資源簡介

第35講　機械振動
知識內容 考試要求 說明
簡諧運動 b 1.不要求理解“相位”的概念． 2.不要求定量討論速度和加速度的變化． 3.不要求根據簡諧運動回復力的表達式證明物體做簡諧運動． 4.不要求掌握證明單擺在擺角很小的情況下做簡諧運動的方法． 5.不要求解決鐘表快慢的調整問題.
簡諧運動的描述 c
簡諧運動的回復力和能量 b
單擺 c
外力作用下的振動 b
一、簡諧運動的描述
描述簡諧運動的物理量
物理量 定義 意義
位移 由平衡位置指向質點所在位置的有向線段 描述質點振動中某時刻的位置相對于平衡位置的位移
振幅 振動物體離開平衡位置的最大距離 描述振動的強弱和能量
周期 振動物體完成一次全振動所需時間 描述振動的快慢，兩者互為倒數：T＝
頻率 振動物體單位時間內完成全振動的次數
二、簡諧運動的回復力和能量
1．回復力
(1)方向：總是指向平衡位置．
(2)來源：屬于效果力，可以是某一個力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力．
2．能量特點
彈簧振子運動的過程就是動能和勢能相互轉化的過程．
(1)在最大位移處，勢能最大，動能為零．
(2)在平衡位置處，動能最大，勢能最小．
(3)在簡諧運動中，振動系統的機械能守恒.
三、簡諧運動的兩種模型
模型 彈簧振子 單擺
示意圖
簡諧運動條件 (1)彈簧質量可忽略 (2)無摩擦等阻力 (3)在彈簧彈性限度內 (1)擺線為不可伸縮的輕細線 (2)無空氣阻力 (3)最大擺角小于等于5°
回復力 彈簧的彈力提供 擺球重力沿圓弧切線方向的分力
平衡位置 彈簧處于原長處 最低點
周期 與振幅無關 T＝2π
能量轉化 彈性勢能與動能的相互轉化，機械能守恒 重力勢能與動能的相互轉化，機械能守恒
四、簡諧運動的公式和圖象
1．運動學表達式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表簡諧運動的快慢，ωt＋φ0代表簡諧運動的相位，φ0叫做初相．
2．圖象
(1)從平衡位置開始計時，函數表達式為x＝Asin ωt，圖象如圖1甲所示．
(2)從最大位移處開始計時，函數表達式為x＝Acos ωt，圖象如圖乙所示．
五、自由振動、受迫振動和共振的關系比較
　振動　 項目　　 自由振動 受迫振動 共振
受力情況 指向平衡位置的合力提供回復力　 受驅動力作用 受驅動力作用
振動周期 或頻率 由系統本身性質決定，即固有周期T0或固有頻率f0 由驅動力的周期或頻率決定，即T＝T驅或f＝f驅 T驅＝T0或f驅＝f0
振動能量 振動物體的機械能 不變　　 由產生驅動力的物 體提供　 振動物體獲得的能量最大
命題點一　簡諧運動的規律
1．運動學特征：簡諧運動的加速度與物體偏離平衡位置的位移成正比，而方向相反，簡諧運動為變加速運動，遠離平衡位置時，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均減小，衡位置時則相反．
2．對稱性特征：
(1)如圖4所示，振子經過關于平衡位置O對稱的兩點P、P′(OP＝OP′)時，速度的大小、動能、勢能相等，相對于平衡位置的位移大小相等．
圖4
(2)振子由P到O所用時間等于由O到P′所用時間，即tOP＝tOP′.
3．能量特征：振動的能量包括動能Ek和勢能Ep，簡諧運動過程中，系統動能與勢能相互轉化，系統的機械能守恒．
（2024 安徽模擬）一個豎直圓盤轉動時，固定在圓盤上的小圓柱帶動一個T形支架在豎直方向上下振動，T形支架下面系著一個彈簧和小球組成的振動系統，小球浸沒在水中。當圓盤靜止時，讓小球在水中振動，其振動的頻率約為3Hz。現在圓盤以4s的周期勻速轉動帶動小球上下振動。下列說法正確的是（　　）
A．圓盤上的小圓柱轉到圓心等高處時，T形支架的瞬時速度為零
B．小球振動過程中，小球和彈簧組成的系統機械能守恒
C．小球振動達到穩定時，它振動的頻率是0.25Hz
D．若圓盤以2s的周期勻速轉動，小球振動達到穩定時，振幅比原來小
【解答】解：A．小圓柱轉到圓心等高處時，小圓柱的速度沿豎直方向的分速度不為零，則T形支架的瞬時速度也不為零，故A錯誤；
B．圓盤轉動，通過小圓柱帶動T形支架上下振動，T形支架又通過彈簧使小球做受迫振動，即小球振動過程中受到T形支架的驅動力的作用，所以小球和彈簧組成的系統機械能不守恒，故B錯誤；
C．經過一段時間后，小球振動達到穩定時，它振動的頻率和驅動力頻率相同，即，故C正確；
D．圓盤以2s的周期勻速運動時，驅動力頻率為
驅動力頻率接近小球的固有頻率，所以振幅比原來大，故D錯誤。
故選：C。
（2024 重慶模擬）如圖甲所示，輕質彈簧豎直放置，下端固定在水平地面上，上端連接一質量為m物塊，物塊在豎直向下的壓力F的作用下保持靜止。t＝0時，撤去壓力F，物塊在豎直方向做簡諧振動，取豎直向上為正方向，彈簧振子的振動圖像如圖甲、乙所示。彈簧的勁度系數為k，重力加速度為g，F＝2mg。以下說法正確的是（　　）
A．彈簧振子的振幅為
B．彈簧振子的頻率為2.5Hz
C．t＝0.2s時，物塊的加速度最大
D．t＝0.4s到t＝0.6s的時間內，物塊加速度和速度方向相同
【解答】解：A、物體在振動的過程中，平衡位置為回復力為零的位置，由題知，在平衡位置彈簧彈力等于物塊重力mg，則彈簧回復力為F＝2mg，彈簧振子的振幅為x，F＝kx，代入得，故A錯誤；
