可用能量守恒定律或動(dòng)能定理求解問(wèn)題．
2．帶電粒子在疊加場(chǎng)中有約束情況下的運(yùn)動(dòng)
帶電粒子在疊加場(chǎng)中受輕桿、輕繩、圓環(huán)、軌道等約束的情況下，常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式有直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)解題要通過(guò)受力分析明確變力、恒力做功情況，并注意洛倫茲力不做功的特點(diǎn)，運(yùn)用動(dòng)能定理、能量守恒定律結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解．
（2024 泰州模擬）如圖所示，在豎直xOy平面內(nèi)，足夠長(zhǎng)的平行邊界MN與PQ間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，該區(qū)域?qū)挾葹閐。一質(zhì)量為m、帶電量為q的帶正電粒子從O點(diǎn)沿與+y軸成θ角（θ可在0°～90°范圍內(nèi)任意取值）以一定的初速度射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力。
（1）若θ＝30°，為使粒子不穿出邊界PQ，求粒子初速度的取值范圍；
（2）若在勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域同時(shí)存在一方向豎直向下、電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子從O點(diǎn)以θ＝30°角方向入射，初速度，且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不穿出邊界PQ。求粒子在場(chǎng)區(qū)內(nèi)偏離x軸的最大距離。
（3）若粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受到阻力，阻力f與速度v在大小上滿足f＝kv（k為已知常數(shù)），求粒子能穿出PQ邊界的最小入射速度。
【解答】解：（1）粒子剛好與邊界PQ相切時(shí)速度最大，由幾何關(guān)系可得：r+rsin30°＝d
求得：
由牛頓第二定律得：
聯(lián)立變形可得：
粒子初速度的取值范圍：；
（2）粒子在y軸方向上只受洛倫茲力的分量，從開(kāi)始到離x軸最遠(yuǎn)，設(shè)經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間，此時(shí)速度沿y軸負(fù)方向，大小為v
在x方向上由動(dòng)量定理可得：﹣∑BqvyΔt＝﹣mv﹣mv0sin30°
即：
該過(guò)程由動(dòng)能定理可得：
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立求得：
（3）設(shè)某瞬時(shí)的速度為v，加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律可得：
取微小時(shí)間Δt，速度變化量為：
整理為：
粒子能發(fā)生的位移大小為：
求得：
（2024 江蘇模擬）如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于xOy平面向外。質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O垂直磁感線入射到磁場(chǎng)中，初速度大小為v0，方向與x軸正方向成30°角，粒子能經(jīng)過(guò)x軸上的P點(diǎn)。不計(jì)粒子重力。
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若僅將磁場(chǎng)替換為在坐標(biāo)平面內(nèi)且沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子仍能經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，題干中的B為已知量，其他條件不變。求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；
（3）若僅在坐標(biāo)平面內(nèi)增加沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度，求粒子離x軸的最遠(yuǎn)距離ym。
【解答】解：（1）洛倫茲力提供向心力：
由幾何關(guān)系有：xp
代入解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為。
（2）帶電粒子在x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)：
y軸方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)：2v0sin30°＝at
而加速度：
解得：
（3）將粒子水平方向的初速度分解為兩個(gè)速度：v0cos30°＝v1+v2
其中：qE′＝qv1B
代入E′值的大小解得：
所以帶電粒子的運(yùn)動(dòng)為速率為v1、向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)和速率為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，
洛倫茲力提供向心力：，圓周分運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
幾何關(guān)系：ym＝R′（1+sin45°）
聯(lián)立解得：
命題點(diǎn)二　帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
1．帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析思路
第1步：分階段(分過(guò)程)按照時(shí)間順序和進(jìn)入不同的區(qū)域分成幾個(gè)不同的階段；
第2步：受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，主要涉及兩種典型運(yùn)動(dòng)，如下：
←←←→→→
第3步：用規(guī)律
→→→→
→
2．解題步驟
(1)找關(guān)鍵點(diǎn)：確定帶電粒子在場(chǎng)區(qū)邊界的速度(包括大小和方向)是解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵．
(2)畫(huà)運(yùn)動(dòng)軌跡：根據(jù)受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，大致畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，有利于形象、直觀地解決問(wèn)題．
