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第九章不等式與方程組 七年級數學下冊人教
【知識清單 題型歸納】
課程標準 學習目標
①一元一次不等式組及其解法 ②列一元一次不等式組解決實際問題 掌握一元一次不等式組的定義并能夠熟練的判斷不等式組。 能夠熟練的解不等式組，判斷不等式的解集。 掌握列一元一次不等式組解決實際問題的基本步驟，并能夠熟練的解決應用。
知識點01 一元一次不等式組
一元一次不等式組的定義：
把含有 相同 未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組。
一元一次不等式組的解集：
幾個一元一次不等式的解集的 公共部分 ，叫做由他們組成的一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式組的解集的求法：
先分別求出不等式組中的每一個不等式，然后找出他們解集的 公共部分 。
不等式組的解的情況與圖示：
①同大取大：，圖示：，解集為 。
②同小取?。?，圖示：，解集為 。
③大小小大中間找：，圖示：，解集為 。
④大大小小無解答：，圖示，解集為 無解 。
跟蹤訓練
1．下列各式中是一元一次不等式組的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若不等式組的解是，則的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
3．一個關于的一元一次不等式組的解集在數軸上的表示如圖所示，則該不等式組的解集是（ ）
A． B． C． D．
知識點02 列一元一次不等式組解決實際問題
列一元一次不等式組解決實際問題的基本步驟：
①審題：認真審題，分清已知量、未知量之間的關系，要抓住題設的關鍵字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要準確理解他們的含義。
②設：設出適當的未知數。
③列：根據題目中的不等量關系，列出不等式，從而組成不等式組。
④解：解出所列的不等式組的解集。
⑤答：檢驗結果是否符合題意，并寫出答案。
跟蹤訓練
4．將一筐橘子分給幾個兒童，若每人分4個，則剩下9個橘子：若每人分6個，則最后一個孩子有分到橘子但少于3個，則可列不等式組為（ ）
A． B．
C． D．
5．某文具店購進、兩種文具進行銷售.若每個種文具的進價比每個種文具的進價少2元，且用900元正好可以購進50個種文具和50個種文具，
（1）求每個種文具和種文具的進價分別為多少元？
（2）若該文具店購進種文具的數量比購進種文具的數量的3倍還少5個，購進兩種文具的總數量不超過95個，每個種文具的銷售價格為12元，每個種文具的銷售價格為15元，則將購進的、兩種文具全部售出后，可使總利潤超過371元，通過計算求出該文具店購進、兩種文具有哪幾種方案？
題型01 根據不等式組的解集情況求字母
6．若關于x的不等式組的整數解共有3個，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．若關于的不等式組有解，則的取值范圍是（　　?。?br/>A． B． C． D．
8．已知關于的不等式組無解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．不能確定
9．已知關于的不等式組有且只有1個負整數解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．若關于的不等式組的所有整數解的和為7，則整數的值有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
題型02 解一元一次不等式組
11．以下是明明解不等式組的解答過程．
解：由①，得，……步驟1
所以……步驟2
所以.……步驟3
由②，得，……步驟4
所以．……步驟5
所以……步驟6
所以原不等式組的解是……步驟7
指出明明的解答過程從第幾步出現了錯誤，請寫出正確的解答過程．
12．解不等式組
請結合題意填空，完成本題的解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：
(4)原不等式組的解集為______．
13．解不等式：
(1)．
(2)．
14．解下列不等式．
(1)；
(2)．
15．解不等式（組），并把它們的解集在數軸上表示出來．
(1)；
(2)．
題型03 不等式組的特殊解以及求未知字母
求滿足不等式組的整數解．
17．不等式的最大整數解為（ ）
A． B． C． D．