B、由彈簧振子的振動圖像知周期為T＝0.8s，彈簧振子的頻率為，故B錯誤；
C、t＝0.2s時，物塊處于平衡位置，物塊的回復力最小，速度最大，故物塊的加速度最小，故C錯誤；
D、t＝0.4s到t＝0.6s的時間內，物塊由最遠位置到平衡位置，速度由0變化到最大，速度方向指向平位置，回復力指向平衡位置，故物塊加速度和速度方向相同，故D正確。
故選：D。
（2021 蔡甸區校級模擬）在平靜的介質中，從波源O發出的一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，t1秒時刻的波形用實線表示，t2秒（t2＞t1）時刻的波形用虛線表示。介質中的質點Q位于x＝18m處，則下列說法正確的是（　　）
A．該簡諧橫波的波長可能為6m
B．該波的波速大小一定為m/s
C．在t1秒時刻至t2秒時刻這段時間內，介質中的質點M的運動過程是由先加速、后減速兩段過程組成
D．根據圖像無法判斷質點Q的起振方向
【解答】解：A、由波形圖可知波長為8m，故A錯誤；
B、由波的周期性可知，t1秒時刻至t2秒時刻這段時間內波傳播的距離可能為4+8n（m）（n＝0，1，2，3…），由v，則波速為vm/s（n＝0，1，2，3…），故B錯誤；
C、由波的周期性可知，t1秒時刻至t2秒時刻這段時間可能大于一個周期，所以介質中的質點M的運動過程有可能是由周期性的加速、減速等多個過程組成，故C錯誤；
D、因為圖示時刻已經不是波源的起振時刻，所以根據圖像無法判斷質點Q的起振方向。
故選：D。
命題點二　簡諧運動的圖象
1．振動圖象提供的信息
(1)由圖象可以看出質點振動的振幅、周期．
(2)可以確定某時刻質點離開平衡位置的位移．
(3)可以確定各時刻質點的振動方向．
(4)可以確定某時刻質點的回復力、加速度和速度的方向．
(5)能夠比較不同時刻質點的速度、加速度的大小．
2．振動圖象的分析方法
(1)首先，要理解位移—時間圖象的意義，明確切線斜率的大小等于速度的大小，切線斜率的正負表示速度的方向．
(2)其次，要把位移—時間圖象與質點的實際振動過程聯系起來，圖象上的一個點表示振動中的一個狀態(位置、振動方向等)，圖象上的一段對應振動的一個過程．
（2024 天津一模）如圖1所示，彈簧振子在豎直方向做簡諧振動。以其平衡位置為坐標原點，豎直方向上為正方向建立坐標軸，振子的位移x隨時間t的變化如圖2所示，下列說法正確的是（　　）
A．振子的振幅為4cm
B．振子的振動周期為1s
C．t＝1s時，振子的速度為正的最大值
D．t＝1s時，振子的加速度為正的最大值
【解答】解：AB、由振動的圖象可知：振子的振幅為2cm而不是4cm，周期為2s而不是1s，故AB錯誤；
CD、t＝1s時，振子處于平衡位置，加速度為0，速度為正的最大值，故C正確，D錯誤。
故選：C。
（2024 鄭州模擬）一質點做簡諧運動，其相對于平衡位置的位移x與時間t的關系圖線如圖所示，由圖可知（　　）
A．該簡諧運動的周期是2.5×10﹣2s，振幅是7cm
B．該簡諧運動的表達式可能為
C．t＝0.5×10﹣2s時振子的速度最大，且方向向下
D．t＝0.25×10﹣2s時振子的位移為﹣5cm
【解答】解：A、由題圖可知：周期T＝2×10﹣2s，振幅A＝7cm，故A錯誤；
B、振子的圓頻率，且t＝0時位移為x＝﹣7cm，所以表達式為x＝7sin（100）cm，故B正確；
CD、當t＝0.5×10﹣2s時，振子在平衡位置，其速度最大，速度正向且為最大值；當t＝0.25×10﹣2s時，其位移為xcm，故CD錯誤。
故選：B。
（2024 二模擬）如圖所示，一個質量為m的物塊，左端與輕彈簧栓接，輕彈簧的另一端固定在墻上的O點，物塊和地面間的動摩擦因數為μ。現用手按住物塊靜止于A點，讓彈簧處于壓縮狀態。某時刻釋放物塊，物塊向右運動，在M點（圖中未畫出）獲得最大速度v1，到最右端B點（圖中未畫出）后，再向左運動，在M′點（圖中未畫出）獲得向左運動的最大速度v2，C點（圖中未畫出）時速度減為0并保持靜止狀態。物塊向右運動的時間為t1，向左運動的時間為t2，設最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力大小，則關于兩個過程下列說法正確的是（　　）
A．M點和M′點在同一位置
B．兩個階段的時間滿足t1＝t2
C．兩個階段最大速度滿足v1＜v2
D．C點在M點左側
【解答】解：A、M點和M′點都處于各個階段速度最大的位置，說明在這兩個位置受力平衡，受力分析如圖所示
因此這兩個點一個在彈簧壓縮位置，一個在彈簧拉伸位置，則這兩個點不可能在同一位置，故A錯誤；
C、在從M點到M'點的過程中，彈性勢能沒有發生變化，但由于摩擦消耗了機械能，根據能量守恒可知動能減小，故速度v1＞v2，故C錯誤；
D、物塊運動到C點后，保持靜止，說明C位置向右的彈力小于最大靜摩擦力，則C位置應該在M點的右側，故D錯誤；
B、兩個階段均受到大小恒定的滑動摩擦力的作用，可類比豎直方向上的彈簧振子，將滑動摩擦力看作重力，因此向右和向左的運動可分別看作簡諧運動，簡諧運動的周期沒有發生變化，因此t1＝t2，故B正確。
故選：B。