模型1　磁場(chǎng)與磁場(chǎng)組合
（2024春 廬江縣期中）如圖所示，有一對(duì)平行金屬板，兩板相距d，電壓為U，兩板之間勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向與金屬板面平行并垂直于紙面向里。平行金屬板右側(cè)圓形區(qū)域內(nèi)也存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓心為O，半徑為R，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里。一正離子沿平行于金屬板面，從A點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)的方向射入平行金屬板間，沿直線射出平行金屬板之間的區(qū)域，并沿直徑CD方向射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，最后從圓形區(qū)域邊界上的F點(diǎn)射出。已知OF與OD夾角θ＝60°，不計(jì)離子重力。求：
（1）離子速度v的大小；
（2）離子的比荷；
（3）離子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t。
【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，離子在平行金屬板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則由平衡條件有
解得：
（2）離子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。
由幾何關(guān)系可得
解得離子的軌跡半徑為：
由洛倫茲力提供向心力可得
解得：
（3）離子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
解得：
（2024 南開(kāi)區(qū)校級(jí)模擬）某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了圖甲所示的“粒子回旋變速裝置”。兩塊相距為d的平行金屬極板M、N，板M位于x軸上，板N在它的正下方。兩板間加上圖乙所示的交變電壓，其電壓值為U0，周期，板M上方和板N下方有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。粒子探測(cè)器位于y軸處，僅能探測(cè)到垂直于y軸射入的帶電粒子。有一沿Ox軸可移動(dòng)的粒子發(fā)射器，可垂直于x軸向上射出質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子，且粒子動(dòng)能可調(diào)節(jié)t＝0時(shí)刻，發(fā)射器在（x，0）位置發(fā)射一帶電粒子。忽略粒子的重力和其他阻力，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不計(jì)。
（1）若粒子只經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)并在y＝y(tǒng)0處被探測(cè)到，求發(fā)射器的位置和粒子的初動(dòng)能；
（2）若粒子兩次進(jìn)出電場(chǎng)區(qū)域后被探測(cè)到，且有Ek0＞qU0。求粒子發(fā)射器的位置坐標(biāo)x與被探測(cè)到的位置坐標(biāo)y之間的關(guān)系。
【解答】解：（1）若粒子只經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)并在y＝y(tǒng)0處被探測(cè)到，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)圓周，發(fā)射器位置：x＝y(tǒng)0
又有：r＝y(tǒng)0
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：
動(dòng)能：
解得：
（2）若Ek0＞2qU0，軌跡如圖甲，
各圓周運(yùn)動(dòng)分別有：，，
由幾何關(guān)系得：x＝2R+2R1+y
電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理有：
又有：
解得：
若qU0＜Ek0＜2qU0，軌跡如圖乙，
各圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律分別有：，
由幾何關(guān)系得：x＝2R+3（﹣y﹣d）
電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)有：
聯(lián)立整理解得：
模型2　電場(chǎng)與磁場(chǎng)組合
（2024 龍崗區(qū)校級(jí)三模）如圖所示，在xOy平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)存在+y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第四象限﹣（2n+1）y≤﹣nL（n＝0，1，2，3，4，5）范圍內(nèi)存在垂直xOy平面向里，大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電量為﹣q質(zhì)量為m的粒子，以初速度v0從P（0，2L）點(diǎn)沿+x方向垂直射入電場(chǎng)，粒子做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)至Q（4L，0）點(diǎn)進(jìn)入第四象限，粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不計(jì)重力。求：
（1）第一象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小；
（2）粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與PQ連線的最大距離；
（3）粒子進(jìn)入第四象限后與x軸的最大距離。
【解答】解：（1）粒子從P到Q的過(guò)程中，做類平拋運(yùn)動(dòng)，
在x軸方向有：4L＝v0t
在y軸方向有：
根據(jù)牛頓第二定律有：qE＝ma
解得：，，
所以勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為。
（2）粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)時(shí)，分解為平行于PQ連線方向和垂直于PQ連線方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，粒子與PQ連線的距離最大時(shí)，速度方向平行于PQ連線。設(shè)PQ與x軸的夾角為θ，則有：，