18．不等式的正整數解的個數是（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
19．已知關于x的不等式的負整數解只有, 則m的取值范圍是 （ ）．
A． B． C． D．
20．一元一次不等式的解在數軸上表示如下圖所示，若該不等式有兩個負整數解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型04 一元一次不等式組的實際應用
21．某廠商為中小學智慧課堂提供學生平板，成本為2600元，標價為3640元，如果廠商要以利潤不低于的售價打折出售，最低可打幾折（ ）
A．7.5折 B．8折 C．8.5折 D．9折
22．某次知識競賽共有20道選擇題，每題答對得10分，答錯或不答都扣5分，若要使總得分不低于80分，則至少應答對多少道題？若設應答對x道題，則根據題意可列出不等式為（ ）
A． B．
C． D．
23．把一些牛奶分給幾個老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每個老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．設共有x位老人，則下列不等式滿足條件的為（　　）
A． B．
C． D．
24． 某學校計劃購買A型和B型兩種筆記本作為獎品發放給期中考試優秀學生，若購買A型筆記本5本，B型筆記本8本，共需80元；若購買A型筆記本15本，B型筆記本4本，共需140元．
(1)A型和B型筆記本每本的價格分別是多少元？
(2)該校計劃購買A型和B型兩種筆記本共120本，費用不超過800元，A型筆記本最多買多少本？
25．某公司有、兩種型號的客車，它們的載客量、租金如下表所示：
型號客車 型號客車
載客量/(人/輛)
租金/(元/輛)
已知某中學計劃租用、兩種型號的客車共輛，同時送七年級師生到生態園參加社會實踐活動，該中學租車的總費用不超過元．
(1)最多能租用多少輛型號客車？
(2)若七年級的師生共有人，請寫出所有可行的租車方案．
26．蜀山家園小區為了美化小區，準備購進兩種樹苗共60棵栽種在小區空地，其中種樹苗數量不少于種樹苗的2倍．
(1)該小區最多購買類樹苗多少棵？
(2)已知種樹苗單價為25元，種樹苗單價為45元，若購買樹苗的總費用不超過2330元，該小區購買樹苗的方案有幾種？哪種方案總費用最低？
27．2024年1月某銀行發行了A、B兩種龍年紀念幣，已知購買3枚A型紀念幣和2枚B型紀念幣需55元，購買3枚A型紀念幣和5枚B型紀念幣需115元．
(1)求每枚A、B兩種型號的紀念幣各多少元？
(2)若小明準備用至少850元的金額購買兩種紀念幣共50枚，求A型紀念幣最多能購買多少枚？
(3)在（2）的條件下，若小明至少要購買A型紀念幣9枚，則有幾種購買方案？哪種方案最劃算？
參考答案：
1．D
【分析】根據一元一次不等式組的定義進行判斷．
【詳解】解：A、第二個不等式不是整式不等式，故本選項不合題意；
B、該不等式組中有2個未知數，故本選項不合題意；
C、該不等式組中的第二個不等式中不含有未知數，故本選項不合題意；
D、該不等式組符合一元一次不等式組的定義，故本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的定義．幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組．
2．A
【分析】根據不等式組的取值方法“同大取大”，即可求解．
【詳解】解：不等式組的解是，
∴，
故選：．
【點睛】本題主要考查不等式組的取值方法，掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解”的取值方法是解題的關鍵．
3．D
【分析】利用不等式組的解集在數軸上的表示方法確定不等式組的解集．
【詳解】解：由關于x的一元一次不等式組的解集在數軸上的表示可知，兩個不等式的解集公共部分是：，
所以該不等式組的解集是．
故選：D．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組解集的表示，利用不等式組中所有不等式的解集的公共部分是不等式組的解集來確定不等式組的解集是解題關鍵．
4．B
【分析】本題考查根據實際問題列出不等式組，設有個兒童，得到共有個橘子，再根據最后一個孩子有分到橘子但少于3個，列出不等式組即可．
【詳解】解：設有個兒童，由題意，得：；
故選B．
5．（1）每個種文具的進價為8元，每個種文具的進價為10元；（2）該五金商店有兩種進貨方案：①購進種文具67個，種文具24個；②購進種文具70個，種文具25個.