（2024 岳麓區校級模擬）一個有固定轉動軸的豎直圓盤如圖甲所示，圓盤轉動時，固定在圓盤上的小圓柱帶動一個T形支架在豎直方向振動，T形支架的下面系著一個由彈簧和小球組成的振動系統，小球做受迫振動。圓盤靜止時，讓小球做簡諧運動，其振動圖像如圖乙所示（以豎直向上為正方向）。下列說法正確的是（　　）
A．乙圖中，t＝1s到t＝2s小球所受的回復力增加，且方向為x軸正向
B．乙圖中，t＝2s到t＝3s彈簧彈性勢能一定減小
C．若圓盤以0.5r/s的轉速勻速轉動，小球振動達到穩定時其振動的周期為4s
D．若圓盤以0.5r/s的轉速勻速轉動，欲使小球振幅增加，可使圓盤轉速適當減小
【解答】解：A．以豎直向上為正方向，由圖可知t＝1s到t＝2s小球從最低點向平衡位置振動，則所受的回復力減小，方向為x軸正向，故A錯誤；
B．由圖可知t＝2s到t＝3s小球從平衡位置向最高點振動，小球可能會經過彈簧的原長，則彈簧彈性勢能可能一直減小，也可能先減小后增大，故B錯誤；
C．若圓盤以0.5r/s的轉速勻速轉動，驅動力的周期為T驅
則小球振動達到穩定時其振動的周期等于驅動力的周期，為2s，故C錯誤；
D．若圓盤以0.5r/s的轉速勻速轉動，則T驅＝2s＜T固＝4s
欲使小球振幅增加，可使圓盤周期增大，即轉速適當減小，故D正確。
故選：D。
命題點三　外力作用下的振動
1．共振曲線
如圖所示，橫坐標為驅動力頻率f，縱坐標為振幅A，它直觀地反映了驅動力頻率對某固有頻率為f0的振動系統受迫振動振幅的影響，由圖可知，f與f0越接近，振幅A越大；當f＝f0時，振幅A最大．
2．受迫振動中系統能量的轉化
做受迫振動的系統的機械能不守恒，系統與外界時刻進行能量交換．
（2024 蘭州模擬）在地震中，建筑物共振會放大地震的影響。設鋼混結構建筑物的固有頻率與其高度的平方成正比，比例系數為0.5。若某次地震波到達地面的頻率為12Hz，下列哪種高度的鋼混建筑物因共振所受的影響最大（　　）
A．5m B．10m C．15m D．20m
【解答】解：由題意可知，建筑物固有頻率與其高度的平方成正比，即
f＝0.5h2，
當f＝12Hz時，
解得：h≈4.9m，所以高度越接近4.9m，建筑物因共振所受的影響越大，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（多選）（2024 淄博一模）2024年我國將加速穩步推進載人登月，未來中國航天員將登上月球。試想航天員用同一裝置對同一單擺分別在地球和月球上做受迫振動實驗，得到如圖所示的共振曲線，共振頻率為f1、f2。將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，引力常量為G，地球表面的重力加速度為g，不考慮星球自轉的影響。下列說法正確的是（　　）
A．該單擺在月球上的共振頻率為f2 B．月球表面的重力加速度
C．月球的質量 D．月球的密度
【解答】解：AB．根據單擺周期公式得：
聯立解得：
由于月球的重力加速度小于地球的重力加速度，所以該單擺在月球上的共振頻率為f1；
設月球表面的重力加速度為g月，則有
，
聯立解得：，故A錯誤，B正確；
CD．物體在月球表面上，設月球質量為M月，則
解得：
根據
可得月球的密度為：
故C錯誤，D正確。
故選：BD。
（2023 大慶模擬）如圖所示，學校門口水平路面上兩減速帶的間距為2m，若某汽車勻速通過該減速帶，其車身懸掛系統（由車身與輪胎間的彈簧及避震器組成）的固有頻率為2Hz，則下列說法正確的是（　　）
A．汽車行駛的速度越大，顛簸得越厲害
B．汽車行駛的速度越小，顛簸得越厲害
C．當汽車以3m/s的速度行駛時，顛簸得最厲害
D．當汽車以4m/s的速度行駛時，顛簸得最厲害
【解答】解：根據f，所以T＝0.5s，vm/s＝4m/s，因此當汽車以4m/s的速度行駛時，通過減速帶的頻率與汽車的固有頻率相同，發生共振，汽車顛簸得最厲害。故ABC錯誤，D正確；
故選：D。
（2024 廣州二模）如圖甲，由細線和裝有墨水的容器組成單擺，容器底端墨水均勻流出。當單擺在豎直面內擺動時，長木板以速度v垂直于擺動平面勻速移動距離L，形成了如圖乙的墨痕圖案，重力加速度為g，則該單擺的擺長為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：圖乙中沙擺擺動2個周期，則周期為2T，由單擺周期公式T＝2π
解得沙擺對應的擺長l，故A正確，BCD錯誤；
故選：A。
（2024 佛山二模）將重物靜止懸掛在輕質彈簧下端，往左右方向輕微擾動重物，將會形成一個單擺；往上下方向輕微擾動重物，將會形成一個彈簧振子。若此單擺及彈簧振子的周期滿足2：1時，無論給予哪種擾動，該裝置都會周期性地在單擺和彈簧振子狀態間切換，這種現象稱為“內共振”。已知彈簧振子的周期（m為重物質量，k為彈簧勁度系數），單擺擺長為L，重力加速度為g，若要產生“內共振”現象，則該彈簧勁度系數應該滿足（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意結合單擺的周期公式有（2）：（2）＝2：1
解得k
故B正確，ACD錯誤；
故選：B。
（2024 鹿城區校級模擬）如圖所示，房頂上固定一根長2.5m的細線沿豎直墻壁垂到窗沿下，細線下端系了一個小球（可視為質點），打開窗子，讓小球在直于窗子的豎直平面內小幅擺動，窗上沿到房頂的高度為1.6m，不計空氣阻力，g取10m/s2，則小球完成一次全振動的時間為（　　）