在垂直P(pán)Q連線方向上有：
解得粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與PQ連線的最大距離：
（3）粒子到Q點(diǎn)時(shí)，x軸方向的分速為v0，y軸方向的分速度為：vy＝at＝v0
則粒子進(jìn)入第四象限時(shí)的速度大小為：
v的方向與x軸正方向的夾角為45°。粒子進(jìn)入第四象限后，在有磁場(chǎng)的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子速度方向平行于x軸時(shí)，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，則粒子在M點(diǎn)時(shí)距離x軸最遠(yuǎn)。粒子做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：
解得：
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓弧在y軸方向的投影長(zhǎng)度為：d1＝r+rsin45°
由于d1≈2.41L，可知在Q到M之間有5個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域和4個(gè)無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域
所以粒子進(jìn)入第四象限后與x軸的最大距離為：
（2024春 鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在xOy平面的第一象限內(nèi)有半徑為R的圓形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里。已知圓形區(qū)域的圓心為O′，其邊界與x軸、y軸分別相切于P、Q點(diǎn)。位于P處的質(zhì)子源均勻地向紙面內(nèi)以大小為v的相同速率發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為e的質(zhì)子，且質(zhì)子初速度的方向被限定在PO′兩側(cè)與PO′的夾角均為30°的范圍內(nèi)。第二象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，在x軸（x＜0）的某區(qū)間范圍內(nèi)放置質(zhì)子接收裝置MN。已知沿PO′方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子恰好從Q點(diǎn)垂直y軸射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，不計(jì)質(zhì)子受到的重力和質(zhì)子間的相互作用力。
（1）求圓形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（2）求y軸正方向上有質(zhì)子射出的區(qū)域范圍；
（3）若要求質(zhì)子源發(fā)出的所有質(zhì)子均被接收裝置MN接收，求接收裝置MN的最短長(zhǎng)度x。
【解答】解：（1）沿PO′方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子恰好從Q點(diǎn)垂直y軸射入電場(chǎng)，在磁場(chǎng)中由幾何關(guān)系可知：該質(zhì)子運(yùn)動(dòng)半徑為R，
根據(jù)牛頓第二定律有：
變形解得：
（2）如圖所示，設(shè)在PO′左右兩側(cè)30°角方向上射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，最終分別有磁場(chǎng)邊界上的A、B兩點(diǎn)射出，對(duì)應(yīng)圓周運(yùn)動(dòng)的圓心分別為O1、O2，則四邊形AO1PO′和BO2PO′均為菱形，則粒子由A、B兩點(diǎn)水平飛出，且O1與B點(diǎn)重合。
根據(jù)幾何關(guān)系可知：∠O′PB＝∠O2PB＝60°
AB＝BO2＝R
而B(niǎo)點(diǎn)到x軸的距離為，所以y軸正方向上有質(zhì)子射出的區(qū)域范圍為：
（3）若質(zhì)子由處飛入電場(chǎng)時(shí)打在M點(diǎn)，由處飛入電場(chǎng)時(shí)打在N點(diǎn)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律
由牛頓第二定律有：eE＝ma
沿電場(chǎng)線方向：，
垂直于電場(chǎng)方向：xM＝vt1，xN＝vt2
代入解得：，
所以MN的最短長(zhǎng)度為：
（2024春 鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，xOy平面內(nèi)有區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，其中區(qū)域Ⅰ存在以原點(diǎn)O為圓心的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅱ存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)：電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向沿y軸負(fù)方向；兩區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向均垂直坐標(biāo)系中面向里。某帶電粒子以速度v0從M點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，從N點(diǎn)離開(kāi)區(qū)域Ⅰ并立即進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，之后沿x軸運(yùn)動(dòng)。已知B＝0.05T，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0.1），粒子的比荷，不計(jì)粒子的重力。
（1）求粒子的速度v0；
（2）求電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（3）某時(shí)刻開(kāi)始電場(chǎng)強(qiáng)度大小突然變?yōu)?E（不考慮電場(chǎng)變化產(chǎn)生的影響），其他條件保持不變，一段時(shí)間后，粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y＝﹣0.2m，求粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度大小vP。