【分析】（1）設每個種文具的進價為元，每個種文具的進價為元，根據“每個種文具的進價比每個種文具的進價少2元，且用900元正好可以購進50個種文具和50個種文具”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設購進種文具個，則購進種文具個，根據購進兩種文具的總數量不超過95個且銷售兩種文具的總利潤超過371元，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為整數即可得出各進貨方案．
【詳解】解：（1）設每個種文具的進價為元，每個種文具的進價為元，依題意，得：
解得：.
答：每個種文具的進價為8元，每個種文具的進價為10元；
（2）設購進種文具個，則購進種文具個，依題意，得：

解得：.
∵為整數，
∴或25，或70，
∴該五金商店有兩種進貨方案：①購進種文具67個，種文具24個；②購進種文具70個，種文具25個.
故答案為（1）每個種文具的進價為8元，每個種文具的進價為10元；（2）該五金商店有兩種進貨方案：①購進種文具67個，種文具24個；②購進種文具70個，種文具25個.
【點睛】本題考查二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．
6．B
【分析】此題考查了一元一次不等式組的整數解，分別求出不等式組中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式組的解集，根據解集中整數解有個，可得到的范圍是解本題的關鍵．
【詳解】解：解不等式組的解集為，
∵不等式組的整數解有3個，
∴得到整數解為，，，
∴m的范圍為．
故選：B．
7．B
【分析】由題意，根據不等式組的解集的意義：兩個解集有公共部分即有解，從而得解．
【詳解】解：由題意，根據不等式組的解集的意義：兩個解集有公共部分即有解，
．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了不等式組的解集的意義，解題時要熟悉概念并能靈活運用是關鍵．
8．C
【分析】根據大大小小找不到即可求解．
【詳解】解：∵該不等式組無解，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了含字母參數的不等式組的解集問題，解題關鍵是掌握求不等式組解集的方法，即同大取大，同小取小，大大小小找不到，大小小大取中間．
9．A
【分析】首先解兩個不等式，根據不等式組有且只有1個負整數解，即可得到一個關于a的不等式組，從而求得a的范圍．
【詳解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式組只有一個負整數解，
∴負整數解一定是，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查不等式組的解法及整數解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．
10．A
【分析】解不等式組用含的式子表示不等式組的解題，根據所有整數解的和為7，寫出所有的整數解題即可．
【詳解】由，得；
由，得．
因為不等式組的所有整數解的和為7，
所以不等式組的整數解為4，3或4，3，2，1，0，，
所以或，
解得或，
符合條件的整數的值為1，即整數的值有1個，
故選A．
【點睛】本題考查不等式組的整數解問題，能正確確定不等式組的整數解是解題的關鍵．
11．明明的解答過程從第6步出現了錯誤，正確的解答過程見解答
【分析】本題考查了解一元一次不等式組，正確的計算是解題的關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】解：明明的解答過程從第6步出現了錯誤，錯誤的原因是：不等式兩邊同時除以時，不等號的方向沒有改變，
正確的解答過程如下：
由①，得，
所以，
所以，
由②，得，
所以，
所以，
所以原不等式組的解集為：．
12．(1)
(2)
(3)見解析
(4)
【分析】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集，熟練掌握求一元一次不等式組解集的方法是解題的關鍵．