A．0.2πs B．0.4πs C．0.6πs D．0.8πs
【解答】解：小球做小幅擺動，可認為是做簡諧運動，根據單擺周期公式可知，小球在墻體右側擺動一次所用時間為
小球在墻體左側擺動一次所用的時間為
所以小球完成一次全振動的時間為t＝t1+t2＝0.5πs+0.3πs＝0.8πs，故D正確，ABC錯誤；
故選：D。
（2024 黑龍江模擬）如圖所示，光滑水平面上放有質量為M＝2kg的足夠長的木板B，通過水平輕彈簧與豎直墻壁相連的物塊A疊放在B上，A的質量為m＝1kg，彈簧的勁度系數k＝100N/m。初始時刻，系統靜止，彈簧處于原長。現用一水平向右的拉力F＝10N作用在B上，已知A、B間動摩擦因數μ＝0.2，彈簧振子的周期為，取g＝10m/s2，π2≈10。則（　　）
A．A受到的摩擦力逐漸變大
B．A向右運動的最大距離為4cm
C．當A的位移為2cm時，B的位移為5cm
D．當A的位移為4cm時，彈簧對A的沖量大小為0.2π（N s）
【解答】解：A．A的最大加速度為
若拉力F作用的瞬間A、B整體一起向右加速，加速度為：
則a共＞aAmax，則一開始二者就發生相對運動，A一直受滑動摩擦力保持不變，故A錯誤；
B．AB間的滑動靜摩擦力為f＝μmg＝0.2×1×10N＝2N
當彈簧彈力等于滑動摩擦力時，A向右運動的距離為
則A做簡諧運動的振幅A＝2cm，則A向右運動的最大距離為2A＝4cm，故B正確；
C．設初始位置為0位置，A以處為平衡位置做簡諧振動，當A的位移為2cm時，即A處于平衡位置時，A運動的時間可能是，（n＝0，1，2，3…）
或者，（n＝0，1，2，3…）
由題可。
對木板B，加速度為
則當A的位移為2cm時，即A處于平衡位置時，B運動的位移為
或者
但是A的位移為2cm時，B的位移不一定為5cm，故C錯誤；
D．當A的位移為4cm時，結合選項BC分析可知，A的速度變為0，由動量定理可知，A的動量變化量為零，故彈簧對A的沖量大小等于摩擦力對A的沖量大小，即I＝I′＝fΔt；
當A的位移為4cm時，A運動的時間為
，（n＝0，1，2，3…）
則當A的位移為4cm時，彈簧對A的沖量大小為
I＝μmgΔt＝（1+2n）T≈0.2π（1+2n）（N s），（n＝0，1，2，3…）
則當A的位移為4cm時，彈簧對A的沖量大小不一定為0.2π（N s），故D錯誤。
故選：B。
（2024 全國一模）用單擺可以測量某一行星的自轉周期，若測得在相同時間t內，擺長為L的單擺在該行星兩極處完成了N1次全振動，在該行星赤道處完成了N2次全振動，設該行星為質量分布均勻的球體，半徑為R，則該行星自轉周期是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：設在兩極處重力加速度為g1，則單擺的周期
同理：設在赤道處的重力加速度為g2，則單擺的周期
設地球的自轉周期為T，則有
聯立解得：T，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2024 廣州一模）某質點做簡諧振動，其位移x與時間t的關系如圖，則該質點（　　）
A．振動頻率為4Hz
B．在A點速度最大
C．在B點加速度最大
D．在0～3s內通過路程為12.0cm
【解答】解：A、由圖讀出周期 T＝4s，則頻率 f，故A錯誤；
BC、在A點時質點的位移最大，則由F＝﹣kx知合外力最大，加速度最大，速度最小，在B點時，質點的位移為零，則由F＝﹣kx知合外力為零，加速度為零，速度最大，故BC錯誤；
D、由圖讀出振幅為A＝2cm，在0～3s內通過路程為s＝3A＝3×4cm＝12.0cm，故D正確。
故選：D。
（多選）（2024 新鄭市校級三模）某同學用單擺測量學校的重力加速度大小，他通過改變擺長L，測出幾組對應的周期T，并作出T2﹣L圖像如圖所示。下列說法正確的是（　　）
A．應選用質量小、體積也小的小球做實驗
B．應從擺球經過最低點時開始計時
C．圖像不過坐標原點的原因可能是擺長測量值偏大
D．通過作出T2﹣L圖像處理數據來求得重力加速度，可消除因擺球質量分布不均勻而導致的系統誤差
【解答】解：A．為了減小空氣阻力的影響，擺球應選用質量大、體積小的小球做實驗，故A錯誤；
B．擺球經過平衡位置的速度最大，擺球停留時間短，為了減小誤差，應從擺球經過最低點開始計時，故B正確；
C．設擺線長度為L，小球半徑為r，根據單擺公式
化簡可得
可知，圖像不過坐標原點的原因可能是測量擺長時，忘記加上小球的半徑，故C錯誤；
D．根據上述分析，T2﹣L圖像的斜率為
通過作出T2﹣L圖像處理數據來求得重力加速度，可消除因擺球質量分布不均勻而導致的系統誤差，故D正確。
故選：BD。
（多選）（2024 雨花區校級模擬）如圖a所示，下端附有重物的粗細均勻木棒浮在水中，已知水的密度為ρ，木棒的橫截面積為S，重力加速度大小為g，將木棒向下按壓一段距離后釋放，木棒所受的浮力F隨時間周期性變化，如圖b所示，下列說法正確的是（　　）
A．木棒做簡諧運動，重力充當回復力
B．0～0.25s 內木棒的加速度逐漸減小
C．木棒和重物的重力之和等于 F1﹣F2