【解答】解：（1）帶電粒子在區(qū)域Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有：
又有：r＝0.1m
且根據(jù)題意有：
聯(lián)立解得：
（2）帶電粒子在區(qū)域Ⅱ中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件有：qBv0＝qE
將比荷值代入解得：E＝1×103N/C
（3）電場(chǎng)強(qiáng)度突然變?yōu)?E，粒子運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理有：
代入數(shù)據(jù)解得：
（2023秋 太原期末）如圖所示，豎直平面直角坐標(biāo)系xOy第一象限內(nèi)，存在水平向右的電場(chǎng)、垂直紙面向里的磁場(chǎng)。質(zhì)量m＝1kg、電荷量q＝+0.1C的小球由O到A恰好做直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到A（0.1m，0.1m）點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)方向瞬間變?yōu)樨Q直向上，小球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，垂直于y軸射出第一象限。不計(jì)一切阻力，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）小球在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。
【解答】解：（1）微粒在到達(dá)A點(diǎn)之前做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力分析如圖所示：
根據(jù)平衡條件，有：qEcos45°＝mgsin45°
所以有：qE＝mg
解得：E＝100V/m
電場(chǎng)強(qiáng)度變化后，小球受到的電場(chǎng)力和重力大小相等、方向相反，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示：
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB＝m
根據(jù)幾何關(guān)系可得：rl
解得：B＝100T；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系可得粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為：θ
微粒做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t1
做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t2
解得：t2
在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t＝t1+t2
代入數(shù)據(jù)解得：ts。
（2024 海門(mén)區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立xOy坐標(biāo)系，P、A、Q1、Q2四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣2L，0）、（﹣L，0）、（0，L）、（0，﹣L）。y軸右側(cè)存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于xOy平面向里。在界面PAQ1的上方存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)（未畫(huà)出），界面PAQ2的下方存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)（未畫(huà)出），且上下電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等。在（L，0）處的C點(diǎn)固定一平行于y軸且長(zhǎng)為的絕緣彈性擋板MN，C為擋板中點(diǎn)，帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y方向分速度不變。沿x方向分速度反向，大小不變。質(zhì)量為m、電量為q的帶負(fù)電粒子（不計(jì)重力）從x軸上方非常靠近P點(diǎn)的位置以初速度v0沿x軸正方向射入電場(chǎng)且剛好可以過(guò)Q1點(diǎn)。求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小、到達(dá)Q1點(diǎn)速度的大小和方向；
（2）磁場(chǎng)取合適的磁感應(yīng)強(qiáng)度，帶電粒子沒(méi)有與擋板發(fā)生碰撞且能回到P點(diǎn)，求從P點(diǎn)射出到回到P點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間；
（3）改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，要使粒子最終能回到P點(diǎn)，則帶電粒子最多能與擋板碰撞多少次？
【解答】解：（1）從P到Q1，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)：v0t1＝2L
豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)：L
聯(lián)立以上兩式可得：
該過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理：
代入數(shù)據(jù)可得：，由幾何關(guān)系可得，方向與y軸正方向成45°角。
（2）要使帶電粒子回到P點(diǎn)，其軌跡必須具有對(duì)稱性且經(jīng)過(guò)Q2，由幾何關(guān)系可得，
軌跡半徑：
在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角度為：
在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
故從P點(diǎn)射出第一次回到P 點(diǎn)的時(shí)間：
（3）當(dāng)r最小時(shí)帶電粒子剛好過(guò)M 點(diǎn)碰撞次數(shù)最多
由幾何關(guān)系可得
整理解得：
設(shè)最多可以碰n次，則：
解得：n＝17（次）