（1）先去括號，再移項、合并解不等式①即可得答案；
（2）移項、把系數化為1，解不等式②即可得答案；
（3）將①②的解集表示在數軸上即可；
（4）根據數軸上的解集的公共部分即可求解．
【詳解】（1）解：
去括號得：，
移項、合并得：，
故答案為：
（2）
移項得：，
系數化為1得：，
故答案為：
（3）把不等式①和②的解集在數軸上表示，如圖所示：
（4）由數軸可知：原不等式組的解集為．
13．(1)
(2)
【分析】本題考查了解一元一次不等式，正確利用不等式的性質求出解集是解答本題的關鍵．
（1）移項，合并同類項即可求解；
（2）先去分母，再去括號、整理，根據不等式的性質求解即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：
14．(1)
(2)
【分析】本題考查了解一元一次不等式．
（1）（2）根據解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項、系數化為1可得．
【詳解】（1）解：，
去括號得，
移項得，
∴；
（2）解：，
去括號得，
移項得，
合并同類項得，
∴．
15．(1)，數軸見解析
(2)．數軸見解析
【分析】本題考查了不等式或不等式組的解法，在數軸上表示不等式或不等式組的解集．
（1）先移項，再合并同類項、系數化為1即可；
（2）先求兩個不等式的解集，再求公共部分即可．
【詳解】（1）解：去分母得，
去括號得，
移項得，，
合并同類項得，，
系數化為1得，，
在數軸上表示出來：
；
（2）解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
在數軸上表示出來：
不等式組的解集為．
16．，不等式的最小整數解為．
【分析】本題考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式的整數解，熟練掌握不等式的解法是解本題的關鍵．求出不等式的解集，進而求出最小整數解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
，
，
，
則，
∴不等式的最小整數解為．
17．B
【分析】本題主要考查了求一元一次不等式的最大整數解，按照去分母，移項，合并同類項，系數化為1的步驟求出不等式的解集即可得到答案．
【詳解】解：
去分母得：，
移項得：，
合并同類項得：，
系數化為1得：，
∴不等式的最大整數解為，
故選：B．
18．B
【分析】本題考查的是求解一元一次不等式的整數解，先解不等式得到不等式的解集，再確定整數解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
則不等式的正整數解有1、2、3、4、5、6這6個，
故選：B．
19．B
【分析】先求得不等式的解集，再利用數軸求解即可．本題考查了不等式的解集，根據解集求參數，熟練掌握不等式解集是解題的關鍵．
【詳解】∵，
∴，
∵不等式的負整數解只有,
∴符合題意的m取值范圍如圖所示，
∴，
故選B．
20．B
【分析】此題主要考查不等式的應用，解題的關鍵是根據題意得到負整數解．根據關于x的一元一次不等式的兩個負整數解只能是、，求出a的取值范圍即可求解．
【詳解】解：∵關于x的一元一次不等式有兩個負整數解，
∴2個負整數解只能是、．
∴a的取值范圍是．
故選B
21．A
【分析】本題考查了一元一次不等式的應用，熟練掌握該知識點是本題解題的關鍵．
設打x折，利用銷售價減進價等于利潤得到，然后解不等式求出x的范圍，從而得到x的最小值即可．
【詳解】設打x折，
根據題意得
解得．
所以最低可打7.5折．
故選：A．
22．D
【分析】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，要特別注意：答錯或不答都扣5分，至少即大于或等于．據答對題的得分：；答錯題的得分：，得出不等關系：得分不低于80分．
【詳解】解：由題意可列出的不等式為，
故選：D．
23．A
【分析】本題考查了一元一次不等式的應用．根據題意找出不等關系，列不等式是解題的關鍵．
由如果每人分3瓶，那么余8瓶，可知共有瓶牛奶，如果前面的每個老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，可得．