D．木棒所受合外力與偏離初始位置的距離成正比
【解答】解：A．木棒在豎直方向受到重力和水的浮力，木棒做簡諧運動的回復力是水的浮力與木棒重力的合力，故A錯誤；
B．由圖乙可知在0～0.25s內木棒的浮力從最大開始減小，則木棒從最低點向平衡位置運動，其所受合外力逐漸減小，根據牛頓第二定律可知其加速度逐漸減小，故B正確；
C．根據簡諧運動的特點可知，木棒和重物在最高點和最低點的位置加速度大小相等，故在最低點有：F1﹣G＝ma
在最高點有：G﹣F2＝ma
聯立可得：
故C錯誤；
D．設向下為正，則在初始位置時，由平衡條件可得：mg＝ρgx0S
在偏離平衡位置x位置時，木棒所受合外力為：F合＝﹣[ρg（x0+x）S﹣mg]＝﹣ρgxS
則木棒所受合外力大小與偏離初始位置的距離成正比，且比值為ρgS，故D正確。
故選：BD。
（2023 海淀區二模）擺，是物理學中重要的模型之一。如圖1所示，一根不可伸長的輕軟細繩的上端固定在天花板上的O點，下端系一個擺球（可看作質點）。將其拉至A點后靜止釋放，擺球將在豎直面內的A、C之間來回擺動，其中B點為運動中的最低點。忽略空氣阻力。
（1）圖2所示為繩中拉力F隨時間t變化的圖線，求：
a．擺的振動周期T。
b．擺的最大擺角θm。
（2）擺角θ很小時，擺球的運動可看作簡諧運動。某同學發現他家中擺長為0.993m的單擺在小角度擺動時，周期為2s。他又查閱資料發現，早期的國際計量單位都是基于實物或物質的特性來定義的，稱為實物基準，例如質量是以一塊1kg的鉑銥合金圓柱體為實物基準。于是他想到可以利用上述擺長為0.993m的單擺建立“1s”的實物基準。請判斷該同學的想法是否合理，并說明理由。
（3）小擺角單擺是較為精確的機械計時裝置，常用來制作擺鐘。擺鐘在工作過程中由于與空氣摩擦而帶上一定的負電荷，而地表附近又存在著豎直向下的大氣電場（可視為勻強電場），導致擺鐘走時不準。某同學由此想到可以利用小擺角單擺估測大氣電場強度：他用質量為m的金屬小球和長為L（遠大于小球半徑）的輕質絕緣細線制成一個單擺。他設法使小球帶電荷量為﹣q并做小角度振動，再用手機秒表計時功能測量其振動周期T，已知重力加速度g，不考慮地磁場的影響。
a．推導大氣電場強度的大小E的表達式。
b．實際上，擺球所帶電荷量為10﹣7C量級，大氣電場強度為102N/C量級，擺球質量為10﹣1kg量級，手機秒表計時的精度為10﹣2s量級。分析判斷該同學上述測量方案是否可行。（提示：當|x| 1時，有（1+x）n＝1+nx）
【解答】解：（1）a、小球在A點與C點細繩的拉力最小且大小相等，小球從A到C再回到A時一個周期，故周期為T＝3.24s﹣1.08s＝2.16s；
b、小球在A點與C點時，細繩的拉力最小FA＝FC＝1.225N
小球在A點與C點時，重力沿繩方向的分力大小等于細繩的拉力，則FA＝mgcosθm
小球在最低點B，細繩的拉力最大，由圖可知FB＝4.900N
由牛頓第二定律可得
小球從A點到B點，由動能定理得
解得：θm＝60°
（2）不合理，因為單擺周期公式，不同地區的緯度，海拔高度不同，g值不同，所以不可以利用上述擺長為0.993m的單擺建立“1s”的實物基準。
（3）a、重力場與電場疊加為等效重力場，則mg′＝mg﹣Eq
單擺的周期公式為
解得大氣電場強度的大小E的表達式為E
b、不可行，因為實際上達到的數量級是107N/C，與大氣電場強度102N/C量級相差太大，也就是擺球所帶電荷量太小，達不到實驗要求。
（2024 開福區校級模擬）簡諧運動是一種常見且重要的運動形式。它是質量為m的物體在受到形如F＝﹣kx的回復力作用下，物體的位移x與時間t遵循x＝Asinωt變化規律的運動，其中角頻率ω（k為常數，A為振幅，T為周期）。彈簧振子的運動就是其典型代表。
如圖所示，一豎直光滑的管內有一勁度系數為k的輕彈簧，彈簧下端固定于地面，上端與一質量為m的小球A相連，小球A靜止時所在位置為O，另一質量也為m的小球B從距A為H的P點由靜止開始下落，與A發生瞬間碰撞后一起開始向下做簡諧運動。兩球均可視為質點，在運動過程中，彈簧的形變在彈性限度內，當其形變量為x時，彈性勢能為Epkx2，已知H，重力加速度為g。求：
（1）B與A碰撞后瞬間一起向下運動的速度；
（2）小球A被碰后向下運動離O點的最大距離。
（3）小球A從O點開始向下運動到第一次返回O點所用的時間。
【解答】解：（1）小球B自由下落H的速度為vB
根據動能定理可得：
解得：
小球B與小球A碰撞過程動量守恒，取向下為正，則有：
mvB+0＝（m+m）v1
解得：；
（2）小球A在O位置，彈簧被壓縮x0，則
小球A與小球B共同體繼續向下運動離O點的最大距離為xm，根據機械能守恒定律可得：
由mg＝kx0
整理得：
解得：xm＝3x0，xm＝﹣x0（舍去）
即：；
（3）由題意振動周期：，又振幅
所以平衡位置在彈簧壓縮2x0處，從碰撞后開始到再次回到O點的振動圖象如圖：
從O點開始到平衡位置經過的時間t1T
所求時間t＝2t1
解得：t。第35講　機械振動
知識內容 考試要求 說明
簡諧運動 b 1.不要求理解“相位”的概念． 2.不要求定量討論速度和加速度的變化． 3.不要求根據簡諧運動回復力的表達式證明物體做簡諧運動． 4.不要求掌握證明單擺在擺角很小的情況下做簡諧運動的方法． 5.不要求解決鐘表快慢的調整問題.