（2024 貴州模擬）如圖所示，在xOy平面第一象限有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)、第四象限有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在坐標(biāo)為（0，h）的A點(diǎn)有一帶電粒子以某一初速度沿+x方向拋出，從坐標(biāo)為（L，0）的C點(diǎn)進(jìn)入第四象限的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。已知粒子電荷量為q、質(zhì)量為m，勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖中所示。不計(jì)粒子所受重力。求：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小；
（2）粒子第二次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。
【解答】解：（1）粒子從A點(diǎn)到C點(diǎn)，由牛頓第二定律qE＝ma
粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，有L＝v0t
解得
解得
解得
（2）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，洛倫茲力提供向心力
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖示
第一次和第二次經(jīng)過(guò)x軸的兩點(diǎn)間的距離為軌跡圓的弦，弦長(zhǎng)為Δx＝2Rsinα
α為粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度與x軸正方向的夾角
解得
所以粒子第二次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為x＝L+Δx
解得
（2024 雨花區(qū)校級(jí)模擬）某粒子實(shí)驗(yàn)裝置的基本結(jié)構(gòu)如圖（a）所示。兩塊圓弧形金屬板間存在方向指向圓心O1的輻射狀電場(chǎng)，一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子從粒子源射出后沿紙面垂直該電場(chǎng)方向射入兩金屬板間，并恰好做半徑為R1的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所經(jīng)圓弧上的電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為E1。在圓弧形金屬板右側(cè)有一三維坐標(biāo)系O2﹣xyz，在0＜x＜d的空間中，存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E2，在d＜x＜2d的空間中存在沿z軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在x＞2d的區(qū)域存在著沿x軸負(fù)方向的磁場(chǎng)Bx和沿y軸正方向的磁場(chǎng)By，磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx和By的大小均隨時(shí)間周期性變化（磁場(chǎng)Bx、By均未畫(huà)出）。足夠大的熒光屏垂直于x軸放置并可沿x軸水平移動(dòng)。粒子從金屬板間射出后從O2沿x軸正方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，然后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，剛進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸正方向的夾角為60°，剛射出勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)速度方向沿x軸正方向，不計(jì)粒子重力。
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E2的大小；
（2）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）從粒子射出勻強(qiáng)磁場(chǎng)開(kāi)始計(jì)時(shí)，x＞2d的區(qū)域內(nèi)Bx和By的大小隨時(shí)間周期性變化的規(guī)律如圖（b）所示，B0為已知量。若粒子到達(dá)熒光屏?xí)r的速度方向與熒光屏的夾角為30°，求熒光屏所在位置的x軸坐標(biāo)的可能取值。
【解答】解：（1）粒子在圓弧形金屬板間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有
在0＜x＜d的空間中做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有d＝v0t
解得
（2）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡如圖1所示
圖1
根據(jù)洛倫茲力提供向心力有
根據(jù)幾何關(guān)系有
rsin60°＝d
vsin60°＝at
解得
（3）粒子在x＞2d的區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為
軌跡半徑為
a．若粒子射出時(shí)與z軸負(fù)方向的夾角為30°，則粒子在該區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡沿y軸負(fù)方向的俯視圖如圖2所示
圖2
由圖2可得（n＝1，2，3…）
b．若粒子射出時(shí)與z軸正方向的夾角為30°，則粒子在該區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡沿y軸負(fù)方向的俯視圖如圖3所示
圖3
由圖3可得（n＝1，2，3…）第27講　微專題四 帶電粒子在疊加場(chǎng)和組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
命題點(diǎn)一　帶電粒子在疊加場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
1．帶電粒子在疊加場(chǎng)中無(wú)約束情況下的運(yùn)動(dòng)
(1)洛倫茲力、重力并存
①若重力和洛倫茲力平衡，則帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
②若重力和洛倫茲力不平衡，則帶電粒子將做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，因洛倫茲力不做功，故機(jī)械能守恒，可由此求解問(wèn)題．
(2)電場(chǎng)力、洛倫茲力并存(不計(jì)重力的微觀粒子)
①若電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡，則帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