【詳解】解：∵如果每人分3瓶，那么余8瓶，
∴共有瓶牛奶，
∵如果前面的每個老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，
∴
故選：A．
24．(1)A型筆記本每本8元，B型筆記本每本5元
(2)A型筆記本最多買66本
【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意列出方程組和不等式．
（1）設A型筆記本每本x元，B型筆記本每本y元，根據“購買A型筆記本5本，B型筆記本8本，共需80元；若購買A型筆記本15本，B型筆記本4本，共需140元”列出方程組求解即可；
（2）設購買A型筆記本m本，則夠買B型筆記本本，根據“費用不超過800元”列出不等式，再根據m為整數，即可解答．
【詳解】（1）解：設A型筆記本每本x元，B型筆記本每本y元，
根據題意得，
解得．
答：A型筆記本每本8元，B型筆記本每本5元．
（2）解：設購買A型筆記本m本，則夠買B型筆記本本，
根據題意得．
解得，
∵m是正整數，
∴m最大取66，
答：A型筆記本最多買66本．
25．(1)最多能租用輛型號客車
(2)有兩種租車方案．方案一：租用型號客車輛，型號客車輛；方案二：租用型號客車輛，型號客車輛
【分析】本題考查了不等式的應用；
（1）設租用型號客車輛，則租用型號客車輛，根據總費用不超過元，列出不等式，解不等式即可求解．
（2）設租用型號客車輛，則租用型號客車輛，根據師生共有人，列出不等式，解不等式即可求解．
【詳解】（1）解：設租用型號客車輛，則租用型號客車輛．
依題意，得，
解得．
又為整數，
的最大值為．
答：最多能租用輛型號客車．
（2）依題意，得，
解得．
又為整數，且，
或．
有兩種租車方案．方案一：租用型號客車輛，型號客車輛；方案二：租用型號客車輛，型號客車輛．
26．(1)小區最多購買類樹苗棵
(2)該小區購買樹苗的方案有2種，購買種樹苗棵，種樹苗棵，總費用最低
【分析】本題考查了一元一次方程不等式（組）的應用．
（1）設購買種樹苗棵，根據“種樹苗數量不少于種樹苗的2倍”列不等式，解出其解集即可求解；
（2）設購買種樹苗棵，則購買種樹苗棵，根據“購買樹苗的總費用不超過2330元”列不等式，解出其解集，結合（1）的結論，進一步計算即可求解．
【詳解】（1）解：設購買種樹苗棵，則購買種樹苗棵，
由題意得，，
解得，
答：小區最多購買類樹苗棵；
（2）解：設購買種樹苗棵，則購買種樹苗棵，
由題意得，，
解得，
結合（1），則，
∵取整數，
∴或，
∴小區購買樹苗的方案有2種，購買種樹苗棵或棵，
當時，費用為（元），
當時，費用為（元），
．
，
答：該小區購買樹苗的方案有2種，購買種樹苗棵，種樹苗棵，總費用最低．
27．(1)每枚A種型號的紀念幣為5元，每枚B種型號的紀念幣為20元；
(2)A型紀念幣最多能買10枚；
(3)共有2種購買方案，最劃算的購買方案為：A型紀念幣買10枚，B型紀念幣買40枚．
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，解題的關鍵是找準等量關系和不等關系，正確列出二元一次方程組和不等式．
（1）設每枚A種型號的紀念幣為x元，每枚B種型號的紀念幣為y元，根據題意列出方程組，解之即可；
（2）設A型紀念幣能買m枚，根據用至少850元的金額購買兩種紀念幣共50枚，列出不等式，解之即可；
（3）得到a的范圍，可得共有2種方案，分別計算各方案所需價格，比較可得結果．
【詳解】（1）設每枚A種型號的紀念幣為x元，每枚B種型號的紀念幣為y元
由題意得：，
解得：，
答：每枚A種型號的紀念幣為5元，每枚B種型號的紀念幣為20元．
（2）設A型紀念幣能買m枚，則B型紀念幣能買枚
由題意得：，解得：，
答：A型紀念幣最多能買10枚；
（3）由題意得：，
，
為正整數，
為9或10，
共有2種購買方案：
①A型紀念幣能買9枚，B型紀念幣能買41枚，費用為：（元）；
②A型紀念幣能買10枚，B型紀念幣能買40枚，費用為：（元）；
，
最劃算的購買方案為：A型紀念幣買10枚，B型紀念幣買40枚．

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