簡諧運動的描述 c
簡諧運動的回復力和能量 b
單擺 c
外力作用下的振動 b
一、簡諧運動的描述
描述簡諧運動的物理量
物理量 定義 意義
位移 由平衡位置指向質點所在位置的有向線段 描述質點振動中某時刻的位置相對于平衡位置的位移
振幅 振動物體離開平衡位置的最大距離 描述振動的強弱和能量
周期 振動物體完成一次全振動所需時間 描述振動的快慢，兩者互為倒數：T＝
頻率 振動物體單位時間內完成全振動的次數
二、簡諧運動的回復力和能量
1．回復力
(1)方向：總是指向平衡位置．
(2)來源：屬于效果力，可以是某一個力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力．
2．能量特點
彈簧振子運動的過程就是動能和勢能相互轉化的過程．
(1)在最大位移處，勢能最大，動能為零．
(2)在平衡位置處，動能最大，勢能最小．
(3)在簡諧運動中，振動系統的機械能守恒.
三、簡諧運動的兩種模型
模型 彈簧振子 單擺
示意圖
簡諧運動條件 (1)彈簧質量可忽略 (2)無摩擦等阻力 (3)在彈簧彈性限度內 (1)擺線為不可伸縮的輕細線 (2)無空氣阻力 (3)最大擺角小于等于5°
回復力 彈簧的彈力提供 擺球重力沿圓弧切線方向的分力
平衡位置 彈簧處于原長處 最低點
周期 與振幅無關 T＝2π
能量轉化 彈性勢能與動能的相互轉化，機械能守恒 重力勢能與動能的相互轉化，機械能守恒
四、簡諧運動的公式和圖象
1．運動學表達式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表簡諧運動的快慢，ωt＋φ0代表簡諧運動的相位，φ0叫做初相．
2．圖象
(1)從平衡位置開始計時，函數表達式為x＝Asin ωt，圖象如圖1甲所示．
(2)從最大位移處開始計時，函數表達式為x＝Acos ωt，圖象如圖乙所示．
五、自由振動、受迫振動和共振的關系比較
　振動　 項目　　 自由振動 受迫振動 共振
受力情況 指向平衡位置的合力提供回復力　 受驅動力作用 受驅動力作用
振動周期 或頻率 由系統本身性質決定，即固有周期T0或固有頻率f0 由驅動力的周期或頻率決定，即T＝T驅或f＝f驅 T驅＝T0或f驅＝f0
振動能量 振動物體的機械能 不變　　 由產生驅動力的物 體提供　 振動物體獲得的能量最大
命題點一　簡諧運動的規律
1．運動學特征：簡諧運動的加速度與物體偏離平衡位置的位移成正比，而方向相反，簡諧運動為變加速運動，遠離平衡位置時，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均減小，衡位置時則相反．
2．對稱性特征：
(1)如圖4所示，振子經過關于平衡位置O對稱的兩點P、P′(OP＝OP′)時，速度的大小、動能、勢能相等，相對于平衡位置的位移大小相等．
圖4
(2)振子由P到O所用時間等于由O到P′所用時間，即tOP＝tOP′.
3．能量特征：振動的能量包括動能Ek和勢能Ep，簡諧運動過程中，系統動能與勢能相互轉化，系統的機械能守恒．
（2024 安徽模擬）一個豎直圓盤轉動時，固定在圓盤上的小圓柱帶動一個T形支架在豎直方向上下振動，T形支架下面系著一個彈簧和小球組成的振動系統，小球浸沒在水中。當圓盤靜止時，讓小球在水中振動，其振動的頻率約為3Hz。現在圓盤以4s的周期勻速轉動帶動小球上下振動。下列說法正確的是（　　）
A．圓盤上的小圓柱轉到圓心等高處時，T形支架的瞬時速度為零
B．小球振動過程中，小球和彈簧組成的系統機械能守恒
C．小球振動達到穩定時，它振動的頻率是0.25Hz
D．若圓盤以2s的周期勻速轉動，小球振動達到穩定時，振幅比原來小
（2024 重慶模擬）如圖甲所示，輕質彈簧豎直放置，下端固定在水平地面上，上端連接一質量為m物塊，物塊在豎直向下的壓力F的作用下保持靜止。t＝0時，撤去壓力F，物塊在豎直方向做簡諧振動，取豎直向上為正方向，彈簧振子的振動圖像如圖甲、乙所示。彈簧的勁度系數為k，重力加速度為g，F＝2mg。以下說法正確的是（　　）
A．彈簧振子的振幅為
B．彈簧振子的頻率為2.5Hz
C．t＝0.2s時，物塊的加速度最大
D．t＝0.4s到t＝0.6s的時間內，物塊加速度和速度方向相同
（2021 蔡甸區校級模擬）在平靜的介質中，從波源O發出的一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，t1秒時刻的波形用實線表示，t2秒（t2＞t1）時刻的波形用虛線表示。介質中的質點Q位于x＝18m處，則下列說法正確的是（　　）
A．該簡諧橫波的波長可能為6m
B．該波的波速大小一定為m/s
C．在t1秒時刻至t2秒時刻這段時間內，介質中的質點M的運動過程是由先加速、后減速兩段過程組成
D．根據圖像無法判斷質點Q的起振方向
命題點二　簡諧運動的圖象
1．振動圖象提供的信息
(1)由圖象可以看出質點振動的振幅、周期．
(2)可以確定某時刻質點離開平衡位置的位移．
(3)可以確定各時刻質點的振動方向．
(4)可以確定某時刻質點的回復力、加速度和速度的方向．