②若電場(chǎng)力和洛倫茲力不平衡，則帶電粒子將做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，因洛倫茲力不做功，可用動(dòng)能定理求解問(wèn)題．
(3)電場(chǎng)力、洛倫茲力、重力并存
①若三力平衡，一定做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
②若重力與電場(chǎng)力平衡，一定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
③若合力不為零且與速度方向不垂直，將做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，因洛倫茲力不做功，可用能量守恒定律或動(dòng)能定理求解問(wèn)題．
2．帶電粒子在疊加場(chǎng)中有約束情況下的運(yùn)動(dòng)
帶電粒子在疊加場(chǎng)中受輕桿、輕繩、圓環(huán)、軌道等約束的情況下，常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式有直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)解題要通過(guò)受力分析明確變力、恒力做功情況，并注意洛倫茲力不做功的特點(diǎn)，運(yùn)用動(dòng)能定理、能量守恒定律結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解．
（2024 泰州模擬）如圖所示，在豎直xOy平面內(nèi)，足夠長(zhǎng)的平行邊界MN與PQ間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，該區(qū)域?qū)挾葹閐。一質(zhì)量為m、帶電量為q的帶正電粒子從O點(diǎn)沿與+y軸成θ角（θ可在0°～90°范圍內(nèi)任意取值）以一定的初速度射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力。
（1）若θ＝30°，為使粒子不穿出邊界PQ，求粒子初速度的取值范圍；
（2）若在勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域同時(shí)存在一方向豎直向下、電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子從O點(diǎn)以θ＝30°角方向入射，初速度，且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不穿出邊界PQ。求粒子在場(chǎng)區(qū)內(nèi)偏離x軸的最大距離。
（3）若粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受到阻力，阻力f與速度v在大小上滿足f＝kv（k為已知常數(shù)），求粒子能穿出PQ邊界的最小入射速度。
（2024 江蘇模擬）如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于xOy平面向外。質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O垂直磁感線入射到磁場(chǎng)中，初速度大小為v0，方向與x軸正方向成30°角，粒子能經(jīng)過(guò)x軸上的P點(diǎn)。不計(jì)粒子重力。
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若僅將磁場(chǎng)替換為在坐標(biāo)平面內(nèi)且沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子仍能經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，題干中的B為已知量，其他條件不變。求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；
（3）若僅在坐標(biāo)平面內(nèi)增加沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度，求粒子離x軸的最遠(yuǎn)距離ym。
命題點(diǎn)二　帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
1．帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析思路
第1步：分階段(分過(guò)程)按照時(shí)間順序和進(jìn)入不同的區(qū)域分成幾個(gè)不同的階段；
第2步：受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，主要涉及兩種典型運(yùn)動(dòng)，如下：
←←←→→→
第3步：用規(guī)律
→→→→
→
2．解題步驟
(1)找關(guān)鍵點(diǎn)：確定帶電粒子在場(chǎng)區(qū)邊界的速度(包括大小和方向)是解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵．
(2)畫(huà)運(yùn)動(dòng)軌跡：根據(jù)受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，大致畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，有利于形象、直觀地解決問(wèn)題．
模型1　磁場(chǎng)與磁場(chǎng)組合
（2024春 廬江縣期中）如圖所示，有一對(duì)平行金屬板，兩板相距d，電壓為U，兩板之間勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向與金屬板面平行并垂直于紙面向里。平行金屬板右側(cè)圓形區(qū)域內(nèi)也存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓心為O，半徑為R，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里。一正離子沿平行于金屬板面，從A點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)的方向射入平行金屬板間，沿直線射出平行金屬板之間的區(qū)域，并沿直徑CD方向射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，最后從圓形區(qū)域邊界上的F點(diǎn)射出。已知OF與OD夾角θ＝60°，不計(jì)離子重力。求：
（1）離子速度v的大小；
（2）離子的比荷；
（3）離子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t。