(5)能夠比較不同時刻質點的速度、加速度的大小．
2．振動圖象的分析方法
(1)首先，要理解位移—時間圖象的意義，明確切線斜率的大小等于速度的大小，切線斜率的正負表示速度的方向．
(2)其次，要把位移—時間圖象與質點的實際振動過程聯系起來，圖象上的一個點表示振動中的一個狀態(位置、振動方向等)，圖象上的一段對應振動的一個過程．
（2024 天津一模）如圖1所示，彈簧振子在豎直方向做簡諧振動。以其平衡位置為坐標原點，豎直方向上為正方向建立坐標軸，振子的位移x隨時間t的變化如圖2所示，下列說法正確的是（　　）
A．振子的振幅為4cm
B．振子的振動周期為1s
C．t＝1s時，振子的速度為正的最大值
D．t＝1s時，振子的加速度為正的最大值
（2024 鄭州模擬）一質點做簡諧運動，其相對于平衡位置的位移x與時間t的關系圖線如圖所示，由圖可知（　　）
A．該簡諧運動的周期是2.5×10﹣2s，振幅是7cm
B．該簡諧運動的表達式可能為
C．t＝0.5×10﹣2s時振子的速度最大，且方向向下
D．t＝0.25×10﹣2s時振子的位移為﹣5cm
（2024 二模擬）如圖所示，一個質量為m的物塊，左端與輕彈簧栓接，輕彈簧的另一端固定在墻上的O點，物塊和地面間的動摩擦因數為μ。現用手按住物塊靜止于A點，讓彈簧處于壓縮狀態。某時刻釋放物塊，物塊向右運動，在M點（圖中未畫出）獲得最大速度v1，到最右端B點（圖中未畫出）后，再向左運動，在M′點（圖中未畫出）獲得向左運動的最大速度v2，C點（圖中未畫出）時速度減為0并保持靜止狀態。物塊向右運動的時間為t1，向左運動的時間為t2，設最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力大小，則關于兩個過程下列說法正確的是（　　）
A．M點和M′點在同一位置
B．兩個階段的時間滿足t1＝t2
C．兩個階段最大速度滿足v1＜v2
D．C點在M點左側
（2024 岳麓區校級模擬）一個有固定轉動軸的豎直圓盤如圖甲所示，圓盤轉動時，固定在圓盤上的小圓柱帶動一個T形支架在豎直方向振動，T形支架的下面系著一個由彈簧和小球組成的振動系統，小球做受迫振動。圓盤靜止時，讓小球做簡諧運動，其振動圖像如圖乙所示（以豎直向上為正方向）。下列說法正確的是（　　）
A．乙圖中，t＝1s到t＝2s小球所受的回復力增加，且方向為x軸正向
B．乙圖中，t＝2s到t＝3s彈簧彈性勢能一定減小
C．若圓盤以0.5r/s的轉速勻速轉動，小球振動達到穩定時其振動的周期為4s
D．若圓盤以0.5r/s的轉速勻速轉動，欲使小球振幅增加，可使圓盤轉速適當減小
命題點三　外力作用下的振動
1．共振曲線
如圖所示，橫坐標為驅動力頻率f，縱坐標為振幅A，它直觀地反映了驅動力頻率對某固有頻率為f0的振動系統受迫振動振幅的影響，由圖可知，f與f0越接近，振幅A越大；當f＝f0時，振幅A最大．
2．受迫振動中系統能量的轉化
做受迫振動的系統的機械能不守恒，系統與外界時刻進行能量交換．
（2024 蘭州模擬）在地震中，建筑物共振會放大地震的影響。設鋼混結構建筑物的固有頻率與其高度的平方成正比，比例系數為0.5。若某次地震波到達地面的頻率為12Hz，下列哪種高度的鋼混建筑物因共振所受的影響最大（　　）
A．5m B．10m C．15m D．20m
（多選）（2024 淄博一模）2024年我國將加速穩步推進載人登月，未來中國航天員將登上月球。試想航天員用同一裝置對同一單擺分別在地球和月球上做受迫振動實驗，得到如圖所示的共振曲線，共振頻率為f1、f2。將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，引力常量為G，地球表面的重力加速度為g，不考慮星球自轉的影響。下列說法正確的是（　　）
A．該單擺在月球上的共振頻率為f2 B．月球表面的重力加速度
C．月球的質量 D．月球的密度
（2023 大慶模擬）如圖所示，學校門口水平路面上兩減速帶的間距為2m，若某汽車勻速通過該減速帶，其車身懸掛系統（由車身與輪胎間的彈簧及避震器組成）的固有頻率為2Hz，則下列說法正確的是（　　）
A．汽車行駛的速度越大，顛簸得越厲害
B．汽車行駛的速度越小，顛簸得越厲害
C．當汽車以3m/s的速度行駛時，顛簸得最厲害
D．當汽車以4m/s的速度行駛時，顛簸得最厲害
（2024 廣州二模）如圖甲，由細線和裝有墨水的容器組成單擺，容器底端墨水均勻流出。當單擺在豎直面內擺動時，長木板以速度v垂直于擺動平面勻速移動距離L，形成了如圖乙的墨痕圖案，重力加速度為g，則該單擺的擺長為（　　）
A． B．
C． D．
（2024 佛山二模）將重物靜止懸掛在輕質彈簧下端，往左右方向輕微擾動重物，將會形成一個單擺；往上下方向輕微擾動重物，將會形成一個彈簧振子。若此單擺及彈簧振子的周期滿足2：1時，無論給予哪種擾動，該裝置都會周期性地在單擺和彈簧振子狀態間切換，這種現象稱為“內共振”。已知彈簧振子的周期（m為重物質量，k為彈簧勁度系數），單擺擺長為L，重力加速度為g，若要產生“內共振”現象，則該彈簧勁度系數應該滿足（　　）