（2024 南開(kāi)區(qū)校級(jí)模擬）某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了圖甲所示的“粒子回旋變速裝置”。兩塊相距為d的平行金屬極板M、N，板M位于x軸上，板N在它的正下方。兩板間加上圖乙所示的交變電壓，其電壓值為U0，周期，板M上方和板N下方有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。粒子探測(cè)器位于y軸處，僅能探測(cè)到垂直于y軸射入的帶電粒子。有一沿Ox軸可移動(dòng)的粒子發(fā)射器，可垂直于x軸向上射出質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子，且粒子動(dòng)能可調(diào)節(jié)t＝0時(shí)刻，發(fā)射器在（x，0）位置發(fā)射一帶電粒子。忽略粒子的重力和其他阻力，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不計(jì)。
（1）若粒子只經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)并在y＝y(tǒng)0處被探測(cè)到，求發(fā)射器的位置和粒子的初動(dòng)能；
（2）若粒子兩次進(jìn)出電場(chǎng)區(qū)域后被探測(cè)到，且有Ek0＞qU0。求粒子發(fā)射器的位置坐標(biāo)x與被探測(cè)到的位置坐標(biāo)y之間的關(guān)系。
模型2　電場(chǎng)與磁場(chǎng)組合
（2024 龍崗區(qū)校級(jí)三模）如圖所示，在xOy平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)存在+y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第四象限﹣（2n+1）y≤﹣nL（n＝0，1，2，3，4，5）范圍內(nèi)存在垂直xOy平面向里，大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電量為﹣q質(zhì)量為m的粒子，以初速度v0從P（0，2L）點(diǎn)沿+x方向垂直射入電場(chǎng)，粒子做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)至Q（4L，0）點(diǎn)進(jìn)入第四象限，粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不計(jì)重力。求：
（1）第一象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小；
（2）粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與PQ連線的最大距離；
（3）粒子進(jìn)入第四象限后與x軸的最大距離。
（2024春 鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在xOy平面的第一象限內(nèi)有半徑為R的圓形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里。已知圓形區(qū)域的圓心為O′，其邊界與x軸、y軸分別相切于P、Q點(diǎn)。位于P處的質(zhì)子源均勻地向紙面內(nèi)以大小為v的相同速率發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為e的質(zhì)子，且質(zhì)子初速度的方向被限定在PO′兩側(cè)與PO′的夾角均為30°的范圍內(nèi)。第二象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，在x軸（x＜0）的某區(qū)間范圍內(nèi)放置質(zhì)子接收裝置MN。已知沿PO′方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子恰好從Q點(diǎn)垂直y軸射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，不計(jì)質(zhì)子受到的重力和質(zhì)子間的相互作用力。
（1）求圓形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（2）求y軸正方向上有質(zhì)子射出的區(qū)域范圍；
（3）若要求質(zhì)子源發(fā)出的所有質(zhì)子均被接收裝置MN接收，求接收裝置MN的最短長(zhǎng)度x。
（2024春 鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，xOy平面內(nèi)有區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，其中區(qū)域Ⅰ存在以原點(diǎn)O為圓心的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅱ存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)：電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向沿y軸負(fù)方向；兩區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向均垂直坐標(biāo)系中面向里。某帶電粒子以速度v0從M點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，從N點(diǎn)離開(kāi)區(qū)域Ⅰ并立即進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，之后沿x軸運(yùn)動(dòng)。已知B＝0.05T，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0.1），粒子的比荷，不計(jì)粒子的重力。
（1）求粒子的速度v0；
（2）求電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（3）某時(shí)刻開(kāi)始電場(chǎng)強(qiáng)度大小突然變?yōu)?E（不考慮電場(chǎng)變化產(chǎn)生的影響），其他條件保持不變，一段時(shí)間后，粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y＝﹣0.2m，求粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度大小vP。
（2023秋 太原期末）如圖所示，豎直平面直角坐標(biāo)系xOy第一象限內(nèi)，存在水平向右的電場(chǎng)、垂直紙面向里的磁場(chǎng)。質(zhì)量m＝1kg、電荷量q＝+0.1C的小球由O到A恰好做直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到A（0.1m，0.1m）點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)方向瞬間變?yōu)樨Q直向上，小球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，垂直于y軸射出第一象限。不計(jì)一切阻力，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）小球在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。
（2024 海門(mén)區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立xOy坐標(biāo)系，P、A、Q1、Q2四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣2L，0）、（﹣L，0）、（0，L）、（0，﹣L）。y軸右側(cè)存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于xOy平面向里。在界面PAQ1的上方存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)（未畫(huà)出），界面PAQ2的下方存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)（未畫(huà)出），且上下電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等。在（L，0）處的C點(diǎn)固定一平行于y軸且長(zhǎng)為的絕緣彈性擋板MN，C為擋板中點(diǎn)，帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y方向分速度不變。沿x方向分速度反向，大小不變。質(zhì)量為m、電量為q的帶負(fù)電粒子（不計(jì)重力）從x軸上方非常靠近P點(diǎn)的位置以初速度v0沿x軸正方向射入電場(chǎng)且剛好可以過(guò)Q1點(diǎn)。求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小、到達(dá)Q1點(diǎn)速度的大小和方向；
（2）磁場(chǎng)取合適的磁感應(yīng)強(qiáng)度，帶電粒子沒(méi)有與擋板發(fā)生碰撞且能回到P點(diǎn)，求從P點(diǎn)射出到回到P點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間；
（3）改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，要使粒子最終能回到P點(diǎn)，則帶電粒子最多能與擋板碰撞多少次？
（2024 貴州模擬）如圖所示，在xOy平面第一象限有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)、第四象限有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在坐標(biāo)為（0，h）的A點(diǎn)有一帶電粒子以某一初速度沿+x方向拋出，從坐標(biāo)為（L，0）的C點(diǎn)進(jìn)入第四象限的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。已知粒子電荷量為q、質(zhì)量為m，勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖中所示。不計(jì)粒子所受重力。求：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小；
（2）粒子第二次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。
（2024 雨花區(qū)校級(jí)模擬）某粒子實(shí)驗(yàn)裝置的基本結(jié)構(gòu)如圖（a）所示。兩塊圓弧形金屬板間存在方向指向圓心O1的輻射狀電場(chǎng)，一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子從粒子源射出后沿紙面垂直該電場(chǎng)方向射入兩金屬板間，并恰好做半徑為R1的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所經(jīng)圓弧上的電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為E1。在圓弧形金屬板右側(cè)有一三維坐標(biāo)系O2﹣xyz，在0＜x＜d的空間中，存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E2，在d＜x＜2d的空間中存在沿z軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在x＞2d的區(qū)域存在著沿x軸負(fù)方向的磁場(chǎng)Bx和沿y軸正方向的磁場(chǎng)By，磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx和By的大小均隨時(shí)間周期性變化（磁場(chǎng)Bx、By均未畫(huà)出）。足夠大的熒光屏垂直于x軸放置并可沿x軸水平移動(dòng)。粒子從金屬板間射出后從O2沿x軸正方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，然后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，剛進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸正方向的夾角為60°，剛射出勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)速度方向沿x軸正方向，不計(jì)粒子重力。
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E2的大小；
（2）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）從粒子射出勻強(qiáng)磁場(chǎng)開(kāi)始計(jì)時(shí)，x＞2d的區(qū)域內(nèi)Bx和By的大小隨時(shí)間周期性變化的規(guī)律如圖（b）所示，B0為已知量。若粒子到達(dá)熒光屏?xí)r的速度方向與熒光屏的夾角為30°，求熒光屏所在位置的x軸坐標(biāo)的可能取值。

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