A． B． C． D．
（2024 鹿城區校級模擬）如圖所示，房頂上固定一根長2.5m的細線沿豎直墻壁垂到窗沿下，細線下端系了一個小球（可視為質點），打開窗子，讓小球在直于窗子的豎直平面內小幅擺動，窗上沿到房頂的高度為1.6m，不計空氣阻力，g取10m/s2，則小球完成一次全振動的時間為（　　）
A．0.2πs B．0.4πs C．0.6πs D．0.8πs
（2024 黑龍江模擬）如圖所示，光滑水平面上放有質量為M＝2kg的足夠長的木板B，通過水平輕彈簧與豎直墻壁相連的物塊A疊放在B上，A的質量為m＝1kg，彈簧的勁度系數k＝100N/m。初始時刻，系統靜止，彈簧處于原長。現用一水平向右的拉力F＝10N作用在B上，已知A、B間動摩擦因數μ＝0.2，彈簧振子的周期為，取g＝10m/s2，π2≈10。則（　　）
A．A受到的摩擦力逐漸變大
B．A向右運動的最大距離為4cm
C．當A的位移為2cm時，B的位移為5cm
D．當A的位移為4cm時，彈簧對A的沖量大小為0.2π（N s）
（2024 全國一模）用單擺可以測量某一行星的自轉周期，若測得在相同時間t內，擺長為L的單擺在該行星兩極處完成了N1次全振動，在該行星赤道處完成了N2次全振動，設該行星為質量分布均勻的球體，半徑為R，則該行星自轉周期是（　　）
A． B．
C． D．
（2024 廣州一模）某質點做簡諧振動，其位移x與時間t的關系如圖，則該質點（　　）
A．振動頻率為4Hz
B．在A點速度最大
C．在B點加速度最大
D．在0～3s內通過路程為12.0cm
（多選）（2024 新鄭市校級三模）某同學用單擺測量學校的重力加速度大小，他通過改變擺長L，測出幾組對應的周期T，并作出T2﹣L圖像如圖所示。下列說法正確的是（　　）
A．應選用質量小、體積也小的小球做實驗
B．應從擺球經過最低點時開始計時
C．圖像不過坐標原點的原因可能是擺長測量值偏大
D．通過作出T2﹣L圖像處理數據來求得重力加速度，可消除因擺球質量分布不均勻而導致的系統誤差
（多選）（2024 雨花區校級模擬）如圖a所示，下端附有重物的粗細均勻木棒浮在水中，已知水的密度為ρ，木棒的橫截面積為S，重力加速度大小為g，將木棒向下按壓一段距離后釋放，木棒所受的浮力F隨時間周期性變化，如圖b所示，下列說法正確的是（　　）
A．木棒做簡諧運動，重力充當回復力
B．0～0.25s 內木棒的加速度逐漸減小
C．木棒和重物的重力之和等于 F1﹣F2
D．木棒所受合外力與偏離初始位置的距離成正比
（2023 海淀區二模）擺，是物理學中重要的模型之一。如圖1所示，一根不可伸長的輕軟細繩的上端固定在天花板上的O點，下端系一個擺球（可看作質點）。將其拉至A點后靜止釋放，擺球將在豎直面內的A、C之間來回擺動，其中B點為運動中的最低點。忽略空氣阻力。
（1）圖2所示為繩中拉力F隨時間t變化的圖線，求：
a．擺的振動周期T。
b．擺的最大擺角θm。
（2）擺角θ很小時，擺球的運動可看作簡諧運動。某同學發現他家中擺長為0.993m的單擺在小角度擺動時，周期為2s。他又查閱資料發現，早期的國際計量單位都是基于實物或物質的特性來定義的，稱為實物基準，例如質量是以一塊1kg的鉑銥合金圓柱體為實物基準。于是他想到可以利用上述擺長為0.993m的單擺建立“1s”的實物基準。請判斷該同學的想法是否合理，并說明理由。
（3）小擺角單擺是較為精確的機械計時裝置，常用來制作擺鐘。擺鐘在工作過程中由于與空氣摩擦而帶上一定的負電荷，而地表附近又存在著豎直向下的大氣電場（可視為勻強電場），導致擺鐘走時不準。某同學由此想到可以利用小擺角單擺估測大氣電場強度：他用質量為m的金屬小球和長為L（遠大于小球半徑）的輕質絕緣細線制成一個單擺。他設法使小球帶電荷量為﹣q并做小角度振動，再用手機秒表計時功能測量其振動周期T，已知重力加速度g，不考慮地磁場的影響。
a．推導大氣電場強度的大小E的表達式。
b．實際上，擺球所帶電荷量為10﹣7C量級，大氣電場強度為102N/C量級，擺球質量為10﹣1kg量級，手機秒表計時的精度為10﹣2s量級。分析判斷該同學上述測量方案是否可行。（提示：當|x| 1時，有（1+x）n＝1+nx）
（2024 開福區校級模擬）簡諧運動是一種常見且重要的運動形式。它是質量為m的物體在受到形如F＝﹣kx的回復力作用下，物體的位移x與時間t遵循x＝Asinωt變化規律的運動，其中角頻率ω（k為常數，A為振幅，T為周期）。彈簧振子的運動就是其典型代表。
如圖所示，一豎直光滑的管內有一勁度系數為k的輕彈簧，彈簧下端固定于地面，上端與一質量為m的小球A相連，小球A靜止時所在位置為O，另一質量也為m的小球B從距A為H的P點由靜止開始下落，與A發生瞬間碰撞后一起開始向下做簡諧運動。兩球均可視為質點，在運動過程中，彈簧的形變在彈性限度內，當其形變量為x時，彈性勢能為Epkx2，已知H，重力加速度為g。求：
（1）B與A碰撞后瞬間一起向下運動的速度；
（2）小球A被碰后向下運動離O點的最大距離。
（3）小球A從O點開始向下運動到第一次返回O點所用的時間。

展開更多......

收起↑